（預習課）2024年高中數(shù)學高二暑假講義08 用空間向量研究距離、夾角問題（原卷版）

第第頁1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題(1)1.用向量語言表示點到直線、點到平面、互相平行的直線、互相平行的平面的距離問題2.能用向量方法解決點到直線、點到平面、互相平行的直線、互相平行的平面的距離問題.重點：理解運用向量方法求空間距離的原理難點：掌握運用空間向量求空間距離的方法

一、自主導學（一）、點到直線的距離、兩條平行直線之間的距離1.點到直線的距離已知直線l的單位方向向量為μ，A是直線l上的定點，P是直線l外一點.設AP=a，則向量AP在直線l上的投影向量AQ=(a·μ)μ.點P到直線l的距離為PQ=a22.兩條平行直線之間的距離求兩條平行直線l，m之間的距離，可在其中一條直線l上任取一點P，則兩條平行直線間的距離就等于點P到直線m的距離.點睛：點到直線的距離，即點到直線的垂線段的長度，由于直線與直線外一點確定一個平面，所以空間點到直線的距離問題可轉化為空間某一個平面內點到直線的距離問題.（二）、點到平面的距離、兩個平行平面之間的距離點到平面的距離已知平面α的法向量為n，A是平面α內的定點，P是平面α外一點.過點P作平面α的垂線l，交平面α于點Q，則點P到平面α的距離為PQ=|AP點睛：1.實質上，n是直線l的方向向量，點P到平面α的距離就是AP在直線l上的投影向量QP的長度.2.如果一條直線l與一個平面α平行，可在直線l上任取一點P，將線面距離轉化為點P到平面α的距離求解.3.兩個平行平面之間的距離如果兩個平面α，β互相平行，在其中一個平面α內任取一點P，可將兩個平行平面的距離轉化為點P到平面β的距離求解.二、小試牛刀1.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)分別是C1C，D1A1的中點，則點A到直線EF的距離為.

2.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面邊長為2，側棱長為4，則點B1到平面AD1C的距離為.

一、情境導學如圖，在蔬菜大棚基地有一條筆直的公路，某人要在點A處，修建一個蔬菜存儲庫。如何在公路上選擇一個點，修一條公路到達A點，要想使這個路線長度理論上最短，應該如何設計？問題：空間中包括哪些距離?求解空間距離常用的方法有哪些?答案：點到直線、點到平面、兩條平行線及兩個平行平面的距離;傳統(tǒng)方法和向量法.二、典例解析例1.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=1，AB=4，BC=3，∠ABC=90°，求點B到直線A1C1的距離.用向量法求點到直線的距離時需注意以下幾點：(1)不必找點在直線上的垂足以及垂線段;(2)在直線上可以任意選點，但一般選較易求得坐標的特殊點;(3)直線的方向向量可以任取，但必須保證計算正確.延伸探究1例1中的條件不變，若M，N分別是A1B1，AC的中點，試求點C1到直線MN的距離.延伸探究2將條件中直三棱柱改為所有棱長均為2的直三棱柱，求點B到A1C1的距離.例2在三棱錐S-ABC中，△ABC是邊長為4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=23，M，N分別為AB，SB的中點，如圖所示.求點B到平面CMN的距離.求點到平面的距離的主要方法(1)作點到平面的垂線，點到垂足的距離即為點到平面的距離.(2)在三棱錐中用等體積法求解.(3)向量法：d=|n·MA||n|(n為平面的法向量，跟蹤訓練1在直三棱柱中，AA1=AB=BC=3，AC=2，D是AC的中點.(1)求證：B1C∥平面A1BD;(2)求直線B1C到平面A1BD的距離.金題典例如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，BC=2，CC1=4，點E在棱BB1上，EB1=1，D，F(xiàn)，G分別為CC1，B1C1，A1C1的中點，EF與B1D相交于點H.(1)求證：B1D⊥平面ABD;(2)求證：平面EGF∥平面ABD;(3)求平面EGF與平面ABD的距離.總結：求兩個平行平面的距離，先在其中一個平面上找到一點，然后轉化為該點到另一個平面的距離求解.注意：這個點要選取適當，以方便求解為主.1.兩平行平面α，β分別經過坐標原點O和點A(2，1，1)，且兩平面的一個法向量n=(-1，0，1)，則兩平面間的距離是()A.32 B.22 C.3 2.若三棱錐P-ABC的三條側棱兩兩垂直，且滿足PA=PB=PC=1，則點P到平面ABC的距離是()A.66 B.63 C.363.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，O是平面A1B1C1D1的中心，則O到平面ABC1D1的距離是()A.12 B.24 C.224.Rt△ABC的兩條直角邊BC=3，AC=4，PC⊥平面ABC，PC=95，則點P到斜邊AB的距離是5.棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是線段BB1，B1C1的中點，則直線MN到平面ACD1的距離為.

運用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”（1）建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面，把立體幾何問題轉化為向量問題；（2）通過向量運算，研究點、直線、平面之間的位置關系以及它們之間的額距離和夾角等問題；（3）把向量運算的結果“翻譯”成相應的幾何結論。1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題(2)1.理解兩異面直線所成角與它們的方向向量之間的關系，會用向量方法求兩異面直線所成角.2.理解直線與平面所成角與直線方向向量和平面法向量夾角之間的關系，會用向量方法求直線與平面所成角.3.理解二面角大小與兩個面法向量夾角之間的關系，會用向量方法求二面角的大小.重點：理解運用向量方法求空間角的原理難點：掌握運用空間向量求空間角的方法

一、自主導學1.利用向量方法求兩異面直線所成角若兩異面直線l1，l2所成角為θ，它們的方向向量分別為a，b，則有cosθ=|cos<a，b>|=|a特別提醒：不要將兩異面直線所成的角與其方向向量的夾角等同起來，因為兩異面直線所成角的范圍是0,π2，而兩個向量夾角的范圍是[0，π]，事實上2.利用向量方法求直線與平面所成角若直線l與平面α所成的角為θ，直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n，則有sinθ=|cos<a，n>|=|特別提醒：直線與平面所成的角等于其方向向量與平面法向量所成銳角的余角.3.利用向量方法求二面角(1)若二面角α-l-β的平面角的大小為θ，其兩個面α，β的法向量分別為n1，n2，則|cosθ|=|cos<n1，n2>|=|(2)二面角的大小還可以轉化為兩直線方向向量的夾角.在二面角α-l-β的兩個半平面α，β內，各取一條與棱l垂直的直線，則當直線的方向向量的起點在棱上時，兩個方向向量的夾角即為二面角的大小.特別提醒：由于二面角的取值范圍是[0，π]，而兩個面的法向量的方向無法從圖形上直觀確定，因此不能認為二面角的大小就是其兩個面法向量夾角的大小，需要結合具體圖形判斷二面角是銳角還是鈍角，從而求得其大小.二、小試牛刀1.若異面直線l1，l2的方向向量分別是a=(0，-2，-1)，b=(2，0，4)，則異面直線l1與l2的夾角的余弦值等于()A.-25 B.25 C.-252.若直線l的方向向量與平面α的法向量的夾角等于120°，則直線l與平面α所成的角等于()A.120° B.60° C.150° D.30°3.二面角α-l-β中，平面α的一個法向量為n1=32,-12,-2，平面β的一個法向量是n2=0,12,A.120° B.150°C.30°或150° D.60°或120°一、情境導學地球繞太陽公轉的軌道平面稱為“黃道面”，黃道面與地球赤道面交角(二面角的平面角)為23°26'.黃道面與天球相交的大圓為“黃道”.黃道及其附近的南北寬9°以內的區(qū)域稱為黃道帶，太陽及大多數(shù)行星在天球上的位置常在黃道帶內.黃道帶內有十二個星座，稱為“黃道十二宮”.從春分(節(jié)氣)點起，每30°便是一宮，并冠以星座名，如白羊座、獅子座、雙子座等等，這便是星座的由來.問題：空間角包括哪些角?求解空間角常用的方法有哪些?答案：線線角、線面角、二面角;傳統(tǒng)方法和向量法.二、典例解析例1.如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB=BC=AA1，∠ABC=90°，點E，F(xiàn)分別是棱AB，BB1的中點，試求直線EF和BC1所成的角.1.利用空間向量求兩異面直線所成角的步驟.(1)建立適當?shù)目臻g直角坐標系.(2)求出兩條異面直線的方向向量的坐標.(3)利用向量的夾角公式求出兩直線方向向量的夾角.(4)結合異面直線所成角的范圍得到兩異面直線所成角.2.求兩條異面直線所成的角的兩個關注點.(1)余弦值非負：兩條異面直線所成角的余弦值一定為非負值，而對應的方向向量的夾角可能為鈍角.(2)范圍：異面直線所成角的范圍是0,π2，故兩直線方向向量夾角的余弦值為負時跟蹤訓練1如圖，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為.

例2.如圖所示，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M為線段AD上一點，AM=2MD，N為PC的中點.(1)證明MN∥平面PAB;(2)求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.跟蹤訓練2在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為CC1的中點，則直線A1B與平面BDE所成的角為()A.π6B.π3C.π2 例3.如圖，在正方體ABEF-DCE'F'中，M，N分別為AC，BF的中點，求平面MNA與平面MNB所成銳二面角的余弦值.利用平面的法向量求二面角利用向量方法求二面角的大小時，多采用法向量法，即求出兩個面的法向量，然后通過法向量的夾角來得到二面角的大小，但利用這種方法求解時，要注意結合圖形觀察分析，確定二面角是銳角還是鈍角，不能將兩個法向量的夾角與二面角的大小完全等同起來.跟蹤訓練3如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=BC=AB=2，AB⊥BC，求二面角B1-A1C-C1的大小.金題典例如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱長都相等，AC∩BD=O，A1C1∩B1D1=O1，四邊形ACC1A1和四邊形BDD1B1均為矩形.(1)證明：O1O⊥底面ABCD.(2)若∠CBA=60°，求二面角C1-OB1-D的余弦值.延伸探究1本例條件不變，求二面角B-A1C-D的余弦值.延伸探究2本例四棱柱中，∠CBA=60°改為∠CBA=90°，設E，F(xiàn)分別是棱BC，CD的中點，求平面AB1E與平面AD1F所成銳二面角的余弦值.向量法求二面角(或其某個三角函數(shù)值)的四個步驟(1)建立適當?shù)淖鴺讼?，寫出相應點的坐標;(2)求出兩個半平面的法向量n1，n2;(3)設二面角的平面角為θ，則|cosθ|=|cos<n1，n2>|;(4)根據(jù)圖形判斷θ為鈍角還是銳角，從而求出θ(或其三角函數(shù)值).1.平面α的斜線l與它在這個平面上射影l(fā)'的方向向量分別為a=(1，0，1)，b=(0，1，1)，則斜線l與平面α所成的角為()A.30° B.45° C.60° D.90°2.已知向量m，n分別是直線l和平面α的方向向量和法向量，若cos<m，n>=-12，則l與α所成的角為(A.30° B.60° C.120° D.150°3.在正方體ABCD-A1B1C1D