《平面向量基本定理》教案、導(dǎo)學(xué)案、同步練習(xí)

《6.3.1平面向量基本定理》教案課題6.3.1平面向量基本定理單元第六單元學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)高一教材分析本節(jié)內(nèi)容是平面向量基本定理，由平面向量共線定理導(dǎo)入，學(xué)習(xí)平面向量基本定理，為平面向量的坐標(biāo)表示做鋪墊。教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)1.數(shù)學(xué)抽象：利用平面向量共線定理將平面向量基本定理具體化；2.邏輯推理：通過課堂探究逐步培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力；3.數(shù)學(xué)建模：掌握平面向量基本定理；4.直觀想象：利用平行四邊形法則推導(dǎo)并掌握平面向量基本定理；5.數(shù)學(xué)運(yùn)算:能夠正確運(yùn)用平面向量基本定理；6.數(shù)據(jù)分析:通過經(jīng)歷提出問題—推導(dǎo)過程—得出結(jié)論—例題講解—練習(xí)鞏固的過程，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯性和嚴(yán)密性。重點(diǎn)平面向量基本定理難點(diǎn)平面向量基本定理教學(xué)過程教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖導(dǎo)入新課舊知導(dǎo)入：思考1：向量的加法運(yùn)算是什么運(yùn)算法則呢？三角形法則作平移,首尾連,由起點(diǎn)指終點(diǎn)

平行四邊形法則

作平移,共起點(diǎn),四邊形,對角線思考2：平面中的非零共線向量該如何表示？

思考3：根據(jù)思考1和2，你有什么猜想？平面內(nèi)任一向量可以由同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量表示。我們知道：已知兩個(gè)力，可以求出它們的合力；反過來，一個(gè)力可以分解為兩個(gè)力。

思考4：物理中我們根據(jù)什么方法進(jìn)行力的分解？

平行四邊形法則。

由此我們推斷出：可以通過作平行四邊形，用同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量表示平面內(nèi)任一向量。學(xué)生思考問題，引出本節(jié)新課內(nèi)容。設(shè)置問題情境，回顧舊知，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，并引出本節(jié)新課。講授新課知識(shí)探究（一）：平面向量基本定理思考1：你能根據(jù)上述過程證明以下結(jié)論嗎?

思考2：根據(jù)上述討論你能得到什么結(jié)論?

平面向量基本定理：

思考3：

小試牛刀1．判一判(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)平面向量的一個(gè)基底{e1，e2}中，e1，e2一定都是非零向量．(√)(2)在平面向量基本定理中，若a＝0，則λ1＝λ2＝0.(√)(3)在平面向量基本定理中，若a∥e1，則λ2＝0；若a∥e2，則λ1＝0.(√)(4)表示同一平面內(nèi)所有向量的基底是唯一的．(×)2．做一做(1)設(shè)e1，e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，以下各組向量中不能作為基底的是(B)A．{e1，e2}B．{e1＋e2,3e1＋3e2}C．{e1,5e2}D．{e1，e1＋e2}(2)在△ABC中，D為BC邊上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，若eq\o(AB,\s\up16(→))＝a，eq\o(AC,\s\up16(→))＝b，則eq\o(AD,\s\up16(→))＝___(用a，b表示)．例題講解

例1：思考4：

由此可得結(jié)論：

例2：

例3如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，且eq\o(AN,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)eq\o(NC,\s\up16(→))，BN與CM相交于點(diǎn)E，設(shè)eq\o(AB,\s\up16(→))＝a，eq\o(AC,\s\up16(→))＝b，試用基底{a，b}表示向量eq\o(AE,\s\up16(→)).[解]易得eq\o(AN,\s\up16(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\f(1,3)b，eq\o(AM,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)a，由N，E，B三點(diǎn)共線知存在實(shí)數(shù)m，滿足eq\o(AE,\s\up16(→))＝meq\o(AN,\s\up16(→))＋(1－m)eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\f(1,3)mb＋(1－m)a.由C，E，M三點(diǎn)共線知存在實(shí)數(shù)n，滿足eq\o(AE,\s\up16(→))＝neq\o(AM,\s\up16(→))＋(1－n)eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)na＋(1－n)b，所以eq\f(1,3)mb＋(1－m)a＝eq\f(1,2)na＋(1－n)b，由于{a，b}為基底，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m＝\f(1,2)n，,\f(1,3)m＝1－n，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(3,5)，,n＝\f(4,5)，))所以eq\o(AE,\s\up16(→))＝eq\f(2,5)a＋eq\f(1,5)b.例4設(shè){e1，e2}是平面內(nèi)的一個(gè)基底，如果eq\o(AB,\s\up16(→))＝3e1－2e2，eq\o(BC,\s\up16(→))＝4e1＋e2，eq\o(CD,\s\up16(→))＝8e1－9e2，求證：A，B，D三點(diǎn)共線．[證明]∵eq\o(AB,\s\up16(→))＝3e1－2e2，eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))＝15e1－10e2＝5(3e1－2e2)＝5eq\o(AB,\s\up16(→))，即eq\o(AD,\s\up16(→))＝5eq\o(AB,\s\up16(→))，∴eq\o(AD,\s\up16(→))與eq\o(AB,\s\up16(→))共線，又eq\o(AD,\s\up16(→))與eq\o(AB,\s\up16(→))有公共點(diǎn)A，∴A，B，D三點(diǎn)共線．(1)三點(diǎn)共線問題的解法一是利用平面向量基本定理、結(jié)合向量的線性運(yùn)算表示有公共點(diǎn)的兩向量之間的共線關(guān)系．二是找直線外一點(diǎn)(任意一點(diǎn)也可)O，若存在唯一實(shí)數(shù)對λ，μ∈R使eq\o(OP,\s\up16(→))＝λeq\o(OA,\s\up16(→))＋μeq\o(OB,\s\up16(→))(λ＋μ＝1)．則P，A，B三點(diǎn)共線．(2)注意向量共線與平面向量基本定理放在一起思考解決是否共線問題．提升訓(xùn)練

1、ABCD中，E、F分別是DC和AB的中點(diǎn)，試判斷AE,CF是否平行？

2、學(xué)生根據(jù)力的分解探究平面向量基本定理。學(xué)生根據(jù)環(huán)環(huán)相扣的思考題，探究平面向量基本定理。練一練學(xué)生例題，鞏固平面向量基本定理，并能夠靈活運(yùn)用.學(xué)生和教師共同探究完成練習(xí)題。利用力的分解探究得出平面向量基本定理,培養(yǎng)學(xué)生探索的精神.通過思考，培養(yǎng)學(xué)生探索新知的精神和能力.鞏固掌握平面向量基本定理利用例題，化抽象為具體，提高學(xué)生的抽象能力和邏輯思維能力。通過這3個(gè)題，鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，發(fā)散學(xué)生思維，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和對數(shù)學(xué)的探索精神。課堂小結(jié)平面向量基本定理學(xué)生回顧本節(jié)課知識(shí)點(diǎn)，教師補(bǔ)充。讓學(xué)生掌握本節(jié)課知識(shí)點(diǎn)，并能夠靈活運(yùn)用。板書§6.3.1平面向量基本定理一、情境導(dǎo)入三、課堂小結(jié)二、探索新知例1、2四、作業(yè)布置1.定理《6.3.1平面向量基本定理》導(dǎo)學(xué)案【學(xué)習(xí)目標(biāo)】素養(yǎng)目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)1.理解平面向量基本定理及其意義，了解向量基底的含義。（重點(diǎn)）2.掌握平面向量基本定理，會(huì)用基底表示平面向量。（重點(diǎn)）1.數(shù)學(xué)運(yùn)算;2.數(shù)學(xué)抽象【自主學(xué)習(xí)】平面向量基本定理?xiàng)l件e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)結(jié)論對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)λ1，λ2，使基底若e1，e2不共線，把{e1，e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底思考：基底有什么特點(diǎn)？平面內(nèi)基底唯一嗎？【小試牛刀】思維辨析(對的打“√”，錯(cuò)的打“×”)(1)基底中的向量不能為零向量．()(2)若ae1＋be2＝ce1＋de2(a，b，c，d∈R)，則必有a＝c，b＝d.()(3)若兩個(gè)向量的夾角為θ，則當(dāng)|cosθ|＝1時(shí)，兩個(gè)向量共線．()(4)若向量a與b的夾角為60°，則向量－a與－b的夾角是60°.()(5)平面內(nèi)的任何兩個(gè)向量都可以作為一個(gè)基底．()(6)若a，b不共線，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，則λ1＝λ2，μ1＝μ2.()【經(jīng)典例題】題型一平面向量基本定理的理解點(diǎn)撥：(1)兩個(gè)向量能否作為一個(gè)基底，關(guān)鍵是看這兩個(gè)向量是否共線．若共線，則不能作基底，反之，則可作基底．(2)一個(gè)平面的基底一旦確定，那么平面上任意一個(gè)向量都可以用這個(gè)基底唯一線性表示出來．設(shè)向量a與b是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝x2，,y1＝y(tǒng)2.))(3)一個(gè)平面的基底不是唯一的，同一個(gè)向量用不同的基底表示，表達(dá)式不一樣．例1如果e1、e2是平面α內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么下列說法中不正確的是()①a＝λe1＋μe2(λ、μ∈R)可以表示平面α內(nèi)的所有向量；②對于平面α內(nèi)任一向量a，使a＝λe1＋μe2的實(shí)數(shù)對(λ，μ)有無窮多個(gè)；③若向量λ1e1＋μ1e2與λ2e1＋μ2e2共線，則eq\f(λ1,λ2)＝eq\f(μ1,μ2).④若實(shí)數(shù)λ、μ使得λe1＋μe2＝0，則λ＝μ＝0.A．①② B．②③C．③④ D．②【跟蹤訓(xùn)練】1設(shè)e1，e2是不共線的兩個(gè)向量，給出下列四組向量：①e1與e1＋e2；②e1－2e2與e2－2e1；③e1－2e2與4e2－2e1；④e1＋e2與e1－e2.其中，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底的是________(寫出滿足條件的序號(hào))．題型二用基底表示平面向量點(diǎn)撥：方法1：運(yùn)用向量的線性運(yùn)算法則對待求向量不斷進(jìn)行轉(zhuǎn)化，直至用基底表示為止．方法2：通過列向量方程或方程組的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．例2如圖，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，E，F(xiàn)分別是AD，BC邊上的中點(diǎn)，且BC＝3AD，eq\o(BA,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b.試以{a，b}為基底表示eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(DF,\s\up6(→)).【跟蹤訓(xùn)練】2如圖所示，在△OAB中，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，M、N分別是邊OA、OB上的點(diǎn)，且eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)a，eq\o(ON,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b，設(shè)eq\o(AN,\s\up6(→))與eq\o(BM,\s\up6(→))交于點(diǎn)P，用向量a、b表示eq\o(OP,\s\up6(→)).分析:通過列向量方程或方程組的形式，利用基底表示向量的唯一性求解λ1，λ2.【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】1.下列說法中，正確說法的個(gè)數(shù)是()①在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))可以作為基底；②能夠表示一個(gè)平面內(nèi)所有向量的基底是唯一的；③零向量不能作為基底．A．0B．1C．2D．32.如圖在矩形ABCD中，若eq\o(BC,\s\up6(→))＝5e1，eq\o(DC,\s\up6(→))＝3e2，則eq\o(OC,\s\up6(→))＝()A.eq\f(1,2)(5e1＋3e2)B.eq\f(1,2)(5e1－3e2)C.eq\f(1,2)(3e2－5e1)D.eq\f(1,2)(5e2－3e1)3.如圖，在△OAB中，P為線段AB上的一點(diǎn)，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，且eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PA,\s\up6(→))，則()A．x＝eq\f(2,3)，y＝eq\f(1,3) B．x＝eq\f(1,3)，y＝eq\f(2,3)C．x＝eq\f(1,4)，y＝eq\f(3,4) D．x＝eq\f(3,4)，y＝eq\f(1,4)4.已知非零向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))不共線，且2eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，若eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))(λ∈R)，則x，y滿足的關(guān)系是()A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－1＝0C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝05.已知向量e1，e2不共線，實(shí)數(shù)x，y滿足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，則x－y＝.6.如圖，在平行四邊形ABCD中，設(shè)eq\o(AC,\s\up6(→))＝a，eq\o(BD,\s\up6(→))＝b，試用基底{a，b}表示eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→)).【參考答案】【自主學(xué)習(xí)】不共線向量a＝λ1e1＋λ2e2思考：基底中的兩向量e1，e2不共線，這是基底的最大特點(diǎn)．平面內(nèi)的基底并不是唯一的，任意不共線的兩個(gè)向量都可以作為基底．【小試牛刀】(1)×(2)×(3)√(4)√(5)×(6)√【經(jīng)典例題】例1B[解析]由平面向量基本定理可知，①④是正確的．對于②，由平面向量基本定理可知，一旦一個(gè)平面的基底確定，那么任意一個(gè)向量在此基底下的實(shí)數(shù)對是唯一的．對于③，當(dāng)λ1λ2＝0或μ1μ2＝0時(shí)不一定成立，應(yīng)為λ1μ2－λ2μ1＝0.故選B．【跟蹤訓(xùn)練】1③解析：①設(shè)e1＋e2＝λe1，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝1，,1＝0，))無解，所以e1＋e2與e1不共線，即e1與e1＋e2能作為一組基底．②設(shè)e1－2e2＝λ(e2－2e1)，則(1＋2λ)e1－(2＋λ)e2＝0，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋2λ＝0，,2＋λ＝0，))無解，所以e1－2e2與e2－2e1不共線，即e1－2e2與e2－2e1能作為一組基底．③因?yàn)閑1－2e2＝－eq\f(1,2)(4e2－2e1)，所以e1－2e2與4e2－2e1共線，即e1－2e2與4e2－2e1不能作為一組基底．④設(shè)e1＋e2＝λ(e1－e2)，則(1－λ)e1＋(1＋λ)e2＝0，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－λ＝0，,1＋λ＝0，))無解，所以e1＋e2與e1－e2不共線，即e1＋e2與e1－e2能作為一組基底．例2解：連接FA，DF.因?yàn)锳D∥BC，且AD＝eq\f(1,3)BC，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)b，所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)b.因?yàn)閑q\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))，所以eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b，所以eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(BF,\s\up6(→))＝a－eq\f(1,2)b.所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＝－eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(FA,\s\up6(→))＝－eq\f(1,6)b－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)b))＝eq\f(1,3)b－a，eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＝－(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→)))＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)b＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)b))))＝eq\f(1,6)b－a.【跟蹤訓(xùn)練】2[解]∵eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(MP,\s\up6(→))，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(ON,\s\up6(→))＋eq\o(NP,\s\up6(→))，設(shè)eq\o(MP,\s\up6(→))＝meq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(NP,\s\up6(→))＝neq\o(NA,\s\up6(→))，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋meq\o(MB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)a＋m(b－eq\f(1,3)a)＝eq\f(1,3)(1－m)a＋mb，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(ON,\s\up6(→))＋neq\o(NA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(1－n)b＋na.∵a與b不共線，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)1－m＝n，,\f(1,2)1－n＝m，))∴n＝eq\f(1,5).∴eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)a＋eq\f(2,5)b.【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】1.C解析：①③正確，②錯(cuò)誤．2.A解析：選A.eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(5e1＋3e2)．3.A[解析]eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)OB．∴x＝eq\f(2,3)，y＝eq\f(1,3).4.A解析：選A.由eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，得eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→))＝λ(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))，即eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1＋λ)eq\o(OA,\s\up6(→))－λeq\o(OB,\s\up6(→)).又2eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋2λ，,y＝－2λ，))消去λ得x＋y＝2.5.3解析：∵e1，e2不共線，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－4y＝6,2x－3y＝3))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝6,y＝3.))∴x－y＝3.6.解：法一：設(shè)AC，BD交于點(diǎn)O，則有eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a，eq\o(BO,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b.所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))－eq\o(BO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b.法二：設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝x，eq\o(BC,\s\up6(→))＝y(tǒng)，則eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＝y(tǒng)，又eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))＋\o(BC,\s\up6(→))＝\o(AC,\s\up6(→))，,\o(AD,\s\up6(→))－\o(AB,\s\up6(→))＝\o(BD,\s\up6(→))，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝a，,y－x＝b，))解得x＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b，y＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b，即eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b.《6.3.1平面向量的基本定理》同步練習(xí)A組基礎(chǔ)題一、選擇題1．等邊△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))的夾角是()A．30°B．45°C．60°D．120°2．若e1，e2是平面內(nèi)的一組基底，則下列四組向量能作為平面向量的基底的是()A．e1－e2，e2－e1B．2e1＋e2，e1＋eq\f(1,2)e2C．2e2－3e1,6e1－4e2D．e1＋e2，e1－e23．下面三種說法中，正確的是()①一個(gè)平面內(nèi)只有一對不共線向量可作為表示該平面所有向量的基底；②一個(gè)平面內(nèi)有無數(shù)多對不共線向量可作為該平面所有向量的基底；③零向量不可作為基底中的向量．A．①②B．②③C．①③D．①②③4．若a、b不共線，且λa＋μb＝0(λ，μ∈R)，則()A．a(chǎn)＝0，b＝0B．λ＝μ＝0C．λ＝0，b＝0D．a(chǎn)＝0，μ＝05.如圖所示，平面內(nèi)的兩條直線OP1和OP2將平面分割成四個(gè)部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包括邊界)，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝aeq\o(OP1,\s\up6(→))＋beq\o(OP2,\s\up6(→))，且點(diǎn)P落在第Ⅰ部分，則實(shí)數(shù)a，b滿足()A．a(chǎn)>0，b>0B．a(chǎn)>0，b<0C．a(chǎn)<0，b>0D．a(chǎn)<0，b<06．下列說法中，正確說法的個(gè)數(shù)是()①在△ABC中，{eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))}可以作為基底；②能夠表示一個(gè)平面內(nèi)所有向量的基底是唯一的；③零向量不能作為基底．A．0B．1C．2D．37．如圖，設(shè)O是?ABCD兩對角線的交點(diǎn)，有下列向量組：①eq\o(AD,\s\up6(→))與eq\o(AB,\s\up6(→))；②eq\o(DA,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))；③eq\o(CA,\s\up6(→))與eq\o(DC,\s\up6(→))；④eq\o(OD,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→)).其中可作為該平面內(nèi)所有向量基底的是()A．①②B．①③C．①④D．③④8．M為△ABC的重心，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為三邊BC，AB，AC的中點(diǎn)，則eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))等于()A．6eq\o(ME,\s\up6(→))B．－6eq\o(MF,\s\up6(→))C．0D．6eq\o(MD,\s\up6(→))二、填空題9.設(shè)e1、e2是不共線的兩個(gè)向量，給出下列四組向量：①e1與e1＋e2；②e1－2e2與e2－2e1；③e1－2e2與4e2－2e1；④e1＋e2與e1－e2.其中能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底的序號(hào)是______．(寫出所有滿足條件的序號(hào))10.如圖，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(BD,\s\up6(→))＝3eq\o(DC,\s\up6(→))，用a，b表示eq\o(AD,\s\up6(→))，則eq\o(AD,\s\up6(→))＝________.11．設(shè)向量m＝2a－3b，n＝4a－2b，p＝3a＋2b，若用m，n表示p，則p＝________.12．在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝c，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b.若點(diǎn)D滿足eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，則eq\o(AD,\s\up6(→))＝____________.(用b、c表示)13．已知向量e1、e2不共線，實(shí)數(shù)x、y滿足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，則x－y＝3.14.如圖，平面內(nèi)有三個(gè)向量eq\o(OA,\s\up6(→))、eq\o(OB,\s\up6(→))、eq\o(OC,\s\up6(→)).其中eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→))的夾角為120°，eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(OC,\s\up6(→))的夾角為30°，且|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝2eq\r(3)，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則λ＋μ的值為________．15．設(shè)D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點(diǎn)，AD＝eq\f(1,2)AB，BE＝eq\f(2,3)BC，若eq\o(DE,\s\up6(→))＝λ1eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ2eq\o(AC,\s\up6(→))(λ1，λ2為實(shí)數(shù))，則λ1＋λ2的值為________．三、解答題16.如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，且AN＝eq\f(1,2)NC，BN與CM相交于點(diǎn)E，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，試以a，b為基底表示eq\o(AE,\s\up6(→)).17.如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在邊AC上，且AN＝2NC，AM與BN相交于點(diǎn)P，求證：AP∶PM＝4∶1.18．在平行四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，(1)如圖1，如果E，F(xiàn)分別是BC，DC的中點(diǎn)，試用a，b分別表示eq\o(BF,\s\up6(→))，eq\o(DE,\s\up6(→)).(2)如圖2，如果O是AC與BD的交點(diǎn)，G是DO的中點(diǎn)，試用a，b表示eq\o(AG,\s\up6(→)).B組能力提升一、選擇題1.如圖，在梯形ABCD中，AB//CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是AE上一點(diǎn)，2，則（）A． B．C． D．2.在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，E是線段OD的中點(diǎn)，AE的延長線與CD交于點(diǎn)F，若，，則（）A． B． C． D．3.中，、分別是、上的點(diǎn)，且，，與交于點(diǎn)，則下列式子正確的是（）A． B．C． D．4.如圖，在直角梯形ABCD中，AB=2AD=2DC，E為BC邊上一點(diǎn)，BC?=3?EC?，F(xiàn)A．13ABC．-135.如圖，正方形中，是的中點(diǎn)，若，則（）A． B． C． D．6.如圖四邊形ABCD為平行四邊形，，若，則的值為（）A． B． C． D．17.如圖，在平行四邊形中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若，則()A． B． C． D．二、填空題8.如圖，在中，，點(diǎn)在線段上移動(dòng)（不含端點(diǎn)），若，則的取值范圍是_____．9.在中，D為線段上一點(diǎn)，且，若，則.10.在中，為上一點(diǎn)，，為上任一點(diǎn)，若，則的最小值是.三、解答題11.如圖，△ABC中，AD為三角形BC邊上的中線且AE＝2EC，BE交AD于G，求eq\f(AG,GD)及eq\f(BG,GE)的值．《6.3.1平面向量的基本定理》同步練習(xí)答案解析A組基礎(chǔ)題一、選擇題1．等邊△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))的夾角是()A．30°B．45°C．60°D．120°答案D2．若e1，e2是平面內(nèi)的一組基底，則下列四組向量能作為平面向量的基底的是()A．e1－e2，e2－e1B．2e1＋e2，e1＋eq\f(1,2)e2C．2e2－3e1,6e1－4e2D．e1＋e2，e1－e2答案D3．下面三種說法中，正確的是()①一個(gè)平面內(nèi)只有一對不共線向量可作為表示該平面所有向量的基底；②一個(gè)平面內(nèi)有無數(shù)多對不共線向量可作為該平面所有向量的基底；③零向量不可作為基底中的向量．A．①②B．②③C．①③D．①②③答案B4．若a、b不共線，且λa＋μb＝0(λ，μ∈R)，則()A．a(chǎn)＝0，b＝0B．λ＝μ＝0C．λ＝0，b＝0D．a(chǎn)＝0，μ＝0答案B5.如圖所示，平面內(nèi)的兩條直線OP1和OP2將平面分割成四個(gè)部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包括邊界)，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝aeq\o(OP1,\s\up6(→))＋beq\o(OP2,\s\up6(→))，且點(diǎn)P落在第Ⅰ部分，則實(shí)數(shù)a，b滿足()A．a(chǎn)>0，b>0B．a(chǎn)>0，b<0C．a(chǎn)<0，b>0D．a(chǎn)<0，b<0答案C解析當(dāng)點(diǎn)P落在第Ⅰ部分時(shí)，eq\o(OP,\s\up6(→))按向量eq\o(OP1,\s\up6(→))與eq\o(OP2,\s\up6(→))分解時(shí)，一個(gè)與eq\o(OP1,\s\up6(→))反向，一個(gè)與eq\o(OP2,\s\up6(→))同向，故a<0，b>0.6．下列說法中，正確說法的個(gè)數(shù)是()①在△ABC中，{eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))}可以作為基底；②能夠表示一個(gè)平面內(nèi)所有向量的基底是唯一的；③零向量不能作為基底．A．0B．1C．2D．3[答案]C解析：①③正確，②錯(cuò)誤．7．如圖，設(shè)O是?ABCD兩對角線的交點(diǎn)，有下列向量組：①eq\o(AD,\s\up6(→))與eq\o(AB,\s\up6(→))；②eq\o(DA,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))；③eq\o(CA,\s\up6(→))與eq\o(DC,\s\up6(→))；④eq\o(OD,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→)).其中可作為該平面內(nèi)所有向量基底的是()A．①②B．①③C．①④D．③④[答案]B解析：eq\o(AD,\s\up6(→))與eq\o(AB,\s\up6(→))不共線，eq\o(DA,\s\up6(→))∥eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CA,\s\up6(→))與eq\o(DC,\s\up6(→))不共線，eq\o(OD,\s\up6(→))∥eq\o(OB,\s\up6(→))，則①③可以作為該平面內(nèi)所有向量的基底．8．M為△ABC的重心，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為三邊BC，AB，AC的中點(diǎn)，則eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))等于()A．6eq\o(ME,\s\up6(→))B．－6eq\o(MF,\s\up6(→))C．0D．6eq\o(MD,\s\up6(→))答案C解析eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋2eq\o(MD,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AM,\s\up6(→))＝0.二、填空題9.設(shè)e1、e2是不共線的兩個(gè)向量，給出下列四組向量：①e1與e1＋e2；②e1－2e2與e2－2e1；③e1－2e2與4e2－2e1；④e1＋e2與e1－e2.其中能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底的序號(hào)是______．(寫出所有滿足條件的序號(hào))答案①②④解析對于③4e2－2e1＝－2e1＋4e2＝－2(e1－2e2)，∴e1－2e2與4e2－2e1共線，不能作為基底．10.如圖，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(BD,\s\up6(→))＝3eq\o(DC,\s\up6(→))，用a，b表示eq\o(AD,\s\up6(→))，則eq\o(AD,\s\up6(→))＝________.答案eq\f(1,4)a＋eq\f(3,4)b解析eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)a＋eq\f(3,4)b.11．設(shè)向量m＝2a－3b，n＝4a－2b，p＝3a＋2b，若用m，n表示p，則p＝________.答案－eq\f(7,4)m＋eq\f(13,8)n解析設(shè)p＝xm＋yn，則3a＋2b＝x(2a－3b)＋y(4a－2b)＝(2x＋4y)a＋(－3x－2y)b，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋4y＝3,－3x－2y＝2))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(7,4)，,y＝\f(13,8).))12．在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝c，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b.若點(diǎn)D滿足eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，則eq\o(AD,\s\up6(→))＝____________.(用b、c表示)答案eq\f(2,3)b＋eq\f(1,3)c解析eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)b＋eq\f(1,3)c.13．已知向量e1、e2不共線，實(shí)數(shù)x、y滿足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，則x－y＝3.[答案]3解析：∵e1、e2不共線，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－4y＝6，,2x－3y＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝3，))∴x－y＝3.14.如圖，平面內(nèi)有三個(gè)向量eq\o(OA,\s\up6(→))、eq\o(OB,\s\up6(→))、eq\o(OC,\s\up6(→)).其中eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→))的夾角為120°，eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(OC,\s\up6(→))的夾角為30°，且|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝2eq\r(3)，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則λ＋μ的值為________．答案6解析如圖，以O(shè)A、OB所在射線為鄰邊，OC為對角線作平行四邊形ODCE，則eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→)).在Rt△OCD中，∵|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝2eq\r(3)，∠COD＝30°，∠OCD＝90°，∴|eq\o(OD,\s\up6(→))|＝4，|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝2，故eq\o(OD,\s\up6(→))＝4eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OE,\s\up6(→))＝2eq\o(OB,\s\up6(→))，即λ＝4，μ＝2，∴λ＋μ＝6.15．設(shè)D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點(diǎn)，AD＝eq\f(1,2)AB，BE＝eq\f(2,3)BC，若eq\o(DE,\s\up6(→))＝λ1eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ2eq\o(AC,\s\up6(→))(λ1，λ2為實(shí)數(shù))，則λ1＋λ2的值為________．答案eq\f(1,2)解析易知eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→)).所以λ1＋λ2＝eq\f(1,2).三、解答題16.如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，且AN＝eq\f(1,2)NC，BN與CM相交于點(diǎn)E，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，試以a，b為基底表示eq\o(AE,\s\up6(→)).解∵eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)b，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a，由N，E，B三點(diǎn)共線知存在實(shí)數(shù)λ滿足eq\o(AE,\s\up6(→))＝λeq\o(AN,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)λb＋(1－λ)a.由C，E，M三點(diǎn)共線知存在實(shí)數(shù)μ滿足eq\o(AE,\s\up6(→))＝μeq\o(AM,\s\up6(→))＋(1－μ)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(μ,2)a＋(1－μ)b.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－λ＝\f(μ,2)，,1－μ＝\f(λ,3)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(3,5)，,μ＝\f(4,5).))∴eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)a＋eq\f(1,5)b.17.如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在邊AC上，且AN＝2NC，AM與BN相交于點(diǎn)P，求證：AP∶PM＝4∶1.證明設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝c，則eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)c－b.∵eq\o(AP,\s\up6(→))∥eq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(BP,\s\up6(→))∥eq\o(BN,\s\up6(→))，∴存在λ，μ∈R，使得eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(BP,\s\up6(→))＝μeq\o(BN,\s\up6(→))，又∵eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，∴λeq\o(AM,\s\up6(→))－μeq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，∴由λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)b＋\f(1,2)c))－μeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)c－b))＝b得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)λ＋μ))b＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)λ－\f(2,3)μ))c＝b.又∵b與c不共線．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)λ＋μ＝1，,\f(1,2)λ－\f(2,3)μ＝0.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(4,5)，,μ＝\f(3,5).))故eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(4,5)eq\o(AM,\s\up6(→))，即AP∶PM＝4∶1.18．在平行四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，(1)如圖1，如果E，F(xiàn)分別是BC，DC的中點(diǎn)，試用a，b分別表示eq\o(BF,\s\up6(→))，eq\o(DE,\s\up6(→)).(2)如圖2，如果O是AC與BD的交點(diǎn)，G是DO的中點(diǎn)，試用a，b表示eq\o(AG,\s\up6(→)).解(1)eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋b.eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝a－eq\f(1,2)b.(2)eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝b－a，∵O是BD的中點(diǎn)，G是DO的中點(diǎn)，∴eq\o(BG,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)(b－a)，∴eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BG,\s\up6(→))＝a＋eq\f(3,4)(b－a)＝eq\f(1,4)a＋eq\f(3,4)b.B組能力提升一、選擇題1.如圖，在梯形ABCD中，AB//CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是AE上一點(diǎn)，2，則（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由梯形ABCD中，ABCD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是AE上一點(diǎn)，2，則；故選：C2.在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，E是線段OD的中點(diǎn)，AE的延長線與CD交于點(diǎn)F，若，，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，可知=，選B.3.中，、分別是、上的點(diǎn)，且，，與交于點(diǎn)，則下列式子正確的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】如下圖所示：連接，則，，，，因此，.故選：D.4.如圖，在直角梯形ABCD中，AB=2AD=2DC，E為BC邊上一點(diǎn)，BC?=3?EC?，F(xiàn)A．13ABC．-13【答案】B【解析】由圖可知：BF→=12BA→+12BE→，BE→=23BC→，BC→=AC→∴BF→=﹣12AB→+13（AD→+125.如圖，正方形中，是的中點(diǎn)，若，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形邊長為，由此，，故，解得.故選B.6.如圖四邊形ABCD為平行四邊形，，若，則的值為（）A． B． C． D．1【答案】D【解析】選取為基底，則，又，將以上兩式比較系數(shù)可得．故選D．7.如圖，在平行四邊形中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若，則()A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，而，即有，又，所以．故選：C．二、填空題8.如圖，在中，，點(diǎn)在線段上移動(dòng)（不含端點(diǎn)），若，則的取值范圍是_____．【答案】【解析】由題可知，，設(shè)，則，所以，而，可得：，所以，設(shè)，由雙鉤函數(shù)性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞減，則，所以的取值范圍是.故答案為：.9.在中，D為線段上一點(diǎn)，且，若，則.【答案】3【解析】，又，，，故選：310.在中，為上一點(diǎn)，，為上任一點(diǎn)，若，則的最小值是.【答案】12【解析】由題意可知：，三點(diǎn)共線，則：，據(jù)此有：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.綜上可得：的最小值是12.三、解答題11.如圖，△ABC中，AD為三角形BC邊上的中線且AE＝2EC，BE交AD于G，求eq\f(AG,GD)及eq\f(BG,GE)的值．解設(shè)eq\f(AG,GD)＝λ，eq\f(BG,GE)＝μ.∵eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，即eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))．又∵eq\o(AG,\s\up6(→))＝λeq\o(GD,\s\up6(→))＝λ(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AG,\s\up6(→)))，∴eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(λ,1＋λ)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(λ,21＋λ)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(λ,21＋λ)eq\o(AC,\s\up6(→)).又∵eq\o(BG,\s\up6(→))＝μeq\o(GE,\s\up6(→))，即eq\o(AG,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝μ(eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AG,\s\up6(→)))，∴(1＋μ)eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(1,1＋μ)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(μ,1＋μ)eq\o(AE,\s\up6(→)).又eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(1,1＋μ)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2μ,31＋μ)eq\o(AC,\s\up6(→)).∵eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))不共線，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(λ,21＋λ)＝\f(1,1＋μ)，,\f(λ,21＋λ)＝\f(2μ,31＋μ).))解之，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4