福建省尤溪一中2024屆高三年級下冊聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含解析

福建省尤溪一中2024屆高三下學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2.答題時請按要求用筆。

3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知圓G：(x—I)?+(y+l)2=1,圓C?：(x—4產(chǎn)+(y—5)2=9,點M、N分別是圓G、圓上的動點，P

為x軸上的動點，貝!—的最大值是()

A.2逐+4B.9C.7D.275+2

2.在直角坐標(biāo)平面上，點P(龍M的坐標(biāo)滿足方程好-2%+丁=0,點。(。力)的坐標(biāo)滿足方程

后+〃+64—85+24=0則^的取值范圍是()

x-a

-4-幣-4+近.16-址6+77

C.-3,—D.

-3~3-33'3

3.設(shè)非零向量a,b，C,滿足|刈=2,|。|=1,且人與。的夾角為。，則“由—為=6”是“6=：”的().

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

r2

4.若雙曲線C：—-y2=1的一條漸近線方程為3%+2丁=0,則切=()

m

493

A.B.C.

9432

5.若x￡(0,1),a=lnx,，c=elnx,則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.b>c>aB.c>b>aC.a>b>cD.b>a>c

6.設(shè)。，瓦廠分別為AA5C的三邊3C,C4,A5的中點，則班+尸C=()

A.|ADB.ADC.BCD.|BC

2

7.雙曲線乙=1的漸近線方程為()

2

A.>=土—XB.y=±xC.y—+y/2xD.y=+y/3x

8.如圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額V(單位：億元)的折線圖.則下列結(jié)論中表述不正確的是()

額

240

220

200

18⑻0

140

120

100

80

60

40

20

A.從2000年至2016年，該地區(qū)環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額逐年增加；

B.2011年該地區(qū)環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施的投資額比2000年至2004年的投資總額還多；

C.2012年該地區(qū)基礎(chǔ)設(shè)施的投資額比2004年的投資額翻了兩番；

D.為了預(yù)測該地區(qū)2019年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)(時間變量t的值依次為1，2,…，7)

建立了投資額y與時間變量t的線性回歸模型5=99+173,根據(jù)該模型預(yù)測該地區(qū)2019的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額為

256.5億元.

9.已知(x+a)5展開式的二項式系數(shù)和與展開式中常數(shù)項相等，則爐項系數(shù)為()

A.10B.32C.40D.80

10.正AABC的邊長為2,將它沿邊上的高AD翻折，使點3與點。間的距離為出，此時四面體A-的外

接球表面積為()

107113萬

A.------B.4TTC.------D.77r

33

2

11.設(shè)2=——+(1+Z)2(i是虛數(shù)單位)，則|Z|=()

1+Z

A.72B.1C.2D.75

12.已知函數(shù)/(x)=loga(|x-2|-a)(a〉0,且awl),則“/(x)在(3,+s)上是單調(diào)函數(shù)”是“0<a<1"的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

-3x-2y+4>0,

13.設(shè)x,V滿足約束條件x+4y+620,,則z=必+寸的最大值為.

x-2<0,

14.一個四面體的頂點在空間直角坐標(biāo)系。-孫z中的坐標(biāo)分別是A(0,0,0)，8(6,0,0),C(0』,0),。(右,1,君),

則該四面體的外接球的體積為.

__1

15.已知直角坐標(biāo)系中起點為坐標(biāo)原點的向量a/滿足|。|=|切=1,且。為=5，c=1=(〃/—〃)，存

在a力，對于任意的實數(shù)以“，不等式|a-c|+|。-d|?T,則實數(shù)T的取值范圍是.

16.已知半徑為4的球面上有兩點-球心為O,若球面上的動點C滿足二面角-_的大小

為W…J,則四面體--------的外接球的半徑為_________.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知直線4：y=x+b與拋物線C:y2=2px(p>0)切于點尸，直線2%-2加、一m+1=0過定點Q,

且拋物線C上的點到點Q的距離與其到準(zhǔn)線距離之和的最小值為?.

2

(1)求拋物線。的方程及點尸的坐標(biāo)；

(2)設(shè)直線4與拋物線C交于(異于點P)兩個不同的點A、B,直線9，EB的斜率分別為匕、匕，那么是否存在實

數(shù)X，使得左+七=%?若存在，求出彳的值；若不存在，請說明理由.

18.(12分)甲、乙、丙三名射擊運動員射中目標(biāo)的概率分別為1,a,a(0<4<1),三人各射擊一次，擊中目標(biāo)的次

數(shù)記為

(1)求4的分布列及數(shù)學(xué)期望；

(2)在概率PC=i)(i=0,1,2,3)中，若PC=1)的值最大，求實數(shù)。的取值范圍.

22

19.(12分)已知橢圓C：=+[=l(a〉6〉0)的左焦點為F,上頂點為A,直線AF與直線x+y-3&=0垂直,

礦b~

垂足為B,且點A是線段BF的中點.

(I)求橢圓C的方程；

(II)若M,N分別為橢圓C的左，右頂點，P是橢圓C上位于第一象限的一點，直線MP與直線％=4交于點Q,

且MP-NQ=9,求點P的坐標(biāo).

20.(12分)在/A5C中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知2ccos3=2a—6,

(I)求NC的大??；

(II)若CA-gcB=2,求AABC面積的最大值.

27r5

21.(12分)如圖，在平面四邊形ABC。中，ND=—,sinZBAC=cosZB=—,AB=13.

313

D

(1)求AC；

(2)求四邊形ABC。面積的最大值.

22.（10分）如圖，在三棱柱A3C—A用G中，A3,平面ABC,AB±AC,且AB=AC=A5=2.

(1)求棱A/與所成的角的大?。?/p>

(2)在棱4G上確定一點尸，使二面角P-A5-4的平面角的余弦值為寺.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、B

【解析】

試題分析：圓G：(x-l)2+(y+l)2=l的圓心E(1，T)，半徑為1,圓—4)2+(y—5)2=9的圓心/(4,5),半徑

是3.要使歸N|-|尸河|最大,需|PN|最大，且1PM最小，|PN|最大值為戶司+3,|PA1|的最小值為|尸耳-1,故

IPN|—|最大值是(|PF|+3)-(|PE|-l)=|PF|-|P￡|+4；尸(4,5)關(guān)于x軸的對稱點尸(4,—5),

|p同—歸耳=|p戶I-|PE|<\EF'\=7(4-I)2+(-5+1)2=5,故歸耳—歸耳+4的最大值為5+4=9,故選B.

考點：圓與圓的位置關(guān)系及其判定.

【思路點睛】先根據(jù)兩圓的方程求出圓心和半徑，要使尸Ml最大，需|PN|最大，且最小，|PN|最大值

為歸刊+3,歸網(wǎng)的最小值為—故|產(chǎn)川—戶叫最大值是（怛m+3）—（|PE|-l）=|PF|—|PE|+4,再利用對稱

性，求出所求式子的最大值.

2、B

【解析】

由點P（羽y）的坐標(biāo)滿足方程/-2》+/=0,可得p在圓（%—1『+丁=1上，由。（上外坐標(biāo)滿足方程

/+/+6〃—83+24=0,可得。在圓（龍+3）2+（丁—4）2=1上，則三=（°求出兩圓內(nèi)公切線的斜率，利用數(shù)

形結(jié)合可得結(jié)果.

【詳解】

V

點P（羽y）的坐標(biāo)滿足方程公-2x+y=o,

在圓（X-1）2+y2=］上，

Q（a,b）在坐標(biāo)滿足方程〃+/+6a—8b+24=0,

??.Q在圓（龍+3）2+（y—4）2=1上，

則T=左作出兩圓的圖象如圖，

x-a

設(shè)兩圓內(nèi)公切線為AB與CD,

由圖可知七B＜原°〈左CD，

設(shè)兩圓內(nèi)公切線方程為y=kx+m,

|^+m|]

J1+左2

則

|—3A:+m—4|

圓心在內(nèi)公切線兩側(cè)，％+m=—（―3左+加—4）,

|A;+m||2左+2|

可得〃7=左+2,；―.-=—,-=1,

1+k21+k2

化為3左2+8左+3=0，kJ士近

3

即左J-5-4+V7

1^AB3，CD3

-4-A/7<y-6-4+A/7

=2^^

3x-a

T的取值范圍-4一-X/T'-4+y/j

,故選B.

x-a33

【點睛】

本題主要考查直線的斜率、直線與圓的位置關(guān)系以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于綜合題.數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)量與圖形

之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法，尤其在解決選擇題、填空題時發(fā)揮著

奇特功效，大大提高了解題能力與速度.運用這種方法的關(guān)鍵是運用這種方法的關(guān)鍵是正確作出曲線圖象，充分利用數(shù)

形結(jié)合的思想方法能夠使問題化難為簡，并迎刃而解.

3、C

【解析】

利用數(shù)量積的定義可得。，即可判斷出結(jié)論.

【詳解】

解：\b—a\=V3，?-b2+a2—2a?b=3,22+1—2x2x1xcos0=3>

1萬

解得cos￡=—,6日0,如，解得6=—,

23

???u\b-a\=43”是“夕=（"的充分必要條件.

故選：C.

【點睛】

本題主要考查平面向量數(shù)量積的應(yīng)用，考查推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

4、A

【解析】

根據(jù)雙曲線的漸近線列方程，解方程求得加的值.

【詳解】

由題意知雙曲線的漸近線方程為7=土表》("，〉0),3x+2y=0可化為y=—|x,則*=g,解得機=：

故選：A

【點睛】

本小題主要考查雙曲線的漸近線，屬于基礎(chǔ)題.

5、A

【解析】

利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接求解.

【詳解】

VxG(0,1),

'.a—lnx<0,

b—(—),nx>(—)。=1,

22

0<c=eZni<e°=l,

:.a,b,c的大小關(guān)系為b>c>a.

故選：A.

【點睛】

本題考查三個數(shù)的大小的判斷，考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

6、B

【解析】

根據(jù)題意,畫出幾何圖形，根據(jù)向量加法的線性運算即可求解.

【詳解】

根據(jù)題意,可得幾何關(guān)系如下圖所示：

A

E

F,

BDc

EB=-1（BC+JBA）,FC=-1（CB+CA）

EB+FC=-1（JBC+JBA）-1（CB+C4）

=-AB+-AC=AD

22

故選:B

【點睛】

本題考查了向量加法的線性運算，屬于基礎(chǔ)題.

7、C

【解析】

根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可寫出漸近線方程.

【詳解】

2

雙曲線乙=1,

2

二雙曲線的漸近線方程為y=±V2x,

故選：C

【點睛】

本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，屬于容易題.

8、D

【解析】

根據(jù)圖像所給的數(shù)據(jù)，對四個選項逐一進行分析排除，由此得到表述不正確的選項.

【詳解】

對于A選項，由圖像可知，投資額逐年增加是正確的.對于3選項，2000-2004投資總額為

11+19+25+35+37=127億元，小于2012年的148億元，故描述正確.2004年的投資額為37億，翻兩翻得到

37x4=148,故描述正確.對于。選項，令r=10代入回歸直線方程得99+17.5x10=274億元，故。選項描述不正

確.所以本題選D.

【點睛】

本小題主要考查圖表分析能力，考查利用回歸直線方程進行預(yù)測的方法，屬于基礎(chǔ)題.

9,D

【解析】

根據(jù)二項式定理通項公式4+1=可得常數(shù)項，然后二項式系數(shù)和，可得。，最后依據(jù)刀+1=。：//-,可得

結(jié)果.

【詳解】

r5r

由題可知：Tr+l=qxa-

當(dāng)r=0時，常數(shù)項為（=爐

又（*+。丫展開式的二項式系數(shù)和為25

由a，=2,=＞。=2

所以25f

當(dāng)r=2時，7；=C；X223=80X2

所以犬項系數(shù)為80

故選：D

【點睛】

本題考查二項式定理通項公式，熟悉公式，細(xì)心計算，屬基礎(chǔ)題.

10、D

【解析】

如圖所示，設(shè)AD的中點為。2，AfiCD的外接圓的圓心為。-四面體A-BCD的外接球的球心為。，連接

利用正弦定理可得。利用球心的性質(zhì)和線面垂直的性質(zhì)可得四邊形為平行四邊形，

OOVOO2,OD,a=1,

最后利用勾股定理可求外接球的半徑，從而可得外接球的表面積.

【詳解】

A

如圖所示，設(shè)AD的中點為。2，ABCD外接圓的圓心為。-四面體A-BCD的外接球的球心為。，連接

OO^OO^OD,則平面5C。，OO21AD.

2—31

因為CD=BD=LBC=6,故cosNBDC=------=一一，

2x1x12

977-

因為N5DC￡（0,?）,故N5OC=§.

I-

由正弦定理可得2001=—^3=2,故。旦=1,又因為AD=6,故。Q=1@.

sin——2

3

因為40，。8,40，。,。3門8=0,故AO,平面BCD,所以O(shè)OJ/A。，

因為AD,平面5C。，。。1U平面5C。，故A。，。。［，故OQ〃D°I，

所以四邊形OQDQ為平行四邊形，所以oq=。。2=#，

所以。。=、3二=且，故外接球的半徑為立，外接球的表面積為4%XZ=7TT.

V4224

故選：D.

【點睛】

本題考查平面圖形的折疊以及三棱錐外接球表面積的計算，還考查正弦定理和余弦定理，折疊問題注意翻折前后的變

量與不變量，外接球問題注意先確定外接球的球心的位置，然后把半徑放置在可解的直角三角形中來計算，本題有一

定的難度.

11、A

【解析】

先利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算法則求出z,即可根據(jù)復(fù)數(shù)的模計算公式求出Iz|.

【詳解】

2____

-：z=-+(l+i)2=l-i+2i=l+i,.-.|z|=Vl2+l2=41-

故選：A.

【點睛】

本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算法則的應(yīng)用，以及復(fù)數(shù)的模計算公式的應(yīng)用，

屬于容易題.

12、C

【解析】

先求出復(fù)合函數(shù)/(尤)在(3,+8)上是單調(diào)函數(shù)的充要條件，再看其和的包含關(guān)系，利用集合間包含關(guān)系與充

要條件之間的關(guān)系，判斷正確答案.

【詳解】

/(%)=logfl(|%-21-a)(a>0,且awl),

由|x-2]-a>0得為<2—a或x>2+a,

即的定義域為{%|九<2—。或x>2+a},(a〉0,且awl)

令f=|x—2|—a,其在(—8,2—a)單調(diào)遞減，(2+a,+a>)單調(diào)遞增，

2+a<3

/(x)在(3,+s)上是單調(diào)函數(shù)，其充要條件為。〉0

awl

即0<a<1.

故選：C.

【點睛】

本題考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷問題，充要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、29

【解析】

由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為以原點為圓心的圓，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代

入目標(biāo)函數(shù)得答案.

【詳解】

‘3%-2y+420,

由約束條件%+4y+6〉0,作出可行域如圖:

x-2<0,

3x-2y+4=0,

聯(lián)立<，解得A(2,5),

%—2=0,

目標(biāo)函數(shù)z=x2+V是以原點為圓心，以正為半徑的圓，

由圖可知，此圓經(jīng)過點A時，半徑最大，此時z也最大,

最大值為z=2?+5?=29.

所以本題答案為29.

【點睛】

線性規(guī)劃問題，首先明確可行域?qū)?yīng)的是封閉區(qū)域還是開放區(qū)域、分界線是實線還是虛線，其次確定目標(biāo)函數(shù)的幾何

意義，是求直線的截距、兩點間距離的平方、直線的斜率、還是點到直線的距離等等，最后結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)最

值取法、值域范圍.

T,9萬

14>—

2

【解析】

將四面體補充為長寬高分別為6,1,出的長方體，體對角線即為外接球的直徑，從而得解.

【詳解】

采用補體法，由空間點坐標(biāo)可知，該四面體的四個頂點在一個長方體上，該長方體的長寬高分別為6』,石，長方體

的外接球即為該四面體的外接球，外接球的直徑即為長方體的體對角線百H?=3,所以球半徑為a，體積為

【點睛】

本題主要考查了四面體外接球的常用求法：補體法，通過補體得到長方體的外接球從而得解，屬于基礎(chǔ)題.

A/6—y/2

15、一4一

【解析】

由題意可設(shè)a=(1,0),b=(1

，由向量的坐標(biāo)運算，以及恒成立思想可設(shè)m=1,|Q-C|+g-"I的最小值即為

點(g,日)到直線x+y=l的距離d,求得d,可得T不大于d.

【詳解】

r71

解：1=1。1=19目.Cl'D—，

2

r

可設(shè)〃=(1,0),b二

c=，d—9

可得的終點均在直線x+y=l上,

由于私77為任意實數(shù)，可得m=1時，I。-c|+|6-d|的最小值即為點到直線x+y=i的距離d

雪近一1

可得22A/6-A/2，

d—

~4

對于任意的實數(shù)相，“，不等式|a-c|+g-d|2T,可得Tw"一立

4

故答案為：I|7,"4aJ.

【點睛】

本題主要考查向量的模的求法，以及兩點的距離的運用，考查直線方程的運用，以及點到直線的距離，考查運算能力,

屬于中檔題.

16、

【解析】

設(shè)----所在截面圓的圓心為-，中點為-，連接--，

**taMtart■--■<-■■.

易知------即為二面角-_--的平面角，可求出.-及.，然后可判斷出四面體------外接球的球心-在

直線__上，在R..-.一口中，__/+IL：—一廣結(jié)合*，可求出四

一.-r-二J二二Jl二二:-工:二=二口二=1二_、同

面體二二二二的外接球的半徑二.

【詳解】

設(shè)----所在截面圓的圓心為-，中點為一，連接-，

OA=OB,所以，ODJ_AB,同理OiDLAB,所以，二二二-即為二面角二一二二的平面角，

□□DQj=2

因為，_、所以是等腰直角三角形，一，

在Bt▲nnn,中‘由cos60o=叫得口,口=^5，由勾股定理，得：口口,—同,

因為到、、三的距離相等，所以，四面體-外接球的球心在直線-上，

OiABC00

設(shè)四面體二二二二外接球半徑為二，

【點睛】

本題考查了三棱錐的外接球問題，考查了學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力及計算求解能力，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

8

17、(1)y2=4x,(1,2)；(2)存在，一

3

【解析】

(1)由直線恒過點點及拋物線C上的點到點。的距離與到準(zhǔn)線的距離之和的最小值為?,求出拋物線的方程,

一2

再由直線4與拋物線相切，即可求得切點的坐標(biāo)；

(2)直線4與拋物線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求得直線協(xié)，P5的斜率，求出斜率之和為定值，即存在實數(shù)

彳使得斜率之和為定值.

【詳解】

(1)由題意，直線A變?yōu)?x+l-M2y+l)=0,所以定點。的坐標(biāo)為-g,-g

拋物線C：y2=2px(p〉0)的焦點坐標(biāo)歹々,0

由拋物線C上的點到點Q的距離與到其焦點F的距離之和的最小值為手,

可得此耳=,解得。=2或。=—4(舍去),

故拋物線C的方程為V=4x

N=x+b,0

又由《

24消去丁得/+2（。一2）%+/=0,

因為直線4與拋物線C相切，所以A=[20—2)丁—4^=0,解得匕=1,

此時x=l,所以點尸坐標(biāo)為(1,2)

(2)設(shè)存在滿足條件的實數(shù)X,點4>1，%),5(々,當(dāng))，

2x—2my—m+1—0n

聯(lián)立2，消去x得y-Amy-2m+2=0,

y=4x

則M+%=4m,yvy2=2—2m,

依題意，可得A=(4加了-4(2-2加)〉0,解得機v?l或加〉g,

由（1）知P（1,2）,

k=%―2=_____y_2_____=2(%-2)

可得'—l(2my1+m-l)-l2s+*3,

2(%-2)

同理可得左2=

2my2+m-3

的“2_2(%—2)2(%—2)_2[4期%一3(加+1)(%+%)-4(加-3)]

所以4一?-JT

2my{+m-32my2+m-34myxy2+2m(m-3)(y1+y2)+(m-3)

_2[4m(2-2m)-3(m+l)4m-4(m-3)]_8(-5m2-2m+3)_8

4m2(2-2m)+2m(m-3)4m+(m-3)23(—5m2—2m+3)3'

Q

故存在實數(shù)2=3滿足條件.

【點睛】

本題主要考查拋物線方程的求解、及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，解答此類題目，通常聯(lián)立直線方程與拋物

線方程，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進行求解，此類問題易錯點是復(fù)雜式子的變形能力不足，導(dǎo)致錯解，能較

好的考查考生的邏輯思維能力、運算求解能力、分析問題解決問題的能力等.

18、(1)已，g的分布列為

0123

；(1-a)2^■(1—a2)；(2a—a2)a2

p

~2

⑵4

【解析】

(1)P(9是”個人命中，3—4個人未命中”的概率.其中自的可能取值為0、1、2、3.

P(W=0)=G°—C"(l-a)2=1-(l-a)2；

P(g=l)=C；?；C°(1—a)2+C1°C'a(l-a)=y(1—a2)；

P(自=2)=C：?；C；a(l—a)+C；a2=(2a—a2)；

P(A3)=C；.；C；a2=]

所以g的分布列為

g0123

1,1,1,a2

22—(2a—a2)

P-(1-a)-(1-a)~2

g的數(shù)學(xué)期望為

E(§)=0x^-(l-a)2+lx1-(l-a2)+2x^-(2a-a2)+3x^-=^^.

1,,

(2)P(^=l)-P(^=0)=-[(l-a2)-(l-a)2]=a(l-a)；

1,,1—2。

P《=l)—P《=2)=y[(l-a2)-(2a-a2)]=；

]]22

P《=l)—P《=3)=-[(1—a2)-a2]=-,

a(l-a)>0,

和0<aVL得OVaW^,即a的取值范圍是(0，!

2I2

2

22

19、(I)—+^=1.

42

(IDP(l,

【解析】

(I)寫出Ab坐標(biāo)，利用直線AF與直線x+y-3&=0垂直，得到b=c.求出3點的坐標(biāo)代入x+y-3&=0,

可得到"c的一個關(guān)系式，由此求得"c和。的值，進而求得橢圓方程.(H)設(shè)出P點的坐標(biāo)，由此寫出直線的

方程，從而求得。點的坐標(biāo)，代入MPNQ=9,化簡可求得P點的坐標(biāo).

【詳解】

(I)??,橢圓的左焦點/(—c,0),上頂點4(03)，直線AF與直線x+y-30=0垂直

b

直線AF的斜率上=—=1,即b=c①

c

又點A是線段BF的中點

.?.點3的坐標(biāo)為B(c,2b)

又點B在直線x+y-30=0上

:?c+2b-3底=。②

*,?由①②得：b=c=V2

二儲=4

22

二橢圓C的方程為L+2L=1.

42

(II)設(shè)p(％,%),(%>0,%>0)

由⑴易得頂點M、N的坐標(biāo)為M(—2,0),N(2,0)

直線MP的方程是：y=為(X+2)

毛+21)

y=%(x+2)

由，％+2'得：QG，

、%+2,

x=4

2

又點尸在橢圓上，故五-+j

42

??%-2工

1(26yo]_2g12116%2__/2+胱+20

：.MP-NQ=(x0+2,y0)[晨+2尸MH"-毛+2-9

二%=1或-2(舍)

,*Jo=耳，(%>0)

點P的坐標(biāo)為尸

【點睛】

本小題主要考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，考查兩直線垂直的條件，考查向量數(shù)量積的運算.屬于中檔題.在解題過程

中，首先閱讀清楚題意，題目所敘述的坐標(biāo)、所敘述的直線是怎么得到的，向量的數(shù)量積對應(yīng)的坐標(biāo)都有哪一些，應(yīng)

該怎么得到，這些在讀題的時候需要分析清楚.

20、(1)C=j(2)2A/3

【解析】

分析：(1)利用正弦定理以及誘導(dǎo)公式與和角公式，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值，求得角C；

⑵運用向量的平方就是向量模的平方，以及向量數(shù)量積的定義，結(jié)合基本不等式，求得的最大值，再由三角形的

面積公式計算即可得到所求的值.

詳解：(1)V2ccosB=2a-b,

2sinG^osB=2sinA-siaB,2sinCbosB=2sin(B+C)-sinB,

171

2sirtBcosC=sinB,/.cosC=—,:.C=—

23

(II)取BC中點。，則G4—gcB|=2=|ZM,在AADC中，AD2=AC2+CD2-2AC-CDcosC，

(注：也可將C4—gc5|=2=|ZM兩邊平方)即4=―與,

=—,所以當(dāng)且僅當(dāng)a=4/=2時取等號.

V422

此時5%尤=g。加由0=￥。6,其最大值為

點睛：該題考查的是有關(guān)三角形的問題，涉及到的知識點有正弦定理，誘導(dǎo)公式，和角公式，向量的平方即為向量模

的平方，基本不等式，三角形的面積公式，在解題的過程中，需要正確使用相關(guān)的公式進行運算即可求得結(jié)果.

21、(1)12；(2)5=12用30