安徽省蒙城縣一中2024年高考數(shù)學(xué)三模試卷含解析

安徽省蒙城縣一中2024年高考數(shù)學(xué)三模試卷

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。

2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.下邊程序框圖的算法源于我國(guó)古代的中國(guó)剩余定理.把運(yùn)算“正整數(shù)N除以正整數(shù)機(jī)所得的余數(shù)是“”記為

“N三”(modm)”，例如7三1(mod2).執(zhí)行該程序框圖，則輸出的“等于()

C.18D.19

2.函數(shù)y=sin|x|+*在無(wú)e[—2],2可上的大致圖象是()

3.數(shù)列｛斯｝,滿足對(duì)任意的"GN+,均有“"+""+1+""+2為定直若。7=2,09=3,4198=4,則數(shù)殖所｝的前100項(xiàng)的和5100=()

A.132B.299C.68D.99

4.在聲學(xué)中，聲強(qiáng)級(jí)￡（單位：dB）由公式L=101g給出，其中/為聲強(qiáng)（單位：W/m2）.Li=60dB,

4=75dB,那么,=()

443_3

A.6B.i(pC.——D.I。”

2

22

5.存在點(diǎn)/（/Do）在橢圓=+今=1（。〉人〉0）上，且點(diǎn)M在第一象限,使得過(guò)點(diǎn)M且與橢圓在此點(diǎn)的切線

a"b

=1垂直的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0,-則橢圓離心率的取值范圍是（

)

a2b2

A.C.D.“J

6.以下三個(gè)命題：①在勻速傳遞的產(chǎn)品生產(chǎn)流水線上，質(zhì)檢員每10分鐘從中抽取一件產(chǎn)品進(jìn)行某項(xiàng)指標(biāo)檢測(cè)，這樣

的抽樣是分層抽樣；②若兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1；③對(duì)分類變量x與y的隨機(jī)

變量父的觀測(cè)值左來(lái)說(shuō)，攵越小，判斷“X與F有關(guān)系”的把握越大；其中真命題的個(gè)數(shù)為（）

A.3B.2C.1D.0

下列與函數(shù)y=J=定義域和單調(diào)性都相同的函數(shù)是（

7.)

yjx

,1

A.y=2log2B.y=logC-=log-D.

2I2X

8.已知a,b￡R,3+cti=b—(2a—l)z,則()

A.b=3aB.b=6aC.b=9aD.b=12a

設(shè)左貝!!關(guān)于羽丁的方程（—左）］+丁左所表示的曲線是（）

9.＞1,122=2―1

A.長(zhǎng)軸在y軸上的橢圓B.長(zhǎng)軸在x軸上的橢圓

C.實(shí)軸在y軸上的雙曲線D.實(shí)軸在x軸上的雙曲線

10.已知平行于X軸的直線分別交曲線Iny=2x+Ly2=2x—1（”0）于A,B兩點(diǎn)，則41ABi的最小值為（）

A.5+ln2B.5—In2C.3+ln2D.3—In2

1/、71

11.已知a=(cosa,sina),b=(cos(-cif),sin(-cr)),那么。山=()是。=左萬(wàn)+(左￡Z)的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

12.“幻方”最早記載于我國(guó)公元前500年的春秋時(shí)期《大戴禮》中.“〃階幻方("23,"cN*)”是由前二個(gè)正整數(shù)組

成的一個(gè)〃階方陣，其各行各列及兩條對(duì)角線所含的〃個(gè)數(shù)之和(簡(jiǎn)稱幻和)相等，例如“3階幻方”的幻和為15(如

圖所示).則“5階幻方”的幻和為()

E□□

□□

LZJLZJ□

A.75B.65C.55D.45

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.某高校組織學(xué)生辯論賽，六位評(píng)委為選手A成績(jī)打出分?jǐn)?shù)的莖葉圖如圖所示，若去掉一個(gè)最高分，去掉一個(gè)最低

分，則所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)與中位數(shù)的差為.

SI23S7

9|S8

14.在ABC中，角A的平分線交于。，BD=3,CD=2,貝！1ABC面積的最大值為

15.已知實(shí)數(shù)滿足。+應(yīng)=產(chǎn)193為虛數(shù)單位)，則4+力的值為.

16.設(shè)=%+,則%=，

(4+4++???+苗0)——(q+/+。5+.??+/)的值為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(12分)已知等差數(shù)列｛%｝滿足q=1,公差d>0,等比數(shù)列也｝滿足偽=卬，d=g，4=%.

⑴求數(shù)列｛叫，也｝的通項(xiàng)公式;

(2)若數(shù)列｛%｝滿足￡■+廣+(+…+廣=fl?+i,求匕｝的前n項(xiàng)和S,.

4“2”34

18.(12分)如圖，四棱錐尸-A5CD,側(cè)面上4。是邊長(zhǎng)為2的正三角形,且與底面垂直，底面ABC。是NA5c=60的

菱形，M為棱PC上的動(dòng)點(diǎn)，且正="4e[0,1]).

(I)求證：A/EC為直角三角形；

(H)試確定X的值，使得二面角P-AD-M的平面角余弦值為作叵.

5

p

19.（12分）已知aeR,函數(shù)/（x）=ae"—x—l,g（x）=x-ln（x+l）（e=2.71828是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

（I）討論函數(shù)/（九）極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（II）若。=1,且命題“Vxe[0,+8）,/（%）之依⑴”是假命題,求實(shí)數(shù)上的取值范圍.

20.（12分）如圖，在四棱錐尸—ABCD中，側(cè)棱？底面ABC。，AD//BC,AD=1,PA=AB=BC=2,M

是棱P5的中點(diǎn).

（1）求證：AM〃平面PC。；

（2）若/ABC=90，點(diǎn)N是線段CD上一點(diǎn)，且。N=g。。，求直線MN與平面PC。所成角的正弦值.

21.（12分）已知橢圓E:一+]=1（?！?〉0）的右焦點(diǎn)為B，過(guò)工作％軸的垂線交橢圓E于點(diǎn)A（點(diǎn)A在x軸上

方），斜率為左僅<0）的直線交橢圓E于A,3兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)4作直線AC交橢圓E于點(diǎn)C,且ABLAC,直線AC交

V軸于點(diǎn)。.

/廿1）

（1）設(shè)橢圓E的離心率為e,當(dāng)點(diǎn)3為橢圓E的右頂點(diǎn)時(shí)，。的坐標(biāo)為0,一--a,求e的值.

I〃3J

（2）若橢圓E的方程為:+9=1,且左<—,，是否存在人使得血|筋|=仙。成立？如果存在，求出左的值；

如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22.（10分）為提供市民的健身素質(zhì)，某市把AB,四個(gè)籃球館全部轉(zhuǎn)為免費(fèi)民用

(1)在一次全民健身活動(dòng)中，四個(gè)籃球館的使用場(chǎng)數(shù)如圖，用分層抽樣的方法從A5c。四場(chǎng)館的使用場(chǎng)數(shù)中依次

抽取區(qū),。2，。3，。4共25場(chǎng)，在4，。2，。3，。4中隨機(jī)取兩數(shù)，求這兩數(shù)和自的分布列和數(shù)學(xué)期望;

t場(chǎng)數(shù)

(2)設(shè)四個(gè)籃球館一個(gè)月內(nèi)各館使用次數(shù)之和為X,其相應(yīng)維修費(fèi)用為y元，根據(jù)統(tǒng)計(jì)，得到如下表的數(shù)據(jù):

X10152025303540

y10000117611301013980147711544016020

y

z=0.1e屈+22.993.494.054.504.995.495.99

①用最小二乘法求Z與X的回歸直線方程；

②小叫做籃球館月惠值'根據(jù)①的結(jié)論'試估計(jì)這四個(gè)籃球館月惠值最大時(shí)X的值

_77__^（X,.-X）（Z,.-Z）

23

參考數(shù)據(jù)和公式：z=4.5,2（X,--x）=700,X（七一x）（Zj—z）=70,e=20/>=上—-----=-----,a^-bx

！=1，=1z（-

i=l

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、B

【解析】

由已知中的程序框圖可知，該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量〃的值，模擬程序的運(yùn)行過(guò)程，代入四個(gè)選

項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證即可.

【詳解】

解：由程序框圖可知，輸出的數(shù)應(yīng)為被3除余2,被5除余2的且大于10的最小整數(shù).

若輸出〃=16,貝！J16三1(mod3)不符合題意，排除；

若輸出〃=17,則17三2(mod3),17三2(mod5),符合題意.

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了程序框圖.當(dāng)循環(huán)的次數(shù)不多，或有規(guī)律時(shí)，常采用循環(huán)模擬或代入選項(xiàng)驗(yàn)證的方法進(jìn)行解答.

2、D

【解析】

討論x的取值范圍，然后對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可判斷.

【詳解】

當(dāng)了之0時(shí)，y=sinx+x,貝!］y'=cosx+l20,

所以函數(shù)在［0,2句上單調(diào)遞增，

令g(x)=cosx+l,貝?。輌'(x)=-sinx,

根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，

當(dāng)工?0,句時(shí)，g,(x)=-sinx<0,故切線的斜率變小，

當(dāng)句時(shí)，g,(%)=-sin%>0,故切線的斜率變大，可排除A、B；

當(dāng)％<0時(shí)，y=-sinx+x,貝?。輞'=-cosx+l20,

所以函數(shù)在［-2漢0］上單調(diào)遞增，

令/i(x)=-cos%+l,//(x)=sinx,

當(dāng)xe［—2肛一句時(shí)，//(x)=sinx>0,故切線的斜率變大，

當(dāng)xe［-肛0］時(shí)，/z,(x)=sinx<0,故切線的斜率變小，可排除C,

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查了識(shí)別函數(shù)的圖像，考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于中檔題.

3、B

【解析】

由?！??！?1+4+2為定值，可得%+3=%，則｛。“｝是以3為周期的數(shù)列，求出即求Sg

【詳解】

對(duì)任意的“eN+,均有an+an+l+an+2為定值,

二(4+1+%+2+4+3)一(%+%+4+2)=。'

故4+3=4，

?..｛為｝是以3為周期的數(shù)列，

故=%=2,%=〃98=4,生=〃9=3,

S］QQ=(q+/+/)++(%7+%8+%9)+4()0=33(q++/)+q

=33(2+4+3)+2=299.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查周期數(shù)列求和，屬于中檔題.

4、D

【解析】

由L=101g］焉［得lg/=^-12,分別算出人和A的值，從而得到)的值.

【詳解】

.?.￡=10(lg/-lgl0-12)=10(lg/+12),

lg/=---12,

10

當(dāng)右=60時(shí)，坨4="—12=?-12=—6,.?.4=10-6,

11010

T75

當(dāng)L,=75時(shí)，lgA=」—12=——12=—4.5,.?.1,=1045,

21010

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查對(duì)數(shù)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

5、D

【解析】

根據(jù)題意利用垂直直線斜率間的關(guān)系建立不等式再求解即可.

【詳解】

因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)V橢圓的切線方程為誓+*=1,所以切線的斜率為-"，

abayQ

b

由.°2x、bj。=_「解得％=白＜乩即尸＜2°2,所以儲(chǔ)—。2＜2C2,

22c

/Iay0)

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了建立不等式求解橢圓離心率的問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題.

6、C

【解析】

根據(jù)抽樣方式的特征，可判斷①；根據(jù)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，可判斷②；根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法和步驟，可判斷③.

【詳解】

①根據(jù)抽樣是間隔相同，且樣本間無(wú)明顯差異，故①應(yīng)是系統(tǒng)抽樣，即①為假命題；

②兩個(gè)隨機(jī)變量相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1;兩個(gè)隨機(jī)變量相關(guān)性越弱，則相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接

近于0;故②為真命題；

③對(duì)分類變量x與y的隨機(jī)變量K?的觀測(cè)值上來(lái)說(shuō)，左越小，“X與y有關(guān)系”的把握程度越小，故③為假命題.

故選：c.

【點(diǎn)睛】

本題以命題的真假判斷為載體考查了抽樣方法、相關(guān)系數(shù)、獨(dú)立性檢驗(yàn)等知識(shí)點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題.

7、c

【解析】

1

分析函數(shù)丁=丁的定義域和單調(diào)性，然后對(duì)選項(xiàng)逐一分析函數(shù)的定義域、單調(diào)性，由此確定正確選項(xiàng).

【詳解】

函數(shù)y在（0,+。）上為減函數(shù).

A選項(xiàng)，〉=2庭2，的定義域?yàn)椋?,+8）,在（0,+。）上為增函數(shù)，不符合.

B選項(xiàng)，j=log2Q^的定義域?yàn)镽,不符合.

C選項(xiàng)，y=log2,的定義域?yàn)椋?,+8）,在（0,+。）上為減函數(shù)，符合.

D選項(xiàng)，,=，的定義域?yàn)椋?,+8）,不符合.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查函數(shù)的定義域和單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.

8、C

【解析】

兩復(fù)數(shù)相等，實(shí)部與虛部對(duì)應(yīng)相等.

【詳解】

由3+E=b—（2a-l）z,

3=b1

即，b=l.

a=1-2a

:?b=9a.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.

9、C

【解析】

22

根據(jù)條件，方程（1—左）*+_/=左2-1.即T-----匚=1,結(jié)合雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征判斷曲線的類型.

7

'左2—1k+l

【詳解】

解：'：k>\,：.l+k>0,k2-l>0,

22

方程（1—%）*+/=左2—i,即T-----匚=1,表示實(shí)軸在y軸上的雙曲線，

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征，依據(jù)條件把已知的曲線方程化為4——匚=1是關(guān)鍵.

上2—1k+1

10、A

【解析】

設(shè)直線為y=。(a>0),4>1，%)5(>2，%)，用。表示出占，x2,求出41A3|,令/(a)="+2—lna,利用導(dǎo)數(shù)求出

單調(diào)區(qū)間和極小值、最小值，即可求出41ABi的最小值.

【詳解】

解：設(shè)直線為丁=。(?！?),4玉，%?(%2，%)，則lna=2X]+l,.?.Xi=g(lna—1),

2i

而4滿足。2=2%-1,

那么41ABi=45_玉)=4=2(a2+2-lna)

-2_[(五、(五\

設(shè)/(。)=1+2—Ina,則廣二1,函數(shù)/(a)在0,一上單調(diào)遞減，在一,+s上單調(diào)遞增，

aI2JI2)

所以4|陰mm=2/(%m=2/圖=5+ln2

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，正確求導(dǎo)確定函數(shù)的最小值是關(guān)鍵,

屬于中檔題.

11、B

【解析】

由4必=0,可得cos2a=0,解出即可判斷出結(jié)論.

【詳解】

1

解：因?yàn)閍=(cosa,sina),/?=(cos(-a),sin(一。))且〃?/?=()

coscr?cos(—a)+sina^sm(-a)=cos2a-sin2a=cos2a=0.

2a=2左乃±—,解得a=k/r±—(kZ).

24

4必=0是1=左〃+—（左eZ）的必要不充分條件.

4

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、三角函數(shù)求值、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

12、B

【解析】

計(jì)算1+2++25的和，然后除以5,得到“5階幻方”的幻和.

【詳解】

1+25

依題意“5階幻方”的幻和為1+2++252“，故選凡

55

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查合情推理與演繹推理，考查等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、3

2

【解析】

先根據(jù)莖葉圖求出平均數(shù)和中位數(shù)，然后可得結(jié)果.

【詳解】

1175

剩下的四個(gè)數(shù)為83,85,87,95,且這四個(gè)數(shù)的平均數(shù)元=,83+85+87+95）=5-,這四個(gè)數(shù)的中位數(shù)為

11753

-（85+87）=86,則所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)與中位數(shù)的差為《--86=].

【點(diǎn)睛】

本題主要考查莖葉圖的識(shí)別和統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算，側(cè)重考查數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

14、15

【解析】

由角平分線定理得四=",利用余弦定理和三角形面積公式，借助三角恒等變化求出A6c面積的最大值.

ACCD

【詳解】

畫出圖形：

3x2x

B3Z)2c

因?yàn)?>=3,CD=2,由角平分線定理得任=.=2,

ACCD2

設(shè)AC=2x,Zft4c=2a,ae[o,1^,則AB=3x

由余弦定理得：52=4x2+9x2-2-3x-2x-cos2iz

25

即X2

13-12cos2a

1275sin2a

S^ABC=5.3x?2x?sin2。=3%-sin2a=

13-12cos2a

752tana

75x2sinacosa_1+tan2a

13-12x(cos2cif-sin2cif)1-tan2a

\'13—1Z-----------7—

1+tana

150-tandz150150

=15

2

1+25tana---+25tana2J-——25tana

tanaVtana

當(dāng)且僅當(dāng)一--=25tana,即tana='時(shí)取等號(hào)

tana5

所以A5C面積的最大值為15

故答案為：15

【點(diǎn)睛】

此題考查解三角形面積的最值問(wèn)題，通過(guò)三角恒等變形后利用均值不等式處理，屬于一般性題目.

15、-1

【解析】

由虛數(shù)單位i的性質(zhì)結(jié)合復(fù)數(shù)相等的條件列式求得〃，人的值，則答案可求.

【詳解】

解：由3=3z2=—1,z3=—i9i4=1

所以〃+方=嚴(yán)19=。4)504

得〃=0,b=—l.

...a+Z?=-1.

故答案為：-1.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查虛數(shù)單位i的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

16、7201

【解析】

102

利用二項(xiàng)展開式(a+6)"的通式4+i=C：a"-'T/可求出出；4-(^2+%)=a0+alx+a:,x,+0mx根中的元=1,

X=—1得兩個(gè)式子，代入+。4+?,?+。10—(q+。3+,5+???+%)~可得結(jié)果.

【詳解】

利用二項(xiàng)式系數(shù)公式，(=。/0)葭2=720/，故g=720,

%+q+...+%。=("\/2+1)1°,%―%+a2—...+=("\/2—1>°,

故(+a。+%+???+q())—-(q+%+%+.,?+。9)

=(a0+t/j+...+tZjg)(a0-tZ]+a。_...+)=('\/2+11°(5/2_1)〔°=1,

故答案為：720；1.

【點(diǎn)睛】

本題考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，考查賦值法，是基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17、⑴4=2〃—1,m；⑵S'=3\

【解析】

(1)由％=1,公差d〉0,有1,1+d,l+4d成等比數(shù)列，所以(l+d)2=lx(l+4d),解得d=2.進(jìn)而求出數(shù)列{4},

{2}的通項(xiàng)公式；

(2)當(dāng)”=1時(shí)，由?=%,所以9=3,當(dāng)九.2時(shí)，由?+?+『+…+}=4+1,?+?+?+…+戶=4，

''4偽b24bn偽4b3岫

可得C.=2-3"T,進(jìn)而求出前〃項(xiàng)和S..

【詳解】

解：(1)由題意知，4=1,公差d>0,有1,1+d,l+4d成等比數(shù)歹U,

所以(l+d)2=lx(l+4d),解得d=2.

所以數(shù)列｛4,｝的通項(xiàng)公式4=2〃-1.

數(shù)列也｝的公比4=3,其通項(xiàng)公式么=3"T

⑵當(dāng)〃=1時(shí)，由1k=%，所以13.

當(dāng)2時(shí)，由，'+；+子+…+『=4+1,色+2+2+…

偽44bn偽bi2d.i

兩式相減得2=4+1-4,

b"

所以C.=2-3"T.

,f3,〃二1

故°=4

n[2-3n^,n>2

所以｛%｝的前〃項(xiàng)和S“=3+2x3+2x32+2x33+…+2X3”T

3X（1-3"T）「

=3+2—------=3",>2.

1-3n

又〃=1時(shí)，SI=q=3l也符合上式，故S“=3".

【點(diǎn)睛】

本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念，通項(xiàng)公式，前〃項(xiàng)和公式的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力，方程思

想，分類討論思想，應(yīng)用意識(shí)，屬于中檔題.

18、（1）見解析；（II）2=1.

【解析】

試題分析：（1）取AD中點(diǎn)。，連結(jié)OROC,以。為原點(diǎn)，0C為X軸，OD為y軸，0尸為z軸，建立空間直角坐標(biāo)

系，利用向量法能證明A/ZC為直角三角形；（2）設(shè)M（a,b,c）,由償=2（4e[0,1]）,得M（后,0,6—百4）,

求出平面AMD的法向量和平面PAD的法向量,，根據(jù)空間向量夾角余弦公式能求出結(jié)果.

試題解析：⑴取AO中點(diǎn)。，連結(jié)OROCAC,依題意可知ARM）,AACD均為正三角形，所以O(shè)C,

又OCcOP=O,。。匚平面^^^^尸匚平面2。。,

所以AO,平面POC,

又PCu平面POC,所以ADLPC,

因?yàn)锽C//AD，所以5C，PC,即ZPCB=90,

從而AP3C為直角三角形.

(H)法一：由(I)可知尸。，"),又平面上4。，平面45。。,平面上4。平面ABCD=AO,

尸Ou平面上4。，所以尸01.平面ABCZ).

以。為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系O-孫z如圖所示，則

網(wǎng)0,0,百),4(0,-1,0),D(0,1,0),C(^,0,0),PC=(百,0—G)

由PM=XPC=2(百,0,-百)可得點(diǎn)M的坐標(biāo)(、后,0,G—四)

所以而=(6尢1,6_四)，麗=(&,—1,上―后)，

設(shè)平面M4O的法向量為〃=(x,yz),貝°,

'7n-DM=0

令z=/l,#ra=（2—1,0,2）,

顯然平面PAD的一個(gè)法向量為OC=(73,0,0),

,.\n-OC173(2-1)126

依題意cos(〃,OC)=,=,J—=—,

11"II。。Q+._1)2.85

解得;1=!或幾=—1(舍去)，

所以，當(dāng)4=2時(shí)，二面角P—AD—M的余弦值為空.

35

法二：由(I)可知平面POC,所以

所以NPOAf為二面角P—AD—M的平面角，

即cos/POM=垣，

5

在ATOM中，sMNPOM=旦,PO=也,NOPM=三,

54

所以smZPMO=sin^ZPOM+

=sinZPOAfcos—+cosZPOAfsin—=,

4410

PMPOPM=G

由正弦定理可得----------=----------,即出3-J10

sinZPOMsinZPMO出任Y

510

解得PM=逅，

3

又PC7Po2+OC?=&,所以入=卷=；,

所以，當(dāng)4=工時(shí)，二面角P—A￡>—M的余弦值為35.

35

19、(1)當(dāng)aVO時(shí)，/(九)沒(méi)有極值點(diǎn)，當(dāng)a>0時(shí)，/(九)有一個(gè)極小值點(diǎn).⑵(L+?)

【解析】

試題分析：(1)f'(x)=ae'、一1,分aWO,a>0討論，當(dāng)aWO時(shí)，對(duì)VxeR,f,(x)=aeA-l<0,當(dāng)a>0時(shí)

f'(x)=0,解得x=—Ina,f(x)在(—a,—Ina)上是減函數(shù)，在(—Ina,+“)上是增函數(shù)。所以，當(dāng)aWO時(shí)，f(x)沒(méi)

有極值點(diǎn)，當(dāng)a>0時(shí)，f(x)有一個(gè)極小值點(diǎn).⑵原命題為假命題，則逆否命題為真命題。即不等式f(x)<kg(x)

在區(qū)間［0,+“)內(nèi)有解。設(shè)F(x)=f(x)—kg(x)=ex+kln(x+l)-(k+l)x-l,所以F(x)=eX+-

ik

-(k+1),設(shè)h(x)=ex-(k+1)，則h'(x)=ex—3了,且h'(x)是增函數(shù),所以h'(x"h'(0)=l-k。

所以分k<l和k>l討論。

試題解析：(I)因?yàn)閒(x)=aex—x—1,所以f'(x)=aex—1,

當(dāng)aWO時(shí)，對(duì)VxeR,ff(x)=aex-l<0,

所以f(x)在是減函數(shù)，此時(shí)函數(shù)不存在極值,

所以函數(shù)f(x)沒(méi)有極值點(diǎn)；

當(dāng)a>0時(shí)，ff(x)=aex-1,令f'(x)=O,解得x=-lna,

若xe(—8,—lna),則f'(x)<0,所以f(x)在(-。,-Ina)上是減函數(shù),

若xe(—lna,+8),則f<x)>。,所以f(x)在(-Ina,+。)上是增函數(shù),

當(dāng)x=-Ina時(shí)，f(x)取得極小值為f(―Ina)=Ina,

函數(shù)f(x)有且僅有一個(gè)極小值點(diǎn)x=-Ina,

所以當(dāng)aWO時(shí)，f(x)沒(méi)有極值點(diǎn)，當(dāng)a>0時(shí)，f(x)有一個(gè)極小值點(diǎn).

(II)命題“Vxqo,+”)，f(x)?kg(x)”是假命題，貝!|“女式0,+8),f(x)<kg(x)”是真命題，即不等式

f(x)<kg(x)在區(qū)間［0,+。)內(nèi)有解.

若a=l,則設(shè)F(x)=f(x)-kg(x)=ex+kln(x+l)-(k+l)x-l,

所以F,x)=ex+忘-(k+1),設(shè)h(x)=e*+噩-(k+1),

k

則h［x)=ex—濡可，且h［x)是增函數(shù)，所以h'(x"h'(O)=l-k

當(dāng)kVl時(shí),h'(x)?O,所以h(x)在［0,+動(dòng)上是增函數(shù),

h(x)>h(O)=O,即F(x)“，所以F(x)在［0,+力)上是增函數(shù),

所以F(x)>F(O)=0,即f(x)Nkg(x)在xe［0,+8)上恒成立.

k

當(dāng)k>l時(shí)，因?yàn)閔'(x)=eX-gF『在［o,+⑹是增函數(shù)，

因?yàn)閔'(O)=l—k<0,h'(k—1)=ekl-->0,

k

所以h'(x)在(0,k—1)上存在唯一零點(diǎn)x°,

當(dāng)xe［O,Xo)時(shí)，h'(x)<h'(Xo)=O,h(x)在［OK。)上單調(diào)遞減,

從而h(x)Wh(O)=O,BpF(x)<0,所以F(x)在px。)上單調(diào)遞減,

所以當(dāng)xe(O,Xo)時(shí)，F(xiàn)(x)<F(0)=0,即f(x)<kg(x).

所以不等式f(x)<kg(x)在區(qū)間［0,+。)內(nèi)有解

綜上所述，實(shí)數(shù)k的取值范圍為(1,+").

20、(1)證明見解析；(2)工二

13

【解析】

(1)PC的中點(diǎn)E,連接E￡),ME,證明四邊形ADEM是平行四邊形可得AM//DE,故而A4//平面PC。；

(2)以A為原點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系，求出平面PC。的法向量加，計(jì)算MN與加的夾角的余弦值得出答案.

【詳解】

(1)證明：取PC的中點(diǎn)E，連接E。，ME,

M,E分別是P5,PC的中點(diǎn)，

:.MEIIBC,ME=-BC,

2

又AD//BC,AD^-BC,

2

:.AD//ME,AD=ME,

■■■四邊形ADEM是平行四邊形，J.DE//AM,

又DEu平面PCD,AMa平面PC。，

.1AM〃平面PCD.

(2)解：ZABC=90°,:.AB±BC,

又AD1BC,故ADLAB,

以A為原點(diǎn)，以A。，AB，AP為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z,

則A(O,0,0),0(1,0,0),2(0,2,0),P(0,0,2),C(2,2,0),

"是心的中點(diǎn)，N是。C的三等分點(diǎn),

：，。)，

1,1),

41

MN=(-9-1),PD=(190,-2),PC=(2,2,-2),

mPC-02x+2y—2z=0

設(shè)平面PC。的法向量為機(jī)=a，y,z),貝！?，即,

mPD=0[x-2z=0

令x=2可得加=(2,—1,1),

4,g]x(一l)+lx(_l)=2,

MN?m=—x2+

3

|m|=^22+(—l)2+12=瓜

MN?m2回

cos<MN,m>=

\MN\\m\13

???直線MN與平面PC。所成角的正弦值為叵.

13

【點(diǎn)睛】

本題考查了線面平行的判定，空間向量與直線與平面所成角的計(jì)算，屬于中檔題.

21、(1)e=-；(2)不存在，理由見解析

2

【解析】

(b-\

(1)寫出Ac,一，根據(jù)ADLAB,斜率乘積為-1,建立等量關(guān)系求解離心率;

IaJ

(2)寫出直線A5的方程，根據(jù)韋達(dá)定理求出點(diǎn)3的坐標(biāo)，計(jì)算出弦長(zhǎng)根據(jù)垂直關(guān)系同理可得|AC|,利用等

式01ABi=|AC|即可得解.

【詳解】

(b2}

(1)由題可得Ac,—,過(guò)點(diǎn)A作直線AC交橢圓E于點(diǎn)C,且直線AC交V軸于點(diǎn)D.

\aJ

b21、

點(diǎn)3為橢圓石的右頂點(diǎn)時(shí)，。的坐標(biāo)為0,——-a

I〃3

7

AB±AC即ADLAB,

b^_lb2

^AD^AB=T，a3aa

0-cc-a

化簡(jiǎn)得：2c2-3ac+a2=09

即2e2—3e+l=0,解得e=1或e=l（舍去）,

2

所以e=《；

2

（2）橢圓E的方程