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文檔簡(jiǎn)介
江西省宜豐中學(xué)2024年高考數(shù)學(xué)五模試卷
考生須知:
1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色
字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。
2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。
3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。
一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.將函數(shù)y=sin2x的圖像向左平移叭甲>0)個(gè)單位得到函數(shù)y=sin2x+-的圖像,則。的最小值為()
6
~6
2.在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中,BD=26,將菱形ABCD沿對(duì)角線AC對(duì)折,使二面角3-AC-O的余弦值為:,
則所得三棱錐A-BCD的外接球的表面積為()
2萬(wàn),
A.—B.2〃C.4萬(wàn)D.67T
3
3.已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球。的球面上,上4,平面ABC,AABC是邊長(zhǎng)為26的等邊三角形,若球。
的表面積為207,則直線PC與平面八鉆所成角的正切值為()
A.-B.立C.-V7D.立
4374
4.若不相等的非零實(shí)數(shù)X,y,z成等差數(shù)列,且X,y,z成等比數(shù)列,則二=()
Z
57
A.——B.-2C.2D.-
22
5.據(jù)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布的數(shù)據(jù),2019年11月全國(guó)CP1(居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)),同比上漲4.5%,CP/上漲的主要因素是
豬肉價(jià)格的上漲,豬肉加上其他畜肉影響CP/上漲3.27個(gè)百分點(diǎn).下圖是2019年11月CP/一籃子商品權(quán)重,根據(jù)該
圖,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()
教育文化和
娛樂(lè)8.5%
A.CP/一籃子商品中所占權(quán)重最大的是居住
B.CP/一籃子商品中吃穿住所占權(quán)重超過(guò)50%
C.豬肉在。尸/一籃子商品中所占權(quán)重約為2.5%
D.豬肉與其他畜肉在CP/一籃子商品中所占權(quán)重約為0.18%
6.己知全集為實(shí)數(shù)集R,集合4={小2+2工-8>0},B={x\log2^<l}9貝?。?A)c5等于()
A.[-4,2]B.[-4,2)C.(-4,2)D.(0,2)
-+X2,X<1
7.已知函數(shù)/(%)=alnx、一若曲線>上始終存在兩點(diǎn)A,B,使得OALQ5,且AB的中點(diǎn)在V
-------,%>1
x(x+l)
軸上,則正實(shí)數(shù),的取值范圍為()
1
A.(0,+oo)C.D.[e,+oo)
e
8.等比數(shù)列{4}中,=-,q=2,則%與他的等比中項(xiàng)是()
8
11
A.±4B.4C.±-D.-
44
9.設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{4}的前〃項(xiàng)和為S,,,若邑=3,%+為=12,則公比4=()
A.+4B.4C.±2D.2
10.已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2,。為邊的中點(diǎn),E、R分別為邊A3、AC上的動(dòng)點(diǎn),并滿足|AE|=2|"卜
則。£?。尸的取值范圍是()
A.B.(-00,—]C.[一[0]D.(-00,0]
2lo162
11.某幾何體的三視圖如右圖所示,則該幾何體的外接球表面積為()
A.12萬(wàn)B.16乃
C.24%D.48乃
12.橢圓是日常生活中常見(jiàn)的圖形,在圓柱形的玻璃杯中盛半杯水,將杯體傾斜一個(gè)角度,水面的邊界即是橢圓.現(xiàn)有
一高度為12厘米,底面半徑為3厘米的圓柱形玻璃杯,且杯中所盛水的體積恰為該玻璃杯容積的一半(玻璃厚度忽略
不計(jì)),在玻璃杯傾斜的過(guò)程中(杯中的水不能溢出),杯中水面邊界所形成的橢圓的離心率的取值范圍是()
二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。
22
13.已知雙曲線C:二-2=1(。>03>0)的左右焦點(diǎn)分別為耳,工,。為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)M為雙曲線右支上一點(diǎn),
ab
若|耳閭=2|。叫,12112航工耳22,則雙曲線C的離心率的取值范圍為.
14.設(shè)全集U=R,集合4=卜|必—2x<0},B={x\x>l},則集合Ac05)=.
15.已知平面向量.,人的夾角為g,口=(行,1),且|a—切=6,則|切=
22
16.已知橢圓r:=+?=1(?!?〉0),尸I、仍是橢圓r的左、右焦點(diǎn),A為橢圓r的上頂點(diǎn),延長(zhǎng)Ab2交橢圓r
ab
于點(diǎn)況若AB片為等腰三角形,則橢圓r的離心率為.
三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。
17.(12分)已知函數(shù);'(xhalnx—史:曲線y=/(力在點(diǎn)(I"⑴)處的切線方程為2x—y—2—e=0.
(1)求a,b的值;
(2)證明函數(shù)/(x)存在唯一的極大值點(diǎn)/,且/(%)<21n2—2.
18.(12分)管道清潔棒是通過(guò)在管道內(nèi)釋放清潔劑來(lái)清潔管道內(nèi)壁的工具,現(xiàn)欲用清潔棒清潔一個(gè)如圖1所示的圓
管直角彎頭的內(nèi)壁,其縱截面如圖2所示,一根長(zhǎng)度為L(zhǎng)s的清潔棒在彎頭內(nèi)恰好處于A5位置(圖中給出的數(shù)據(jù)是
圓管內(nèi)壁直徑大小,.
(2)若想讓清潔棒通過(guò)該彎頭,清潔下一段圓管,求能通過(guò)該彎頭的清潔棒的最大長(zhǎng)度.
19.(12分)已知函數(shù)/(4)=/+=,g(x)=e1nx.
(1)若對(duì)于任意實(shí)數(shù)%20,/(可>0恒成立,求實(shí)數(shù)a的范圍;
(2)當(dāng)a=-1時(shí),是否存在實(shí)數(shù)九使曲線C:y=g(x)—/(x)在點(diǎn)/處的切線與V軸垂直?若存在,求
出與的值;若不存在,說(shuō)明理由.
22
20.(12分)設(shè)點(diǎn)耳(-c,O),心(G。)分別是橢圓C:=+匕=1(?!?)的左,右焦點(diǎn),P為橢圓C上任意一點(diǎn),且
一a24
PR時(shí)的最小值為L(zhǎng)
(2)如圖,直線/:x=5與%軸交于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)B且斜率左W0的直線4與橢圓交于A,3兩點(diǎn),M為線段E名的中
點(diǎn),直線AM交直線/于點(diǎn)N,證明:直線BNJU.
21.(12分)在①J§(Z?cosC-a)=csinB;?2a+c=2Z?cosC;@Z?sinA=A/3?sin~~~~這三個(gè)條件中任選一
個(gè),補(bǔ)充在下面問(wèn)題中的橫線上,并解答相應(yīng)的問(wèn)題.
在AABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿足,b=2^3,a+c=4,求AABC的面
積.
22.(10分)為了打好脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn),某貧困縣農(nóng)科院針對(duì)玉米種植情況進(jìn)行調(diào)研,力爭(zhēng)有效地改良玉米品種,為農(nóng)民
提供技術(shù)支援,現(xiàn)對(duì)已選出的一組玉米的莖高進(jìn)行統(tǒng)計(jì),獲得莖葉圖如圖(單位:厘米),設(shè)莖高大于或等于180厘米
的玉米為高莖玉米,否則為矮莖玉米.
抗倒?fàn)钜椎範(fàn)?/p>
77314
9733115
9640167
554175
12667
9S521900345899
6632023
(1)求出易倒伏玉米莖高的中位數(shù)加;
(2)根據(jù)莖葉圖的數(shù)據(jù),完成下面的列聯(lián)表:
抗倒伏易倒伏
矮莖
高莖
(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表,是否可以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)1%的前提下,認(rèn)為抗倒伏與玉米矮莖有關(guān)?
n(ad-be)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P(KL.K)0.0500.0100.001
K3.8416.63510.828
參考答案
一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1、B
【解析】
根據(jù)三角函數(shù)的平移求出函數(shù)的解析式,結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.
【詳解】
將函數(shù)y=sin2x的圖象向左平移(p((p>0)個(gè)單位,
得至(Jy=sin2(%+。)=sin(2x+2(p),
TT
此時(shí)與函數(shù)y=sin(2九十:)的圖象重合,
6
JI
貝(]2(p=2k兀H——,即0=左力—,keZ,
612
77
二當(dāng)左=0時(shí),9取得最小值為°=一,
故選:B.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),利用三角函數(shù)的平移關(guān)系求出解析式是解決本題的關(guān)鍵.
2、D
【解析】
取AC中點(diǎn)N,由題意得即為二面角5—AC—。的平面角,過(guò)點(diǎn)3作3OLDN于0,易得點(diǎn)。為_(kāi)ADC的
/7丫/巧丫
中心,則三棱錐A-BCD的外接球球心在直線3。上,設(shè)球心為。1,半徑為乙列出方程2以-r+乂=1
33
即可得解.
【詳解】
如圖,由題意易知-ABC與_ADC均為正三角形,取AC中點(diǎn)N,連接BN,DN,
則的VLAC,ONLAC,,即為二面角3—AC—。的平面角,
過(guò)點(diǎn)B作BOLDN于。,則50,平面AC。,
=BN-cosZBND=^~,0D=^-,03=}—[個(gè)]=^~'
由BN=ND=6,cosNBND=;可得ON二
ON=gNL>即點(diǎn)。為一ADC的中心,
???三棱錐A-BCD的外接球球心在直線BO上,設(shè)球心為。1,半徑為廠,
BOX=DO{=r,OO]=乎—r,
...其5—力+f—“解得一逅,
332
23
???三棱錐A—BCD的外接球的表面積為S=4乃r=4A〃x—=.
2
故選:D.
B
【點(diǎn)睛】
本題考查了立體圖形外接球表面積的求解,考查了空間想象能力,屬于中檔題.
3、C
【解析】
設(shè)。為中點(diǎn),先證明CD,平面八鉆,得出NCP。為所求角,利用勾股定理計(jì)算PA,PD,CD,得出結(jié)論.
【詳解】
設(shè)。,石分別是45,3。的中點(diǎn)AECD=F
R4_L平面ABC:.PA±CD
AABC是等邊三角形:.CD±AB
又QAAB=A
\CE>A平面245.?.NCP。為PC與平面八旬所成的角
AABC是邊長(zhǎng)為26的等邊三角形
2
.-.CD=AE=3,AF=—AE=2且歹為AABC所在截面圓的圓心
3
球。的表面積為20萬(wàn)二球。的半徑。4=6
:.OF=^O^-AF2=1
24,平面ABC:.PA=2OF=2
PD=VPA2+AD2=V7
CD_3_377
tan/CPD=
本題正確選項(xiàng):C
【點(diǎn)睛】
本題考查了棱錐與外接球的位置關(guān)系問(wèn)題,關(guān)鍵是能夠通過(guò)垂直關(guān)系得到直線與平面所求角,再利用球心位置來(lái)求解
出線段長(zhǎng),屬于中檔題.
4、A
【解析】
Y+7X7
由題意,可得y=一z2=孫,消去y得f+xz—2z2=0,可得一二—2,繼而得到y(tǒng)=—不,代入即得解
2z2
【詳解】
由X,y,Z成等差數(shù)列,
所以y=±5二,又%z,y成等比數(shù)列,
所以z2=孫,消去y得好+xz—2Z2=0,
所以2=0,解得二=1或2=-2,
\7.)ZZZ
因?yàn)椋?y,z是不相等的非零實(shí)數(shù),
X7
所以一二—2,此時(shí)y=—三,
z2
所以二=-2—L_9.
z22
故選:A
【點(diǎn)睛】
本題考查了等差等比數(shù)列的綜合應(yīng)用,考查了學(xué)生概念理解,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.
5、D
【解析】
A.從第一個(gè)圖觀察居住占23%,與其他比較即可.B.一籃子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%,再判斷.C.
食品占19.9%,再看第二個(gè)圖,分清2.5%是在C7V一籃子商品中,還是在食品中即可.D.易知豬肉與其他畜肉在CP/
一籃子商品中所占權(quán)重約為2.1%+2.5%=4.6%.
【詳解】
A.CP/一籃子商品中居住占23%,所占權(quán)重最大的,故正確.
B.CP/一籃子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%,權(quán)重超過(guò)50%,故正確.
C.食品占中19.9%,分解后后可知豬肉是占在CP/一籃子商品中所占權(quán)重約為2.5%,故正確.
D.豬肉與其他畜肉在CP/一籃子商品中所占權(quán)重約為2.1%+2.5%=4.6%,故錯(cuò)誤.
故選:D
【點(diǎn)睛】
本題主要考查統(tǒng)計(jì)圖的識(shí)別與應(yīng)用,還考查了理解辨析的能力,屬于基礎(chǔ)題.
6、D
【解析】
求解一元二次不等式化簡(jiǎn)A,求解對(duì)數(shù)不等式化簡(jiǎn)5,然后利用補(bǔ)集與交集的運(yùn)算得答案.
【詳解】
解:由*2+2*-8>0,得xV-4或x>2,
/.A={x|x2+2x-8>0}={x|x<-4或x>2},
由,ogzxvl,x>0,得0VxV2,
/.B={x\log2X<l}={x|0<x<2},
則^A={xM<x<2},
A(^A)i6=(0,2).
故選:D.
【點(diǎn)睛】
本題考查了交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算,考查了對(duì)數(shù)不等式,二次不等式的求法,是基礎(chǔ)題.
7,D
【解析】
根據(jù)中點(diǎn)在y軸上,設(shè)出A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)B(t,f(ty),a>0).對(duì)f分成三類,利用
04,03則0403=0,列方程,化簡(jiǎn)后求得。=乙,利用導(dǎo)數(shù)求得L的值域,由此求得。的取值范圍.
InfInr
【詳解】
根據(jù)條件可知A,B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù),不妨設(shè)A(-r,「+巧,,(/>0),若,<1,則/⑺=-?+/,
由O瓦所以。403=0,即一/+(/+/)(—產(chǎn)+〃)=o,方程無(wú)解;若/=i,顯然不滿足a。QB;若/>1,
2/32、。In/八t(tln^-1t
則/?)=/=,由04.03=0,即T+卜+/)/二=0,即。=「,因?yàn)椤?;~所以函數(shù)「
t(t+1)',/?+1)Inz(in?)'Inr
在(O,e)上遞減,在(e,+s)上遞增,故在/=e處取得極小值也即是最小值丘=6,所以函數(shù)丁=士在(1+8)上的
值域?yàn)閇e,+8),故ae[e,+8).故選D.
【點(diǎn)睛】
本小題主要考查平面平面向量數(shù)量積為零的坐標(biāo)表示,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最
小值,考查分析與運(yùn)算能力,屬于較難的題目.
8、A
【解析】
利用等比數(shù)列{4}的性質(zhì)可得城=%%,即可得出.
【詳解】
設(shè)應(yīng)與a8的等比中項(xiàng)是
由等比數(shù)列{%}的性質(zhì)可得憂=%。8,???元=±。6.
,為與〃8的等比中項(xiàng)%=±。6=±—X25=±4.
8
故選A.
【點(diǎn)睛】
本題考查了等比中項(xiàng)的求法,屬于基礎(chǔ)題.
9、D
【解析】
由$2=3得q+4=3,又%+%=(4+%)"2=12,兩式相除即可解出4.
【詳解】
解:由$2=3得q+%=3,
又。3+。4=(/+%)/=12,
q2=4,q=-2,或q=2,
又正項(xiàng)等比數(shù)列{4}得q>0,
/.q=2,
故選:D.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.
10、A
【解析】
建立平面直角坐標(biāo)系,求出直線AB:y=6(x+l),AC:y=-A^(X-I)
設(shè)出點(diǎn)石(冽,石(加+1)),/(",-6(〃—1)),通過(guò)IAE|=2|CR|,找出相與”的關(guān)系.
通過(guò)數(shù)量積的坐標(biāo)表示,將上.)表示成〃,與〃的關(guān)系式,消元,轉(zhuǎn)化成機(jī)或〃的二次函數(shù),利用二次函數(shù)的相關(guān)
知識(shí),求出其值域,即為£>?£>/的取值范圍.
【詳解】
以D為原點(diǎn),BC所在直線為x軸,AD所在直線為V軸建系,
設(shè)A(O,g),B(—1,O),C(1,O),則直線AB:y=g(x+l),AC:y=—6(x—D
設(shè)點(diǎn)E(m,限m+1)),F(n,-瓜n-1)),-l<m<O,O<n<l
所以AE=(m,A^m),CF=(n-l,-73(M-1))
由|荏|=2|序|得加=4(〃-l)2,即加=2("—l),
7i
所以DE-DF=nm-3(m+1)(〃-1)=-4n2+7n-3=-4(〃一一)2+—,
816
由—1<m=2(〃-1)<0及0<〃Wl,解得由二次函數(shù)y=-4(〃一1)2+J_的圖像知,je[-lX],所以
2816216
DE.。廠的取值范圍是?故選A.
216
【點(diǎn)睛】
本題主要考查解析法在向量中的應(yīng)用,以及轉(zhuǎn)化與化歸思想的運(yùn)用.
n、A
【解析】
由三視圖知:幾何體為三棱錐,且三棱錐的一條側(cè)棱垂直于底面,結(jié)合直觀圖判斷外接球球心的位置,求出半徑,代
入求得表面積公式計(jì)算.
【詳解】
由三視圖知:幾何體為三棱錐,且三棱錐的一條側(cè)棱垂直于底面,高為2,
底面為等腰直角三角形,斜邊長(zhǎng)為2應(yīng),如圖:
.?.AABC的外接圓的圓心為斜邊AC的中點(diǎn)。,0D1AC,且。。u平面SAC,
SA=AC^2,
SC的中點(diǎn)。為外接球的球心,
?4?半徑R=6,
外接球表面積S=4萬(wàn)X3=12萬(wàn).
故選:A
【點(diǎn)睛】
本題考查了由三視圖求幾何體的外接球的表面積,根據(jù)三視圖判斷幾何體的結(jié)構(gòu)特征,利用幾何體的結(jié)構(gòu)特征與數(shù)據(jù)
求得外接球的半徑是解答本題的關(guān)鍵.
12、C
【解析】
根據(jù)題意可知當(dāng)玻璃杯傾斜至杯中水剛好不溢出時(shí),水面邊界所形成橢圓的離心率最大,由橢圓的幾何性質(zhì)即可確定
此時(shí)橢圓的離心率,進(jìn)而確定離心率的取值范圍.
【詳解】
當(dāng)玻璃杯傾斜至杯中水剛好不溢出時(shí),水面邊界所形成橢圓的離心率最大.
此時(shí)橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為J12?+6?=6小,短軸長(zhǎng)為6,
故選:C
【點(diǎn)睛】
本題考查了楠圓的定義及其性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.
二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。
13、l<e<
【解析】
P4°2=|叫「+陽(yáng)閭2,1311/;明耳=需|,又由雙曲線
法一:根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和勾股定理得/片Mg=
....,...\MF.\e2=l+---
的定義得|5|-|a1=2。,將離心率表示成關(guān)于|M|,|叫|的式子,再令扁=后2,則右?+1_2,令
/(0=?+p對(duì)函數(shù)求導(dǎo)研究函數(shù)在[2,+8)上單調(diào)性,可求得離心率的范圍.
法二:令|上陰|=、|叫|=馬,ZMF2F=0,tan6>>2,]=2csin。,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和勾股定理得
71
ZF.MF^-,將離心率表示成關(guān)于角。的三角函數(shù),根據(jù)三角函數(shù)的恒等變化轉(zhuǎn)化為關(guān)于tan夕的函數(shù),可求得離
心率的范圍.
【詳解】
\MF.\
2
法一:國(guó)用|=2|QM|,.?./[叫=]:.4c=\MF}f+\MF2ftan/MF?F\—-----:
2慳研____________
4c_\MF}f+\MF2f
\MF^-\MF^=2a,才一(的周一|咽|)2
師居
MK1-2IMI+\MF2f
\MF2f
鉛四則/r+12
L>2-;-----------=1H-------:------
設(shè)同一62'則2、
t-2t+l—IH-1---Z
令/("=/+;,/,("=]_:'寧—1),所以/>2時(shí),/'(?)>0,/(。在[2,+8)上單調(diào)遞增,
115廠
?-t+->2n+—=—,:.l<e2<5f:.l<e<V5.
t22
法二:⑶月令|阿|=、|叫|=&,
|=2|0M|,.?.NGMg=T,ZMF2F=0,tan(9>2,r=2csm6,
r>=2ccos0,:.2a=r,-n=2c(sin0-cos6),e=---------------,
sin0-cos0
1_sin20+cos20_tan26^+1
1+-------------------<5
222
(sin-cosOYsin^+cos0-2sin^cos^tan0+1-2tan0tan0+--------2
tan。
故答案為:l<e<^.
【點(diǎn)睛】
本題考查求雙曲線的離心率的范圍的問(wèn)題,關(guān)鍵在于將已知條件轉(zhuǎn)化為與雙曲線的”,dc有關(guān),從而將離心率表示關(guān)
于某個(gè)量的函數(shù),屬于中檔題.
14、(0,1]
【解析】
分別解得集合A與集合B的補(bǔ)集,再由集合交集的運(yùn)算法則計(jì)算求得答案.
【詳解】
由題可知,集合A中7-2x<0=>x(x-2)<0n0<x<2
集合8的補(bǔ)集g3={x|x<l},則Ac&3)={x|0<x〈l}
故答案為:(0,1]
【點(diǎn)睛】
本題考查集合的交集與補(bǔ)集運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.
15、1
【解析】
rrr
根據(jù)平面向量模的定義先由坐標(biāo)求得。,再根據(jù)平面向量數(shù)量積定義求得a力;將化簡(jiǎn)并代入即可求得
【詳解】
a=(G,l),則卜卜J(百丁+儼=2,
平面向量a,匕的夾角為則由平面向量數(shù)量積定義可得a2=W-Wcosg=2xMx;=M|,
根據(jù)平面向量模的求法可知1=V3,
代入可得,4—2忖+此=73,
解得卜|=1,
故答案為:L
【點(diǎn)睛】
本題考查了平面向量模的求法及簡(jiǎn)單應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.
16、B
3
【解析】
由題意可得等腰三角形的兩條相等的邊,設(shè)忸囚=/,由題可得忸耳|的長(zhǎng),在三角形耳中,三角形幽心中由余
弦定理可得的值相等,可得a,c的關(guān)系,從而求出橢圓的離心率
【詳解】
如圖,若AA5耳為等腰三角形,貝!]|3為|平為.設(shè)|3g|=f,貝!J|BR|=2a-f,所以|4昨a+U|3尸i|=2a-f,解得a=2f,即
尸i|=3f,\AFi\=2t,設(shè)NR40=仇貝!|/區(qū)4歹尸2仇所以「的離心率e='=當(dāng)"=sin?,結(jié)合余弦定理,易得在
AA54中,cos20=-=l-2sin2^,所以sin2g=L,即e=sin。=占,
333
故答案為:走.
3
【點(diǎn)睛】
此題考查橢圓的定義及余弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用,屬于中檔題.
三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。
17、(1)a=2,b=l(2)證明見(jiàn)解析
【解析】
(1)求導(dǎo),可得了'(1)=。,f(1)=-be,結(jié)合已知切線方程即可求得。,〃的值;
e"22
(2)利用導(dǎo)數(shù)可得了(%)=2歷x。----=2lnx0---------x0e(l,2),再構(gòu)造新函數(shù)〃(幻=2歷x------------,l<x<2,利用導(dǎo)
Xox0-1x-1
數(shù)求其最值即可得證.
【詳解】
(1)函數(shù)的定義域?yàn)?0,+8),廣(x)--ge:e、),
XX
則/'(1)=a,f(1)=-be,
故曲線y=/(x)在點(diǎn)a,f(1))處的切線方程為辦-y-a-%=0,
又曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為2x-y-2-e=0,
..a=2,b=1;
x2x-xex+ex
(2)證明:由(1)知,f(x)=2lnxe--,則廣㈤二:,
XX
令g(x)=2x-xe*+e*,貝!)g,(x)=2-xe",易知g'(x)在(0,+℃)單調(diào)遞減,
又g,(0)=2>0,g'(1)=2-e<0,
故存在占€(0,1),使得g@)=0,
且當(dāng)xe(0,』)時(shí),g'(x)>0,g?)單調(diào)遞增,當(dāng)+co)時(shí),g,(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,
由于g(0)=l>0,g(1)=2>0,g(2)=4-e2<0,
故存在/e(1,2),使得g(xO)=O,
且當(dāng)xw(O,%)時(shí),g(x)>0,/(%)>0,f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)xe?,+8)時(shí),g(x)<0,f(x)<0,f(x)單調(diào)遞
減,
故函數(shù)存在唯一的極大值點(diǎn)%,且g(無(wú)。)=21-瓦洲+*=0,即*=用、,為e(l,2),
*2
貝(I/(%)=2歷%----=2lnx0----------,
%X。-1
222
令h(x)=2lnx--------,1<%<2,貝?。輍\x)=-+-------j>0,
x-1x(x-1)
故川犬)在(1,2)上單調(diào)遞增,
2
由于毛£(1,2),故帖;0)</2(2)=2歷2-2,即2g)--------<2/n2-2,
/T
二./(犬0)<2ln2-2.
【點(diǎn)睛】
本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,極值及最值,考查推理論證能力,屬于中檔題.
18、(1)-^r+—0,^1;(2)13A/13COT.
sm0cos0\2J
【解析】
(1)過(guò)A作PC的垂線,垂足為C,易得AP=「,BP=-進(jìn)一步可得£;
sin6cos6
(2)利用導(dǎo)數(shù)求L(0)=三+一6e|0,^|得最大值即可.
sinacos,I2)
【詳解】
(1)如圖,過(guò)A作PC的垂線,垂足為C,在直角△APC中,AAPC=0,
278
AC=27cm,所以=——cm,同理3尸二----cm,
sin0cos0
',IZvZI,I
sin。cos夕I2J
rmi丁“、27cos68sin^8sin3^-27cos3^
貝(1L(6)=-----5一+——==------5-----5—,
sin20cos20sin2<9cos20
令工⑹=0,則tai?*?,即tan6=m
設(shè)6oe]o,1^,且tan%=|,則
當(dāng)。€(0,〃)時(shí),tan0<|,£(0)<0,所以單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí),tan9>m,Z(e)>0,所以單調(diào)遞增,
所以當(dāng)。=%時(shí),〃,)取得極小值,
所以L(。)1rali="4).
33
2
因?yàn)閠an4=—,所以sinq=—cos^,又sin?綜+cos00=1,
所以COSKJ,又4+目,
~2.3
所以COS6O=7U,所以sin6o=7^,
所以■為"嘉+e=13萬(wàn)(?!?
所以能通過(guò)此鋼管的鐵棒最大長(zhǎng)度為13疝%.
【點(diǎn)睛】
本題考查導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用,考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力,是一道中檔題.
19、(1)(-e,-Hx>);(2)不存在實(shí)數(shù)九0e[l,e],使曲線y="(尤)在點(diǎn)x=/處的切線與丁軸垂直.
【解析】
(1)分類x=0時(shí),恒成立,龍W0時(shí),分離參數(shù)為?!?乙,引入新函數(shù)H(x)=-利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)最值即
XX
可;
(2)M(x)=f(x)-g(x)=ex]nx-ex+x,導(dǎo)出導(dǎo)函數(shù)”(x),問(wèn)題轉(zhuǎn)化為"(x)=0在口⑷上有解.再用導(dǎo)數(shù)研
究M(x)的性質(zhì)可得.
【詳解】
解:(1)因?yàn)楫?dāng)尤20時(shí),/(x)=e*+ax>0恒成立,
所以,若x=0,。為任意實(shí)數(shù),/(%)="+3:>0恒成立.
若%>0,/(%)=e,+ax>0恒成立,
即當(dāng)尤>0時(shí),a>-—,
X
山口/\e*〃,/\exx-ex(l-x)ex
設(shè)H(%)=---9H(x)=------—=-------9
xxx
當(dāng)xe(O,l)時(shí),H'(x)>0,則H(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,
當(dāng)時(shí),H'(x)<0,則H(x)在。,+?)上單調(diào)遞減,
所以當(dāng)x=l時(shí),H(x)取得最大值.
用"厘二"⑴”,
所以,要使“0時(shí),/(尤)>0恒成立,。的取值范圍為(—%+8).
(2)由題意,曲線。為:y=exlnx-ex+x.
令M(x)=e*lnx-e*+x,
所以M'(x)=J+e*Inx-e*+1=[4+lnx-l]e*+1,
設(shè)/i(x)=^+lnx—1,貝U/f(x)=—二+工=與,
XXJCJC
當(dāng)xe[l,e]時(shí),/z'(%)>0,
故h(x)在[1,e\上為增函數(shù),因此/i(x)在區(qū)間[1,e\上的最小值%⑴=In1=0,
所以/z(x)=—+ln%-l>0,
當(dāng)/epe]時(shí),*>0,—+ln%0-l>0,
X。
(1、
所以M'(xo)=---blnx0-1*+1〉0,
\x0)
曲線y=einx-e'+x在點(diǎn)x=/處的切線與y軸垂直等價(jià)于方程AT(%)=。在%e[1,e]上有實(shí)數(shù)解.
而"'(%)>0,即方程”(不)=0無(wú)實(shí)數(shù)解.
故不存在實(shí)數(shù)xoe[l,e],使曲線y=M(尤)在點(diǎn)x=%處的切線與丁軸垂直.
【點(diǎn)睛】
本題考查不等式恒成立,考查用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,由導(dǎo)數(shù)幾何把問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵.本題屬于困難題.
22
20、(1)—+^=1(2)見(jiàn)解析
54
【解析】
(1)設(shè)p(x,y),求出PE后由二次函數(shù)知識(shí)得最小值,從而得a,即得橢圓方程;
(2)設(shè)直線4的方程為y=1),4W0,代入橢圓方程整理,設(shè)由韋達(dá)定理得
X+X,=-^^,為々=V,設(shè)N(5,y°),利用AM,N三點(diǎn)共線,求得%=T,
1-4+5左2,]24+5左之Xj-3
然后驗(yàn)證%-%=0即可.
【詳解】
解:(I)設(shè)P(x,y),則"=(—c—%—y),朋=(c—x,—y),
所以「=必+>2一°2=q:1必+4-°2,
a
因?yàn)镼>2,尤£[-a,a].
所以當(dāng)x=0時(shí),月片?"值最小,
所以4—/=3,解得。=1,(舍負(fù))
所以/=5,
22
所以橢圓C的方程為土+匕=1,
54
(2)設(shè)直線4的方程為y=1),左W0,
y=k(x-V),
聯(lián)立2,得(4+5左2)/一10左2JC+5/—20=0.
1一5+一4=1,
、幾4/xox、??lQk~5k~—20
設(shè)4%,%),5(%2,>2),貝!I%+々=-——j,為々=~~ZTF,
/1I,>vID
設(shè)N(5,y0),因?yàn)锳M,N三點(diǎn)共線,又M(3,0)
所以m=+,解得為=上\.
3_%2玉—3
°,1015A2—20「
-1K-------------K---------------1K
2
而2M_24(芭―1)3左(西+々)一打馬一5左—4+5424+5Z:所以
%—3%-3%-3%—3
直線的V//x軸,即3NU.
【點(diǎn)睛】
本題考查求
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