直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直 學(xué)案 高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊(cè)

8．6空間直線(xiàn)、平面的垂直8.6.1直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直1.理解兩條異面直線(xiàn)所成角的定義及兩條異面直線(xiàn)互相垂直的概念．2.掌握異面直線(xiàn)所成的角的計(jì)算方法．活動(dòng)一鞏固空間兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系空間兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系：位置關(guān)系共面情況公共點(diǎn)個(gè)數(shù)思考1???分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)一定是異面直線(xiàn)嗎？練習(xí)在兩個(gè)相交平面內(nèi)各畫(huà)一條直線(xiàn)，使它們成為：(1)平行直線(xiàn)；(2)相交直線(xiàn)；(3)異面直線(xiàn)．活動(dòng)二了解異面直線(xiàn)所成的角的概念思考2???如圖，在正方體ABCD-A′B′C′D′中，直線(xiàn)A′C′與直線(xiàn)AB，直線(xiàn)A′D′與直線(xiàn)AB都是異面直線(xiàn)，直線(xiàn)A′C′與A′D′相對(duì)于直線(xiàn)AB的位置相同嗎？如果不同，如何表示這種差異呢？異面直線(xiàn)所成的角：定義前提兩條異面直線(xiàn)a，b作法經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O分別作直線(xiàn)a′∥a，b′∥b結(jié)論我們把直線(xiàn)a′與b′所成的角叫作異面直線(xiàn)a與b所成的角(或夾角)范圍記異面直線(xiàn)a與b所成的角為θ，則0°<θ≤90°特殊情況當(dāng)θ＝90°時(shí)，異面直線(xiàn)a，b互相垂直，記作a⊥b例1已知多面體ABCD-A1B1C1D1是棱長(zhǎng)為a的正方體．(1)正方體中哪些棱所在的直線(xiàn)與直線(xiàn)BC1是異面直線(xiàn)？(2)求異面直線(xiàn)AA1與BC所成的角的大?。?3)求異面直線(xiàn)BC1與AC所成的角的大?。?.直線(xiàn)a與b所成的角的大小只由a，b的位置關(guān)系來(lái)確定，與點(diǎn)O的選擇無(wú)關(guān)，為了簡(jiǎn)便，點(diǎn)O常取在兩條異面直線(xiàn)中的一條上．2.兩條異面直線(xiàn)所成的角θ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).3.當(dāng)兩條異面直線(xiàn)a，b所成的角是直角時(shí)，我們就說(shuō)這兩條異面直線(xiàn)互相垂直，記作a⊥b.4.兩條直線(xiàn)互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形．5.通常把兩條異面直線(xiàn)所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線(xiàn)所成的角．如圖，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，側(cè)面都是矩形，底面四邊形ABCD是菱形，且AB＝BC＝2eq\r(3)，∠ABC＝120°，若異面直線(xiàn)A1B和AD1所成的角為90°，求AA1的長(zhǎng)．活動(dòng)三兩條直線(xiàn)垂直例2如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O1為平面A1B1C1D1的中心．求證：AO1⊥BD.證明兩條直線(xiàn)垂直的常用方法：1.利用平面幾何的結(jié)論，如矩形，等腰三角形的三線(xiàn)合一，勾股定理等．2.定義法：證明兩條直線(xiàn)的夾角是90°.3.利用一些事實(shí)：已知a∥b，若a⊥c，則b⊥c.如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB，P為A1B的中點(diǎn)，Q為棱C1C的中點(diǎn)，求證：PQ⊥AB.1.(2023全國(guó)高一專(zhuān)題練習(xí))如圖，已知空間四邊形ABCD的四條邊及對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)均為1，M，N分別是BC，AD的中點(diǎn)，設(shè)AM和CN所成角為α，則cosα的值為()A.eq\f(2,3)B.eq\f(1,3)C.eq\f(3,4)D.eq\f(1,4)2.和兩條異面直線(xiàn)都垂直的直線(xiàn)()A.有無(wú)數(shù)條B.有兩條C.只有一條D.不存在3.(多選)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，下列結(jié)論中正確的是()A.AC⊥B1D1B.AC1⊥BCC.直線(xiàn)AB1與BC1所成的角為60°D.直線(xiàn)AB與AC1所成的角為45°4.如圖，空間四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC＝8，BD＝6，M，N分別為AB，CD的中點(diǎn)，異面直線(xiàn)AC與BD所成的角為90°，則MN＝________．5.在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，且EF＝5，AD＝6，BC＝8.求直線(xiàn)AD與BC所成的角的大?。敬鸢附馕觥?．6空間直線(xiàn)、平面的垂直8．6.1直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直【活動(dòng)方案】活動(dòng)一位置關(guān)系共面情況公共點(diǎn)個(gè)數(shù)相交在同一平面內(nèi)有且只有一個(gè)平行在同一平面內(nèi)沒(méi)有異面不同在任何一個(gè)平面內(nèi)沒(méi)有思考1：不一定，可能異面、平行或相交．練習(xí)：略思考2：不同，我們可以用“異面直線(xiàn)所成的角”來(lái)刻畫(huà)兩條異面直線(xiàn)的位置關(guān)系．例1(1)與BC1是異面直線(xiàn)的有AA1，A1B1，A1D1，DA，DC，DD1.(2)因?yàn)镈A∥BC，所以∠A1AD即為異面直線(xiàn)AA1與BC所成的角，所以異面直線(xiàn)AA1與BC所成的角為90°.(3)連接A1C1，A1B.因?yàn)锳A1∥BB1∥CC1，AA1＝BB1＝CC1，所以四邊形AA1C1C是平行四邊形，所以AC∥A1C1，所以異面直線(xiàn)BC1與AC所成的角就是直線(xiàn)BC1與A1C1所成的角.因?yàn)锳1B＝A1C1＝BC1，所以異面直線(xiàn)BC1與AC所成的角為60°.跟蹤訓(xùn)練如圖，連接CD1，AC.由題意得在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，所以四邊形A1BCD1是平行四邊形，所以A1B∥CD1，所以∠AD1C(或其補(bǔ)角)為異面直線(xiàn)A1B和AD1所成的角．因?yàn)楫惷嬷本€(xiàn)A1B和AD1所成的角為90°，所以∠AD1C＝90°.因?yàn)樵谒睦庵鵄BCD-A1B1C1D1中，側(cè)面都是矩形，且AD＝DC，所以△ACD1是等腰直角三角形，所以AD1＝eq\f(\r(2),2)AC.因?yàn)榈酌嫠倪呅蜛BCD是菱形，且AB＝BC＝2eq\r(3)，∠ABC＝120°，所以AC＝2eq\r(3)×sin60°×2＝6，所以AD1＝eq\f(\r(2),2)AC＝3eq\r(2)，所以AA1＝eq\r(ADeq\o\al(2,1)－A1Deq\o\al(2,1))＝eq\r((3\r(2))2－(2\r(3))2)＝eq\r(6).例2如圖，連接B1D1，AD1，AB1.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，BB1∥DD1，且BB1＝DD1，所以四邊形BB1D1D是平行四邊形，所以B1D1∥BD，所以直線(xiàn)AO1與B1D1所成的角即為直線(xiàn)AO1與BD所成的角．易證AB1＝AD1，O1為B1D1的中點(diǎn)，所以AO1⊥B1D1，所以AO1⊥BD.跟蹤訓(xùn)練如圖，取AB的中點(diǎn)D，連接CD，DP.因?yàn)镻為A1B的中點(diǎn)，所以PD＝eq\f(1,2)AA1，且PD∥AA1.因?yàn)镼為CC1的中點(diǎn)，所以CQ＝eq\f(1,2)AA1，且CQ∥AA1，所以PD∥CQ，且PD＝CQ，所以四邊形CDPQ為平行四邊形，所以CD∥PQ.又因?yàn)镃A＝CB，D為AB的中點(diǎn)，所以CD⊥AB，所以PQ⊥AB.【檢測(cè)反饋】1.A解析：如圖，連接MD，設(shè)O為MD的中點(diǎn)，連接ON，OC，則ON＝eq\f(1,2)AM且ON∥AM，所以∠ONC為異面直線(xiàn)AM與CN所成的角(或其補(bǔ)角).由題意，得AM＝CN＝DM＝eq\f(\r(3),2)，所以O(shè)N＝eq\f(1,2)AM＝eq\f(\r(3),4)，MO＝eq\f(1,2)DM＝eq\f(\r(3),4)，OC＝eq\r(MC2＋MO2)＝eq\r(\f(1,4)＋\f(3,16))＝eq\f(\r(7),4).在△CON中，由余弦定理，得cos∠ONC＝eq\f(ON2＋CN2－OC2,2ON·CN)＝eq\f(\f(3,16)＋\f(3,4)－\f(7,16),2×\f(\r(3),4)×\f(\r(3),2))＝eq\f(2,3)，即cosα＝eq\f(2,3).2.A解析：因?yàn)楹蛢蓷l異面直線(xiàn)都垂直相交的直線(xiàn)只有一條，所以所有與這條直線(xiàn)平行的直線(xiàn)都與這兩條異面直線(xiàn)垂直，而與這條直線(xiàn)平行的直線(xiàn)有無(wú)數(shù)條，故和兩條異面直線(xiàn)都垂直的直線(xiàn)有無(wú)數(shù)條．3.AC解析：如圖，因?yàn)锳C⊥BD，BD∥B1D1，所以AC⊥B1D1，故A正確；因?yàn)锽C∥B1C1，所以∠AC1B1是異面直線(xiàn)AC1與BC所成的角．因?yàn)樵凇鰽B1C1中，∠AB1C1＝90°，所以∠AC1B1不是直角，故B錯(cuò)誤；因?yàn)锽C1∥AD1，所以∠B1AD1是異面直線(xiàn)AB1與BC1所成的角，而△AB1D1是等邊三角形，所以∠B1AD1為60°，故C正確；在Rt△ABC1中，∠ABC1＝90°，但AB≠BC1，所以Rt△ABC1不是等腰直角三角形，所以AB與AC1所成的角不為45°，故D錯(cuò)誤．故選AC.4.5解析：取AD的中點(diǎn)P，連接PM，PN，則PM∥BD，PN∥AC，所以∠MPN(或其補(bǔ)角)為異面直線(xiàn)AC與BD所成的角，所以∠MPN＝90°.因?yàn)镻N＝eq\f(1,2)AC＝4，PM＝eq\f(1,2)BD＝3，所以MN＝eq\r(PN2＋