人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊 第6章 §6.2.3-2.4 組合與組合數(shù) 同步課時講練（教師版）

第第頁6.2.3組合6.2.4組合數(shù)第1課時組合及組合數(shù)的定義學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解組合的定義，正確認(rèn)識組合與排列的區(qū)別與聯(lián)系.2.會用組合知識解決一些簡單的組合問題．知識點一組合及組合數(shù)的定義1．組合一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素作為一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合．2．組合數(shù)從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用符號Ceq\o\al(m,n)表示．知識點二排列與組合的關(guān)系相同點兩者都是從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素不同點排列問題中元素有序，組合問題中元素?zé)o序關(guān)系組合數(shù)Ceq\o\al(m,n)與排列數(shù)Aeq\o\al(m,n)間存在的關(guān)系A(chǔ)eq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(m,n)Aeq\o\al(m,m)1．從a1，a2，a3三個不同元素中任取兩個元素作為一組是組合問題．(√)2．“abc”“acb”與“bac”是三種不同的組合．(×)3．組合數(shù)Ceq\o\al(3,5)＝eq\f(A\o\al(3,5),A\o\al(3,3)).(√)4．兩個組合相同，則其對應(yīng)的元素一定相同．(√)一、組合概念的理解例1判斷下列問題是組合問題還是排列問題：(1)a，b，c，d四支足球隊之間進(jìn)行單循環(huán)比賽，共需比賽多少場？(2)a，b，c，d四支足球隊爭奪冠、亞軍，有多少種不同的結(jié)果？(3)從全班種不同的選法？(4)從全班40人中選出3人參加某項活動，有多少種不同的選法？解(1)單循環(huán)比賽要求兩支球隊之間只打一場比賽，沒有順序，是組合問題．(2)冠、亞軍是有順序的，是排列問題．(3)3人分別擔(dān)任三個不同職務(wù)，有順序，是排列問題．(4)3人參加某項活動，沒有順序，是組合問題．反思感悟排列、組合辨析切入點(1)組合的特點是只選不排，即組合只是從n個不同的元素中取出m(m≤n)個不同的元素即可．(2)只要兩個組合中的元素完全相同，不管順序如何，這兩個組合就是相同的組合．(3)判斷組合與排列的依據(jù)是看是否與順序有關(guān)，與順序有關(guān)的是排列問題，與順序無關(guān)的是組合問題．跟蹤訓(xùn)練1判斷下列問題是組合問題還是排列問題：(1)某鐵路線上有4個車站，則這條鐵路線上共需準(zhǔn)備多少種車票？(2)把5本不同的書分給5個學(xué)生，每人一本；(3)從7本不同的書中取出5本給某個學(xué)生．解(1)因為一種火車票與起點、終點順序有關(guān)，如甲→乙和乙→甲的車票是不同的，所以它是排列問題．(2)由于書不同，每人每次拿到的書也不同，有順序之分，因此它是排列問題．(3)從7本不同的書中，取出5本給某個學(xué)生，在每種取法中取出的5本并不考慮書的順序，故它是組合問題．二、組合的個數(shù)問題例2在A，B，C，D四位候選人中．(1)如果選舉正、副班長各一人，共有幾種選法？寫出所有可能的選舉結(jié)果；(2)如果選舉兩人負(fù)責(zé)班級工作，共有幾種選法？寫出所有可能的選舉結(jié)果；(3)類比上述兩個結(jié)果間的等量關(guān)系，你能找出排列數(shù)Aeq\o\al(m,n)與組合數(shù)Ceq\o\al(m,n)間的等量關(guān)系嗎？解(1)從四位候選人中選舉正、副班長各一人是排列問題，有Aeq\o\al(2,4)＝12(種)選法，所有可能的選舉結(jié)果：AB，AC，AD，BC，BD，CD，BA，CA，DA，CB，DB，DC.(2)從四位候選人中選舉兩人負(fù)責(zé)班級工作是組合問題，有Ceq\o\al(2,4)＝6(種)選法，所有可能的選舉結(jié)果：AB，AC，AD，BC，BD，CD.(3)由(1)(2)我們發(fā)現(xiàn)，(2)中每一個組合都對應(yīng)Aeq\o\al(2,2)個排列，即Aeq\o\al(2,4)＝Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,2).類比可知，從n個不同元素選出m個元素的排列數(shù)Aeq\o\al(m,n)與組合數(shù)Ceq\o\al(m,n)間的等量關(guān)系為Aeq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(m,n)Aeq\o\al(m,m).反思感悟組合個數(shù)的求解策略(1)枚舉法：書寫時常以首字母為切入點，相同元素的不必重復(fù)列舉，如本例中，先枚舉以字母A開頭的組合，再枚舉以字母B開頭的組合，直到全部枚舉完畢．(2)公式法：利用排列數(shù)Aeq\o\al(m,n)與組合數(shù)Ceq\o\al(m,n)之間的關(guān)系Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))求解．跟蹤訓(xùn)練2從5個不同元素a，b，c，d，e中取出2個，共有多少種不同的組合？請寫出所有組合．解先將圖所示：由此可得所有的組合：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共有10種．三、簡單的組合問題例3有10名教師，其中6名男教師，4名女教師．(1)現(xiàn)要從中選2名去參加會議，有________種不同的選法；(2)選出2名男教師或2名女教師參加會議，有________種不同的選法；(3)現(xiàn)要從中選出男、女教師各2名去參加會議，有________種不同的選法．答案(1)45(2)21(3)90解析(1)從10名教師中選2名去參加會議的選法種數(shù)，就是從10個不同元素中取出2個元素的組合數(shù)，即Ceq\o\al(2,10)＝eq\f(A\o\al(2,10),A\o\al(2,2))＝eq\f(10×9,2×1)＝45.(2)可把問題分兩類情況：第1類，選出的2名是男教師有Ceq\o\al(2,6)種方法；第2類，選出的2名是女教師有Ceq\o\al(2,4)種方法．根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(2,4)＝eq\f(A\o\al(2,6),A\o\al(2,2))＋eq\f(A\o\al(2,4),A\o\al(2,2))＝eq\f(6×5,2×1)＋eq\f(4×3,2×1)＝15＋6＝21(種)不同的選法．(3)從6名男教師中選2名的選法有Ceq\o\al(2,6)種，從4名女教師中選2名的選法有Ceq\o\al(2,4)種，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有不同的選法Ceq\o\al(2,6)×Ceq\o\al(2,4)＝eq\f(A\o\al(2,6),A\o\al(2,2))×eq\f(A\o\al(2,4),A\o\al(2,2))＝eq\f(6×5,2×1)×eq\f(4×3,2×1)＝90(種)．反思感悟利用排列與組合之間的關(guān)系，建立起排列數(shù)與組合數(shù)之間的計算方法，借助排列數(shù)求組合數(shù)．跟蹤訓(xùn)練3一個口袋內(nèi)裝有大小相同的7個白球和1個黑球．(1)從口袋內(nèi)取出3個球，共有多少種取法？(2)從口袋內(nèi)取出3個球，使其中含有1個黑球，有多少種取法？(3)從口袋內(nèi)取出3個球，使其中不含黑球，有多少種取法？解(1)從口袋內(nèi)的8個球中取出3個球，取法種數(shù)是Ceq\o\al(3,8)＝eq\f(A\o\al(3,8),A\o\al(3,3))＝eq\f(8×7×6,3×2×1)＝56.(2)從口袋內(nèi)取出3個球有1個是黑球，于是還要從7個白球中再取出2個，取法種數(shù)是Ceq\o\al(2,7)＝eq\f(A\o\al(2,7),A\o\al(2,2))＝eq\f(7×6,2×1)＝21.(3)由于所取出的3個球中不含黑球，也就是要從7個白球中取出3個球，取法種數(shù)是Ceq\o\al(3,7)＝eq\f(A\o\al(3,7),A\o\al(3,3))＝eq\f(7×6×5,3×2×1)＝35.1．(多選)下面四組元素，是相同組合的是()A．a(chǎn)，b，c—b，c，a B．a(chǎn)，b，c—a，c，bC．a(chǎn)，c，d—d，a，c D．a(chǎn)，b，c—a，b，d答案ABC2．從5名同學(xué)中推選4人去參加一個會議，則不同的推選方法種數(shù)是()A．10B．5C．4D．1答案B解析組合問題，可從對立面考慮，選出一人不參加會議即可，故有5種方法．3．在橋牌比賽中，發(fā)給4名參賽者每人一手由52張牌的四分之一(即13張牌)組成的牌，一名參賽者可能得到的不同的牌為()A．4×13手 B．134手C．Aeq\o\al(13,52)手 D．Ceq\o\al(13,52)手答案D解析本題實質(zhì)上是從52個元素中取13個元素為一組，故一名參賽者可能得到Ceq\o\al(13,52)手不同的牌．4．下列問題中，組合問題有________，排列問題有________．(填序號)①從1,3,5,9中任取兩個數(shù)相加，所得不同的和；②平面內(nèi)有10個點，以其中每2個點為端點的線段的條數(shù)；③從甲、乙、丙三名同學(xué)中選兩名同學(xué)參加不同的兩項活動．答案①②③解析①②為組合問題，③為排列問題．5．已知a，b，c，d這四個元素，則每次取出2個元素的所有組合為________________________．答案ab，ac，ad，bc，bd，cd解析可按a→b→c→d順序?qū)懗?，即所以所有組合為ab，ac，ad，bc，bd，cd.1．知識清單：(1)組合與組合數(shù)的定義．(2)排列與組合的區(qū)別與聯(lián)系．(3)用列舉法寫組合．2．方法歸納：枚舉法．3．常見誤區(qū)：分不清“排列”還是“組合”．1．(多選)給出下面幾個問題，其中是組合問題的有()A．由1,2,3,4構(gòu)成的含有2個元素的集合個數(shù)B．五個隊進(jìn)行單循環(huán)比賽的比賽場次數(shù)C．由1,2,3組成兩位數(shù)的不同方法數(shù)D．由1,2,3組成的無重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)的個數(shù)答案AB2．把三張游園票分給10個人中的3人，分法有()A．Aeq\o\al(3,10)種 B．Ceq\o\al(3,10)種C．Ceq\o\al(3,10)Aeq\o\al(3,10)種 D．30種答案B解析三張票沒區(qū)別，從10人中選3人，即Ceq\o\al(3,10).3．已知平面內(nèi)A，B，C，D這4個點中任何3點不共線，則由其中每3點為頂點的所有三角形的個數(shù)為()A．3B．4C．12D．24答案B解析由于與順序無關(guān)，所以是組合問題，共有4個：△ABC，△ABD，△ACD，△BCD.4．某新農(nóng)村社區(qū)共包括8個自然村，且這些村莊分布零散沒有任何三個村莊在一條直線上，現(xiàn)要在該社區(qū)內(nèi)建“村村通”工程，則共需建公路的條數(shù)為()A．4B．8C．28D．64答案C解析由于“村村通”公路的修建，是組合問題，故共需要建Ceq\o\al(2,8)＝eq\f(A\o\al(2,8),A\o\al(2,2))＝eq\f(8×7,2×1)＝28(條)公路．5．某乒乓球隊有9名隊員，其中有兩名種子選手，現(xiàn)要選5名隊員參加運動會，種子選手都必須在內(nèi)，則不同的選法有()A．Ceq\o\al(5,9)種B．Aeq\o\al(3,7)種C．Ceq\o\al(3,7)種D．Ceq\o\al(5,7)種答案C解析只需再從其他7名隊員中選3人，即Ceq\o\al(3,7)種選法．6．從9名學(xué)生中選出3名參加“希望英語”口語比賽，有______種不同選法．答案84解析只需從9名學(xué)生中選出3名即可，從而有Ceq\o\al(3,9)＝eq\f(A\o\al(3,9),A\o\al(3,3))＝eq\f(9×8×7,3×2×1)＝84(種)選法．7．若已知集合P＝{1,2,3,4}，則集合P的子集中含有2個元素的子集數(shù)為________．答案6解析由于集合中的元素具有無序性，因此含2個元素的子集個數(shù)與元素順序無關(guān)，是組合問題，共有Ceq\o\al(2,4)＝eq\f(A\o\al(2,4),A\o\al(2,2))＝eq\f(4×3,2×1)＝6(個)．8．有3張參數(shù)是________．(用數(shù)字作答)答案10解析由于選出的人無角色差異，所以是組合問題，共有Ceq\o\al(3,5)＝eq\f(A\o\al(3,5),A\o\al(3,3))＝eq\f(5×4×3,3×2×1)＝10(種)不同方法．9．判斷下列問題是排列問題還是組合問題，并求出相應(yīng)的排列數(shù)或組合數(shù)．(1)10個人相互寫一封信，一共寫了多少封信？(2)10個人相互通一次電話，一共通了多少次電話？(3)10支球隊以單循環(huán)進(jìn)行比賽(每兩隊比賽一次)，這次比賽需要進(jìn)行多少場？(4)從10個人中選3人去開會，有多少種選法？(5)從10個人中選出3人擔(dān)任不同學(xué)科的課代表，有多少種選法？解(1)是排列問題，因為發(fā)信人與收信人是有順序區(qū)別的，排列數(shù)為Aeq\o\al(2,10)＝90.(2)是組合問題，因為甲與乙通一次電話，也就是乙與甲通一次電話，沒有順序區(qū)別，組合數(shù)為Ceq\o\al(2,10)＝eq\f(A\o\al(2,10),A\o\al(2,2))＝45.(3)是組合問題，因為每兩個隊比賽一次，沒有順序的區(qū)別，組合數(shù)為Ceq\o\al(2,10)＝eq\f(A\o\al(2,10),A\o\al(2,2))＝45.(4)是組合問題，因為去開會的3個人之間沒有順序的區(qū)別，組合數(shù)為Ceq\o\al(3,10)＝eq\f(A\o\al(3,10),A\o\al(3,3))＝120.(5)是排列問題，因為3個人擔(dān)任哪一科的課代表是有區(qū)別的，排列數(shù)為Aeq\o\al(3,10)＝720.10．平面內(nèi)有10個點，其中任意3個點不共線．(1)以其中任意2個點為端點的線段有多少條？(2)以其中任意2個點為端點的有向線段有多少條？(3)以其中任意3個點為頂點的三角形有多少個？解(1)所求線段的條數(shù)，即為從10個元素中任取2個元素的組合數(shù)，共有Ceq\o\al(2,10)＝eq\f(A\o\al(2,10),A\o\al(2,2))＝eq\f(10×9,2×1)＝45(條)，即以10個點中的任意2個點為端點的線段共有45條．(2)所求有向線段的條數(shù)，即為從10個元素中任取2個元素的排列數(shù)，共有Aeq\o\al(2,10)＝10×9＝90(條)，即以10個點中的任意2個點為端點的有向線段共有90條．(3)所求三角形的個數(shù)，即為從10個元素中任選3個元素的組合數(shù)，共有Ceq\o\al(3,10)＝eq\f(A\o\al(3,10),A\o\al(3,3))＝eq\f(10×9×8,3×2×1)＝120(個)．11．(多選)下列問題是組合問題的有()A．10個朋友聚會，每兩人握手一次，一共握手多少次B．平面上有2021個不同的點，它們中任意三點不共線，連接任意兩點可以構(gòu)成多少條線段C．集合{a1，a2，a3，…，an}中含有三個元素的子集有多少個D．從高三(19)班的54名學(xué)生中選出2名學(xué)生分別參加校慶晚會的獨唱、獨舞節(jié)目，有多少種選法答案ABC解析組合問題與次序無關(guān)，排列問題與次序有關(guān)，D選項中，選出的2名學(xué)生，如甲、乙，其中“甲參加獨唱、乙參加獨舞”與“乙參加獨唱、甲參加獨舞”是兩個不同的選法，因此是排列問題，不是組合問題，故選ABC.12．從5人中選3人參加座談會，其中甲必須參加，則不同的選法有()A．60種B．36種C．10種D．6種答案D解析甲必須參加，因此只要從除甲之外的4人中選2人即可，有Ceq\o\al(2,4)＝eq\f(A\o\al(2,4),A\o\al(2,2))＝6(種)不同的選法．13．從8名女生和4名男生中，抽取3名學(xué)生參加某檔電視節(jié)目，若按性別比例分層抽樣，則不同的抽取方法數(shù)為()A．224B．112C．56D．28答案B解析由分層抽樣知，應(yīng)從8名女生中抽取2名，從4名男生中抽取1名，所以抽取2名女生和1名男生的方法數(shù)為Ceq\o\al(2,8)Ceq\o\al(1,4)＝eq\f(A\o\al(2,8),A\o\al(2,2))·eq\f(A\o\al(1,4),A\o\al(1,1))＝112.14．從2,3,5,7四個數(shù)中任取兩個不同的數(shù)相乘，有m個不同的積，任取兩個不同的數(shù)相除，有n個不同的商，則m∶n＝________.答案1∶2解析∵m＝Ceq\o\al(2,4)，n＝Aeq\o\al(2,4)，∴m∶n＝1∶2.15．某區(qū)有7條南北向街道，5條東西向街道．(如圖)(1)圖中有________個矩形；(2)從A點走向B點最短的走法有________種．答案(1)210(2)210解析(1)在7條南北向街道中任選2條，5條南北向街道中任選2條，這樣4條線可組成一個矩形，故可組成矩形Ceq\o\al(2,7)·Ceq\o\al(2,5)＝eq\f(A\o\al(2,7),A\o\al(2,2))·eq\f(A\o\al(2,5),A\o\al(2,2))＝210(個)．(2)每條東西向的街道被分成6段，每條南北向的街道被分成4段，從A到B最短的走法，無論怎樣走，一定至少包括10段，其中6段方向相同，另4段方向也相同，每種走法，即是從10段中選出6段，這6段是走東西方向的(剩下4段即是走南北方向的)，共有Ceq\o\al(6,10)·Ceq\o\al(4,4)＝eq\f(A\o\al(6,10),A\o\al(6,6))·eq\f(A\o\al(4,4),A\o\al(4,4))＝210(種)走法．16．某次足球比賽共12支球隊參加，分三個階段進(jìn)行．(1)小組賽：經(jīng)抽簽分成甲、乙兩組，每組6隊進(jìn)行單循環(huán)比賽，以積分及凈勝球數(shù)取前兩名；(2)半決賽：甲組第一名與乙組第二名，乙組第一名與甲組第二名作主客場交叉淘汰賽(每兩隊主客場各賽一場)決出勝者；(3)決賽：兩個勝隊參加決賽一場，決出勝負(fù)．問：全部賽程共需比賽多少場？解(1)小組賽中每組6隊進(jìn)行單循環(huán)比賽，就是6支球隊的任兩支球隊都要比賽一次，所需比賽的場次即為從6個元素中任取2個元素的組合數(shù)，所以小組賽共要比賽2Ceq\o\al(2,6)＝2×eq\f(A\o\al(2,6),A\o\al(2,2))＝30(場)．(2)半決賽中甲組第一名與乙組第二名(乙組第一名與甲組第二名)主客場各賽一次，所以半決賽共要比賽2×2＝4(場)．(3)決賽只需比賽1場，即可決出勝負(fù)．所以全部賽程共需比賽30＋4＋1＝35(場)．第2課時組合數(shù)公式學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解排列數(shù)與組合數(shù)之間的聯(lián)系，掌握組合數(shù)公式.2.能運用組合數(shù)公式進(jìn)行計算.3.會用組合數(shù)公式解決一些簡單的組合問題．知識點一組合數(shù)公式組合數(shù)公式乘積形式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)，其中m，n∈N*，并且m≤n階乘形式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m！n－m！)規(guī)定：Ceq\o\al(0,n)＝1.知識點二組合數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1：Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n).性質(zhì)2：Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n).1．Ceq\o\al(2019,2020)＝________.答案20202．Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(2,2)＝________.答案33．若Ceq\o\al(m,7)＝21，Ceq\o\al(m,6)＝15，則Ceq\o\al(m－1,6)＝________.答案64．方程Ceq\o\al(x,5)＝Ceq\o\al(2,5)，則x＝________.答案2或3一、組合數(shù)公式的應(yīng)用命題角度1化簡與求值例1－1求值：(1)3Ceq\o\al(3,8)－2Ceq\o\al(2,5)；(2)Ceq\o\al(38－n,3n)＋Ceq\o\al(3n,21＋n).解(1)3Ceq\o\al(3,8)－2Ceq\o\al(2,5)＝3×eq\f(8×7×6,3×2×1)－2×eq\f(5×4,2×1)＝148.(2)∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(38－n≤3n，,3n≤21＋n，))∴9.5≤n≤10.5.∵n∈N*，∴n＝10，∴Ceq\o\al(38－n,3n)＋Ceq\o\al(3n,21＋n)＝Ceq\o\al(28,30)＋Ceq\o\al(30,31)＝Ceq\o\al(2,30)＋Ceq\o\al(1,31)＝466.命題角度2與組合數(shù)有關(guān)的證明例1－2證明：mCeq\o\al(m,n)＝nCeq\o\al(m－1,n－1).證明mCeq\o\al(m,n)＝m·eq\f(n！,m！n－m！)＝eq\f(n·n－1！,m－1！n－m！)＝n·eq\f(n－1！,m－1！n－m！)＝nCeq\o\al(m－1,n－1).命題角度3與組合數(shù)有關(guān)的方程或不等式例1－3(1)(多選)若Ceq\o\al(4,n)>Ceq\o\al(6,n)，則n的可能取值有()A．6B．7C．8D．9答案ABCD解析由Ceq\o\al(4,n)>Ceq\o\al(6,n)得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(n！,4！n－4！)>\f(n！,6！n－6！)，,n≥6))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n2－9n－10<0，,n≥6))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1<n<10，,n≥6，))又n∈N*，則n＝6,7,8,9.∴該不等式的解集為{6,7,8,9}．(2)已知eq\f(1,C\o\al(m,5))－eq\f(1,C\o\al(m,6))＝eq\f(7,10C\o\al(m,7))，求Ceq\o\al(m,8)＋Ceq\o\al(5－m,8).解∵eq\f(1,C\o\al(m,5))－eq\f(1,C\o\al(m,6))＝eq\f(7,10C\o\al(m,7))，∴eq\f(m！5－m！,5！)－eq\f(m！6－m！,6！)＝eq\f(7×7－m！m！,10×7！)，即eq\f(m！5－m！,5！)－eq\f(m！6－m5－m！,6×5！)＝eq\f(7×m！7－m6－m5－m！,10×7×6×5！)，∴1－eq\f(6－m,6)＝eq\f(7－m6－m,60)，即m2－23m＋42＝0，解得m＝2或m＝21.∵0≤m≤5，m∈N*，∴m＝2，∴Ceq\o\al(m,8)＋Ceq\o\al(5－m,8)＝Ceq\o\al(2,8)＋Ceq\o\al(3,8)＝Ceq\o\al(3,9)＝84.反思感悟(1)組合數(shù)公式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)一般用于計算，而組合數(shù)公式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m！n－m！)一般用于含字母的式子的化簡與證明．(2)要善于挖掘題目中的隱含條件，簡化解題過程，如組合數(shù)Ceq\o\al(m,n)的隱含條件為m≤n，且m，n∈N*.(3)計算時應(yīng)注意利用組合數(shù)的兩個性質(zhì)：①Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)；②Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n).跟蹤訓(xùn)練1(1)計算：Ceq\o\al(98,100)＋Ceq\o\al(199,200)；(2)證明：Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n,n－m)Ceq\o\al(m,n－1).(1)解Ceq\o\al(98,100)＋Ceq\o\al(199,200)＝Ceq\o\al(2,100)＋Ceq\o\al(1,200)＝eq\f(100×99,2)＋200＝4950＋200＝5150.(2)證明eq\f(n,n－m)Ceq\o\al(m,n－1)＝eq\f(n,n－m)·eq\f(n－1！,m！n－1－m！)＝eq\f(n！,m！n－m！)＝Ceq\o\al(m,n).二、有限制條件的組合問題例2課外活動小組共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名隊長，現(xiàn)從中選5人主持某項活動，依下列條件各有多少種選法？(1)至少有一名隊長當(dāng)選；(2)至多有兩名女生當(dāng)選；(3)既要有隊長，又要有女生當(dāng)選．解(1)Ceq\o\al(5,13)－Ceq\o\al(5,11)＝825(種)．(2)至多有2名女生當(dāng)選含有三類：有2名女生當(dāng)選；只有1名女生當(dāng)選；沒有女生當(dāng)選，所以共有Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,8)＋Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(4,8)＋Ceq\o\al(5,8)＝966(種)選法．(3)分兩類：第一類女隊長當(dāng)選，有Ceq\o\al(4,12)＝495(種)選法，第二類女隊長沒當(dāng)選，有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(3,7)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,7)＋Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,7)＋Ceq\o\al(4,4)＝295(種)選法，所以共有495＋295＝790(種)選法．反思感悟有限制條件的抽(選)取問題，主要有兩類(1)“含”與“不含”問題，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步計數(shù)．(2)“至多”“至少”問題，其解法常有兩種解決思路：一是直接分類法，但要注意分類要不重不漏；二是間接法，注意找準(zhǔn)對立面，確保不重不漏．跟蹤訓(xùn)練2某食堂每天中午準(zhǔn)備4種不同的葷菜，7種不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：(1)任選兩種葷菜、兩種蔬菜和白米飯；(2)任選一種葷菜、兩種蔬菜和蛋炒飯．則每天不同午餐的搭配方法共有()A．210種B．420種C．56種D．22種答案A解析由分類加法計數(shù)原理知，兩類配餐的搭配方法之和即為所求，所以每天不同午餐的搭配方法共有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,7)＋Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,7)＝210(種)．三、分組、分配問題命題角度1平均分組例3－1(1)6本不同的書，分給甲、乙、丙三人，每人兩本，有多少種方法？(2)6本不同的書，分為三份，每份兩本，有多少種方法？解(1)先從6本書中選2本給甲，有Ceq\o\al(2,6)種方法；再從其余的4本中選2本給乙，有Ceq\o\al(2,4)種方法；最后從余下的2本書中選2本給丙，有Ceq\o\al(2,2)種方法，所以分給甲、乙、丙三人，每人2本，共有Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝90(種)方法．(2)分給甲、乙、丙三人，每人兩本，有Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)種方法，這個過程可以分兩步完成：第一步，分為三份，每份兩本，設(shè)有x種方法；第二步，再將這三份分給甲、乙、丙三名同學(xué)，有Aeq\o\al(3,3)種方法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝xAeq\o\al(3,3)，所以x＝eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(3,3))＝15.因此分為三份，每份兩本，一共有15種方法．命題角度2不平均分組例3－2(1)6本不同的書，分為三份，一份一本，一份兩本，一份三本，有多少種方法？(2)6本不同的書，分給甲、乙、丙三人，一人一本，一人兩本，一人三本，有多少種不同的方法？解(1)這是“不平均分組”問題，一共有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)＝60(種)方法．(2)在(1)的基礎(chǔ)上再進(jìn)行全排列，所以一共有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,3)＝360(種)方法．命題角度3分配問題例3－36本不同的書，分給甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少種不同的方法？解可以分為三類情況：①“2,2,2型”，有Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝90(種)方法；②“1,2,3型”，有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,3)＝360(種)方法；③“1，1,4型”，有Ceq\o\al(4,6)Aeq\o\al(3,3)＝90(種)方法，所以一共有90＋360＋90＝540(種)方法．反思感悟“分組”與“分配”問題的解法(1)分組問題屬于“組合”問題，常見的分組問題有三種：①完全均勻分組，每組的元素個數(shù)均相等，均勻分成n組，最后必須除以n??；②部分均勻分組，應(yīng)注意不要重復(fù)，有n組均勻，最后必須除以n?。虎弁耆蔷鶆蚍纸M，這種分組不考慮重復(fù)現(xiàn)象．(2)分配問題屬于“排列”問題，分配問題可以按要求逐個分配，也可以分組后再分配．跟蹤訓(xùn)練3將4個編號為1,2,3,4的小球放入4個編號為1,2,3,4的盒子中．(1)有多少種放法？(2)每盒至多1個球，有多少種放法？(3)恰好有1個空盒，有多少種放法？(4)每個盒內(nèi)放1個球，并且恰好有1個球的編號與盒子的編號相同，有多少種放法？(5)把4個不同的小球換成4個相同的小球，恰有一個空盒，有多少種放法？解(1)每個小球都可能放入4個盒子中的任何一個，將小球一個一個放入盒子，共有4×4×4×4＝44＝256(種)放法．(2)這是全排列問題，共有Aeq\o\al(4,4)＝24(種)放法．(3)方法一先將4個小球分為3組，有eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,2)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))種方法，再將3組小球投入4個盒子中的3個盒子，有Aeq\o\al(3,4)種投放方法，故共有eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,2)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(3,4)＝144(種)放法．方法二先取4個球中的2個“捆”在一起，有Ceq\o\al(2,4)種選法，把它與其他2個球共3個元素分別放入4個盒子中的3個盒子，有Aeq\o\al(3,4)種投放方法，所以共有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,4)＝144(種)放法．(4)1個球的編號與盒子編號相同的選法有Ceq\o\al(1,4)種，當(dāng)1個球與1個盒子的編號相同時，用局部列舉法可知其余3個球的投入方法有2種，故共有Ceq\o\al(1,4)·2＝8(種)放法．(5)先從4個盒子中選出3個盒子，再從3個盒子中選出1個盒子放入2個球，余下2個盒子各放1個，由于球是相同的即沒有順序，所以屬于組合問題，故共有Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,3)＝12(種)放法．與幾何有關(guān)的組合應(yīng)用題典例如圖，在以AB為直徑的半圓周上，有異于A，B的六個點C1，C2，…，C6，線段AB上有異于A，B的四個點D1，D2，D3，D4.(1)以這10個點中的3個點為頂點可作多少個三角形？其中含C1點的有多少個？(2)以圖中的12個點(包括A，B)中的4個點為頂點，可作出多少個四邊形？解(1)方法一可作出三角形Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(1,6)·Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,6)·Ceq\o\al(1,4)＝116(個)．其中以C1為頂點的三角形有Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,4)＝36(個)．方法二可作三角形Ceq\o\al(3,10)－Ceq\o\al(3,4)＝116(個)，其中以C1為頂點的三角形有Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,4)＝36(個)．(2)可作出四邊形Ceq\o\al(4,6)＋Ceq\o\al(3,6)·Ceq\o\al(1,6)＋Ceq\o\al(2,6)·Ceq\o\al(2,6)＝360(個)．[素養(yǎng)提升](1)圖形多少的問題通常是組合問題，要注意共點、共線、共面、異面等情形，防止多算．常用直接法，也可采用間接法．(2)把一個與幾何相關(guān)的問題轉(zhuǎn)化為組合問題，此題目的解決體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象及數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．1．Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(5,7)的值為()A．72B．36C．30D．42答案B解析Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(5,7)＝Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(2,7)＝eq\f(6×5,2×1)＋eq\f(7×6,2×1)＝15＋21＝36.2．若Ceq\o\al(2,n)＝28，則n的值為()A．9B．8C．7D．6答案B解析因為Ceq\o\al(2,n)＝28，所以eq\f(1,2)n(n－1)＝28，又n∈N*，所以n＝8.3．若Aeq\o\al(3,m)＝6Ceq\o\al(4,m)，則m等于()A．9B．8C．7D．6答案C解析由已知得m(m－1)(m－2)＝6×eq\f(mm－1m－2m－3,4！)，解得m＝7，故選C.4．甲、乙、丙3位同學(xué)選修課程，從4門課程中，甲選修2門，乙、丙各選修3門，則不同的選修方案的種數(shù)為______．答案96解析從4門課程中，甲選修2門，乙、丙各選修3門，則不同的選修方案共有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(3,4)＝96(種)．5．有4名男醫(yī)生、3名女醫(yī)生，從中選出2名男醫(yī)生、1名女醫(yī)生組成1個醫(yī)療小組，則不同的選法共有________種．答案18解析從4名男醫(yī)生中選2人，有Ceq\o\al(2,4)種選法，從3名女醫(yī)生中選1人，有Ceq\o\al(1,3)種選法，由分步乘法計數(shù)原理知，所求選法種數(shù)為Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,3)＝18.1．知識清單：(1)涉及具體數(shù)字的可以直接用公式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)計算．(2)涉及字母的可以用階乘式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m！n－m！)計算．(3)計算時應(yīng)注意利用組合數(shù)的性質(zhì)Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)簡化運算．(4)分組分配問題．2．方法歸納：分類討論、正難則反、方程思想．3．常見誤區(qū)：分組分配中是否為“平均分組”．1．計算：Ceq\o\al(2,8)＋Ceq\o\al(3,8)＋Ceq\o\al(2,9)等于()A．120B．240C．60D．480答案A解析Ceq\o\al(2,8)＋Ceq\o\al(3,8)＋Ceq\o\al(2,9)＝eq\f(7×8,2×1)＋eq\f(6×7×8,3×2×1)＋eq\f(8×9,2×1)＝120.2．從5名志愿者中選派4人在星期六和星期日參加公益活動，每人一天，每天兩人，則不同的選派方法共有()A．60種B．48種C．30種D．10種答案C解析從5名志愿者中選派2人參加星期六的公益活動，有Ceq\o\al(2,5)種方法，再從剩下的3人中選派2人參加星期日的公益活動，有Ceq\o\al(2,3)種方法，由分步乘法計數(shù)原理可得不同的選派方法共有Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(2,3)＝30(種)，故選C.3．(多選)下列等式正確的有()A．Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m！n－m！) B．Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)C．Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(m＋1,n＋1)Ceq\o\al(m＋1,n＋1) D．Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(m＋1,n＋1)答案ABC解析A是組合數(shù)公式；B是組合數(shù)性質(zhì)；由eq\f(m＋1,n＋1)Ceq\o\al(m＋1,n＋1)＝eq\f(m＋1,n＋1)×eq\f(n＋1！,m＋1！n－m！)＝Ceq\o\al(m,n)得C正確；D錯誤．4．200件產(chǎn)品中有3件次品，任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有()A．Ceq\o\al(32,197)·Ceq\o\al(2,3)種 B．Ceq\o\al(3,3)Ceq\o\al(2,197)＋Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(3,197)種C．Ceq\o\al(5,200)－Ceq\o\al(5,197)種 D．Ceq\o\al(5,200)－Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(4,197)種答案B解析至少2件次品包含兩類：(1)2件次品，3件正品，共Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(3,197)種抽法，(2)3件次品，2件正品，共Ceq\o\al(3,3)Ceq\o\al(2,197)種抽法，由分類加法計數(shù)原理得，抽法共有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(3,197)＋Ceq\o\al(3,3)Ceq\o\al(2,197)種．5．空間中有10個點，其中有5個點在同一個平面內(nèi)，其余點無三點共線，無四點共面，則以這些點為頂點，共可構(gòu)成四面體的個數(shù)為()A．205B．110C．204D．200答案A解析方法一可以按從共面的5個點中取0個、1個、2個、3個進(jìn)行分類，則得到所有的取法總數(shù)為Ceq\o\al(0,5)Ceq\o\al(4,5)＋Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(1,5)＝205.方法二從10個點中任取4個點的方法數(shù)中去掉4個點全部取自共面的5個點的情況，得到所有構(gòu)成四面體的個數(shù)為Ceq\o\al(4,10)－Ceq\o\al(4,5)＝205.6有______種．答案36解析把4名學(xué)生分成3組有Ceq\o\al(2,4)種方法，再把3組學(xué)生分配到3所學(xué)校有Aeq\o\al(3,3)種方法，故共有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝36(種)保送方案．7．甲、乙、丙3人站到共有7級的臺階上，若每級臺階最多站2人，同一級臺階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法種數(shù)是________．(用數(shù)字作答)答案336解析當(dāng)每個臺階上各站1人時有Ceq\o\al(3,7)Aeq\o\al(3,3)種站法；當(dāng)兩個人站在同一個臺階上時有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,7)Ceq\o\al(1,6)種站法．因此不同的站法種數(shù)為Ceq\o\al(3,7)Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,7)Ceq\o\al(1,6)＝210＋126＝336.8．某校從8名教師中選派4名教師同時去4個邊遠(yuǎn)地區(qū)支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，則不同的選派方案共有________種．答案600解析可以分情況討論：①甲、丙同去，則乙不去，有Ceq\o\al(2,5)·Aeq\o\al(4,4)＝240(種)選法；②甲、丙同不去，有Aeq\o\al(4,6)＝360(種)選法，所以共有600種不同的選派方案．9．已知Ceq\o\al(4,n)，Ceq\o\al(5,n)，Ceq\o\al(6,n)成等差數(shù)列，求Ceq\o\al(12,n)的值．解由已知得2Ceq\o\al(5,n)＝Ceq\o\al(4,n)＋Ceq\o\al(6,n)，所以2×eq\f(n！,5！n－5！)＝eq\f(n！,4！n－4！)＋eq\f(n！,6！n－6！)，整理得n2－21n＋98＝0，解得n＝7或n＝14，要求Ceq\o\al(12,n)的值，故n≥12，所以n＝14，于是Ceq\o\al(12,14)＝Ceq\o\al(2,14)＝eq\f(14×13,2×1)＝91.10．現(xiàn)有8名青年，其中有5名能勝任英語翻譯工作，有4名能勝任德語翻譯工作(其中有1名青年兩項工作都能勝任)．現(xiàn)在要從中挑選5名青年承擔(dān)一項任務(wù)，其中3名從事英語翻譯工作，2名從事德語翻譯工作，則有多少種不同的選法？解可以分三類：第一類，讓兩項工作都能勝任的青年從事英語翻譯工作，有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,3)種選法；第二類，讓兩項工作都能勝任的青年從事德語翻譯工作，有Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,3)種選法；第三類，兩項工作都能勝任的青年不從事任何工作，有Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(2,3)種選法．根據(jù)分類加法計數(shù)原理，一共有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,3)＋Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(2,3)＝42(種)不同的選法．11．若Ceq\o\al(7,n＋1)－Ceq\o\al(7,n)＝Ceq\o\al(8,n)，則n等于()A．12B．13C．14D．15答案C解析因為Ceq\o\al(7,n＋1)－Ceq\o\al(7,n)＝Ceq\o\al(8,n)，即Ceq\o\al(7,n＋1)＝Ceq\o\al(8,n)＋Ceq\o\al(7,n)＝Ceq\o\al(8,n＋1)，所以n＋1＝7＋8，即n＝14.12．在∠AOB的OA邊上取m個點，在OB邊上取n個點(均除O點外)，連同O點共(m＋n＋1)個點，現(xiàn)任取其中三個點為頂點作三角形，則可作出的三角形的個數(shù)為()A．Ceq\o\