《第六章 平面向量及其應(yīng)用》章節(jié)復(fù)習(xí)與同步測(cè)試（含單元測(cè)試卷）

《6.1平面向量的概念》知識(shí)梳理一、向量的概念1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量.2.數(shù)量：只有大小沒有方向的量稱為數(shù)量.二、向量的幾何表示1.有向線段具有方向的線段叫做有向線段，它包含三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長度，如圖所示.以A為起點(diǎn)、B為終點(diǎn)的有向線段記作，線段AB的長度叫做有向線段的長度記作||.2.向量的表示(1)幾何表示：向量可以用有向線段表示，有向線段的長度表示向量的大小，有向線段的方向表示向量的方向.(2)字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑體a，b，c，書寫時(shí)用).3.模、零向量、單位向量向量的大小，稱為向量的長度(或稱模)，記作||.長度為0的向量叫做零向量，記作0；長度等于1個(gè)單位長度的向量，叫做單位向量.思考“向量就是有向線段，有向線段就是向量”的說法對(duì)嗎？答案錯(cuò)誤.理由是：①向量只有長度和方向兩個(gè)要素；與起點(diǎn)無關(guān)，只要長度和方向相同，則這兩個(gè)向量就是相同的向量；②有向線段有起點(diǎn)、長度和方向三個(gè)要素，起點(diǎn)不同，盡管長度和方向相同，也是不同的有向線段.三、相等向量與共線向量1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.(1)記法：向量a與b平行，記作a∥b.(2)規(guī)定：零向量與任意向量平行.2.相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量.3.共線向量：由于任一組平行向量都可以平移到同一直線上，所以平行向量也叫做共線向量.要注意避免向量平行、共線與平面幾何中的直線、線段的平行和共線相混淆.思考(1)平行向量是否一定方向相同？(2)不相等的向量是否一定不平行？(3)與任意向量都平行的向量是什么向量？(4)若兩個(gè)向量在同一直線上，則這兩個(gè)向量一定是什么向量？答案(1)不一定；(2)不一定；(3)零向量；(4)平行(共線)向量.《6.1平面向量的概念》同步測(cè)試注意事項(xiàng)：本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘，試題共16題．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．下列關(guān)于空間向量的命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是（）（1）長度相等、方向相同的兩個(gè)向量是相等向量；（2）平行且模相等的兩個(gè)向量是相等向量；（3）若，則；（4）兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)與終點(diǎn)相同．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】由相等向量的定義知（1）正確；平行且模相等的兩個(gè)向量也可能是相反向量，（2）錯(cuò)；方向不相同且長度相等的兩個(gè)是不相等向量，（3）錯(cuò)；相等向量只要求長度相等、方向相同，而表示兩個(gè)向量的有向線段的起點(diǎn)不要求相同，（4）錯(cuò)，所以正確答案只有一個(gè)．故選B．2．下列命題正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】A【解析】模為零的向量是零向量，所以A項(xiàng)正確；時(shí)，只說明向的長度相等，無法確定方向，所以B，C均錯(cuò)；時(shí)，只說明方向相同或相反，沒有長度關(guān)系，不能確定相等，所以D錯(cuò).故選A.3．若非零向量和互為相反向量，則下列說法中錯(cuò)誤是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由平行向量的定義可知A項(xiàng)正確；因?yàn)楹偷姆较蛳喾?，所以，故B項(xiàng)正確；由相反向量的定義可知，故選項(xiàng)D正確；由相反向量的定義知，故C項(xiàng)錯(cuò)誤.故選C.4．如圖，設(shè)是正六邊形的中心，則與相等的向量為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)圖形看出，四邊形是平行四邊形故選：5．若向量與向量不相等，則與一定（）A．不共線 B．長度不相等C．不都是單位向量 D．不都是零向量【答案】D【解析】向量與向量不相等，它們有可能共線、有可能長度相等、有可能都是單位向量但方向不相同，但不能都是零向量，即選項(xiàng)A、B、C錯(cuò)誤，D正確.故選：D.6．下列說法錯(cuò)誤的是（）A．若非零向量有，，則B．零向量與任意向量平行C．已知向量不共線，且，，則 D．平行四邊形中，【答案】D【解析】選項(xiàng)A：因?yàn)槎疾皇橇阆蛄?，所以由，可知向量與向量具有相同或相反方向.又由，可得向量與向量具有相同或相反方向，所以向量與向量具有相同或相反方向，故，故本說法是正確的；選項(xiàng)B：零向量與任意向量平行這是數(shù)學(xué)規(guī)定，故本說法是正確的；選項(xiàng)C：由，，可知：與向量具有相同或相反方向，與向量具有相同或相反方向，但是向量不共線，所以，故本說法是正確的；選項(xiàng)D：平行四邊形中，應(yīng)該有，故本說法是錯(cuò)誤的.故選：D7．，為非零向量，且，則（）A．，同向 B．，反向C． D．，無論什么關(guān)系均可【答案】A【解析】當(dāng)兩個(gè)非零向量與不共線時(shí),的方向與,的方向都不相同,且；當(dāng)向量與同向時(shí),的方向與,的方向都相同,且；當(dāng)向量與反向且時(shí),的方向與的方向相同（與的方向相反）,且,故選:A8．如圖是的格點(diǎn)圖(每個(gè)小方格都是單位正方形)，若起點(diǎn)和終點(diǎn)都在方格的頂點(diǎn)處，則與平行且模為的向量共有()A．12個(gè) B．18個(gè) C．24個(gè) D．36個(gè)【答案】C【解析】由題意知，每個(gè)小正方形的對(duì)角線與平行且模為的所在的向量，的格點(diǎn)圖中包含12個(gè)小正方形，所以有12條對(duì)角線，與平行的向量包含方向相同和相反，所有共有24個(gè)向量滿足.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分．9．已知、是任意兩個(gè)向量，下列條件能判定向量與平行的是（）A． B．C．與的方向相反 D．與都是單位向量【答案】AC【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，若，則與平行，A選項(xiàng)合乎題意；對(duì)于B選項(xiàng)，若，但與的方向不確定，則與不一定平行，B選項(xiàng)不合乎題意；對(duì)于C選項(xiàng)，若與的方向相反，則與平行，C選項(xiàng)合乎題意；對(duì)于D選項(xiàng)，與都是單位向量，這兩個(gè)向量長度相等，但方向不確定，則與不一定平行，D選項(xiàng)不合乎題意.故選：AC.10．在下列結(jié)論中，正確的有（）A．若兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別重合B．平行向量又稱為共線向量C．兩個(gè)相等向量的模相等D．兩個(gè)相反向量的模相等【答案】BCD【解析】A.若兩個(gè)向量相等，它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)不一定不重合，故錯(cuò)誤；B.平行向量又稱為共線向量，根據(jù)平行向量定義知正確；C.相等向量方向相同，模相等，正確；D.相反向量方向相反，模相等，故正確；故選：11．下列能使成立的是（）A． B．C．與方向相反 D．或【答案】ACD【解析】對(duì)于A，若，則與大小相等且方向相同，所以；對(duì)于B，若，則與的大小相等，而方向不確定，因此不一定有；對(duì)于C，方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若與方向相反，則有；對(duì)于D，零向量與任意向量平行，所以若或，則.故選：12．如圖所示，梯形為等腰梯形，則下列關(guān)系正確的是（）A． B． C． D．【答案】BD【解析】與顯然方向不相同，故不是相等向量，故錯(cuò)誤；與表示等腰梯形兩腰的長度，所以，故正確；向量無法比較大小，只能比較向量模的大小，故錯(cuò)誤；等腰梯形的上底與下底平行，所以，故正確；故選：.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．不需寫出解答過程，請(qǐng)把答案直接填寫在橫線上）13．給出下列命題：①向量的長度與向量的長度相等；②向量與平行，則與的方向相同或相反；③兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的向量，其終點(diǎn)必相同；④兩個(gè)有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量；⑤向量與向量是共線向量，則點(diǎn)必在同一條直線上．其中不正確命題的序號(hào)是________．【答案】②④⑤【解析】向量與是相反向量,它們的模長相等,即①正確;零向量與任何向量平行,若向量與中恰有一個(gè)為零向量,則它們的方向不滿足題意,即②錯(cuò)誤;對(duì)于相等向量,若它們有共同的起點(diǎn),則它們終點(diǎn)也相同,即③正確;兩個(gè)有公共終點(diǎn)的向量,若它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)不在一條直線上,則它們不共線,即④錯(cuò)誤;因?yàn)橄蛄靠梢云揭?所以共線向量與中,不一定在同一條直線上,即⑤錯(cuò)誤.故答案為:②④⑤.14．如圖，四邊形和都是平行四邊形（1）與向量相等的向量有__________；（2）若，則__________.【答案】6【解析】①根據(jù)相等向量的定義及平行四邊形性質(zhì)：與向量相等的向量有②，615.在如圖所示的半圓中，AB為直徑，點(diǎn)O為圓心，C為半圓上一點(diǎn)，且∠OCB＝30°，＝2，則|＝________.【答案】1【解析】連接AC，由得∠ABC＝∠OCB＝30°，又∠ACB＝90°，則＝eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)×2＝1.16．如圖所示，和是在各邊的處相交的兩個(gè)全等的等邊三角形，設(shè)的邊長為，圖中列出了長度均為的若干個(gè)向量則：（1）與向量相等的向量有_______；（2）與向量共線，且模相等的向量有________；（3）與向量共線，且模相等的向量有________.【答案】，，，，，，，，，【解析】（1）與向量相等的向量是，；（2）與向量共線且模相等的向量是，，，，，（3）與向量共線且模相等的向量，，，，三、解答題（本大題共4小題，共70分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（本小題滿分10分）如圖所示，O是正六邊形ABCDEF的中心，且＝，＝，＝.（1）與的長度相等、方向相反的向量有哪些？（2）與共線的向量有哪些？（3）請(qǐng)一一列出與，，.相等的向量．【解析】（1）因?yàn)檎呅沃懈骶€段長度都相等，且方向相反的有：，，，.（2）由共線向量定理得：，，，，，，，，.與共線.（3）由相等向量的定義得：與相等的向量有，，；與相等的向量有，，；與相等的向量有，，.18．（本小題滿分12分）某人從A點(diǎn)出發(fā)向東走了5米到達(dá)B點(diǎn)，然后改變方向沿東北方向走了米到達(dá)C點(diǎn)，到達(dá)C點(diǎn)后又改變方向向西走了10米到達(dá)D點(diǎn)．（1）作出向量，，；（2）求的模．【解析】（1）作出向量，，；如圖所示：（2）由題意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10米，CD＝10米，所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，所以AD＝＝(米)，所以|米.19．（本小題滿分12分）在如圖所示的坐標(biāo)紙上(每個(gè)小方格邊長為1)，用直尺和圓規(guī)畫出下列向量：（1），使||＝4，點(diǎn)A在點(diǎn)O北偏東45°；（2），使＝4，點(diǎn)B在點(diǎn)A正東；（3），使＝6，點(diǎn)C在點(diǎn)B北偏東30°.【解析】（1）由于點(diǎn)A在點(diǎn)O北偏東45°處，所以在坐標(biāo)紙上點(diǎn)A距點(diǎn)O的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)相等．又||＝，小方格邊長為1，所以點(diǎn)A距點(diǎn)O的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)都為4，于是點(diǎn)A位置可以確定，畫出向量如下圖所示．（2）由于點(diǎn)B在點(diǎn)A正東方向處，且＝4，所以在坐標(biāo)紙上點(diǎn)B距點(diǎn)A的橫向小方格數(shù)為4，縱向小方格數(shù)為0，于是點(diǎn)B位置可以確定，畫出向量如下圖所示．（3）由于點(diǎn)C在點(diǎn)B北偏東30°處，且＝6，依據(jù)勾股定理可得：在坐標(biāo)紙上點(diǎn)C距點(diǎn)B的橫向小方格數(shù)為3，縱向小方格數(shù)為≈5.2，于是點(diǎn)C位置可以確定，畫出向量如下圖所示．20.（本小題滿分12分）一艘海上巡邏艇從港口向北航行了30km，這時(shí)接到求救信號(hào)，在巡邏艇的正東方向40km處有一艘漁船拋錨需救助.試求：(1)巡邏艇從港口出發(fā)到漁船出事點(diǎn)所航行的路程；(2)巡邏艇從港口出發(fā)到出事地點(diǎn)之間的位移.【解析】(1)如圖，由于路程不是向量，與方向無關(guān)，所以總的路程為巡邏艇兩次路程的和，即為AB＋BC＝70(km).(2)巡邏艇從港口出發(fā)到漁船出事點(diǎn)之間的位移是向量，不僅有大小而且有方向，因而大小為＝50(km)，由于sin∠BAC＝，故方向?yàn)楸逼珫|∠BAC，其中sin∠BAC＝.21．（本小題滿分12分）已知O是正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，在以O(shè)，A，B，C，D這5點(diǎn)中任意一點(diǎn)為起點(diǎn)，另一點(diǎn)為終點(diǎn)的所有向量中，寫出：（1）與相等的向量；（2）與長度相等的向量；（3）與共線的向量.【解析】畫出圖形，如圖所示．（1）易知BCAD，BC＝AD，所以與相等的向量為.（2）由O是正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)知OB＝OD＝OA＝OC，所以與長度相等的向量為，，，，，，.（3）與共線的向量為，，.22.（本小題滿分12分）如圖的方格紙由若干個(gè)邊長為1的小正方形組成，方格紙中有兩個(gè)定點(diǎn)A，B.點(diǎn)C為小正方形的頂點(diǎn)，且|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(5).(1)畫出所有的向量eq\o(AC,\s\up6(→))；(2)求|eq\o(BC,\s\up6(→))|的最大值與最小值.【解析】(1)畫出所有的向量，如圖所示.(2)由(1)所畫的圖知，①當(dāng)點(diǎn)C位于點(diǎn)C1或C2時(shí)，||取得最小值；②當(dāng)點(diǎn)C位于點(diǎn)C5或C6時(shí)，||取得最大值.所以||的最大值為，最小值為.《6.2平面向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算》知識(shí)梳理一．向量加法的法則向量求和的法則三角形法則已知非零向量a，b，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，作＝a，＝b，則向量叫做a與b的和，記作a＋b，即a＋b＝＋＝.這種求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法則.對(duì)于零向量與任意向量a，規(guī)定a＋0＝0＋a＝a平行四邊形法則以同一點(diǎn)O為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量a，b為鄰邊作?OACB，則以O(shè)為起點(diǎn)的對(duì)角線就是a與b的和.把這種作兩個(gè)向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則【思考】|a＋b|與|a|，|b|有什么關(guān)系？【答案】(1)當(dāng)向量a與b不共線時(shí)，a＋b的方向與a，b不同，且|a＋b|<|a|＋|b|.(2)當(dāng)a與b同向時(shí)，a＋b，a，b同向，且|a＋b|＝|a|＋|b|.(3)當(dāng)a與b反向時(shí)，若|a|>|b|，則a＋b的方向與a相同，且|a＋b|＝|a|－|b|；若|a|<|b|，則a＋b的方向與b相同，且|a＋b|＝|b|－|a|.二．向量的減法1.定義：向量a加上b的相反向量，叫做a與b的差，即a－b＝a＋(－b)，因此減去一個(gè)向量，相當(dāng)于加上這個(gè)向量的相反向量，求兩個(gè)向量差的運(yùn)算，叫做向量的減法.2.幾何意義：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作＝a，＝b，則向量a－b＝，如圖所示.3.文字?jǐn)⑹觯喝绻褍蓚€(gè)向量的起點(diǎn)放在一起，那么這兩個(gè)向量的差是以減向量的終點(diǎn)為起點(diǎn)，被減向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量.【思考】若a，b是不共線向量，|a＋b|與|a－b|的幾何意義分別是什么？【答案】如圖所示，設(shè)＝a，＝b.根據(jù)向量加法的平行四邊形法則和向量減法的幾何意義，有＝a＋b，＝a－b.因?yàn)樗倪呅蜲ACB是平行四邊形，所以|a＋b|＝||，|a－b|＝||，分別是以O(shè)A，OB為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線的長.三、向量數(shù)乘的定義實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作λa，其長度與方向規(guī)定如下：(1)|λa|＝|λ||a|.(2)λa(a≠0)的方向特別地，當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0.當(dāng)λ＝－1時(shí)，(－1)a＝－a.四向量共線定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λa.【思考】向量共線定理中為什么規(guī)定a≠0?【答案】若將條件a≠0去掉，即當(dāng)a＝0時(shí)，顯然a與b共線.(1)若b≠0，則不存在實(shí)數(shù)λ，使b＝λa.(2)若b＝0，則對(duì)任意實(shí)數(shù)λ，都有b＝λa.《6.2平面向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算》同步測(cè)試注意事項(xiàng)：本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘，試題共16題．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．下列四式不能化簡(jiǎn)為的是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】對(duì)B，，故B正確；對(duì)C，，故C正確；對(duì)D，，故D正確；故選：A.2．在平行四邊形ABCD中，設(shè)對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，故，故，故選B.3．在五邊形中（如圖），（）A． B． C． D．【答案】B【解析】.故選B4．如圖所示，已知空間四邊形ABCD，連接AC，BD，M，G分別是BC，CD的中點(diǎn)，則＋＋等于（）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵四面體A-BCD中，M、G為BC、CD中點(diǎn)，∴，，∴.故選C5．八卦是中國文化中的哲學(xué)概念，如圖1是八卦模型圖，其平面圖形記為圖2中的正八邊形ABCDEFGH，其中，則給出下列結(jié)論：①；②；③．其中正確的結(jié)論為（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】C【解析】對(duì)于①：因?yàn)?，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②：因?yàn)?，則以為鄰邊的平行四邊形為正方形，又因?yàn)槠椒?，所以，故②正確；對(duì)于③：因?yàn)椋?，所以，故③正確，故選：C.6．如圖，在四邊形中，設(shè)，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意，在四邊形中，設(shè)，根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得.故選D.7．點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)且，在內(nèi)任取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自內(nèi)的概率是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)是中點(diǎn)，因?yàn)椋裕?、、三點(diǎn)共線且點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)，故，所以此點(diǎn)取自內(nèi)的概率是．故選B.8．P是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若，其中，則P點(diǎn)一定在（）A．內(nèi)部 B．邊所在直線上C．邊所在直線上 D．邊所在直線上【答案】B【解析】根據(jù)題意，，點(diǎn)P在邊所在直線上，故選B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分．9．已知正方體的中心為，則下列結(jié)論中正確的有（）A．與是一對(duì)相反向量B．與是一對(duì)相反向量C．與是一對(duì)相反向量D．與是一對(duì)相反向量【答案】ACD【解析】∵為正方體的中心，∴，，故，同理可得，故，∴A、C正確；∵，，∴與是兩個(gè)相等的向量，∴B不正確；∵，，∴，∴D正確.故選ACD10．下列各式中，結(jié)果為零向量的是（）A． B．C． D．【答案】BD【解析】對(duì)于選項(xiàng)：，選項(xiàng)不正確；對(duì)于選項(xiàng)：，選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)：，選項(xiàng)不正確；對(duì)于選項(xiàng)：選項(xiàng)正確.故選BD11．若點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為的邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，且，，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】如圖，在中，，故A正確；，故B正確；，，故C正確；，故D不正確．故選：ABC12．下列關(guān)于平面向量的說法中不正確的是（）A．已知，均為非零向量，則存在唯-的實(shí)數(shù)，使得B．若向量，共線，則點(diǎn)，，，必在同一直線上C．若且，則D．若點(diǎn)為的重心，則【答案】BC【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，由平面向量平行的推論可得其正確；對(duì)于選項(xiàng)B，向量，共線，只需兩向量方向相同或相反即可，點(diǎn)，，，不必在同一直線上，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，，則，不一定推出，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，由平面向量中三角形重心的推論可得其正確.故選BC三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．不需寫出解答過程，請(qǐng)把答案直接填寫在橫線上）13．化簡(jiǎn)：_________.【答案】【解析】.故答案為：.14．若，與方向相反，且，則_______________．【答案】【解析】因?yàn)榕c方向相反，所以設(shè)，則，所以，可得，又，所以．15．若是內(nèi)部一點(diǎn)，且滿足，則與的面積比為_______.【答案】【解析】取的中點(diǎn)為，則即，則點(diǎn)為的重心根據(jù)重心的性質(zhì)可得，點(diǎn)到的距離是點(diǎn)到的距離的則16．在平行四邊形中，，為的中點(diǎn)，則_______，________.（用表示）【答案】【解析】如圖，四邊形是平行四邊形，,又,三點(diǎn)共線，且，則，.三、解答題（本大題共4小題，共70分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（本小題滿分10分）化簡(jiǎn)．（1）．（2）．【解析】（1）；（2）.18．（本小題滿分12分）已知在四邊形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，求證：四邊形ABCD為梯形.【解析】如圖所示.∵＝＋＋＝(a＋2b)＋(－4a－b)＋(－5a－3b)＝－8a－2b＝2(－4a－b)，∴＝2.∴與共線，且||＝2||.又∵這兩個(gè)向量所在的直線不重合，∴AD∥BC，且AD＝2BC.∴四邊形ABCD是以AD，BC為兩條底邊的梯形.19．（本小題滿分12分）如圖，已知D，E，F(xiàn)分別為的三邊，，的中點(diǎn)，求證：．【解析】由題意知，，，由題意可知，．∴．20．（本小題滿分12分）如圖，已知正方形的邊長等于單位長度1，，，，試著寫出向量.（1）；（2），并求出它的模.【解析】（1）；（2）.∴.21．（本小題滿分12分）如圖，四邊形是以向量，為邊的平行四邊形，又，，試用、表示、、.【解析】，，，．．，，．．16.（本小題滿分12分）設(shè)a，b，c為非零向量，其中任意兩向量不共線，已知a＋b與c共線，且b＋c與a共線，則b與a＋c是否共線？請(qǐng)證明你的結(jié)論.【解析】b與a＋c共線.證明如下：∵a＋b與c共線，∴存在唯一實(shí)數(shù)λ，使得a＋b＝λc.①∵b＋c與a共線，∴存在唯一實(shí)數(shù)μ，使得b＋c＝μa.②由①－②得，a－c＝λc－μa.∴(1＋μ)a＝(1＋λ)c.又∵a與c不共線，∴1＋μ＝0,1＋λ＝0，∴μ＝－1，λ＝－1，∴a＋b＝－c，即a＋b＋c＝0.∴a＋c＝－b.故a＋c與b共線.《6.3平面向量的數(shù)量積》知識(shí)梳理一、兩向量的夾角與垂直1.夾角：已知兩個(gè)非零向量a和b，O是平面上的任意一點(diǎn)，作＝a，＝b，則∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角(如圖所示).當(dāng)θ＝0時(shí)，a與b同向；當(dāng)θ＝π時(shí)，a與b反向.2.垂直：如果a與b的夾角是，則稱a與b垂直，記作a⊥b.二、向量數(shù)量積的定義非零向量a，b的夾角為θ，數(shù)量|a||b|cosθ叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積等于0.【思考】若a≠0，且a·b＝0，是否能推出b＝0.【答案】在實(shí)數(shù)中，若a≠0，且a·b＝0，則b＝0；但是在數(shù)量積中，若a≠0，且a·b＝0，不能推出b＝0.因?yàn)槠渲衋有可能垂直于b.三、投影向量在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作＝a，＝b，過點(diǎn)M作直線ON的垂線，垂足為M1，則就是向量a在向量b上的投影向量.設(shè)與b方向相同的單位向量為e，a與b的夾角為θ，則與e，a，θ之間的關(guān)系為＝|a|cosθe.四平面向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)向量a與b都是非零向量，它們的夾角為θ，e是與b方向相同的單位向量.則(1)a·e＝e·a＝|a|·cosθ.(2)a⊥b?a·b＝0.(3)當(dāng)a∥b時(shí)，a·b＝特別地，a·a＝|a|2或|a|＝(4)|a·b|≤|a||b|.五平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律1.a·b＝b·a(交換律).2.(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(數(shù)乘結(jié)合律).3.(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).【思考】若a·b＝b·c，是否可以得出結(jié)論a＝c?【答案】不可以.已知實(shí)數(shù)a，b，c(b≠0)，則ab＝bc?a＝c，但是a·b＝b·c推不出a＝c.理由如下：如圖，a·b＝|a||b|cosβ＝|b||OA|，b·c＝|b||c|cosα＝|b||OA|.所以a·b＝b·c，但是a≠c.《6.3平面向量的數(shù)量積》同步測(cè)試注意事項(xiàng)：本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘，試題共16題．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知向量滿足，，則（）A．4 B．3 C．2 D．0【答案】B【解析】因?yàn)?，，所以，故選：B.2．設(shè)，均為單位向量，且，則（）A．3 B． C．6 D．9【答案】B【解析】，均為單位向量，且，則.故選B3．已知兩個(gè)單位向量，滿足，則與的夾角是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，所以，又因?yàn)閱挝幌蛄浚?，所以向量的夾角為，且，所以，故選：C.4．如圖，，則（）A． B．1 C． D．【答案】C【解析】由，所以.故選：C5．已知向量，滿足，，且與反向，則（）A．36 B．48 C．57 D．64【答案】A【解析】因?yàn)榕c反向，所以，又，，，所以，.故選：A6．在中，，，且，則的最小值是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，且，當(dāng)時(shí)，取得最小值為，則取得最小值為.故選A.7．已知p是邊長為2的正三角形ABC的邊BC上的一點(diǎn)，則的取值范圍是（）A．[2，6] B．[2，4] C．(2，4) D．(0，4)【答案】B【解析】如圖所示，為的中點(diǎn)，，當(dāng)在時(shí)，在方向上的投影最大，，當(dāng)在時(shí)，在方向上的投影最小，，的取值范圍是[2，4]，故答案為：B.8．已知等邊的面積為，動(dòng)點(diǎn)在的邊上，若線段為內(nèi)切圓的一條直徑，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)的邊長為，則，解得，設(shè)內(nèi)切圓圓心為，，可知當(dāng)點(diǎn)在的頂點(diǎn)位置時(shí)，有最大值，此時(shí)，，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選B二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分．9．若、、是空間的非零向量，則下列命題中的假命題是（）A．B．若，則C．若，則D．若，則【答案】ACD【解析】是與共線的向量，是與共線的向量，與不一定共線，A錯(cuò)，若，則與方向相反，∴，B對(duì)，若，則，即，不能推出，C錯(cuò)，若，則，與方向不一定相同，不能推出，D錯(cuò)，故選ACD.10．在中，，則（）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】因?yàn)樗?，所以，故正確；所以，所以，故不正確；因?yàn)?，故正確；，故正確.故選：BCD11．在RtABC中，BD為斜邊AC上的高，下列結(jié)論中正確的是（）A． B．C． D．【答案】AD【解析】對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，,故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，,,故D正確.故選AD.12．已知平面向量，，滿足.若，則的值可能為（）A． B． C．0 D．【答案】BCD【解析】，，則，，，所以的值可能為，故選：三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．不需寫出解答過程，請(qǐng)把答案直接填寫在橫線上）13．已知，，與的夾角為90°，則________【答案】【解析】因?yàn)榕c的夾角為90°，所以．因?yàn)?，，所以?4．已知單位向量滿足：，則向量與向量的夾角________．【答案】【解析】，即，，即又，15．在直角邊長為3的等腰直角中，E、F為斜邊上的兩個(gè)不同的三等分點(diǎn)，則______.【答案】4【解析】設(shè)是接近的一個(gè)三等分點(diǎn)，則，，又，16．已知單位向量滿足，則與夾角的大小為________；的最小值為______.【答案】【解析】（1），，，；（2），當(dāng)時(shí)，取得最小值，的最小值是.三、解答題（本大題共4小題，共70分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（本小題滿分10分）已知，，向量與向量夾角為45°，求使向量與的夾角是銳角時(shí)，的取值范圍.【解析】∵，，與夾角為45°，∴，而，要使向量與的夾角是銳角，則，且向量與不共線，由得，得或.由向量與不共線得所以的取值范圍為：18．（本小題滿分12分）在中，，，.（1）用和表示；（2）求.【解析】（1）如圖所示，因?yàn)椋?（2）過點(diǎn)作于D，則，.因?yàn)椋?，從?19．（本小題滿分12分）已知向量與的夾角為，，.（1）若；（2）若，求實(shí)數(shù)t的值.【解析】（1）向量與的夾角為，，，，，；（2），，即，，解得.20．（本小題滿分12分）已知中，，為角平分線．（1）求的長度；（2）過點(diǎn)作直線交的延長線于不同兩點(diǎn)，且滿足，，求的值，并說明理由．【解析】（1）根據(jù)角平分線定理：，所以，所以所以：，所以.（2）因?yàn)?，，所以，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，所以.21．（本小題滿分12分）在如圖所示的平面圖形中，已知，，點(diǎn)A，B分別是線段CE，ED的中點(diǎn)．（1）試用，表示；（2）若，，且，的夾角，試求的取值范圍．【解析】（1）連接AB，則，∵A，B分別是線段CE，ED的中點(diǎn)，∴，則．（2)，將，代入，則．∵，∴，則，故．22．（本小題滿分12分）已知向量，滿足，且.（1）試用表示，并求出的最大值及此時(shí)與的夾角的值.（2）當(dāng)，取得最大值時(shí)，求實(shí)數(shù)，使的值最小，并對(duì)這一結(jié)果做出幾何解釋.【解析】（1）由題意，向量，滿足，且，可得，整理得，即，可得，又由，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最大值為，又由，所以.（2）由（2）知的最大值為，所以，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為,這一結(jié)果的幾何解釋：平行四邊形中，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，對(duì)角線最短為.《6.4平面向量基本定理》知識(shí)梳理平面向量基本定理1.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.2.基底：若e1，e2不共線，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底.《6.4平面向量基本定理》同步測(cè)試注意事項(xiàng)：本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘，試題共16題．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．在中，，則（）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)椋?，．故選：A2．已知矩形中，，若，，則（）A． B．C． D．【答案】B【解析】因?yàn)椋?，所?故選B.3．設(shè)，為平面向量的一組基底，則下面四組向量組中不能作為基底的是（）A．和 B．和C．和 D．和【答案】D【解析】、是平面內(nèi)所有向量的一組基底，與，不共線，可以作為基底，與，不共線，可以作為基底，與不共線，可以作為基底，與，存在實(shí)數(shù)，使得，所以和共線，不可以作為基底，故選：．4．如圖在梯形ABCD中，ADBC，，且E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點(diǎn)，則（）A． B．C． D．【答案】C【解析】連接OE，OF.因?yàn)?，所?故選:C.5．如圖，中，E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F滿足，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】，故選：A6．在中，若點(diǎn)滿足，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則（）A． B．C． D．【答案】A【解析】.故選：A7．在中，，，，為邊上的高，為的中點(diǎn)，若，則的值為（）A． B． C． D．1【答案】A【解析】∵，，，∴，∴，又是中點(diǎn)，∴，而，∴，∴．故選A．8．如圖，B是的中點(diǎn)，，P是平行四邊形內(nèi)（含邊界）的一點(diǎn)，且，則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（）①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)P是線段的中點(diǎn)時(shí)，，③若為定值1，則在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的軌跡是一條線段④的最大值為A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，，則在線段上，故，故①錯(cuò)當(dāng)是線段的中點(diǎn)時(shí)，，故②對(duì)為定值1時(shí)，，，三點(diǎn)共線，又是平行四邊形內(nèi)（含邊界）的一點(diǎn)，故的軌跡是線段，故③對(duì)如圖，過作，交于，作，交的延長線于，則：；又；，；由圖形看出，當(dāng)與重合時(shí)：；此時(shí)取最大值0，取最小值1；所以取最大值，故④正確所以選項(xiàng)②③④正確.故選：C二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分．9．在△ABC中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊BC和AC上的中點(diǎn)，P是AE與BF的交點(diǎn)，則有（）A． B．C． D．【答案】AC【解析】如圖：根據(jù)三角形中線性質(zhì)和平行四邊形法則知，,A是正確的；因?yàn)镋F是中位線，所以B是正確的；根據(jù)三角形重心性質(zhì)知，CP=2PG，所以，所以C是正確的，D錯(cuò)誤.故選AC10．在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，D為BC的中點(diǎn)，則以下結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．【答案】BC【解析】對(duì)于A選項(xiàng)：，故A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)：因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)：，故正確；對(duì)于D選項(xiàng)：，而，故D不正確.故選BC.11．已知正方形的邊長為，向量，滿足，，則（）A． B． C． D．【答案】AD【解析】由條件可，所以，A正確；，與不垂直，B錯(cuò)誤；，C錯(cuò)誤；，根據(jù)正方形的性質(zhì)有，所以，D正確.故選AD12．已知為的重心，為的中點(diǎn)，則下列等式成立的是（）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】如圖，根據(jù)題意得為三等分點(diǎn)靠近點(diǎn)的點(diǎn).對(duì)于A選項(xiàng)，根據(jù)向量加法的平行四邊形法則易得，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，，由于為三等分點(diǎn)靠近點(diǎn)的點(diǎn)，，所以，故正確；對(duì)于C選項(xiàng)，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，，故D正確.故選：ABD三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．不需寫出解答過程，請(qǐng)把答案直接填寫在橫線上）13．在矩形ABCD中，O是對(duì)角線的交點(diǎn)，若，則＝________．(用表示)【答案】【解析】在矩形ABCD中，因?yàn)镺是對(duì)角線的交點(diǎn)，所以＝,14．如圖，在中，，是上的一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為________.【答案】【解析】解法1：因?yàn)椋?，又，所以因?yàn)辄c(diǎn)三點(diǎn)共線，所以，解得：.解法2：因?yàn)?，設(shè)，所以，因?yàn)椋?，又，所以，所以，又，所以解得：，所?15．在四邊形中，.若，則__________.【答案】【解析】因?yàn)?，，所以?6．如圖，在中，點(diǎn)A是的中點(diǎn)，點(diǎn)D是靠近點(diǎn)B將分成的一個(gè)分點(diǎn)，和交于點(diǎn)E，設(shè)，（1）用，表示向量__________；（2）若，則__________【答案】【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)A是的中點(diǎn)，所以，所以，又點(diǎn)D是靠近點(diǎn)B將分成的一個(gè)分點(diǎn)，所以，所以.（2）因?yàn)镃，E，D三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)，使得，又，，所以，又，不共線，則，解得.三、解答題（本大題共4小題，共70分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（本小題滿分10分）如圖，設(shè)，，又，試用，表示．【解析】，由已知可得：，所以，故．18．（本小題滿分12分）設(shè)是不共線的非零向量，且.（1）證明：可以作為一組基底；（2）若，求λ，u的值.【解析】（1）證明：假設(shè)＝λ(λ∈R)，由，不共線，得∴λ不存在，故與不共線，可以作為一組基底，（2）解：由4－3＝λ＋u，得4－3＝λ(－2)＋u(＋3)＝(λ＋u)＋(－2λ＋3u)，所以解得19．（本小題滿分12分）如圖，平行四邊形ABCD中，已知，，設(shè)，，（1）用向量和表示向量，；（2）若，，求實(shí)數(shù)x和y的值.【解析】（1）（2）因?yàn)?即因?yàn)榕c不共線，從而，解得20．（本小題滿分12分）已知點(diǎn)A，B為單位圓O上的兩點(diǎn)，點(diǎn)P為單位圓O所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且與不共線．（1）在△OAB中，點(diǎn)P在AB上，且，若，求r＋s的值；（2）已知點(diǎn)P滿足(m為常數(shù))，若四邊形OABP為平行四邊形，求m的值．【解析】（1）∵，即有∴，又∴r＝，s＝－，即r＋s＝0.（2）∵四邊形OABP為平行四邊形∴，又∴依題意，是非零向量且不共線∴m＋1＝0，即m＝－121．（本小題滿分12分）如圖在中，，，與交于點(diǎn)．設(shè)，．（1）用，表示；（2）已知線段上取一點(diǎn)，在線段上取一點(diǎn)，使過點(diǎn)．設(shè)，，則是否為定值，如果是定值，求出這個(gè)定值．【解析】（1）設(shè)，則，．∵、、三點(diǎn)共線，∴與共線，故存在實(shí)數(shù)，使得，即，，∴，消去得，即①，∵，，又、、三點(diǎn)共線，∴與共線，同理可得②，聯(lián)立①②，解得，．故．（2）．理由如下：∵，，又與共線，故存在實(shí)數(shù)，使得，即．∴，消去得，整理得．22．（本小題滿分12分）三角形中，為上一點(diǎn)，，設(shè)，，可以用，來表示出，方法如下：方法一：，∵，∴.方法二：，∵，∴.方法三：如圖所示，過點(diǎn)作的平行線，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作的平行線，交于點(diǎn)，則四邊形為平行四邊形.∵且，∴，.∵，.∴，得.∴.請(qǐng)參照上述方法之一(用其他方法也可)，解決下列問題：（1）三角形中，為的中點(diǎn)，設(shè)，，試用，表示出；（2）設(shè)為直線上任意一點(diǎn)(除?兩點(diǎn))，.點(diǎn)為直線外任意一點(diǎn)，，，證明：存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)，，使得：，且.【解析】（1）因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，方法一：，∵，∴；方法二：，∵，∴；方法三：如圖所示，過點(diǎn)作的平行線，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作的平行線，交于點(diǎn)，則四邊形為平行四邊形.∵且，∴，.∵，.∴，得.∴；（2）因?yàn)闉橹本€上任意一點(diǎn)(除?兩點(diǎn))，，顯然；所以，，方法一：，∵，∴；即存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)，，使得：，且；方法二：，∵，∴；即存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)，，使得：，且；方法三：若點(diǎn)位于點(diǎn)左側(cè)，如圖，過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，則為平行四邊形，，；即存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)，，使得：，且；若點(diǎn)位于點(diǎn)右側(cè)，如圖，過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，則為平行四邊形，，因此，即存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)，，使得：，且；若點(diǎn)位于之間，則；如圖所示，過點(diǎn)作的平行線，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作的平行線，交于點(diǎn)，則四邊形為平行四邊形.∵且，∴，，∵，.∴，得.∴；即存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)，，使得：，且；綜上，存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)，，使得：，且.《專題6.5平面向量基本定理及坐標(biāo)表示》知識(shí)梳理一．平面向量的坐標(biāo)表示1.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量分別為i，j，取{i，j}作為基底.對(duì)于平面內(nèi)的任意一個(gè)向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使得a＝xi＋yj.平面內(nèi)的任一向量a都可由x，y唯一確定，我們把有序數(shù)對(duì)(x，y)叫做向量a的坐標(biāo)，記作a＝(x，y).2.在直角坐標(biāo)平面中，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0).【思考】點(diǎn)的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)有什么區(qū)別和聯(lián)系？【答案】區(qū)別表示形式不同向量a＝(x，y)中間用等號(hào)連接，而點(diǎn)A(x，y)中間沒有等號(hào)意義不同點(diǎn)A(x，y)的坐標(biāo)(x，y)表示點(diǎn)A在平面直角坐標(biāo)系中的位置，a＝(x，y)的坐標(biāo)(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外(x，y)既可以表示點(diǎn)，也可以表示向量，敘述時(shí)應(yīng)指明點(diǎn)(x，y)或向量(x，y)聯(lián)系當(dāng)平面向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，平面向量的坐標(biāo)與向量終點(diǎn)的坐標(biāo)相同二．平面向量加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，數(shù)學(xué)公式文字語言表述向量加法a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)兩個(gè)向量和的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和向量減法a－b＝(x1－x2，y1－y2)兩個(gè)向量差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的差已知點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo).三.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算:（1）若，則；（2）若，則；（3）設(shè)，則，.【注意】向量共線的坐標(biāo)形式極易寫錯(cuò)，如寫成x1y1－x2y2＝0或x1x2－y1y2＝0都是不對(duì)的，因此要理解并熟記這一公式，可簡(jiǎn)記為：縱橫交錯(cuò)積相減.四．平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示設(shè)非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ.則a·b＝x1x2＋y1y2.(1)若a＝(x，y)，則|a|2＝x2＋y2或若表示向量a的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則a＝(x2－x1，y2－y1)，(2)a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.(3) 【思考】若兩個(gè)非零向量的夾角滿足cosθ<0，則兩向量的夾角θ一定是鈍角嗎？【答案】不一定，當(dāng)cosθ<0時(shí)，兩向量的夾角θ可能是鈍角，也可能是180°.《6.5平面向量基本定理及坐標(biāo)表示》同步測(cè)試注意事項(xiàng)：本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘，試題共16題．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知向量則的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】.2．已知平面向量，，且，則下列正確的是（）A． B．或4 C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，所?故選：C.3．已知向量，，若，則x的值為（）A．2 B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)椋?，解?故選：D4．已知，，，若，則（）A． B． C．2 D．【答案】D【解析】∵，∴，則，∴，故選：D.5．已知向量，，則與的夾角為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)橄蛄?，，所?又因?yàn)?所以,故選B.6．在中，，，，為的中點(diǎn)，，都在線段上，且，則（）A． B． C．-2 D．2【答案】A【解析】如圖，建立直角坐標(biāo)系，則，，，所以，，所以，故選A7．設(shè)，向量，，若，則等于（）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，所以，解得或，∵，∴，．故選C．8．已知向量則的模的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分．9．已知兩點(diǎn)，與平行，且方向相反的向量可能是（）A． B．C． D．【答案】AD【解析】，A選項(xiàng)，，故滿足題意D選項(xiàng)，，故滿足題意B、C選項(xiàng)中的不與平行，故選：AD10．已知向量，，則（）A． B．C． D．與的夾角為【答案】ACD【解析】因?yàn)椋?，所以，，所以，故A正確；因?yàn)椋耘c不平行，故B錯(cuò)誤；又，故C正確；因?yàn)?，所以與的夾角為，故D正確.故選ACD11．已知向量，，若，則（）A．或 B．或C．或 D．或【答案】AC【解析】因?yàn)橄蛄浚?，所以，若，則，即，解得或，故A正確，B錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故C正確，D錯(cuò).故選AC.12．已知四邊形是邊長為2的正方形，為平面內(nèi)一點(diǎn)，則（）A．最小值為 B．最大值為C．無最小值 D．無最大值【答案】AD【解析】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系則，，，.設(shè)，則，，，，所以，所以當(dāng)，時(shí)，取得最小值，無最大值.故選AD．三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．不需寫出解答過程，請(qǐng)把答案直接填寫在橫線上）13．已知向量，且，則__________．【答案】1【解析】因?yàn)椋?14．已知向量滿足，，且，則_____．【答案】【解析】根據(jù)題意得：因?yàn)椋捎?，所以?5．已知，則與方向相同的單位向量的坐標(biāo)為__________．【答案】【解析】設(shè)與方向相同的單位向量坐標(biāo)為，則，解得或因?yàn)榕c的方向相同，所以，與同方向的單位向量是.16．已知平面向量，.①若，則實(shí)數(shù)x的值是_____；②若與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是_____.【答案】【解析】①，②因?yàn)榕c的夾角為銳角，所以,,三、解答題（本大題共4小題，共70分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（本小題滿分10分）已知向量在同一平面上，且.（1）若，且，求向量的坐標(biāo)﹔（2）若，且與垂直，求的值.【解析】（1），設(shè)，即，則.，或.（2），，，即即則18．（本小題滿分12分）已知向量，，.（1）求向量的長度的最大值；（2）設(shè)，且，求的值.【解析】（1）由題意，向量，，可得，則.因?yàn)?，所以，?即當(dāng)時(shí)，的最大值為3.（2）由，則，又由，，得，因?yàn)?，所以，即，解得，可得，所?19．（本小題滿分12分）已知向量，，．（1）若點(diǎn)，，三點(diǎn)共線，求的值；（2）若為直角三角形，且為直角，求的值．【解析】（1），，，，點(diǎn)，，三點(diǎn)共線，和共線，，解得；（2）為直角三角形，且為直角，，，解得．20．（本小題滿分12分）如圖所示，在矩形ABCD中，，，點(diǎn)M為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在邊CD上.（1）若點(diǎn)N為線段CD上靠近D的三等分點(diǎn)，求的值;（2）若，求此時(shí)點(diǎn)N的位置.【解析】（1）如圖建系，則，，（2）設(shè)，，則，解得因此，此時(shí)點(diǎn)為線段上靠近的三等分點(diǎn)21．（本小題滿分12分）已知向量，k?t為正實(shí)數(shù)，.（1）若求k的最大值；（2）是否存在k?t使得？若存在，求出k的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說明理由.【解析】（1）因?yàn)橄蛄?，k?t為正實(shí)數(shù)，所以.因?yàn)樗?，，?dāng)且僅當(dāng)，即取等號(hào)，所以k的最大值；（2）因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得：，即，因?yàn)閗?t為正實(shí)數(shù)，所以不存在k?t，使得.22．（本小題滿分12分）在直角坐標(biāo)系中，單位圓O的圓周上兩動(dòng)點(diǎn)滿足（如圖），C坐標(biāo)為，記（1）求點(diǎn)A與點(diǎn)B縱坐標(biāo)差的取值范圍；（2）求的取值范圍；【解析】由題意得：，，，.（2），，，.《6.6平面向量的應(yīng)用》知識(shí)梳理一、向量方法解決平面幾何問題的步驟用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”：(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題.(2)通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題.(3)把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.二、向量方法解決物理問題的步驟用向量方法討論物理學(xué)中的相關(guān)問題，一般來說分為四個(gè)步驟：(1)問題轉(zhuǎn)化，即把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.(2)建立模型，即建立以向量為載體的數(shù)學(xué)模型.(3)求解參數(shù)，即求向量的模、夾角、數(shù)量積等.(4)回答問題，即把所得的數(shù)學(xué)結(jié)論回歸到物理問題.【思考】物理問題中有哪些量是向量？它們與向量的哪些運(yùn)算相關(guān)？【答案】物理中的向量：①物理中有許多量，比如力、速度、加速度、位移都具有大小和方向，因而它們都是向量.②力、速度、加速度、位移的合成就是向量的加法，因而它們也符合向量加法的三角形法則和平行四邊形法則；力、速度、加速度、位移的分解也就是向量的分解，運(yùn)動(dòng)的疊加也用到了向量的加法.③動(dòng)量mv是數(shù)乘向量.④力所做的功就是作用力F與物體在力F的作用下所產(chǎn)生的位移s的數(shù)量積.《6.6平面向量的應(yīng)用》同步測(cè)試注意事項(xiàng)：本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘，試題共16題．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．在中，“”是“為鈍角三角形”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件【答案】A【解析】，，則為鈍角，“”“是鈍角三角形”，另一方面，“是鈍角三角形”“是鈍角”.因此，“”是“為鈍角三角形”的充分非必要條件.故選：A.2．若,且,則四邊形是()A．平行四邊形 B．菱形 C．等腰梯形 D．非等腰梯形【答案】C【解析】∵，∴，，∵，∴四邊形是等腰梯形，故選：C．3．渭河某處南北兩岸平行，如圖所示.某艘游船從南岸碼頭出發(fā)北航行到北岸.假設(shè)游船在靜水中航行速度大小為，東水流速度的大小為.設(shè)速度與速度的夾角為，北岸的點(diǎn)在碼頭的正北方向.那么該游船航行到達(dá)北岸的位置應(yīng)（）A．在東側(cè) B．在西側(cè)C．恰好與重合 D．無法確定【答案】A【解析】建立如圖如示的坐標(biāo)系，由題意可得，所以，說明船有軸正方向的速度，即向東的速度，所以該游船航行到達(dá)北岸的位置應(yīng)在東側(cè)，故選：A4．已知兩個(gè)力，的夾角為，它們的合力大小為20N，合力與的夾角為，那么的大小為（）A． B．10 C．20 D．【答案】A【解析】設(shè)，的對(duì)應(yīng)向量分別為、，以、為鄰邊作平行四邊形如圖，則，對(duì)應(yīng)力，的合力，的夾角為，四邊形是矩形，在中，，，.故選：A．5．若為所在平面內(nèi)任一點(diǎn)，且滿足，則的形狀為（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【解析】∵,∴，∴,∴的中線和底邊垂直，∴是等腰三角形．故選：A.6．長江某地南北兩岸平行，一艘游船從南岸碼頭A出發(fā)航行到北岸，假設(shè)游船在靜水中的航行速度的大小為，水流的速度的大小為.設(shè)和的夾角為，北岸的點(diǎn)在A的正北方向，游船正好到達(dá)處時(shí)，（）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)船的實(shí)際速度為,和的夾角為，北岸的點(diǎn)在的正北方向,游船正好到達(dá)處,則，∴.故選D.7.在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)M在三個(gè)力共同的作用下，從點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)（坐標(biāo)的長度單位：），若以軸正向上的單位向量及軸正向上的單位向量表示各自方向上的力，則有，則的合力對(duì)質(zhì)點(diǎn)M所做的功是（）A．6000J B．1500J C． D．【答案】B【解析】依題意，的合力為，所以所做的功.故選:B8．已知O為四邊形所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，，，，滿足，，則四邊形一定為（）A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形【答案】B【解析】由可得：，即,所以四邊形為平行四邊形，由得：，即，因?yàn)椋?，所以又四邊形為平行四邊形，所以，所以，所以四邊形為矩形，故選B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分．9．在日常生活中，我們會(huì)看到兩人共提一個(gè)行李包的情境（如圖）假設(shè)行李包所受重力均為，兩個(gè)拉力分別為，，若，與的夾角為．則以下結(jié)論正確的是（）A．的最小值為 B．的范圍為C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，【答案】ACD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)：因?yàn)闉槎ㄖ担?，所以，解得，又，在上單調(diào)遞減，所以最小值為，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)：由題意得，故B不正確；對(duì)于C選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，，所以，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，，所以，故D正確，故選ACD.10．已知是邊長為2的等邊三角形，，分別是、上的兩點(diǎn)，且，，與交于點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A． B．C． D．在方向上的投影為【答案】BCD【解析】由題E為AB中點(diǎn)，則，以E為原點(diǎn)，EA，EC分別為x軸，y軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：所以，，設(shè)，∥，所以，解得：，即O是CE中點(diǎn)，，所以選項(xiàng)B正確；，所以選項(xiàng)C正確；因?yàn)?，，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；，，在方向上的投影為，所以選項(xiàng)D正確.故選BCD11．設(shè)P是所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，則（）A． B．C． D．【答案】CD【解析】由題意：故即,故選：CD12．如圖，中，，E為CD的中點(diǎn)，AE與DB交于F，則下列敘述中，一定正確的是（）A．在方向上的投影為0B．C．D．若，則【答案】ABC【解析】因?yàn)樵谥?，，在中，由余弦定理得，所以滿足，所以，又E為CD的中點(diǎn)，所以，所以，，對(duì)于A選項(xiàng)：在方向上的投影為，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)：，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)：，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)：，設(shè)，所以，解得（負(fù)值舍去），故D不正確，故選ABC.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．不需寫出解答過程，請(qǐng)把答案直接填寫在橫線上）13．在四邊形ABCD中，且，則四邊形ABCD的形狀為__________.【答案】菱形【解析】∵，∴，，∴四邊形是平行四邊形.∵，∴四邊形是菱形.14．伴隨著國內(nèi)經(jīng)濟(jì)的持續(xù)增長，人民的生活水平也相應(yīng)有所提升，其中旅游業(yè)帶來的消費(fèi)是居民消費(fèi)領(lǐng)域增長最快的，因此挖掘特色景區(qū)，營造文化氛圍尤為重要．某景區(qū)的部分道路如圖所示，，，，，要建設(shè)一條從點(diǎn)到點(diǎn)的空中長廊，則______．【答案】【解析】由題可知，所以，由可得，，又，，，所以，則．15．如圖，某班體重為70kg的體育老師在做引體向上示范動(dòng)作，兩只胳膊的夾角為，拉力大小均為，若使身體能向上移動(dòng)，則拉力的最小整數(shù)值為______N．（取重力加速度大小為，）【答案】405【解析】設(shè)是兩個(gè)拉力，合力為，由于，在菱形中知，所以，，所以的最小整數(shù)為405．故答案為：405．16．如圖所示，把一個(gè)物體放在傾斜角為30°的斜面上，物體處于平衡狀態(tài)，且受到三個(gè)力的作用，即重力G，沿著斜面向上的摩擦力，垂直斜面向上的彈力．已知，則G的大小為________，的大小為________．【答案】【解析】如圖，由向量分解的平行四邊形法則，計(jì)算可得：三、解答題（本大題共4小題，共70分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（本小題滿分10分）若渡船在靜水中的速度大小為，河寬為，水流的速度大小為，則（1）此船渡過該河所用時(shí)間的最小值是多少？（2）此船渡過該河的位移最小時(shí)，需要多長時(shí)間才能從此岸到達(dá)彼岸？【解析】（1）當(dāng)船頭方向與河岸垂直時(shí)，渡河時(shí)間最短，最短時(shí)間.（2）當(dāng)合速度的方向垂直于河岸時(shí)，此船渡過該河的位移最小，如圖所示，水流的速度為，則，船的速度為，則，合速度為，合速度的大小為，則，設(shè)船速與合速度的夾角為，則，此時(shí).渡河時(shí)間為.答：此船渡過該河所用時(shí)間的最小值是；此船渡過該河的位移最小時(shí)，需要才能從此岸到達(dá)彼岸.18．（本小題滿分12分）已知兩恒力，作用于同一質(zhì)點(diǎn)，使之由點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn).（1）求力、分別對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功；（2）求力、的合力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功.【解析】（1），力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功，力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功，所以，力、對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功分別為和.（2）.19．（本小題滿分12分）如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，求證：AF⊥DE．【解析】方法一設(shè)，則，又，所以．故，即AF⊥DE．方法二如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長為2，則A（0，0），D（0，2），E（1，0），F(xiàn)（2，1），所以．所以，所以，即AF⊥DE．20．（本小題滿分12分）已知O，A，B是平面上不共線的三點(diǎn)，直線AB上有一點(diǎn)C，滿足2＋＝0，(1)用，表示；(2)若點(diǎn)D是OB的中點(diǎn)，證明四邊形OCAD是梯形．【解析】(1)∵2＋＝0，∴2(－)＋(－)＝0，2－2＋－＝0，∴＝2－.(2)如圖，＝＋＝－＋＝(2－)．故＝.故四邊形OCAD是梯形．21．（本小題滿分12分）在平面直角坐標(biāo)系中,已知三點(diǎn)A(-1,0)、B(t,2)、C(2,1)，t∈R，O為坐標(biāo)原點(diǎn)(I)若△ABC是∠B為直角的直角三角形,求t的值(Ⅱ)若四邊形ABCD是平行四邊形，求的最小值【解析】(I)由題意得＝(t＋1,2)，＝(3，t)，＝(2－t，t－2)，若∠B＝90°，則，即(t＋1)(2－t)＋2(t－2)＝0，∴t＝1或2，若，則，這時(shí)△ABC不存在.∴t＝1.(II)若四邊形ABCD是平行四邊形，則，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，y)，則＝(x＋1,y)，∴(x＋1,y)＝(2－t，t－2)，∴，即，即D(1－t，t－2)，∴＝(1－t，t－2)，∴＝＝＝，∴當(dāng)t＝時(shí)，取得最小值.22．（本小題滿分12分）如圖所示，對(duì)于同一高度（足夠高）的兩個(gè)定滑輪，用一條足夠長的繩子跨過它們，并在兩端分別掛有質(zhì)量為和物體，另在兩滑輪中間的一段繩子的點(diǎn)O處懸掛質(zhì)量為m的另一物體，已知，且系統(tǒng)保持平衡（滑輪半徑、繩子質(zhì)量均忽略不計(jì)）．求證：（1）為定值；（2）．【解析】（1）證明：如圖，設(shè)，根據(jù)平行四邊形法則，得即在中，由正弦定理，得．將代入①，得，即．，，得．，即．（2）證明：由，得．將①②兩邊平方相加，得.，．．《6.7正弦、余弦定理》知識(shí)梳理一．余弦定理在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，則有余弦定理語言敘述三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍公式表達(dá)a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC推論cosA＝cosB＝，cosC＝【思考】在a2＝b2＋c2－2bccosA中，若A＝90°，公式會(huì)變成什么？【答案】a2＝b2＋c2，即勾股定理.二．正弦定理在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等.即三．正弦定理的變形公式1.a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.2.(其中R是△ABC外接圓的半徑).【思考】在正弦定理中，三角形的各邊與其所對(duì)角的正弦的比都相等，那么這個(gè)比值等于多少？與該三角形外接圓的直徑有什么關(guān)系？【答案】等于2R(R為該三角形外接圓的半徑)，與該三角形外接圓的直徑相等.《6.7正弦、余弦定理》同步測(cè)試注意事項(xiàng)：本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘，試題共16題．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若，，，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，，，所以由正弦定理可得，則，故選：A.2．在中，若，，，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由余弦定理可得：又所以故選：C3．的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，，，則的面積為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】在中，由，，，則．故選：D．4．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，則的形狀為（）A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．不確定【答案】C【解析】因?yàn)椋?，所以，所以的形狀為鈍角三角形.故選C5．已知中，角所對(duì)的邊分別為，且，若的面積為，則的值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意即①，②聯(lián)立①②得整理得即又故選：B．6．如皋定慧寺原有佛塔毀于五代時(shí)期，現(xiàn)在的觀音塔為2002年6月12日奠基，歷時(shí)兩年完成的，是仿明清古塔建筑，框架七層、八角彩繪，總建筑面積700多平方米.塔內(nèi)供奉觀音大士銅鑄32應(yīng)身，玻璃鋼彩鑄大悲咒出相84尊，有通道拾級(jí)而上可登頂層.塔名由中國書法協(xié)會(huì)名譽(yù)主席、中國佛教協(xié)會(huì)顧問、國學(xué)大師啟功先生題寫.塔是佛教的工巧明（即工藝學(xué)，比如建筑學(xué)就是工巧明之一），東漢明帝永平年間方始在我國興建.所謂救人一命勝造七級(jí)浮屠，這七級(jí)浮屠就是指七級(jí)佛塔.下面是觀音塔的示意圖，游客（視為質(zhì)點(diǎn)）從地面點(diǎn)看樓頂點(diǎn)的仰角為，沿直線前進(jìn)51米達(dá)到點(diǎn)，此時(shí)看點(diǎn)點(diǎn)的仰角為，若，則該八角觀音塔的高約為（）（）A．8米 B．9米 C．40米 D．45米【答案】D【解析】設(shè)，由得，因?yàn)椋?，在中，，解得所以故選D7．秦九韶，字道古，漢族，魯郡（今河南范縣）人，南宋著名數(shù)學(xué)家，精研星象、音律、算術(shù)、詩詞、弓、劍、營造之學(xué)．1208年出生于普州安岳（今四川安岳），咸淳四年（1268）二月，在梅州辭世．

與李冶、楊輝、朱世杰并稱宋元數(shù)學(xué)四大家．他在著作《數(shù)書九章》中創(chuàng)用了“三斜求積術(shù)”，即是已知三角形的三條邊長，求三角形面積的方法．其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實(shí)．一為從隅，開平方得積．”若把以上這段文字寫成公式，即為，若滿足，，且a<b<c，則用“三斜求積”公式求得的面積為（）A． B．C．1 D．【答案】B【解析】因?yàn)?，所?因?yàn)椋?，所?故選：B8．在中，，，分別為內(nèi)角，，所對(duì)的邊，且，若點(diǎn)是外一點(diǎn)，，，.則平面四邊形的面積的最大值是（）A． B． C．3 D．【答案】A【解析】在中，，，即，，是等邊三角形，，，，則當(dāng)，即時(shí)，取得最大值1，故四邊形OACB面積的最大值為.故選A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分．9．在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，則下列結(jié)論中正確的是（）A．若，則一定是等腰三角形B．若，則C．若是銳角三角形，D．若是鈍角三角形，則【答案】BCD【解析】對(duì)于A，根據(jù)正弦定理，由，得出，所以，，因?yàn)樵谥校?，，此時(shí)，仍有，所以，不一定是等腰三角形，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由已知條件得，，因?yàn)?，所以，，均為銳角，則有，所以，，B正確；對(duì)于C，若是銳角三角形，則均為銳角，所以，，得和，且，得，同理，可證得，，，所以，成立，C正確；對(duì)于D，若是鈍角三角形，不妨設(shè)為鈍角，則為銳角，則有，所以，，又因?yàn)?，所以，，得到，又由為鈍角，可得，所以，成立，同理，當(dāng)為鈍角或者為鈍角時(shí)，該不等式仍然成立，D正確；故選BCD10．已知的三個(gè)角，，的對(duì)邊分別為，，，若，則該三角形的形狀是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【答案】D【解析】在中，因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，所以，即，所以或，解得?故是直角三角形或等腰三角形.故選D.11．如圖，△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C對(duì)應(yīng)的三條邊長分別是a，b，c，∠ABC為鈍角，BD⊥AB，，c=2，則下列結(jié)論正確的有（）A． B．BD=2C． D．△CBD的面積為【答案】AC【解析】由，得：，又角為鈍角，解得：，由余弦定理，得：，解得，可知為等腰三角形，即，所以，解得，故正確，可得，在中，，得，可得，故錯(cuò)誤，，可得，可得，故正確，所以的面積為，故錯(cuò)誤．故選AC．12．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若，，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．的面積為6【答案】ABD【解析】因?yàn)椋?，所以，故A正確；因?yàn)?，利用正弦定理可得，因?yàn)椋?，所以，即因?yàn)?，所以，所以，又，所以，故B正確；因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，故C錯(cuò)誤；，故D正確；故選ABD三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．不需寫出解答過程，請(qǐng)把答案直接填寫在橫線上）13．如圖，為了估測(cè)某塔的高度，在塔底和(與塔底同一水平面)處進(jìn)行測(cè)量，在點(diǎn)處測(cè)得塔頂?shù)难鼋欠謩e為45°，30°，且兩點(diǎn)相距，由點(diǎn)看的張角為150°，則塔的高度______.【答案】【解析】設(shè)塔的高度（），則，，在中，，，由余弦定理可得，即，解得.14．若的三邊長分別為，，，則該三角形的內(nèi)切圓半徑等于________．【答案】【解析】的三邊長分別為，邊長為所對(duì)角的余弦值為，所以，設(shè)該三角形的內(nèi)切圓半徑為，所以，即，解得.15．設(shè)的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知，則的取值范圍為__________.【答案】【解析】因?yàn)橹?，，，由余弦定理可得，，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，則，又在三角形中，兩邊之和大于第三邊，則，綜上，.16．在中，角，，所對(duì)的邊分別是，，.若，，，則___________，的面積___________.【答案】4【解析】（1）根據(jù)余弦定理可知，整理為：，解得：或（舍）（2）.三、解答題（本大題共4小題，共70分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（本小題滿分10分）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.（1）求；（2）若，如圖，為線段上一點(diǎn)，且，求的長.【解析】（1）根據(jù)正弦定理得，整理得因?yàn)椋?，又，可得?）在中，由余弦定理得：將（1）中所求代入整理得：，解得或(舍)，即在中，可知，有，因?yàn)?，所?18．（本小題滿分12分）在①，，②，這兩組條件中任選一組補(bǔ)充在下面問題的橫線上，并進(jìn)行解答.已知的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別是，，，若，__________.（1）求；（2）求的面積.【解析】（1）解法一：由正弦定理，得，由，得，即，整理得，由，得，所以.解法二：由余弦定理，得，整理得，所以（2）選擇條件①.由余弦定理，得，即，即，又，得，解得，在中，由，得，由面積公式，得.選擇條件②.在中，由，得，由，得，由正弦定理，得，聯(lián)立，解得，，由，由面積公式，得.19．（本小題滿分12分）中，角，，所對(duì)邊分別為，，，且，，.（Ⅰ）求邊a及的值；（Ⅱ）求的值.【解析】（Ⅰ）因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以，又，所以，由余弦定理得，所以，由正弦定理得，即，所?（Ⅱ）在中，，由（Ⅰ）可知，所以，所以，，所以，，所以.20．（本小題滿分12分）如圖，已知平面四邊形中，為正三角形，，，記四邊形的面積為.（1）將表示為的函數(shù)；（2）求的最大值及相應(yīng)的值.【解析】（1），∴中，，∵為正三角形∴∴四邊形的面積為，其中（2）由（1）得，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，的最大值為.21．（本小題滿分12分）已知．（1）求的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）在銳角中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若，，求面積的最大值．【解析】（1）由題意．由，得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間是．（2）因?yàn)?，所以，由題意是銳角，所以，由余弦定理：，可得，所以，且當(dāng)時(shí)成立．所以，面積最大值為．22．（本小題滿分12分）如圖，已知兩條公路，的交匯點(diǎn)處有一學(xué)校，現(xiàn)擬在兩條公路之間的區(qū)域內(nèi)建一工廠，在兩公路旁，（異于點(diǎn)）處設(shè)兩個(gè)銷售點(diǎn)，且滿足，（千米），（千米），設(shè)．（注：）（1）試用表示，并寫出的范圍；（2）當(dāng)為多大時(shí)，工廠產(chǎn)生的噪聲對(duì)學(xué)校的影響最小（即工廠與學(xué)校的距離最遠(yuǎn)）．【解析】（1）因?yàn)?，在中，因?yàn)?，所以，?）在中，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最大值36，即取得最大值6．所以當(dāng)時(shí)，工廠產(chǎn)生的噪聲對(duì)學(xué)校的影響最小．《第六章平面向量及其應(yīng)用》單元測(cè)試卷注意事項(xiàng)：本試卷滿分150分，考試時(shí)間12分鐘，試題共22題．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．已知，，則“”是“向量與共線”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既