2023-2024學年湖南省部分普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試模擬演練數(shù)學試題含答案解析(附后)

2023-2024學年湖南省部分名校普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試模

擬演練數(shù)學試題

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.已知集合。={]|工￡B},B={1.2,3},則4CB=（）

A.0B.{0}C.{1.2.3}D.{0,{1,2,3}}

2.如圖，在正方體.IBCD—ABiG，中，E在線段85上運動，則下列直線與平面的夾角為定值

的是（）

A.BQB.B(\C.D.A(\

3.若需要刻畫預報變量w和解釋變量x的相關關系，且從已知數(shù)據(jù)中知道預報變量w隨著解釋變量x的

增大而減小，并且隨著解釋變量x的增大，預報變量w大致趨于一個確定的值，為擬合w和x之間的關系,

應使用以下回歸方程中的（鼠＞0"為自然對數(shù)的底數(shù)）（）

A.w=bx+aB.w——blnr+oC.w=—b\fx+aD.w=+a

4.有一個沙漏如圖所示，由圓柱與圓錐組合而成，上下對稱，沙漏中沙子完全流下剛好填滿下半部分的圓

柱部分，已知沙漏總高度為10cm,圓柱部分高度為2cm,則初始狀態(tài)的沙子高度打為（）

A.3cmB.3.5c,"C.4cmD.

5.已知，i、3都是銳角，且h,Mc+2.WM"=1,3siu2c-2siu2”=0,那么a、，之間的關系是()

A.c+3=1B,a-ii=C.a+23=gD.a+23=J

4qq/

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6.挪威畫家愛德華?蒙克于1893年創(chuàng)作的《吶喊》是表現(xiàn)主義繪畫的代表作品，刻畫了一個極其痛苦的表

情.畫作局部如下圖所示，人像的臉近似為一個橢圓，下巴近似為一個圓，圓心。在橢圓的下頂點上，橢

圓與圓有兩個交點A,B,橢圓的兩焦點與圓的圓心在同一直線上，記橢圓的中心為Q連接直線Q8,0Q,

經(jīng)測量發(fā)現(xiàn)BQ與圓。相切，圓的半徑為1cm,8Q—記該橢圓的離心率為e,舊為不超過x的

D.8

7.正八邊形ABCDEFGH上存在一動點。(點P與A,C不重合)，已知正八邊形邊長為2,則我.乖的

最大值為()

A.2+gB.6+4gC.6+6gD.8+6g

8.設函數(shù)/(.r)=2T-<us,r,設卜」是公差為、的等差數(shù)列，/(ai)+/(a)+---+/(a)=57r,貝I

o25

[/(?3)]2-?1?5=()

111Q

A.0B.—7T2C.-7T2D.—TT

Hi816

二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5

分，部分選對的得2分，有選錯的得。分。

9.投擲一枚均勻的骰子8次，記錄每次骰子出現(xiàn)的點數(shù).根據(jù)統(tǒng)計結果，可以判斷一定出現(xiàn)點數(shù)6的是

()

A.第25百分位數(shù)為2,極差為4B.平均數(shù)為3..5,第75百分位數(shù)為3.5

C.平均數(shù)為3,方差為3D.眾數(shù)為4,平均數(shù)為1.7；

10.已知函數(shù)/(，)和川”分別為奇函數(shù)和偶函數(shù)，且=?,貝)

A./(jr)-g(x)=2~TB./(r)在定義域(-8,+oc)上單調遞增

C./")的導函數(shù)/'")》1D.g(j-)1

11.已知_6°+''一，e是自然對數(shù)的底數(shù)，則下列結論中正確的是()

A.a<l><-2B.7>1

C.ab+a+b+l>0D.<人"

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12.勒洛四面體是一個非常神奇的“四面體”，它能在兩個平行平面間自由轉動，并且始終保持與兩平面都

接觸.勒洛四面體是以正四面體的四個頂點為球心，以正四面體的棱長為半徑的四個球的相交部分圍成的幾

何體，若用棱長為4的正四面體ABC。作勒洛四面體，如圖，則下列說法正確的是（）

A.平面ABC截勒洛四面體所得截面的面積為8開一

B.記勒洛四面體上以C,。為球心的兩球球面交線為弧則其長度為午

C.該勒洛四面體表面上任意兩點間距離的最大值為4

D.該勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為|_小

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知/為虛數(shù)單位，2/-3是關于X的方程2/-+q=0（p.q為實數(shù)）的一個根，則〃+＜1

14.平面直角坐標系中有線段AB,對應直觀圖上的線段是43、若以向\A'B'\,則A8的斜率為

9

ar

15.已知Fi,E?分別為雙曲線C：《=1的左、右焦點，過B的直線與雙曲線C的右支交于A,B

2~6

兩點（其中點A在第一象限）?設點修，G分別為AAFiB,△BFiB的內感,則|"G|的取值范圍是

16.設〃＞（）,若對于任意正實數(shù)b,函數(shù)，/=的圖象與曲線1+/=1都有交點,貝Ua的

a2or

最小值為.

四、解答題：本題共6小題，共7。分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17.（本小題10分）

為測量地形不規(guī)則的一個區(qū)域的徑長AB,采用間接測量的方法，如圖，陰影部分為不規(guī)則地形，利用激光

儀器和反光規(guī)律得到=/AC/）為鈍角，＜。=5,AD=7,sinZADC=—.

7

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D

(1)求sinN4cB的值;

（2）若測得ZBDC=/.BCD,求待測徑長48.

18.（本小題12分）

數(shù)列缶/滿足山=i,WrWi……告I="+L

u：求數(shù)歹的通項公式；

口數(shù)列｛（-：）"，｝中是否存在最大項和最小項？若存在，求出相應的最大項或最小項；若不存在，說明

理由.

19.（本小題12分）

如圖，四棱錐.43。。內，尸〃1平面ABCD,四邊形ABC。為正方形，.48=2,BP」2g.過P

的直線/交平面ABC。于正方形ABCD內的點M,且滿足平面平面

⑴當乙4/n/e時，求點M的軌跡長度；

0O

（2）當二面角M-PA-B的余弦值為'時，求二面角P-MA-D的余弦值.

5

20.（本小題12分）

一部電視連續(xù)劇共有"+l（n210）集，某同學看了第一集后，被該電視劇的劇情所吸引，制定了如下的觀

看計劃：從看完第一集后的第一天算起，把余下的。集電視劇隨機分配在2。天內；每天要么不看，要么

看完完整的一集；每天至多看一集.已知這部電視劇最精彩的部分在第。集，設該同學觀看第一集后的第X

天觀看該集.

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(I)求X的分布列；

匕)證明：最有可能在第21天觀看最精彩的第。集.

21.(本小題12分)

已知拋物線—：/=2〃/,(,->：產=2皿(。>())相交于點(1.|),一在第一象限內一點P處的切線/交

C?于43兩點，交x軸于點M,g在48處的切線交于點D

(I)證明：當A/l。。面積最小時，P為中點；

(2)過P作/的垂線交。于另一點Q,連接MQ交G于另一點R,當△“(?/?面積最小時，求點M的坐

標.

22(本小題12分)

已知函數(shù)/(r)=ta(x+a)+e**-a,/'(工)是/")的導函數(shù).

(“判斷，=()是否為〃,)的極值點，并說明理由；

(2)若l<a<2,打為/")最小的零點，證明:當re(—a.0)時，〃工)<1(的).

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答案和解析

1.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查集合的交集運算，

由子集的定義得出集合A,再由集合的交集運算可得答案.

【解答】

解：因為集合八={九/匚8},3={1.2.3},

所以4={0,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}},

所以4nB=0,

故選：」.

2.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查直線與平面所成的角，

由線面平行的判定定理可知H（\i/平面ADXE,所以B（\與平面ADXE的夾角始終為0,而

,小「，A（\與平面ADXE的夾角均會因為E點位置的不同而夾角不同.

【解答】

解：連接Wi,因為BG"AD\,

因為AD\C平面ADXE,BCX，平面AD\E,

所以DCi//平面AD\E,所以/{（'］與平面.4/）（/?：的夾角始終為o,

而ByC,A}C,AC.與平面,4/）,/的夾角均會因為E點位置的不同而夾角不同.

故選：B.

3.【答案】D

【解析】【分析】

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本題考查了非線性回歸分析，屬于基礎題.

根據(jù)b〉0及函數(shù)的單調性，判斷w隨x增大時的增減性，再判斷各個回歸方程是否隨著解釋變量x的

增大趨于一個確定的值，即可得出答案.

【解答】

解：對于A：因為y=-r在定義域內單調遞增且b>0,所以w隨著x的增大而增大，不合題意，故A

錯誤；

對于8：因為"=lnr在定義域內單調遞增且b>0,所以w隨著x的增大而減小，當解釋變量

工T+OC,w-*-00,不合題意，故B錯誤；

對于C：因為1/=/在定義域內單調遞增且所以w隨著x的增大而減小，當解釋變量ZT+8

,“?一、，不合題意，故C錯誤；

對于。：因為y=e-1=（i）T在定義域內單調遞減且6>0,所以w隨著x的增大而減小，當解釋變量

（

r??x,tr一a,故D正確；

故選：

4.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查了簡單組合體的體積，圓錐、圓柱的體積公式，屬于基礎題.

先根據(jù)題意求得圓錐高度色，再利用體積相等求得初始狀態(tài)圓柱部分沙子的高度〃，由此得解.

【解答】

解：如圖，設初始狀態(tài)圓柱部分沙子的高度為/，’，沙漏下半部分的圓柱高度為小，圓錐高度為h，,上、

下底面半徑為r,

則兒—2”，又沙漏總高度為10cm,則電=；（1（）—2加）=3「小，

所以+7T/-2-hf=7T/,2-h[,即X3+TT/*2-//=TTf2X2,

?j?J

解得h'=Irni,

所以初始狀態(tài)的沙子高度為h-2+h'=4cm.

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故選：c.

5.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查了三角恒等變換相關知識，屬于中檔題.

sin2*7cosa

推導出-^1=-一，可得出一2力—U,求出的取值范圍，即可得解.

cos2Jsum

【解答】

解：因為3卜“/(1+23〃’3=1,則=1—2s加=cos2J,

由題易得2sin23=3sin2c=6sinccosc,

因為。、，都是銳角，由題意可得COB2J3=3sin2a>0,

sin233sinacosacosa

所以，-^3=----=--，

cos2/JMesum

所以，cosocos2J-sinnsin2J=cos(n+2J)=0,

因為c、J都是銳角，則oca且0<8<m，則0<2[<n,

所以，0<。+23<萼，因此，。+23=9.

故選：/).

6.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查求橢圓的離心率，屬于中檔題.

如圖，建立平面直角坐標系，即可求出Q、B的坐標，設橢圓方程為(?>b>0),

a2b2

將8點坐標代入方程求出房，即可求出離心率，從而得解.

【解答】

解：如圖，建立平面直角坐標系，

連接0B,依題意|O8|=1,\BQ\=，且ZOBQ=:,

所以\0Q\=y/\OB\2+\BQ\2=3,所以Q（（）.3）,

第8頁，共27頁

設橢圓方程為（仁莒+A=1，（。＞b＞0）,則〃=3,

又ZB=1Xy=挈，所以町,=昂=；,所以B

33**

,1c、2,2僅272

則勺-3）（―）解得h2=—,

-----1---——=11i

32fe2

所以「=,

17

所以離心率e=￡=曳亙，所以。=，萬，則["]=-1.故選：B

a176Lf，J

7.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查向量數(shù)量積的坐標運算，屬于中檔題.

由平面向量數(shù)量積的幾何意義分析可知，當點P運動到點。時，而."取得最大值，然后建立平面直

角坐標系利用坐標計算即可.

【解答】

解：/N=|而|（玄,N）,

由平面向量數(shù)量積的幾何意義可知，當而,最大時，最大，

由圖可知當點P運動到點。時，|N，os（前,取得最大.

如圖：建立平面直角坐標系，

則八（0,0）,C（2+笈⑷，￡＞（2+笈2+司，

所以而=（2+g,四），初=（2+6,2+4）.

所以而力的最大值為前?#=（2+次）（2+松）+四（2+6）=8+6g,

故選：I）.

8.【答案】D

第9頁，共27頁

【解析】【分析】

本題考查等差數(shù)列的性質，奇函數(shù)性質的應用，屬于中檔題.

【解答】

解：?.,/(/)=2T-cosr,

:可令貝/)=2.z-+sin./-,則其是定義在R上的奇函數(shù)，

,「｛"”)是公差為l的等差數(shù)列，〃。1)+〃。2)+…+/(%)=57：

O

g("i-萬)+一弓)一???+g(?->-5),。，

“n37r

"3=5,?i=4--5=y

、i22n37r137r.

lr/(a3)J-=萬一彳X7=-TT-.

4410

9.【答案】BD

【解析】【分析】

本題考查了百分位數(shù)、極差、平均數(shù)、眾數(shù)、方差，屬于中檔題.

對于A,可采用特值法，對于B,根據(jù)平均數(shù)和百分位數(shù)，即可判斷，對于C,可采用特值法，對于。，

可假設這8個數(shù)沒有6點，根據(jù)題設推出矛盾，即可判斷.

【解答】

解：不妨設1Wcw(心《上|《WW工8W6,則

對于A,這8個數(shù)可以是L2.2.2.3,3,4,5,故不一定出現(xiàn)點數(shù)6,故A錯誤.

對于B,因為平均數(shù)為:；；>,所以皿+?2+工3+3+口+工6+4+g=3.5x8=28,

又第75百分位數(shù)為3.5,所以q+.七=7,所以q=3..3=4,

所以.(?,+J-2++工1+4+4=21,且3w4(H3WhWW3,4418W6,

所以11+工2+的+工4+竊615,所以，、26.所以一定出現(xiàn)點數(shù)6,故B正確.

對于C,這8個數(shù)可以是LLL3.3,5.5.5,故不一定出現(xiàn)點數(shù)6,故C錯誤.

式1+1+1+3+3+5+5+5)=3,

O

1-3)2+(1-3)2+(1-3)2+(3-3)2+(3-3)2+(5-3)2+(5-3)2+(5-3)2]=3

對于D,因為平均數(shù)為171,所以工1+及+工3+小+M+工6+力+痂=4.75*8=38,

又眾數(shù)為4,假設這8個數(shù)沒有6點，則和最大的情況為4+4+4+4+4+5+5+5=35<38,和題設

矛盾，故一定出現(xiàn)點數(shù)(，.故。正確.

故選：BD.

第10頁，共27頁

10.【答案】BD

【解析】【分析】

本題考查了復合函數(shù)的單調性及奇偶性，利用導數(shù)研究恒成立與存在性問題，基本不等式求取值范圍，屬

于中檔題.

根據(jù)函數(shù)的奇偶性可得/（工）=三盧,g（z）="盧，可以判斷八，結合指數(shù)函數(shù)的單調性，可以判斷

B,求導，結合基本不等式，可以判斷C,利用基本不等式，可以判斷。.

【解答】

解：由〃工）+。（工）=2，得/（一工）+9（-工）=2-1,

由于函數(shù)/"）和9"）分別為奇函數(shù)和偶函數(shù)，所以一f（0+g"）=2

<yx_n-jnj*?

因此/（工）=二，

對于A〃￡）-9（工）=一2一1故A錯誤,

對于B,由于函數(shù)在（-g,+oc）單調遞增，”2在（―X.+X）單調遞減,

2r_n-x

所以/（r）=在（—x,+8）單調遞增，故8正確,

JJ

對于C,門力=2'.222Thi2=（2"+；，）In2》2v/2x^2-In2=1n2當且僅當，=（）時取等號,

而Iu2「I,所以C錯誤,

對于。，g⑶二.》2/2；2-=i當且僅當r=0時取等號，所以D正確,

故選：BD

1L【答案】BC

【解析】【分析】

本題主要考查函數(shù)的綜合應用，解決本題的關鍵是由<"''<乩"<-e-6+i得6<0,士<。<-e,

進而利用導數(shù)工具得到a,b的大小關系以及取值范圍.

先將已知不等式變形為-0然后構造函數(shù)〃工）=三，利用導數(shù)研究/（，）的單調性，從而得出

a,b的大小關系以及取值范圍，最后利用不等式的性質及函數(shù)的單調性對各選項作出判斷.

【解答】

解：由ae6<be"<-c,,+h+l得a<0,b<0,—<-^<-e,令/（1）=三,

則/'（?=*，易知〃工）在（-8,0）單調遞增，

第11頁，共27頁

-1

因為〃T)=[一,,所以可得“<，><1,故A選項錯誤；

所以，>1,故8選項正確；

因為。+1<0,，>+1<(),所以(。+巾6+1)>0,

即ab+a+b+l>0,故C選項正確；

令g(.r)=n",貝!|g'(.r)=("(.r+1),

當r<-1時，g'(r)<(),

所以9(工在(-8,-1)上單調遞減,

于是有。(a)>g(b),即碇。>慶6,故。選項錯誤.

故選：BC

12.【答案】AD

【解析】【分析】

本題考查球的切、接問題，考查空間幾何體的截面問題，屬于較難題.

對于A,平面ABC截勒洛四面體所得截面面積為三個半徑為4,圓心角為皿的扇形的面積減去兩個邊長

為4的正三角形的面積；對于B,利用余弦定理求出弧48所對的圓心角的余弦值，根據(jù)弧長公式進行判

斷；對于C,設弧AB的中點是M,線段AB的中點是N,設弧C。的中點是H,線段CD的中點是G,則

根據(jù)圖形的對稱性，四點.，/.、?(，'.〃共線，計算即可判斷；對于D,設點E為該球與勒洛四面體的一

個切點，先求出正四面體的外接球半徑「，則內切球半徑為BE—r.

【解答】

解：對于A,平面ABC截勒洛四面體所得截面如圖甲，它的面積為三個半徑為4,圓心角為6。的扇形的

面積減去兩個邊長為4的正三角形的面積，

即3x?x"x42-2x—xI2=8?r-8>/3,故A正確；

234

對于8,如圖乙，取CD中點G,

在△八BC；中，AG=BG=2\/3，AB=A,

記該勒洛四面體上以C,D為球心的兩球交線為弧AB,

則該弧是以CD的中點G為圓心，以2為半徑的圓弧，

第12頁，共27頁

設圓心角為乙4GB=n

可知。?2件#所以弧長不等于與，故B錯誤；

對于C,如圖丙，設弧AB的中點是M,線段A8的中點是N,

設弧CD的中點是H,線段C。的中點是G,

則根據(jù)圖形的對稱性，四點A/.、"；.〃共線且過正四面體ABC。的中心。，

則MG=GA=NH=2\/3，

NG=\ZAG2-AN2=，(24)2—22=20，

AfN=GH=2瓜-2瓜,MH=44-20，

即勒洛四面體表面上任意兩點間距離可能大于4,最大值為4《-2血，故C錯誤;

對于D,勒洛四面體能容納的最大球，與勒洛四面體的弧面相切，如圖乙，其中點E為該球與勒洛四面體

的一個切點，

由對稱性可知。為該球的球心，內半徑為0E,連接BE,易知8,O,E三點共線，

設正四面體A8CD的外接球半徑為r,

如圖丁，設A在底面BCD的投影為0,則0為正的中心，且A,0,0三點共線，

所以ZJE=4,OB-r-x/6?內半徑OE=4—故D正確.

故選：AD.

13.【答案】38

第13頁，共27頁

【解析】【分析】

本題考查復數(shù)的四則運算，共軻復數(shù)，屬于基礎題.

由已知得出:一3-2/也是關于X的方程2J+pr+q=0(py為實數(shù)，的一個根，即可得解.

【解答】

解：；2?-3是關于X的方程2.廠'-/，?+q=0(p.，/為實數(shù)?的一個根，

：.z=-3-2i也是關于X的方程2廠,?"+q=()(“，/為實數(shù)1的一個根，

...(-3+2?)+(-3-20=3，(-3+2i)(-3-2i)=1,

解得：p=12,9=26,

「.p+q=38.

故答案為；、

14.【答案】0或獨

3

【解析】【分析】

本題考查了直線斜率與傾斜角的關系，投影與斜二測畫法，屬于中檔題.

首先根據(jù)直觀圖的作法，分析得斜率為0時\AB\=\A'B'\,當斜率不為0時，分類兩種情況，斜率大于0

和斜率小于0,分別根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)AB\=\A'B'\列出等式，即可求得線段AB的斜率.

【解答】

解：根據(jù)直觀圖的作法，①當線段AB斜率為0時，線段A8的長度不發(fā)生變化，符合題意；

②當線段AB斜率大于0時，作出簡圖如圖所示，過點8作軸于點C,設|4C|=a,|BC|=6,

其中?>0,6>0,

在RI/\.\BC中，2=+BC\2=M+信，

則線段AB的直觀圖，如圖所示，過點8'作B'Dl.r'軸于點D,

則ZB,C,￡>=45C,\B'C'\=^,M'C'|=a,

第14頁，共27頁

所以\ffD\?\ffD\

4

在Rt^A'B'D中,

\A'B'f=\A'D\2+\B'Df=(a+^6)2+(^6)2

因為\AB\\A'B'\,

所以(“+?「+(苧，6)2=G2+62,即，=察

b2^2

所以線段AB的斜率為

a=~；

/AfCDx'

③當線段AB的斜率小于0時，作出簡圖如圖所示，過點B作軸于點E,設.4E|=a,\BE\=b

,其中a>0,6>(),

在ABE中，|.44『=|.4E『+歸￡『=/十〃，

則線段AB的直觀圖，如圖所示，過點B'作B'1-i/軸于點F,

則ZB'E'F=45°,\B'E'\=g,\A'E'\=a,

所以忸'尸|=|廳尸|—，WE=a—>

在Rt^A'B'l中，\A!B'^=|4'F『+=(a—乎爐+(乎，

因為\AB\=\A'B'\,

所以(a—~^b)2+(^^b)2=a2+h2,即一3，

因為a>0.6>0,

所以一警a=?不成立，即線段AB的斜率小于0時不存在以切=M'B'I；

24

第15頁，共27頁

綜上所述，線段AB的斜率為?；蛲?

3

故答案為：o或42

3

15.【答案】［2侑￥)

【解析】【分析】

本題考查了直線與雙曲線的位置關系及其應用，考查了三角函數(shù)的性質及三角恒等變換，屬于困難題.

設AFuAF^FiFz上的切點分別為M,N,E,則點H,E的橫坐標相等，由切線長定理得\AM\=\AN\

，\FtM\=\FrE\,|BN|=\F2E\,由拋物線的定理得出|F|E|-\F2E\=2a,設點H的橫坐標為.

,得出心-。，設直線AB的傾斜角為9,得出HG\任，分析得60,＜。＜12U,結合正弦函

數(shù)的性質，即可得出〃L’的范圍.

【解答】

解：設/,/.上的切點分別為M,N,E,如圖所示,

則點HE的橫坐標相等，且|4A/|=|⑷V|,的=16M=陽園，

因為\AF{\-\AF2\=2a,即|4M+|MF||—(MN|+|NB|)=2a,

所以四=%,即網(wǎng)圜-展現(xiàn)=2a,

設點H的橫坐標為八，則點E(%0),

則J()+c-(c-To)=2a,即外=a,

設直線AB的傾斜角為“，則NOF』G=：,AHF>O=9(),

第16頁，共27頁

在△〃/72G中，

\HG\=(c-a)?tang+(c-a)?tan(90°—g

°n

=(c—a)[tan-+tan(90°--)]

.00

sin-cos-

=(C-a)(―j+—1)

.2n2e

sm-+cos/不Q

=(…)e8=(1力再

sm-cos-

22

由雙曲線方程C：［一9=1得,

a=\Fi、b=v/6,c=2x/2,

26

則1HG|一2\/2，

sin8

因為點A為雙曲線右支上一點,

且雙曲線的漸近線的斜率為瓜或一瓜,傾斜角為6()或120,，

所以6()＜0＜120,

所以哈＜sin04］,則1W工(吧，

2sin03

所以的|=駕€［2左華),

sin63

故答案為：［2卷,二?).

3

16.［答案］/5147+107

16

【解析】【分析】

本題主要考查了曲線與方程，屬于較難題.

2

設函數(shù)圖象與曲線的交點為(QCOB&Min。)，由題設可得方程lrsin-0f/Wfl+acos?+6對任意正實

數(shù)b,在。€|0,足總有解，轉化后可得當0＜方＜1時，/+4(y-b)a2+4b232-b)20恒成立，從

而得到。22-2儼-b)+在(0.II上恒成立，利用導數(shù)可求右側函數(shù)的最大值，故可求a的最

小值.

【解答】

解：設函數(shù)圖象與曲線的交點為(“cos優(yōu)"in。)，其中0《?！度f，

故bsin0=y/a2('(>s20+?-cos0+b

第17頁，共27頁

整理得到：lj2sin20-a2cos20+a2cos0-Ffe,

-12

即l>2—b=(/+62)cos%+?2cos0=(?2+川)cos0+2(a：+/)一戔。；出)，

由題設該方程在0G[0,5T1有解，

t?

故一丁，,宿&"b42a'+b"對任意的正實數(shù)b恒成立，

4(—+(r)

而〃一bW2a2+川恒成立，故只考慮-：2'W'-'對任意的正實數(shù)點恒成立,

4(tr+0-)

當〃21時，-“二心Wb?-b對任意的”>()恒成立；

4(a-+A)

當0<b<l時，--下(川-，，對任意的正實數(shù)b恒成立可化為：

4(陵+Or)

/+1(//-b)(r+l/r(/r-b)》0,

故/》一2(〃-fc)+2b，E或a?(一2(〃-b)-(無解，舍，

設！/“))=-(/?-與+/VTF.0<6<1,

,HL、,「----Tb2(1—2?，1—b+2—36

則g(b)="2"g-訪K=-------7言-------

令g\b)=(I,則2(1-26)\/1-6=36-2,

若0<b(；，則2(1-2b)Vi-b^0,36-2<0,2(1-2b)y/l-b=3b-2無解；

ii9

若3<6<1,則3b-2<0即5<b<?,兩邊平方后的4(l-2fe)2(l-6)=(3fe-2)2,

化簡得：/;(16/r-23〃+8)=0,故。="二位或b="士巫，

當23+47時,/>>1>；,故b=23+E舍去;

3232332

,23-s/17、,23-5181-23-1192

故2(1-2bWl-b=3b-2在((),1)僅有一解為b=竺二^巨.

而當o<b<23時，g\b)>(),當23<6<1時，g\b)<0,

3232

23-x/17\

故9(b)在0.上為增函數(shù),—上為增函數(shù),

而g(Q)=g(i)=o,

第18頁，共27頁

故y(/<)在Ui.II上的最大值為

23-，1723-舊,23-y/17223-A/T7./9+VT?_51\/17+107

乳~32~~32(-32--32-)V-32--32x16

,,.，乩1山c,23-6、51v/17+107

故〃的最63小A值t為2g(-^―)=，

32lbx1b

所以a的最小值為，51g+107.

16

故答案為：,517+107.

16

17.【答案】解:(1)在A.4CD中,

5_7

由正弦定理可得芳彳;=-1?廠門，即派=sinN4CD,

sinZzlZJCsinZACD—

則sinNACO1"",因為乙4CD為鈍角,

5

所以cos/A。。=一；,

□

因為=ZDCB,

所以cosZ.ACD=1-2siniZ.ACBasinZ.ACB=.

5

(2)在△八C'。，由余弦定理可得：cos在4CD=/=251C/二49

52x5CD

解得：CD-1或CD二-6(舍去)，

因為ZBDC=ZBCD,所以BD—BC,

在△BCD,cosZBDC=cos乙BCD=cosZ.ACB=,

5

山人時由哈唐.CD2+BD2-BC1162

由余群理可侍：cos皿C=『2CD-BD=礪=詼'

解得：BD-BC^U),

v/10v/15

cosNBDC=--，sin/.BDC=--，

55

sinZ.4DC任"，cmZADC=,

77

cosZADB=cos(ZBDC-/.ADC)=cosABDCcosADC+sinZ.BDCsinAADC

v/105\/152y/65\/l0+6v/I()11Vzi

=-----X-+------X-----=-----------------=-，

57573535

在A.I/JD,由余弦定理可得：

第19頁，共27頁

A131=13D2+AD1-2I3D-ADcosADB=10+49-2xA/10X7X;=15，

35

故A3=v/iK.

【解析】本題考查正余弦定理解決距離公式，屬于中檔題.

I”由正弦定理結合二倍角的余弦公式求解即可；

?分別在,△8C。用余弦定理可求得「。=4,=，再由兩角差的余弦公式

可求出cos/AQB,最后在△ABD,由余弦定理即可求出答案.

18.【答案】解：(1)因為；7-~7????--------7=?+1,

。2—1?3—1廝+1—1

?("1fl2?n-l/、小

所以----7--------7...................；="("22)

(12—1a：j—1ar,-1

兩式相除得一r=上」522),

%+1-1n

(ii2%幾+1

又當II-1時，-----=-滿足上式，所以------7=——-?€'

a>—1107)+i—1n

從而(n-+l)a“+i-na“=(n+1),

所以2n：-?i=2,

3“：］—2a2=3,,,,,

nan-(n-l)%_i=n(n22)

累加可得”22時na?=1+2+3+???+〃="⑺；。,則斯=，

又當〃1時，"1=1亦符合該通項，

所以｛”“｝的通項公式為冊=*，neN*.

,設九=(-1)%,則數(shù)列也，｝是擺動數(shù)列，所有奇數(shù)項均為負數(shù)，所有偶數(shù)項均為正數(shù).

所以若出現(xiàn)最大項，一定在偶數(shù)項出現(xiàn)；若出現(xiàn)最小項，一定在奇數(shù)項出現(xiàn).

25k

(0考查奇數(shù)項｛心【｝,令/-ir'I[>1,解得A:>—,此時<岳A+l,

3+116Ar+1

25125

又廠=彳x3=m<1,且％v(?,所以仇〉

所以有句>%V幾<>V?.?，這表明數(shù)列｛(-，的最小項為(一5)'"=

23

(〃)考查偶數(shù)項,令h=-.,?>1,解得卜〉不，此時”，

b2k+2l1f6io2k4-318

“25315,「I

又“=7x工=7<1,即與《仇，

€>.|lb516

第20頁，共27頁

所以有電＜b*＞如＞h＞.一，這表明數(shù)列的最大項為

綜上所述,存在最大項和最小項，最大項為第四項TX7,最小項為第三項-不不■

【解析】本題考查數(shù)列的通項公式，數(shù)列的單調性，

解題的關鍵是熟練掌握由遞推與通項、累加法等求通項的方法，難點在于分析得九=(一1)冊為擺動數(shù)

列，結合數(shù)列的單調性，分奇偶討論最大和最小，考查分析理解，計算求值的能力，屬中檔題.

(1)由題意得d■?盧二????.7T=n，S》2),與原式相除可得一=——(n＞2),利用

累加法，即可得通項.

I2設公=(-1)%,分析可得數(shù)列｛",｝是擺動數(shù)列，所有奇數(shù)項均為負數(shù)，所有偶數(shù)項均為正數(shù)，分

別討論數(shù)列｛公｝的奇數(shù)項和偶數(shù)項，根據(jù)數(shù)列的單調性，分析求解，綜合即可得答案.

19.【答案】解：⑴作/〃/?-V交PM于H,

因為平面P/1.U1平面P8M,且平面PAMO平面PBM=PM,所以/?//.平面%M,

又因為⑷1/U