新人教版高中物理必修第二冊學(xué)案：6.3　向心加速度

新人教版高中物理必修第二冊PAGEPAGE13向心加速度[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.理解向心加速度的概念.2.知道向心加速度和線速度、角速度的關(guān)系式.3.能夠運(yùn)用向心加速度公式求解有關(guān)問題.一、勻速圓周運(yùn)動(dòng)的加速度方向1.定義：物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度總指向圓心，這個(gè)加速度叫作向心加速度.2.向心加速度的作用：向心加速度的方向總是與速度方向垂直，故向心加速度只改變速度的方向，不改變速度的大小.二、勻速圓周運(yùn)動(dòng)的加速度大小1.向心加速度公式an＝eq\f(v2,r)或an＝ω2r.2.向心加速度的公式既適用于勻速圓周運(yùn)動(dòng)，也適用于非勻速圓周運(yùn)動(dòng).1.判斷下列說法的正誤.(1)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體的加速度一定不為0.(√)(2)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的加速度始終不變.(×)(3)勻速圓周運(yùn)動(dòng)是勻變速運(yùn)動(dòng).(×)(4)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度的方向時(shí)刻指向圓心，大小不變.(√)(5)根據(jù)an＝eq\f(v2,r)知向心加速度an與半徑r成反比.(×)(6)根據(jù)an＝ω2r知向心加速度an與半徑r成正比.(×)2.在長0.2m的細(xì)繩的一端系一小球，繩的另一端固定在水平桌面上，使小球以大小為0.6m/s的線速度在桌面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則小球運(yùn)動(dòng)的角速度為______，向心加速度大小為______.答案3rad/s1.8m/s2解析角速度ω＝eq\f(v,r)＝eq\f(0.6,0.2)rad/s＝3rad/s，小球運(yùn)動(dòng)的向心加速度大小an＝eq\f(v2,r)＝eq\f(0.62,0.2)m/s2＝1.8m/s2.一、向心加速度及其方向?qū)W(xué)探究如圖1甲所示，地球繞太陽做勻速圓周運(yùn)動(dòng)(近似的)；如圖乙所示，光滑桌面上一個(gè)小球在細(xì)線的牽引下繞桌面上的圖釘做勻速圓周運(yùn)動(dòng).圖1(1)分析地球和小球的受力情況，說明地球和小球的加速度方向；(2)地球和小球加速度的作用是什么？(3)地球和小球的加速度方向變化嗎？勻速圓周運(yùn)動(dòng)是一種什么性質(zhì)的運(yùn)動(dòng)呢？答案(1)地球只受到太陽引力作用，方向指向圓心，加速度方向指向圓心.小球受到重力、支持力、拉力作用，合力指向圓心，故加速度的方向指向圓心.(2)由于加速度的方向指向圓心，故加速度只改變速度的方向，不改變速度的大小.(3)由于地球和小球的加速度總是沿半徑指向圓心，故加速度方向是變化的.勻速圓周運(yùn)動(dòng)是一種變加速曲線運(yùn)動(dòng).知識深化對向心加速度及其方向的理解1.向心加速度的方向：總指向圓心，方向時(shí)刻改變.2.向心加速度的作用：向心加速度的方向總是與速度方向垂直，故向心加速度只改變速度的方向，不改變速度的大小.3.圓周運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)：不論向心加速度an的大小是否變化，其方向時(shí)刻改變，所以圓周運(yùn)動(dòng)的加速度時(shí)刻發(fā)生變化，圓周運(yùn)動(dòng)是變加速曲線運(yùn)動(dòng).4.變速圓周運(yùn)動(dòng)的加速度并不指向圓心，該加速度有兩個(gè)分量：一是向心加速度，二是切向加速度.向心加速度描述速度方向變化的快慢，切向加速度描述速度大小變化的快慢，所以變速圓周運(yùn)動(dòng)中，向心加速度的方向也總是指向圓心.下列關(guān)于向心加速度的說法中正確的是()A.向心加速度表示做圓周運(yùn)動(dòng)的物體速率改變的快慢B.向心加速度的方向不一定指向圓心C.向心加速度描述線速度方向變化的快慢D.勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度不變答案C解析做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體速率不變，向心加速度只改變速度的方向，A錯(cuò)誤；向心加速度的方向總是沿著圓周運(yùn)動(dòng)軌跡的半徑指向圓心，B錯(cuò)誤；向心加速度描述線速度方向變化的快慢，C正確；向心加速度的方向是變化的，D錯(cuò)誤.二、向心加速度的大小1.向心加速度公式(1)基本公式：①an＝eq\f(v2,r)；②an＝ω2r.(2)拓展公式：①an＝eq\f(4π2,T2)r；②an＝4π2n2r＝4π2f2r；③an＝ωv.2.向心加速度公式的適用范圍向心加速度公式不僅適用于勻速圓周運(yùn)動(dòng)，也適用于非勻速圓周運(yùn)動(dòng)，v即為那一位置的線速度圓心.3.向心加速度與半徑的關(guān)系(如圖2所示)圖2如圖3所示，一球體繞軸O1O2以角速度ω勻速旋轉(zhuǎn)，A、B為球體表面上兩點(diǎn)，下列幾種說法中正確的是()圖3A.A、B兩點(diǎn)具有相同的角速度B.A、B兩點(diǎn)具有相同的線速度C.A、B兩點(diǎn)的向心加速度的方向都指向球心D.A、B兩點(diǎn)的向心加速度大小之比為2∶1答案A解析A、B為球體表面上兩點(diǎn)，因此，A、B兩點(diǎn)的角速度與球體繞軸O1O2旋轉(zhuǎn)的角速度相同，A正確；如圖所示，A以P為圓心做圓周運(yùn)動(dòng)，B以Q為圓心做圓周運(yùn)動(dòng)，因此，A、B兩點(diǎn)的向心加速度方向分別指向P、Q，C錯(cuò)誤；設(shè)球的半徑為R，則A運(yùn)動(dòng)的半徑rA＝Rsin60°，B運(yùn)動(dòng)的半徑rB＝Rsin30°，eq\f(vA,vB)＝eq\f(ωrA,ωrB)＝eq\f(sin60°,sin30°)＝eq\r(3)，B錯(cuò)誤；eq\f(aA,aB)＝eq\f(ω2rA,ω2rB)＝eq\r(3)，D錯(cuò)誤.(2019·大同一中期中)如圖4所示的皮帶傳動(dòng)裝置中，甲輪的軸和乙、丙輪的軸均為水平軸，其中，甲、丙兩輪半徑相等，乙輪半徑是丙輪半徑的一半.A、B、C三點(diǎn)分別是甲、乙、丙三輪邊緣上的點(diǎn)，若傳動(dòng)中皮帶不打滑，則()圖4A.A、B兩點(diǎn)的線速度大小之比為2∶1B.B、C兩點(diǎn)的角速度之比為1∶2C.A、B兩點(diǎn)的向心加速度大小之比為2∶1D.A、C兩點(diǎn)的向心加速度大小之比為1∶4答案D解析傳動(dòng)中皮帶不打滑，則A、B兩點(diǎn)的線速度大小相等，故vA＝vB，則vA∶vB＝1∶1，A錯(cuò)誤；B、C兩點(diǎn)繞同一軸轉(zhuǎn)動(dòng)，故B、C兩點(diǎn)的角速度相等，ωB＝ωC，則ωB∶ωC＝1∶1，故B錯(cuò)誤；由于A、B兩點(diǎn)的線速度大小相等，半徑之比為2∶1，由an＝eq\f(v2,R)可知A、B兩點(diǎn)的向心加速度大小之比為aA∶aB＝RB∶RA＝1∶2，C錯(cuò)誤；由于B、C兩點(diǎn)的角速度相等，由an＝ω2R可知B、C兩點(diǎn)的向心加速度大小之比為aB∶aC＝RB∶RC＝1∶2，又aA∶aB＝1∶2，所以aA∶aC＝1∶4，故D正確.向心加速度公式的應(yīng)用技巧向心加速度的每一個(gè)公式都涉及三個(gè)物理量的變化關(guān)系，必須在某一物理量不變時(shí)分析另外兩個(gè)物理量之間的關(guān)系.(1)先確定各點(diǎn)是線速度大小相等，還是角速度相同.(2)在線速度大小相等時(shí)，向心加速度與半徑成反比，在角速度相同時(shí)，向心加速度與半徑成正比.針對訓(xùn)練(2019·深圳中學(xué)期中)如圖5所示，自行車的小齒輪A、大齒輪B、后輪C是相互關(guān)聯(lián)的三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)部分，且半徑RB＝4RA、RC＝8RA，當(dāng)自行車懸空，大齒輪B帶動(dòng)后輪勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，A、B、C三輪邊緣的向心加速度的大小之比aA∶aB∶aC等于()圖5A.1∶1∶8 B.4∶1∶4C.4∶1∶32 D.1∶2∶4答案C解析小齒輪A和大齒輪B通過鏈條連接，邊緣線速度大小相等，即vA＝vB，小齒輪A和后輪C同軸轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度相等，有ωA＝ωC，由向心加速度大小an＝eq\f(v2,R)可得aA∶aB＝RB∶RA＝4∶1；由向心加速度大小an＝ω2R可得aA∶aC＝RA∶RC＝1∶8，所以aA∶aB∶aC＝4∶1∶32，選項(xiàng)C正確.1.(向心加速度公式的理解)關(guān)于做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，下列說法中正確的是()A.由an＝eq\f(v2,r)可知，an與r成反比B.由an＝ω2r可知，an與r成正比C.由v＝ωr可知，ω與r成反比D.由ω＝2πf可知，ω與f成正比答案D2.(向心加速度公式的理解)(多選)(2019·長豐二中高一下學(xué)期期末)甲、乙兩物體都在做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，下列情況下，關(guān)于向心加速度的說法正確的是()A.當(dāng)它們的角速度相等時(shí)，乙的線速度小則乙的向心加速度小B.當(dāng)它們的周期相等時(shí)，甲的半徑大則甲的向心加速度大C.當(dāng)它們的線速度相等時(shí)，乙的半徑小則乙的向心加速度小D.當(dāng)它們的線速度相等時(shí)，在相同的時(shí)間內(nèi)甲與圓心的連線轉(zhuǎn)過的角度比乙的大，則甲的向心加速度比乙的小答案AB解析角速度相等，乙的線速度小，根據(jù)公式an＝vω，可知甲的向心加速度大于乙的向心加速度，故A正確；周期相等，甲的半徑大，根據(jù)公式an＝(eq\f(2π,T))2r，可知甲的向心加速度大于乙的向心加速度，故B正確；線速度相等，乙的半徑小，根據(jù)公式an＝eq\f(v2,r)，可知甲的向心加速度小于乙的向心加速度，故C錯(cuò)誤；線速度相等，在相同的時(shí)間內(nèi)甲與圓心的連線轉(zhuǎn)過的角度比乙的大，即甲的角速度大，根據(jù)公式an＝ωv，可知甲的向心加速度大于乙的向心加速度，故D錯(cuò)誤.3.(向心加速度的計(jì)算)(2019·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)期中)某變速箱中有甲、乙、丙三個(gè)齒輪，如圖6所示，其半徑分別為r1、r2、r3，若甲輪勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω，三個(gè)輪相互不打滑，則丙輪邊緣上各點(diǎn)的向心加速度大小為()圖6A.eq\f(r\o\al(2,1)ω2,r3) B.eq\f(r\o\al(2,3)ω2,r1)C.eq\f(r\o\al(3,3)ω2,r\o\al(2,1)) D.eq\f(r1r2ω2,r3)答案A解析三個(gè)輪相互不打滑，則甲、丙邊緣的線速度大小相等，根據(jù)an＝eq\f(v2,r)和an＝ω2r，可得a丙＝eq\f(a甲r1,r3)＝eq\f(r\o\al(2,1)ω2,r3)，故A正確.4.(向心加速度的計(jì)算)(多選)(2019·遂寧市高一下學(xué)期期末)如圖7所示，小球A用輕質(zhì)細(xì)線拴著在水平面內(nèi)做半徑為R的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)小球A運(yùn)動(dòng)到左側(cè)時(shí)，在小球A的正上方高度為R處的小球B水平飛出，飛出時(shí)的速度大小為eq\r(Rg).不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g，要使小球A在運(yùn)動(dòng)一周的時(shí)間內(nèi)能與小球B相碰，則小球A的向心加速度大小可能為()圖7A.eq\f(π2g,8) B.eq\f(π2g,4)C.eq\f(7π2g,4) D.eq\f(9π2g,8)答案AD解析B做平拋運(yùn)動(dòng)，在豎直方向上有：R＝eq\f(1,2)gt2，得：t＝eq\r(\f(2R,g))，則水平方向的位移為x＝v0t＝eq\r(gR)