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文檔簡(jiǎn)介
安徽省蒙城縣一中2024年高考數(shù)學(xué)三模試卷
考生須知:
1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色
字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。
2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。
3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。
一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.下邊程序框圖的算法源于我國(guó)古代的中國(guó)剩余定理.把運(yùn)算“正整數(shù)N除以正整數(shù)機(jī)所得的余數(shù)是“”記為
“N三”(modm)”,例如7三1(mod2).執(zhí)行該程序框圖,則輸出的“等于()
C.18D.19
2.函數(shù)y=sin|x|+*在無(wú)e[—2],2可上的大致圖象是()
3.數(shù)列{斯},滿足對(duì)任意的"GN+,均有“"+""+1+""+2為定直若。7=2,09=3,4198=4,則數(shù)殖所}的前100項(xiàng)的和5100=()
A.132B.299C.68D.99
4.在聲學(xué)中,聲強(qiáng)級(jí)£(單位:dB)由公式L=101g給出,其中/為聲強(qiáng)(單位:W/m2).Li=60dB,
4=75dB,那么,=()
443_3
A.6B.i(pC.——D.I。”
2
22
5.存在點(diǎn)/(/Do)在橢圓=+今=1(。〉人〉0)上,且點(diǎn)M在第一象限,使得過(guò)點(diǎn)M且與橢圓在此點(diǎn)的切線
a"b
=1垂直的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,-則橢圓離心率的取值范圍是(
)
a2b2
A.C.D.“J
6.以下三個(gè)命題:①在勻速傳遞的產(chǎn)品生產(chǎn)流水線上,質(zhì)檢員每10分鐘從中抽取一件產(chǎn)品進(jìn)行某項(xiàng)指標(biāo)檢測(cè),這樣
的抽樣是分層抽樣;②若兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng),則相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1;③對(duì)分類變量x與y的隨機(jī)
變量父的觀測(cè)值左來(lái)說(shuō),攵越小,判斷“X與F有關(guān)系”的把握越大;其中真命題的個(gè)數(shù)為()
A.3B.2C.1D.0
下列與函數(shù)y=J=定義域和單調(diào)性都相同的函數(shù)是(
7.)
yjx
,1
A.y=2log2B.y=logC-=log-D.
2I2X
8.已知a,b£R,3+cti=b—(2a—l)z,則()
A.b=3aB.b=6aC.b=9aD.b=12a
設(shè)左貝!!關(guān)于羽丁的方程(—左)]+丁左所表示的曲線是()
9.>1,122=2―1
A.長(zhǎng)軸在y軸上的橢圓B.長(zhǎng)軸在x軸上的橢圓
C.實(shí)軸在y軸上的雙曲線D.實(shí)軸在x軸上的雙曲線
10.已知平行于X軸的直線分別交曲線Iny=2x+Ly2=2x—1(”0)于A,B兩點(diǎn),則41ABi的最小值為()
A.5+ln2B.5—In2C.3+ln2D.3—In2
1/、71
11.已知a=(cosa,sina),b=(cos(-cif),sin(-cr)),那么。山=()是。=左萬(wàn)+(左£Z)的()
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
12.“幻方”最早記載于我國(guó)公元前500年的春秋時(shí)期《大戴禮》中.“〃階幻方("23,"cN*)”是由前二個(gè)正整數(shù)組
成的一個(gè)〃階方陣,其各行各列及兩條對(duì)角線所含的〃個(gè)數(shù)之和(簡(jiǎn)稱幻和)相等,例如“3階幻方”的幻和為15(如
圖所示).則“5階幻方”的幻和為()
E□□
□□
LZJLZJ□
A.75B.65C.55D.45
二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。
13.某高校組織學(xué)生辯論賽,六位評(píng)委為選手A成績(jī)打出分?jǐn)?shù)的莖葉圖如圖所示,若去掉一個(gè)最高分,去掉一個(gè)最低
分,則所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)與中位數(shù)的差為.
SI23S7
9|S8
14.在ABC中,角A的平分線交于。,BD=3,CD=2,貝!1ABC面積的最大值為
15.已知實(shí)數(shù)滿足。+應(yīng)=產(chǎn)193為虛數(shù)單位),則4+力的值為.
16.設(shè)=%+,則%=,
(4+4++???+苗0)——(q+/+。5+.??+/)的值為.
三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。
17.(12分)已知等差數(shù)列{%}滿足q=1,公差d>0,等比數(shù)列也}滿足偽=卬,d=g,4=%.
⑴求數(shù)列{叫,也}的通項(xiàng)公式;
(2)若數(shù)列{%}滿足£■+廣+(+…+廣=fl?+i,求匕}的前n項(xiàng)和S,.
4“2”34
18.(12分)如圖,四棱錐尸-A5CD,側(cè)面上4。是邊長(zhǎng)為2的正三角形,且與底面垂直,底面ABC。是NA5c=60的
菱形,M為棱PC上的動(dòng)點(diǎn),且正="4e[0,1]).
(I)求證:A/EC為直角三角形;
(H)試確定X的值,使得二面角P-AD-M的平面角余弦值為作叵.
5
p
19.(12分)已知aeR,函數(shù)/(x)=ae"—x—l,g(x)=x-ln(x+l)(e=2.71828是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(I)討論函數(shù)/(九)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù);
(II)若。=1,且命題“Vxe[0,+8),/(%)之依⑴”是假命題,求實(shí)數(shù)上的取值范圍.
20.(12分)如圖,在四棱錐尸—ABCD中,側(cè)棱?底面ABC。,AD//BC,AD=1,PA=AB=BC=2,M
是棱P5的中點(diǎn).
(1)求證:AM〃平面PC。;
(2)若/ABC=90,點(diǎn)N是線段CD上一點(diǎn),且。N=g。。,求直線MN與平面PC。所成角的正弦值.
21.(12分)已知橢圓E:一+]=1(?!?〉0)的右焦點(diǎn)為B,過(guò)工作%軸的垂線交橢圓E于點(diǎn)A(點(diǎn)A在x軸上
方),斜率為左僅<0)的直線交橢圓E于A,3兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)4作直線AC交橢圓E于點(diǎn)C,且ABLAC,直線AC交
V軸于點(diǎn)。.
/廿1)
(1)設(shè)橢圓E的離心率為e,當(dāng)點(diǎn)3為橢圓E的右頂點(diǎn)時(shí),。的坐標(biāo)為0,一--a,求e的值.
I〃3J
(2)若橢圓E的方程為:+9=1,且左<—,,是否存在人使得血|筋|=仙。成立?如果存在,求出左的值;
如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
22.(10分)為提供市民的健身素質(zhì),某市把AB,四個(gè)籃球館全部轉(zhuǎn)為免費(fèi)民用
(1)在一次全民健身活動(dòng)中,四個(gè)籃球館的使用場(chǎng)數(shù)如圖,用分層抽樣的方法從A5c。四場(chǎng)館的使用場(chǎng)數(shù)中依次
抽取區(qū),。2,。3,。4共25場(chǎng),在4,。2,。3,。4中隨機(jī)取兩數(shù),求這兩數(shù)和自的分布列和數(shù)學(xué)期望;
t場(chǎng)數(shù)
(2)設(shè)四個(gè)籃球館一個(gè)月內(nèi)各館使用次數(shù)之和為X,其相應(yīng)維修費(fèi)用為y元,根據(jù)統(tǒng)計(jì),得到如下表的數(shù)據(jù):
X10152025303540
y10000117611301013980147711544016020
y
z=0.1e屈+22.993.494.054.504.995.495.99
①用最小二乘法求Z與X的回歸直線方程;
②小叫做籃球館月惠值'根據(jù)①的結(jié)論'試估計(jì)這四個(gè)籃球館月惠值最大時(shí)X的值
_77__^(X,.-X)(Z,.-Z)
23
參考數(shù)據(jù)和公式:z=4.5,2(X,--x)=700,X(七一x)(Zj—z)=70,e=20/>=上—-----=-----,a^-bx
!=1,=1z(-
i=l
參考答案
一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1、B
【解析】
由已知中的程序框圖可知,該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量〃的值,模擬程序的運(yùn)行過(guò)程,代入四個(gè)選
項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證即可.
【詳解】
解:由程序框圖可知,輸出的數(shù)應(yīng)為被3除余2,被5除余2的且大于10的最小整數(shù).
若輸出〃=16,貝!J16三1(mod3)不符合題意,排除;
若輸出〃=17,則17三2(mod3),17三2(mod5),符合題意.
故選:B.
【點(diǎn)睛】
本題考查了程序框圖.當(dāng)循環(huán)的次數(shù)不多,或有規(guī)律時(shí),常采用循環(huán)模擬或代入選項(xiàng)驗(yàn)證的方法進(jìn)行解答.
2、D
【解析】
討論x的取值范圍,然后對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可判斷.
【詳解】
當(dāng)了之0時(shí),y=sinx+x,貝!]y'=cosx+l20,
所以函數(shù)在[0,2句上單調(diào)遞增,
令g(x)=cosx+l,貝?。輌'(x)=-sinx,
根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì),
當(dāng)工?0,句時(shí),g,(x)=-sinx<0,故切線的斜率變小,
當(dāng)句時(shí),g,(%)=-sin%>0,故切線的斜率變大,可排除A、B;
當(dāng)%<0時(shí),y=-sinx+x,貝?。輞'=-cosx+l20,
所以函數(shù)在[-2漢0]上單調(diào)遞增,
令/i(x)=-cos%+l,//(x)=sinx,
當(dāng)xe[—2肛一句時(shí),//(x)=sinx>0,故切線的斜率變大,
當(dāng)xe[-肛0]時(shí),/z,(x)=sinx<0,故切線的斜率變小,可排除C,
故選:D
【點(diǎn)睛】
本題考查了識(shí)別函數(shù)的圖像,考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義,屬于中檔題.
3、B
【解析】
由?!??!?1+4+2為定值,可得%+3=%,則{。“}是以3為周期的數(shù)列,求出即求Sg
【詳解】
對(duì)任意的“eN+,均有an+an+l+an+2為定值,
二(4+1+%+2+4+3)一(%+%+4+2)=。'
故4+3=4,
?..{為}是以3為周期的數(shù)列,
故=%=2,%=〃98=4,生=〃9=3,
S]QQ=(q+/+/)++(%7+%8+%9)+4()0=33(q++/)+q
=33(2+4+3)+2=299.
故選:B.
【點(diǎn)睛】
本題考查周期數(shù)列求和,屬于中檔題.
4、D
【解析】
由L=101g]焉[得lg/=^-12,分別算出人和A的值,從而得到)的值.
【詳解】
.?.£=10(lg/-lgl0-12)=10(lg/+12),
lg/=---12,
10
當(dāng)右=60時(shí),坨4="—12=?-12=—6,.?.4=10-6,
11010
T75
當(dāng)L,=75時(shí),lgA=」—12=——12=—4.5,.?.1,=1045,
21010
故選:D.
【點(diǎn)睛】
本小題主要考查對(duì)數(shù)運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.
5、D
【解析】
根據(jù)題意利用垂直直線斜率間的關(guān)系建立不等式再求解即可.
【詳解】
因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)V橢圓的切線方程為誓+*=1,所以切線的斜率為-",
abayQ
b
由.°2x、bj。=_「解得%=白<乩即尸<2°2,所以儲(chǔ)—。2<2C2,
22c
/Iay0)
故選:D
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了建立不等式求解橢圓離心率的問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題.
6、C
【解析】
根據(jù)抽樣方式的特征,可判斷①;根據(jù)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì),可判斷②;根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法和步驟,可判斷③.
【詳解】
①根據(jù)抽樣是間隔相同,且樣本間無(wú)明顯差異,故①應(yīng)是系統(tǒng)抽樣,即①為假命題;
②兩個(gè)隨機(jī)變量相關(guān)性越強(qiáng),則相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1;兩個(gè)隨機(jī)變量相關(guān)性越弱,則相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接
近于0;故②為真命題;
③對(duì)分類變量x與y的隨機(jī)變量K?的觀測(cè)值上來(lái)說(shuō),左越小,“X與y有關(guān)系”的把握程度越小,故③為假命題.
故選:c.
【點(diǎn)睛】
本題以命題的真假判斷為載體考查了抽樣方法、相關(guān)系數(shù)、獨(dú)立性檢驗(yàn)等知識(shí)點(diǎn),屬于基礎(chǔ)題.
7、c
【解析】
1
分析函數(shù)丁=丁的定義域和單調(diào)性,然后對(duì)選項(xiàng)逐一分析函數(shù)的定義域、單調(diào)性,由此確定正確選項(xiàng).
【詳解】
函數(shù)y在(0,+。)上為減函數(shù).
A選項(xiàng),〉=2庭2,的定義域?yàn)椋?,+8),在(0,+。)上為增函數(shù),不符合.
B選項(xiàng),j=log2Q^的定義域?yàn)镽,不符合.
C選項(xiàng),y=log2,的定義域?yàn)椋?,+8),在(0,+。)上為減函數(shù),符合.
D選項(xiàng),,=,的定義域?yàn)椋?,+8),不符合.
故選:C
【點(diǎn)睛】
本小題主要考查函數(shù)的定義域和單調(diào)性,屬于基礎(chǔ)題.
8、C
【解析】
兩復(fù)數(shù)相等,實(shí)部與虛部對(duì)應(yīng)相等.
【詳解】
由3+E=b—(2a-l)z,
3=b1
即,b=l.
a=1-2a
:?b=9a.
故選:C.
【點(diǎn)睛】
本題考查復(fù)數(shù)的概念,屬于基礎(chǔ)題.
9、C
【解析】
22
根據(jù)條件,方程(1—左)*+_/=左2-1.即T-----匚=1,結(jié)合雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征判斷曲線的類型.
7
'左2—1k+l
【詳解】
解:':k>\,:.l+k>0,k2-l>0,
22
方程(1—%)*+/=左2—i,即T-----匚=1,表示實(shí)軸在y軸上的雙曲線,
故選C.
【點(diǎn)睛】
本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征,依據(jù)條件把已知的曲線方程化為4——匚=1是關(guān)鍵.
上2—1k+1
10、A
【解析】
設(shè)直線為y=。(a>0),4>1,%)5(>2,%),用。表示出占,x2,求出41A3|,令/(a)="+2—lna,利用導(dǎo)數(shù)求出
單調(diào)區(qū)間和極小值、最小值,即可求出41ABi的最小值.
【詳解】
解:設(shè)直線為丁=。(?!?),4玉,%?(%2,%),則lna=2X]+l,.?.Xi=g(lna—1),
2i
而4滿足。2=2%-1,
那么41ABi=45_玉)=4=2(a2+2-lna)
-2_[(五、(五\
設(shè)/(。)=1+2—Ina,則廣二1,函數(shù)/(a)在0,一上單調(diào)遞減,在一,+s上單調(diào)遞增,
aI2JI2)
所以4|陰mm=2/(%m=2/圖=5+ln2
故選:A.
【點(diǎn)睛】
本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用:求單調(diào)區(qū)間和極值、最值,考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力,正確求導(dǎo)確定函數(shù)的最小值是關(guān)鍵,
屬于中檔題.
11、B
【解析】
由4必=0,可得cos2a=0,解出即可判斷出結(jié)論.
【詳解】
1
解:因?yàn)閍=(cosa,sina),/?=(cos(-a),sin(一。))且〃?/?=()
coscr?cos(—a)+sina^sm(-a)=cos2a-sin2a=cos2a=0.
2a=2左乃±—,解得a=k/r±—(kZ).
24
4必=0是1=左〃+—(左eZ)的必要不充分條件.
4
故選:B.
【點(diǎn)睛】
本題考查了向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、三角函數(shù)求值、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.
12、B
【解析】
計(jì)算1+2++25的和,然后除以5,得到“5階幻方”的幻和.
【詳解】
1+25
依題意“5階幻方”的幻和為1+2++252“,故選凡
55
【點(diǎn)睛】
本小題主要考查合情推理與演繹推理,考查等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式,屬于基礎(chǔ)題.
二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。
13、3
2
【解析】
先根據(jù)莖葉圖求出平均數(shù)和中位數(shù),然后可得結(jié)果.
【詳解】
1175
剩下的四個(gè)數(shù)為83,85,87,95,且這四個(gè)數(shù)的平均數(shù)元=,83+85+87+95)=5-,這四個(gè)數(shù)的中位數(shù)為
11753
-(85+87)=86,則所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)與中位數(shù)的差為《--86=].
【點(diǎn)睛】
本題主要考查莖葉圖的識(shí)別和統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算,側(cè)重考查數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).
14、15
【解析】
由角平分線定理得四=",利用余弦定理和三角形面積公式,借助三角恒等變化求出A6c面積的最大值.
ACCD
【詳解】
畫出圖形:
3x2x
B3Z)2c
因?yàn)?>=3,CD=2,由角平分線定理得任=.=2,
ACCD2
設(shè)AC=2x,Zft4c=2a,ae[o,1^,則AB=3x
由余弦定理得:52=4x2+9x2-2-3x-2x-cos2iz
25
即X2
13-12cos2a
1275sin2a
S^ABC=5.3x?2x?sin2。=3%-sin2a=
13-12cos2a
752tana
75x2sinacosa_1+tan2a
13-12x(cos2cif-sin2cif)1-tan2a
\'13—1Z-----------7—
1+tana
150-tandz150150
=15
2
1+25tana---+25tana2J-——25tana
tanaVtana
當(dāng)且僅當(dāng)一--=25tana,即tana='時(shí)取等號(hào)
tana5
所以A5C面積的最大值為15
故答案為:15
【點(diǎn)睛】
此題考查解三角形面積的最值問(wèn)題,通過(guò)三角恒等變形后利用均值不等式處理,屬于一般性題目.
15、-1
【解析】
由虛數(shù)單位i的性質(zhì)結(jié)合復(fù)數(shù)相等的條件列式求得〃,人的值,則答案可求.
【詳解】
解:由3=3z2=—1,z3=—i9i4=1
所以〃+方=嚴(yán)19=。4)504
得〃=0,b=—l.
...a+Z?=-1.
故答案為:-1.
【點(diǎn)睛】
本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查虛數(shù)單位i的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.
16、7201
【解析】
102
利用二項(xiàng)展開式(a+6)"的通式4+i=C:a"-'T/可求出出;4-(^2+%)=a0+alx+a:,x,+0mx根中的元=1,
X=—1得兩個(gè)式子,代入+。4+?,?+。10—(q+。3+,5+???+%)~可得結(jié)果.
【詳解】
利用二項(xiàng)式系數(shù)公式,(=。/0)葭2=720/,故g=720,
%+q+...+%。=("\/2+1)1°,%―%+a2—...+=("\/2—1>°,
故(+a。+%+???+q())—-(q+%+%+.,?+。9)
=(a0+t/j+...+tZjg)(a0-tZ]+a。_...+)=('\/2+11°(5/2_1)〔°=1,
故答案為:720;1.
【點(diǎn)睛】
本題考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式的應(yīng)用,考查賦值法,是基礎(chǔ)題.
三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。
17、⑴4=2〃—1,m;⑵S'=3\
【解析】
(1)由%=1,公差d〉0,有1,1+d,l+4d成等比數(shù)列,所以(l+d)2=lx(l+4d),解得d=2.進(jìn)而求出數(shù)列{4},
{2}的通項(xiàng)公式;
(2)當(dāng)”=1時(shí),由?=%,所以9=3,當(dāng)九.2時(shí),由?+?+『+…+}=4+1,?+?+?+…+戶=4,
''4偽b24bn偽4b3岫
可得C.=2-3"T,進(jìn)而求出前〃項(xiàng)和S..
【詳解】
解:(1)由題意知,4=1,公差d>0,有1,1+d,l+4d成等比數(shù)歹U,
所以(l+d)2=lx(l+4d),解得d=2.
所以數(shù)列{4,}的通項(xiàng)公式4=2〃-1.
數(shù)列也}的公比4=3,其通項(xiàng)公式么=3"T
⑵當(dāng)〃=1時(shí),由1k=%,所以13.
當(dāng)2時(shí),由,'+;+子+…+『=4+1,色+2+2+…
偽44bn偽bi2d.i
兩式相減得2=4+1-4,
b"
所以C.=2-3"T.
,f3,〃二1
故°=4
n[2-3n^,n>2
所以{%}的前〃項(xiàng)和S“=3+2x3+2x32+2x33+…+2X3”T
3X(1-3"T)「
=3+2—------=3",>2.
1-3n
又〃=1時(shí),SI=q=3l也符合上式,故S“=3".
【點(diǎn)睛】
本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念,通項(xiàng)公式,前〃項(xiàng)和公式的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí);考查運(yùn)算求解能力,方程思
想,分類討論思想,應(yīng)用意識(shí),屬于中檔題.
18、(1)見解析;(II)2=1.
【解析】
試題分析:(1)取AD中點(diǎn)。,連結(jié)OROC,以。為原點(diǎn),0C為X軸,OD為y軸,0尸為z軸,建立空間直角坐標(biāo)
系,利用向量法能證明A/ZC為直角三角形;(2)設(shè)M(a,b,c),由償=2(4e[0,1]),得M(后,0,6—百4),
求出平面AMD的法向量和平面PAD的法向量,,根據(jù)空間向量夾角余弦公式能求出結(jié)果.
試題解析:⑴取AO中點(diǎn)。,連結(jié)OROCAC,依題意可知ARM),AACD均為正三角形,所以O(shè)C,
又OCcOP=O,。。匚平面^^^^尸匚平面2。。,
所以AO,平面POC,
又PCu平面POC,所以ADLPC,
因?yàn)锽C//AD,所以5C,PC,即ZPCB=90,
從而AP3C為直角三角形.
(H)法一:由(I)可知尸。,"),又平面上4。,平面45。。,平面上4。平面ABCD=AO,
尸Ou平面上4。,所以尸01.平面ABCZ).
以。為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系O-孫z如圖所示,則
網(wǎng)0,0,百),4(0,-1,0),D(0,1,0),C(^,0,0),PC=(百,0—G)
由PM=XPC=2(百,0,-百)可得點(diǎn)M的坐標(biāo)(、后,0,G—四)
所以而=(6尢1,6_四),麗=(&,—1,上―后),
設(shè)平面M4O的法向量為〃=(x,yz),貝°,
'7n-DM=0
令z=/l,#ra=(2—1,0,2),
顯然平面PAD的一個(gè)法向量為OC=(73,0,0),
,.\n-OC173(2-1)126
依題意cos(〃,OC)=,=,J—=—,
11"II。。Q+._1)2.85
解得;1=!或幾=—1(舍去),
所以,當(dāng)4=2時(shí),二面角P—AD—M的余弦值為空.
35
法二:由(I)可知平面POC,所以
所以NPOAf為二面角P—AD—M的平面角,
即cos/POM=垣,
5
在ATOM中,sMNPOM=旦,PO=也,NOPM=三,
54
所以smZPMO=sin^ZPOM+
=sinZPOAfcos—+cosZPOAfsin—=,
4410
PMPOPM=G
由正弦定理可得----------=----------,即出3-J10
sinZPOMsinZPMO出任Y
510
解得PM=逅,
3
又PC7Po2+OC?=&,所以入=卷=;,
所以,當(dāng)4=工時(shí),二面角P—A£>—M的余弦值為35.
35
19、(1)當(dāng)aVO時(shí),/(九)沒(méi)有極值點(diǎn),當(dāng)a>0時(shí),/(九)有一個(gè)極小值點(diǎn).⑵(L+?)
【解析】
試題分析:(1)f'(x)=ae'、一1,分aWO,a>0討論,當(dāng)aWO時(shí),對(duì)VxeR,f,(x)=aeA-l<0,當(dāng)a>0時(shí)
f'(x)=0,解得x=—Ina,f(x)在(—a,—Ina)上是減函數(shù),在(—Ina,+“)上是增函數(shù)。所以,當(dāng)aWO時(shí),f(x)沒(méi)
有極值點(diǎn),當(dāng)a>0時(shí),f(x)有一個(gè)極小值點(diǎn).⑵原命題為假命題,則逆否命題為真命題。即不等式f(x)<kg(x)
在區(qū)間[0,+“)內(nèi)有解。設(shè)F(x)=f(x)—kg(x)=ex+kln(x+l)-(k+l)x-l,所以F(x)=eX+-
ik
-(k+1),設(shè)h(x)=ex-(k+1),則h'(x)=ex—3了,且h'(x)是增函數(shù),所以h'(x"h'(0)=l-k。
所以分k<l和k>l討論。
試題解析:(I)因?yàn)閒(x)=aex—x—1,所以f'(x)=aex—1,
當(dāng)aWO時(shí),對(duì)VxeR,ff(x)=aex-l<0,
所以f(x)在是減函數(shù),此時(shí)函數(shù)不存在極值,
所以函數(shù)f(x)沒(méi)有極值點(diǎn);
當(dāng)a>0時(shí),ff(x)=aex-1,令f'(x)=O,解得x=-lna,
若xe(—8,—lna),則f'(x)<0,所以f(x)在(-。,-Ina)上是減函數(shù),
若xe(—lna,+8),則f<x)>。,所以f(x)在(-Ina,+。)上是增函數(shù),
當(dāng)x=-Ina時(shí),f(x)取得極小值為f(―Ina)=Ina,
函數(shù)f(x)有且僅有一個(gè)極小值點(diǎn)x=-Ina,
所以當(dāng)aWO時(shí),f(x)沒(méi)有極值點(diǎn),當(dāng)a>0時(shí),f(x)有一個(gè)極小值點(diǎn).
(II)命題“Vxqo,+”),f(x)?kg(x)”是假命題,貝!|“女式0,+8),f(x)<kg(x)”是真命題,即不等式
f(x)<kg(x)在區(qū)間[0,+。)內(nèi)有解.
若a=l,則設(shè)F(x)=f(x)-kg(x)=ex+kln(x+l)-(k+l)x-l,
所以F,x)=ex+忘-(k+1),設(shè)h(x)=e*+噩-(k+1),
k
則h[x)=ex—濡可,且h[x)是增函數(shù),所以h'(x"h'(O)=l-k
當(dāng)kVl時(shí),h'(x)?O,所以h(x)在[0,+動(dòng)上是增函數(shù),
h(x)>h(O)=O,即F(x)“,所以F(x)在[0,+力)上是增函數(shù),
所以F(x)>F(O)=0,即f(x)Nkg(x)在xe[0,+8)上恒成立.
k
當(dāng)k>l時(shí),因?yàn)閔'(x)=eX-gF『在[o,+⑹是增函數(shù),
因?yàn)閔'(O)=l—k<0,h'(k—1)=ekl-->0,
k
所以h'(x)在(0,k—1)上存在唯一零點(diǎn)x°,
當(dāng)xe[O,Xo)時(shí),h'(x)<h'(Xo)=O,h(x)在[OK。)上單調(diào)遞減,
從而h(x)Wh(O)=O,BpF(x)<0,所以F(x)在px。)上單調(diào)遞減,
所以當(dāng)xe(O,Xo)時(shí),F(xiàn)(x)<F(0)=0,即f(x)<kg(x).
所以不等式f(x)<kg(x)在區(qū)間[0,+。)內(nèi)有解
綜上所述,實(shí)數(shù)k的取值范圍為(1,+").
20、(1)證明見解析;(2)工二
13
【解析】
(1)PC的中點(diǎn)E,連接E£),ME,證明四邊形ADEM是平行四邊形可得AM//DE,故而A4//平面PC。;
(2)以A為原點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系,求出平面PC。的法向量加,計(jì)算MN與加的夾角的余弦值得出答案.
【詳解】
(1)證明:取PC的中點(diǎn)E,連接E。,ME,
M,E分別是P5,PC的中點(diǎn),
:.MEIIBC,ME=-BC,
2
又AD//BC,AD^-BC,
2
:.AD//ME,AD=ME,
■■■四邊形ADEM是平行四邊形,J.DE//AM,
又DEu平面PCD,AMa平面PC。,
.1AM〃平面PCD.
(2)解:ZABC=90°,:.AB±BC,
又AD1BC,故ADLAB,
以A為原點(diǎn),以A。,AB,AP為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z,
則A(O,0,0),0(1,0,0),2(0,2,0),P(0,0,2),C(2,2,0),
"是心的中點(diǎn),N是。C的三等分點(diǎn),
:,。),
1,1),
41
MN=(-9-1),PD=(190,-2),PC=(2,2,-2),
mPC-02x+2y—2z=0
設(shè)平面PC。的法向量為機(jī)=a,y,z),貝!?,即,
mPD=0[x-2z=0
令x=2可得加=(2,—1,1),
4,g]x(一l)+lx(_l)=2,
MN?m=—x2+
3
|m|=^22+(—l)2+12=瓜
MN?m2回
cos<MN,m>=
\MN\\m\13
???直線MN與平面PC。所成角的正弦值為叵.
13
【點(diǎn)睛】
本題考查了線面平行的判定,空間向量與直線與平面所成角的計(jì)算,屬于中檔題.
21、(1)e=-;(2)不存在,理由見解析
2
【解析】
(b-\
(1)寫出Ac,一,根據(jù)ADLAB,斜率乘積為-1,建立等量關(guān)系求解離心率;
IaJ
(2)寫出直線A5的方程,根據(jù)韋達(dá)定理求出點(diǎn)3的坐標(biāo),計(jì)算出弦長(zhǎng)根據(jù)垂直關(guān)系同理可得|AC|,利用等
式01ABi=|AC|即可得解.
【詳解】
(b2}
(1)由題可得Ac,—,過(guò)點(diǎn)A作直線AC交橢圓E于點(diǎn)C,且直線AC交V軸于點(diǎn)D.
\aJ
b21、
點(diǎn)3為橢圓石的右頂點(diǎn)時(shí),。的坐標(biāo)為0,——-a
I〃3
7
AB±AC即ADLAB,
b^_lb2
^AD^AB=T,a3aa
0-cc-a
化簡(jiǎn)得:2c2-3ac+a2=09
即2e2—3e+l=0,解得e=1或e=l(舍去),
2
所以e=《;
2
(2)橢圓E的方程
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