2024年天津市和平區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷（附答案解析）

2024年天津市和平區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷

一、選擇題（在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）

1.（5分）已知集合A={x6N|-2V尤<2},B={XGZ||X|<2）,集合C=An8,則集合C的

子集個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

A.V3+1B.V3-1C.4+2V3D.4-2V3

4.（5分）已知a,beR,貝!]“/+廬>2”是“°+6>2”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.既不充分也不必要條件

D.充要條件

5.（5分）某市為了減少水資源浪費(fèi)，計(jì)劃對(duì)居民生活用水實(shí)施階梯水價(jià)制度，為確定一個(gè)

比較合理的標(biāo)準(zhǔn)，從該市隨機(jī)調(diào)查了100位居民，獲得了他們某月的用水量數(shù)據(jù)，整理

得到如圖頻率分布直方圖，則以下四個(gè)說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)為（）

①估計(jì)居民月均用水量低于15/的概率為0.25；

②估計(jì)居民月均用水量的中位數(shù)約為2.1m3；

③該市有40萬(wàn)居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3/的人數(shù)為6萬(wàn)；

④根據(jù)這100位居民的用水量，采用樣本量按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法，抽取了

容量為20人的樣本，則在用水量區(qū)間（1.5,2]中應(yīng)抽取4人.

頻率

用水量(立方米)

A.1B.2C.3D.4

分)設(shè)。奧更c(diǎn)=則有(

6.(5(4)=2,b=Zo3-Io9,(1))

A.a〈b<cB.a〈c〈bC.b〈c〈aD.b<-a<-c

7.（5分）已知函數(shù)/（%）=sin2x-cos2x（xER）,f（x）是/（x）的導(dǎo)數(shù)，則以下結(jié)論中

正確的是（）

A.函數(shù)f（x+*）是奇函數(shù)

B.函數(shù)/（尤）與/（無(wú)）的值域相同

C.函數(shù)/（無(wú)）的圖象關(guān)于直線％=今對(duì)稱

D.函數(shù)無(wú)）在區(qū)間（『金上單調(diào)遞增

8.（5分）若三棱臺(tái)ABC-AiBiCi的上、下底面均是正三角形，側(cè)面是全等的等腰梯形，

且其各頂點(diǎn)都在表面積為260n的球。的表面上，AB==8遮，則三棱臺(tái)ABC-

A1B1G的高為（）

A.2V3B.8C.6或8D.2百或6

9.（5分）設(shè)雙曲線C；*，=l（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為點(diǎn)尸i,Fi,過(guò)坐標(biāo)原

點(diǎn)的直線與C交于A,B兩點(diǎn)，獸斗=AABF2的面積為88，且&-彘〉0,若

\F1B\2

雙曲線。的實(shí)軸長(zhǎng)為4,則雙曲線。的方程為（）

x2y2x2y2

A.---=1B.---=1

4244

x2y2x2y2

C.---=1D.---=1

424169

二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分.試題中包含兩個(gè)空的，答對(duì)1個(gè)的

給3分，全部答對(duì)的給5分）

10.（5分），為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=l+i,則|3+iz|=.

11.（5分）在（/—言產(chǎn)的二項(xiàng)展開式中，尤3的系數(shù)為（請(qǐng)用數(shù)字作答）.

12.（5分）為深入學(xué)習(xí)貫徹黨的二十大精神，推動(dòng)全市黨員干部群眾用好“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”學(xué)

習(xí)平臺(tái)，某單位組織“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”知識(shí)競(jìng)賽，競(jìng)賽共有10道題目，隨機(jī)抽取3道讓參賽

者回答，規(guī)定參賽者至少要答對(duì)其中2道才能通過(guò)初試.已知某參賽黨員甲只能答對(duì)其

中的6道，那么黨員甲抽到能答對(duì)題目數(shù)X的數(shù)學(xué)期望為；黨員

甲能通過(guò)初試的概率為.

13.（5分）圓_?+/+6丫-16=0與拋物線x2=2py（p>0）的準(zhǔn)線相交于A,B兩點(diǎn).若

=6,則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.

14.（5分）青花瓷，常簡(jiǎn)稱青花，代表了我國(guó)古代勞動(dòng)人民智慧的結(jié)晶，是中國(guó)瓷器的主

流品種之一.圖一是一個(gè)由波濤紋和葡萄紋構(gòu)成的正六邊形青花瓷盤，已知圖二中正六

邊形的邊長(zhǎng)為4,圓。的圓心為正六邊形的中心，半徑為2,若點(diǎn)M在正六邊形的邊上

運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)A,B在圓。上運(yùn)動(dòng)且關(guān)于圓心。對(duì)稱.

（i）請(qǐng)用M2、MB表示M。=；

—>—>

（ii）請(qǐng)寫出MB的取值范圍.

15.（5分）若函數(shù)f（x）=si7i（a?rx——^）（ax2—4x+3a+4）（其中>>0）在區(qū)間［0,5］上

恰有4個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍為.

三、解答題（本大題共5小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）

16.（14分）在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別a,b,c,其中a=6+2,c=&6,且

sinA=迎sinC.

(I)求c的值；

(II)求tanA的值;

(III)求cos(24+今)的值.

17.(15分)如圖，四棱錐P-ABC。的底面ABC。是正方形，ABCD,PD=AD

=3,點(diǎn)E,尸分別是棱E4,PC的中點(diǎn)，點(diǎn)M是線段8C上一點(diǎn).

(I)求證：尸3_1_平面EFD；

(II)求平面EFD與平面ABCD的夾角的余弦值；

3-722

(III)若直線板與平面ABCD所成的角的正弦值為----,求此時(shí)MC的長(zhǎng)度.

18.(15分)在平面直角坐標(biāo)系尤0y中，橢圓C；各'=l(a>6>0)的左焦點(diǎn)為點(diǎn)R離

心率為稱,過(guò)點(diǎn)尸且與尤軸垂直的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為3.

(I)求橢圓C的方程；

V3

(II)設(shè)不過(guò)原點(diǎn)0且斜率為方■的直線/與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)P,Q,線段PQ的

中點(diǎn)為T,直線。T與橢圓C交于兩點(diǎn)M,N,證明：|TP|?|TQ=|7M?|7M

19.(15分)若數(shù)列｛久｝滿足%+1=―酹+d(neN*),其中dWO,an>0,則稱數(shù)列｛即｝為

M數(shù)列.

(I)已知數(shù)列｛即｝為Af數(shù)列，當(dāng)d=l,〃1=1時(shí)，

(i)求證：數(shù)列｛。等是等差數(shù)列，并寫出數(shù)列包九｝(nCN*)的通項(xiàng)公式；

(ii)Tn=[(碗+或)(一1再(n6N*),求a=1N*).

(II)若｛斯｝是M數(shù)列(aeN*),且d>0,證明：存在正整數(shù)”.使得濟(jì)11>2024.

20.(16分)已知函數(shù)/(x)=xlnx,g(x)=x(1-^D(x>0),(〃eR,e為自然對(duì)數(shù)的

底數(shù)).

(I)求函數(shù)/G)的單調(diào)區(qū)間；

(II)設(shè)g(x)在x=l處的切線方程為y=k(x),求證：當(dāng)xE(1,+8)時(shí)，g(x)

<k(x)；

0<%<l,

(Ill)若〃(%)=存在％1〈X2Vx3,使得力（XI）—h（X2）=h（%3）,

X>1/

且％2=gi,求證:當(dāng)ME(1,2)時(shí)，X2+x3<(2/〃2e)xi+1.

2024年天津市和平區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）

1.（5分）已知集合A={x6N]-2cx<2},B={xEZ\\x\<2},集合C=ACB,則集合C的

子集個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】先求出集合C,再根據(jù)子集公式可得結(jié)果.

【解答】解：由題意知，因?yàn)锳={0,1},B=[-1,0,1）,貝ijC=ACB={0,1},所

以C的子集個(gè)數(shù)為22=4個(gè).

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查交集和子集，屬于基礎(chǔ)題.

【答案】D

【分析】首先判斷函數(shù)的奇偶性，再根據(jù)特殊值及函數(shù)值的情況判斷即可.

【解答】解：對(duì)任意的xCR,|x|+2N2>0,故函數(shù)f（久）=卷，的定義域?yàn)镽,

又因?yàn)椤ㄒ荒?自冷=高3=一/（乃，所以/（X）為奇函數(shù)，故A、C錯(cuò)誤；

當(dāng)x>0時(shí)，/（%）>0,故2錯(cuò)誤；

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)圖象的變換，考查了函數(shù)奇偶性的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

3.(5分)已知等比數(shù)列｛金｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，若的,^a3,a2成等差數(shù)列，則

A.V3+1B.V3-1C.4+2V3D.4-2V3

【答案】A

【分析】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列｛板｝的公比為q(q>0),由等差數(shù)列的性質(zhì)列式求解q,則答

案可求.

【解答】解：設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列｛而｝的公比為q(q>0),

1、1

由a〉4a3，a2成等差數(shù)列，得3a3=ai+a2,

即］—a4一%=0,貝!J『-2q-2=。，

得q=l+g(q>0).

.a+a(a+a)q,r-

?.--9------1--0=-----8------9---=q=1+V3.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與等差數(shù)列的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題.

4.(5分)已知a,66R,貝l|"/+片>2”是“°+6>2”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.既不充分也不必要條件

D.充要條件

【答案】B

【分析】根據(jù)題意可將/+■>2與a+b>2,看作圓搭貶=2與直線a+Q2之間的關(guān)系，

再結(jié)合充分條件與必要條件定義可解.

【解答】解：設(shè)圓/+必=2與直線a+b=2的距離為d,

貝IJ圓/+必=2與直線a+b=2相切，貝Ij能推出“/+62>2”，故必要性成立.

當(dāng)。=-2,b=-1時(shí)，滿足"/+戶>2，，，但能推出“a+b>2”,充分性不成立.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查充分條件與必要條件定義，屬于中檔題.

5.(5分)某市為了減少水資源浪費(fèi)，計(jì)劃對(duì)居民生活用水實(shí)施階梯水價(jià)制度，為確定一個(gè)

比較合理的標(biāo)準(zhǔn)，從該市隨機(jī)調(diào)查了100位居民，獲得了他們某月的用水量數(shù)據(jù)，整理

得到如圖頻率分布直方圖，則以下四個(gè)說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)為()

①估計(jì)居民月均用水量低于1.5/的概率為0.25；

②估計(jì)居民月均用水量的中位數(shù)約為2.1機(jī)3；

③該市有40萬(wàn)居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3/的人數(shù)為6萬(wàn)；

④根據(jù)這100位居民的用水量，采用樣本量按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法，抽取了

容量為20人的樣本，則在用水量區(qū)間(1.5,2］中應(yīng)抽取4人.

用水量(立方米)

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)可判斷①③④，由中位數(shù)的定義可判斷②.

【解答】解：對(duì)于①，由頻率分布直方圖可知，居民月均用水量低于15滔的概率約為

(0.2+0.3)X0.5=0.25,故①正確；

對(duì)于②，由頻率分布直方圖可知，前3組的頻率之和為(0.2+0.3+0.4)X0.5=0.45<0.5,

前4組的頻率之和為(0.2+0.3+0.4+0.5)X0.5=0.7>0.5,

所以中位數(shù)位于［2,2.5)內(nèi)，設(shè)其為加，

則0.45+(m-2)X0.5=0.5,

解得機(jī)=2.1,

即居民月均用水量的中位數(shù)約為2.1冽3,故②正確；

對(duì)于③，由頻率分布直方圖可知，樣本中居民中月均用水量不低于3m3的頻率為

(0.1+0.1+0.1)X0.5=0.15,

用樣本估計(jì)總體，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3,/的人數(shù)為40X0.15=6(萬(wàn)人)，

故③正確；

對(duì)于④，由頻率分布直方圖可知，用水量區(qū)間(1.5,2］的頻率為0.4*0.5=0.2,

所以在用水量區(qū)間(1.5,2］中應(yīng)抽取20X0.2=4人，故④正確，

綜上所述，說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)為4個(gè).

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查了中位數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

6.(5分)設(shè)(3a=2,b=log-［3-log19,c=&廠與，則有()

A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.b<a<c

【答案】B

【分析】利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解.

【解答】解：：［尸=2,...4=/912<2。911=0,

J33

311

■:b=logi3—log19=log1?=logi>log\=1,

222y252Z

c=弓=23>2°=1,c>1,

14?_o

：2c=2x23=23=懷z=V16<V27=3,：A<c<|,

13

*.*2b=220gl與=21og23=log29>log28=3,:.1)>亍

25,

:.aVcUb.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

7.(5分)已知函數(shù)/(%)=sin2x-cos2x(xGR),f'(x)是/(%)的導(dǎo)數(shù)，則以下結(jié)論中

正確的是()

A.函數(shù)f(x+今是奇函數(shù)

B.函數(shù)/(尤)與/(尤)的值域相同

C.函數(shù)無(wú))的圖象關(guān)于直線》=今對(duì)稱

D.函數(shù)/(無(wú))在區(qū)間(『金上單調(diào)遞增

【答案】D

【分析】根據(jù)二倍角的余弦公式可求出f(x)=-cos2x,進(jìn)而得出f(x)=2sin2x,

然后根據(jù)奇函數(shù)的定義可判斷A的正誤；根據(jù)正余弦函數(shù)的值域可判斷5的正誤；根據(jù)

余弦函數(shù)的對(duì)稱軸可判斷C的正誤;根據(jù)余弦函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可判斷D的正誤.

【解答】解：f(%)=-cos2x,f'(x)=2sin2x,

+^）=-COS（2x+7T）=cos2x,函數(shù)/'（久+*）是偶函數(shù)，A錯(cuò)誤；

f（x）的值域是[-1,1],f'（x）的值域是[-2,2],B錯(cuò)誤；

/。）=-cos*=0,（x）不關(guān)于x=,對(duì)稱，C錯(cuò)誤；

1時(shí),2xG（J,竽）,則/（無(wú)）在管,令上單調(diào)遞增，D正確.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二倍角的余弦公式，奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義，余弦函數(shù)和復(fù)合函數(shù)

的單調(diào)性，是中檔題.

8.（5分）若三棱臺(tái)ABC-AiBiCi的上、下底面均是正三角形，側(cè)面是全等的等腰梯形，

且其各頂點(diǎn)都在表面積為260n的球。的表面上，AB=2ArBx=8V3,則三棱臺(tái)ABC-

A1B1C1的高為（）

A.2V3B.8C.6或8D.2g或6

【答案】C

【分析】由外接球的表面積可得N=65,分別求出正三棱臺(tái)ABC-A1B1C1的上下兩個(gè)底

面的外接圓的半徑，然后由球的性質(zhì)分別求出球心到上下兩個(gè)面的距離，再分三棱臺(tái)的

上下底面在球心O的同側(cè)和異側(cè)兩種情況求解即可.

【解答】解：設(shè)點(diǎn)。1,。2分別是正△ALBICI,△ABC的中心，球的半徑為R,

則4nR2=260Tt,即尼=65,且02,。三點(diǎn)共線，正三棱臺(tái)ABC-ALBIQ的高為

0102,

在等邊△ABC中，由2B=8/，由正弦定理可得：24。2=77備=萼，得4。2=8,

Dt/lOUVD

T

在等邊△ALBICI中，由&%=4值，由正弦定理可得：241。1=康柒=等，得4。1

Sl/lOU73

T

=4,

在RtZXOOiAi中，。。/+。1//=R2,即。。/+16=65,得001=7,

在RtZ^OOM中，。劣？+劣人？=R2,即。。22+64=65,得0。2=1,

如果三棱臺(tái)的上下底面在球心0的兩側(cè)，則正三棱臺(tái)的高為0102=001+002=7+1=8,

如果三棱臺(tái)的上下底面在球心0的同側(cè)，則正三棱臺(tái)的高為0102=001-002=7-1=

6,

所以正三棱臺(tái)ABC-AiBiCi的高為8或6.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正三棱臺(tái)的相關(guān)計(jì)算，屬于中檔題.

9.(5分)設(shè)雙曲線C：*，=l(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為點(diǎn)尸i,F?過(guò)坐標(biāo)原

點(diǎn)的直線與C交于A,8兩點(diǎn)，粵a="AAB政的面積為8小，且產(chǎn):1?盛>0,若

IF?2

雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為4,則雙曲線C的方程為()

x2y2x2y2

A.---=1B.---=1

4244

x2y2x2y2

C.---=1D.---=1

424169

【答案】C

【分析】可設(shè)8(徵，n),A(-如-〃)，m,n>0,推得四邊形人廠出乃是平行四邊形，

由雙曲線的定義和條件曾=推得|4八1=4,醫(yī)乃1=8,由兩點(diǎn)的距離公式求得m,n,

再由三角形的面積公式求得c,結(jié)合向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，舍去一個(gè)。的值，可得所

求方程.

【解答】解：由雙曲線的對(duì)稱性可得A,B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)3(m，〃)，A(-m,-〃)，

m,〃>0,

由于A5,尸1尸2互相平分，可得四邊形A尸皮尸2是平行四邊形，可得以尸1|=|3尸2],

由雙曲線的定義可得|8"TB尸2|=舊為|-|A"=2a=4,詈?=

解得|AF1|=4,18nl=8,

設(shè)R(-c,0),Fi(c,0),可得(加+c)2+n2=64,(m-c)2+n2=16,

1212

解得加=",幾2=16-(――c)2,

1

而△ABF2的面積為8百，可得-c?2〃=8百，

2

即有02后=192,即有16c2-(12-/)2=192,

化為。4-4002+336=0,解得。2=28,或02=12,

若。2=12,則相=2g，”=4,Fi(2V3,0),A(-2遍，-4),B(2次，4),

則點(diǎn)=(-4V3,-4)?(0,4)=-16<0,故?=12舍去，

Y2-y2

所以,2=28,房=24,即雙曲線的方程為一一乙=1.

424

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，以及向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查方

程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

二、填空題(本大題共6小題，每小題5分，共30分.試題中包含兩個(gè)空的，答對(duì)1個(gè)的

給3分，全部答對(duì)的給5分)

10.(5分)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=l+i,貝”3+iz|=逐.

【答案】V5.

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)模公式，即可求解.

【解答】解：z=l+i,

則iz=i(l+i)=-1+z,

故|3+iz|=|3-l+i|=|2+i|=V22+l2=V5.

故答案為：V5.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)模公式，屬于基礎(chǔ)題.

11.(5分)在。2—2)5的二項(xiàng)展開式中，尤3的系數(shù)為一80(請(qǐng)用數(shù)字作答).

【答案】-80.

【分析】求出通項(xiàng)公式，然后令x的指數(shù)為3,進(jìn)而可以求解.

【解答】解：二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為圖+1=C^x2)5-r(-^y=羽?(一2)31°一冬,

〃=0,1,…，6,

7

令10-*=3,解得r=3,

則X3的系數(shù)為0.(-2)3=-80.

故答案為：-80.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

12.(5分)為深入學(xué)習(xí)貫徹黨的二十大精神，推動(dòng)全市黨員干部群眾用好“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”學(xué)

習(xí)平臺(tái)，某單位組織“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”知識(shí)競(jìng)賽，競(jìng)賽共有10道題目，隨機(jī)抽取3道讓參賽

者回答，規(guī)定參賽者至少要答對(duì)其中2道才能通過(guò)初試.已知某參賽黨員甲只能答對(duì)其

9

中的6道，那么黨員甲抽到能答對(duì)題目數(shù)X的數(shù)學(xué)期望為-；黨員甲能通過(guò)初試的概率

為1?

92

【答案】--

【分析】利用超幾何分布列的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

【解答】解：由題意可得X=0,1,2,3.

尸(X=0)=舁=嘉,P(X=1)=空=磊,P(X=2)=空=4,P(X=3)=崢=與

c10c10c10c10

可得X的分布列為：

X0123

p1311

301026

1Q119

?，?期望E(X)=0x+1x+2x2+3xG=5.

、112

黨員甲能通過(guò)初試的概率為；+-=

263

92

故答案為：二,

53

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了超幾何分布列與期望，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

13.(5分)圓_?+/+6丫-16=0與拋物線/=2py(p>0)的準(zhǔn)線相交于A,2兩點(diǎn).若［42|

=6,則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,7).

【答案】(0,7).

【分析】根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，拋物線的幾何性質(zhì)，建立方程，即可求解.

【解答】解：：圓C：f+y2+6y-16=0可化為：

/+(y+3)2=25,二圓心C(0,-3),半徑，=5,

又拋物線/=2py(p>0)的準(zhǔn)線為了=一殳

圓心C(0,-3)到準(zhǔn)線為y=的距離d=|-3+苧，

又圓C被準(zhǔn)線截得的弦長(zhǎng)|AB|=6,

：.d=Jr2-(苧尸=V25-9=4,

：.d=\-3+1|=4,p>0,

解得p=14,

拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0,7）.

故答案為：（0,7）.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，圓的幾何性質(zhì)，方程思想，屬中檔題.

14.（5分）青花瓷，常簡(jiǎn)稱青花，代表了我國(guó)古代勞動(dòng)人民智慧的結(jié)晶，是中國(guó)瓷器的主

流品種之一.圖一是一個(gè)由波濤紋和葡萄紋構(gòu)成的正六邊形青花瓷盤，已知圖二中正六

邊形的邊長(zhǎng)為4,圓。的圓心為正六邊形的中心，半徑為2,若點(diǎn)〃在正六邊形的邊上

運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)A,B在圓。上運(yùn)動(dòng)且關(guān)于圓心。對(duì)稱.

（i）請(qǐng)用M4MB表示M。=春QMA+MB）；

—>—>

（ii）請(qǐng)寫出MA?MB的取值范圍「8,⑵.

【分析】⑴連接AB,OM,根據(jù)。為的中點(diǎn)，即可求解;

（拓）根據(jù)平面向量的數(shù)量積運(yùn)算將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于|薪|范圍的問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合即可求得

結(jié)果.

【解答】解：⑺連接A3,OM,如圖所示:

——?T—>—>TT——>T—>

(〃)MA-MB=(MO+04)-(MO+OB)=MO2*4+MO-0A+MO-OB+0A-OB

=\M0\2+MO?(04+OB)-4=\M0\2-4,

―>

根據(jù)圖形可知，當(dāng)點(diǎn)M位于正六邊形各邊的中點(diǎn)時(shí)，鹿。|有最小值為2百，此時(shí)-

4=8,

當(dāng)點(diǎn)M位于正六邊形的頂點(diǎn)時(shí)，|MO|有最大值為4,此時(shí)|薪『一4=12,

—>―?—>—>

故8WM7TM8W12,即M2?MB的取值范圍是［8,12］.

-?-1->—>

故答案為：("MO(MA+MB)；(z7)［8,12］.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬于中檔題.

,37T.

15.(5分)若函數(shù)/(%)=s譏(sr%—彳)(a%2—4%+3a+4)(其中〃>0)在區(qū)間［0,5］上

“一人X-E小,1143192V253-8V229-8

恰有4個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍為|六,二)5-，七)U{二}U{一}U{一}.

20742051212

【答案】益’》U小弟U{各U連等馬U8}.

【分析】分別分析g(x)=ax1-4x+3〃+4和〃(%)=sin{anx-筌)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求解即可,

同時(shí)要注意重根問(wèn)題的檢驗(yàn).

【解答】解：當(dāng)〃>0,設(shè)〃(%)=sin^anx—筌)，g(x)=ax2—4%+3a+4,

則g(無(wú))為開口向上的二次函數(shù)，A=16-4ti(3(7+4)=-4(3(7-2)(〃+2),

①當(dāng)。=叁，g(%)=0有唯一解％=3,此時(shí)/(%)=5譏(,兀汽一苧)，

t=|以一苧E［-苧，斗卻，此時(shí)。⑴=0有三個(gè)解，且均不為3,符合題意；

②當(dāng)4VO,g(%)=0無(wú)解，故/(%)=s譏(cur%-彳)區(qū)間［0,5］上恰有4個(gè)零點(diǎn)，

則37r<5。"一手<4TT,解得一<a<一，符合題意；

4420

27

③當(dāng)OVaV/A>0,g(x)的對(duì)稱軸x=(>0,且g(5)=28。-16,g(2)=7a-4,

(i)當(dāng)a—g(2)=g(5)=0,此時(shí)g(x)—0有兩個(gè)解:2和5,t—ynx-G［-,

凳］,止匕時(shí)a(x)=0有三個(gè)解，且與g(x)=0的解2,5不重合，不合題意，

42

(拓)當(dāng)/VaV?且g(2)=g(5)〉0,此時(shí)g(x)=O有兩個(gè)解，且均屬于(2,5),t=

anx—?C[—?,5a7r—芋],若h(x)=0有2個(gè)解，故TT<5an—苧<2n,解得看工

11,

a<一，貝!J〃E0,舍去；

20

o113

(萬(wàn))若/i(x)=0有3個(gè)解，故27r<5sr——<3TT,解得一<a<-,

4204

若此時(shí)g(x)=0有2個(gè)解，則必須有1個(gè)重根，

下面檢驗(yàn)重根情況：anx一竽=kTi,則％=(kEZ),h(x)=0的3個(gè)解為X=磊,

71131577351111

而，而，且蔡e(1，五]，[2,5],-e(-，-]e[2,5],-e(--5]c

7113

[2,5],故重根可能為.

4a4a4a

22—(a+2)(3a-2)

*2*411

令^(x)=ax—4%+3a+4=0/0<a<2,尚軍得xr=----------------,x2=

2+J-(a+2)(3a-2)

a'

當(dāng)承公個(gè)11皿戶2+”(a+2)(3a-2)

當(dāng)X2重合，右％2-則==-----------------(a>0),

4a4aa

解得a—--Eg,芻，滿足題意；

若上=/，則比=出z￡a+2)(3a-2),即_：=,_很+2)(3a—2),無(wú)解；

4a4aa-

QQ2+(a+2)(3a—2)c_________________

若久2=而，4a=------a--------，即-4=J_(a+2)(3a-2),無(wú)解；當(dāng)xi重合，

e3Mli32—(a+2)(3a—2)々刀-曰±J181-84/普土、

右久1=777,貝北丁二-----------------,斛得。=---75<7(舍去)；

4a4aa"/

若“卷則三=2一正(a+2)(3”),解得。=V>53-8>4符合題意；

4a4aa

,,Il2-J-(a+2)(3a-2)3------------------人、

右久1=Z7P則丁=-----------------,即一五=J-(a+2)(3a-2),無(wú)解，舍去；

,a4aCL-

4

(zv)當(dāng)OVaV蘆g(2)=g(5)<0,止匕時(shí)g(x)=0有1個(gè)解，

設(shè)為m,則？ri€(1/2),t=Q,Tix-6[―,Seen—,故2TT<5CZTI-V3TT,解

113A114

得一<a<~,又0VqV5,綜合得一<a<~,

204/207

321157735

同理(沆)的分析，—G(一，—]G[1,2],—6(-/—]U[2,5],

4a,1611JL」4a211JL」

此時(shí)/z(x)=0有三個(gè)解，且與g(x)=0的解不重合，符合題意，

1141923?

綜上所述：一<aV-或一<a<一或a=5.

20720203

故答案為:[如今&U｛芻u｛用當(dāng)u｛烏|當(dāng).

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查根據(jù)方程實(shí)根個(gè)數(shù)求參數(shù)問(wèn)題，屬于難題.

三、解答題(本大題共5小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)

16.(14分)在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別a,b,c,其中a=6+2,c=41b,且

sinA=\[2sinC.

(I)求c的值；

(II)求tanA的值；

(III)求cos(24+*)的值.

【答案】(I)2A/2；

(II)-V7；

V14-3V2

(III).

8

【分析】(I)由題意利用正弦定理可得。=&c,結(jié)合已知即可求解c的值；

(II)由(I)可得6,。的值，利用余弦定理可求cosA的值，進(jìn)而利用同角三角函數(shù)

基本關(guān)系式即可求解tanA的值；

(IID由題意利用二倍角公式可求sin2A,cos2A的值，進(jìn)而利用兩角和的余弦公式即可

求解.

【解答】解：(I)因?yàn)閟i/M=V2sinC,

所以由正弦定理可得a=V2c,

又c=&b,a—b+2,

所以應(yīng)c=^+2,解得c=2企；

(II)由(I)可得C—2-/2,b—2,a—4,

二匚[、i,力2+c2一次4+8—16"/5

所以c0sA==雙必萬(wàn)=一彳，

可得sinA=V1—cos2A=

q

所以ta卷=鬻=一夕

(HI)由題意sin2A=2sinAcosA=2xx(—?)=—cos2A=2cos2A-1=2X(—，)

r-r-KI/cA71、A?Z3、/>/7、A/^2J14—3\^2

以cos(2/+4)=cos2Acos"—sin2Asin]=(—[)x—(—^-)x----g---.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，二倍角公式

以及兩角和的余弦公式的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

17.(15分)如圖，四棱錐P-ABC。的底面ABC。是正萬(wàn)形，PD±nABCD,PD=AD

=3,點(diǎn)、E,尸分別是棱融，PC的中點(diǎn)，點(diǎn)M是線段BC上一點(diǎn).

(I)求證：P8_L平面EFD-,

(II)求平面EFD與平面ABCD的夾角的余弦值；

3\/22

(III)若直線"/與平面ABC。所成的角的正弦值為——，求此時(shí)MC的長(zhǎng)度.

【答案】(I)證明過(guò)程見解答；(II)一；(III)1.

3

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，(I)求出直線PB的方向向量和平面EFD的法向量，由

兩向量平行即可證明；

(II)求出平面EFD與平面的法向量，再求兩向量的夾角即可；

—?—?

(III)設(shè)=(0W入W1),由直線與平面所成角的向量表示建立關(guān)于人的方程，求

解后結(jié)合圖形即可求得.

【解答】解：因?yàn)榈酌鍭8CD是正方形，平面4BCD,所以ZM,DC,OP兩兩互

相垂直，

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,。尸所在直線分別為無(wú)，y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則A(3,0,0),B(3,3,0),C(0,3,0),D(0,0,0),P(0,0,3),E(1,0,

芬3F(0,I3，I3),

(/)證明：PB=(3,3,—3),DE=窿,0,|),DF=(0,|)

設(shè)平面瓦7)的法向量為就=(%,y,z).

3

-zo

2

令

m-DE=yX+則1

X-1z-y-

則31-1

-zo

m-DF=5y+2

所以m=(1,1,-1),

—T—T

因?yàn)镻B=3m，所以PB||m,所以PB_L平面EFD；

(〃)由題知，平面ABC。的一個(gè)法向量為盛=(0,0,1),

由(/)知，平面E7Z)的一個(gè)法向量為罰=(1,1,-1),

設(shè)平面EFD與平面ABCD的夾角為0,

貝!Jcos。=\cos(m,n)|=蝮,號(hào)-=——堂；

|m||n|V3$

—?

(IH)因?yàn)辄c(diǎn)M是伐段BC上一點(diǎn)，且BC=(—3,0,0),

->—>

所以設(shè)BM=4BC=(-330,0)(0<A<1),

T—TZZZZ

所以MF=BF—BM=(—3,—1,引一(—34,0,0)=(34—3,一二,引，

設(shè)直線Mb與平面ABCD所成的角為a,

則s譏a=\coslMF,n)|=??_=

J(3A-3)2+1+|22

解得："(或"［舍)，此時(shí)BM=(-2,0,0),所以|BM=2,則|MC|=3-2=1,

所以MC的長(zhǎng)度為1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面垂直的證明和平面與平面的夾角，直線與平面所成角的求法，屬

于中檔題.

18.(15分)在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，橢圓C；圣+，=l(a>6>0)的左焦點(diǎn)為點(diǎn)凡離

心率為搟，過(guò)點(diǎn)F且與尤軸垂直的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為3.

(I)求橢圓C的方程;

（II）設(shè)不過(guò)原點(diǎn)。且斜率為方■的直線/與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)P,Q,線段PQ的

中點(diǎn)為T,直線0T與橢圓C交于兩點(diǎn)M,N,證明：|TP|?|TQ=|7M?|W.

x2y2

【答案】（I）—+—=1；

43

（II）證明見解答

【分析】（I）根據(jù)已知可得關(guān)于〃，b,。的方程組，求解即可;

（II）設(shè)直線I的方程為y=+豐0）,與橢圓方程聯(lián)立，可得根與系數(shù)的關(guān)系，

從而可得PQ的中點(diǎn)T的坐標(biāo)，進(jìn)而可得直線OT的方程，與橢圓方程聯(lián)立，可得點(diǎn)

N的坐標(biāo),分別計(jì)算\TM\'\TN\,即可得證.

^=2

a=2

【解答】（I）解：依題意,笙=3，解得b=遮,

ac=1

=fa2+c2

22

所以橢圓c的方程為X了+V—=1.

43

(II)證明：設(shè)直線/的方程為y=孚％+znQnH0),設(shè)點(diǎn)尸(xi,yi),Q(X2,"),

4+3_

聯(lián)立

73,

y=~^x+m

消去y,整理得3久2+2V3mx+2m2—6=0,

A=12(6-m2)>0,BP6-m2>0,即一傷V通且機(jī)WO,

x1+x2=_*m

由韋達(dá)定理得

2m2—6

%1久2=

所以尸0中點(diǎn)7（一弱,粵）,

所以直線OT方程為y=-苧%,設(shè)點(diǎn)N在第二象限，

4+配=1

聯(lián)立方程組?43痣'解得知（魚，—^）,N（—夜，

y=-多久

所以|7W|.|TN|=冬—弱—陽(yáng)X爭(zhēng)一代+瑞|=［（字:

222

\TP\-\TQ\=^\PQ\=1［J1+|7^I+^2）-4X1X2］

=￡［（_專?。?_4（誓心）］=￡（6_血2）,

所以|7P}?|TQ=|W|7N|.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查橢圓的性質(zhì)及標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的綜合，考查運(yùn)算求解能力,

屬于中檔題.

19.(15分)若數(shù)列｛斯｝滿足每+i=J嗚+d(neN*),其中d=0,an>Q,則稱數(shù)列｛即｝為

M數(shù)列.

(I)已知數(shù)列伍”｝為M數(shù)列，當(dāng)