2024屆廣東新高考數(shù)學(xué)仿真模擬練習(xí)卷（新結(jié)構(gòu)）（含解析）

備戰(zhàn)2024年廣東新高考數(shù)學(xué)仿真模擬練習(xí)卷（三）（新結(jié)構(gòu)）

考生注意：

L答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上.

2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈

后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、單項(xiàng)選擇題:本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知全集。=1<,集合&={引y=e，+2,xeR},集合2={x|y=lg（尤-1）},則圖中陰影部分所表示的集合

為（）

A.[1,2]B.（1,2]C.（1,2）D.[1,2）

2.已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（1,2）,則下列結(jié)論正確的是（）

A.z-i=2-iB.復(fù)數(shù)z的共軌復(fù)數(shù)是1—2i

C.z2的實(shí)部為5D.|z|=5

3.已知向量°=（1,-1）,b,若則"？=（）

A.—2B.—C.-D.2

22

4.已知在特定的時(shí)期內(nèi)某人在一個(gè)月內(nèi)每天投入的體育鍛煉時(shí)間x（分鐘）與一個(gè)月內(nèi)減輕的體重》（斤）

的一組數(shù)據(jù)如表所示:

X3040506070

y1.11.93.244.8

一個(gè)月內(nèi)減輕的體重y與每天投入的體育鍛煉時(shí)間x之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，其線性回歸直線方程是

y=0.095x+a，據(jù)此模型估計(jì)當(dāng)此人在一個(gè)月內(nèi)每天投入的體育鍛煉時(shí)間為90分鐘時(shí)，該月內(nèi)減輕的體重約

為（）

A.6.8斤B.6.9斤C.7.0斤D.7.1斤

5.設(shè)函數(shù)〃x)=x|x|-2x,則()

1

A.是偶函數(shù)，且在（1,+8）上單調(diào)遞增B.是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減

C.是偶函數(shù)，且在（-8,-1）上單調(diào)遞增D.是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減

6.若函數(shù)〃*=5出（8+6）0>0）在（0,二上單調(diào)，則0的取值范圍是（）

A.（1,+s）B.[1,+<?）C.（0,1）D.（0,1]

7.湖南第二屆旅游發(fā)展大會(huì)于2023年9月15日至17日在郴州舉行，為讓廣大學(xué)生知曉郴州，熱愛(ài)郴州，親

身感受“走遍五大洲，最美有郴州“綠色生態(tài)研學(xué)，現(xiàn)有甲，乙兩所學(xué)校從萬(wàn)華巖中小學(xué)生研學(xué)實(shí)踐基地，王仙

嶺旅游風(fēng)景區(qū)，雄鷹戶外基地三條線路中隨機(jī)選擇一條線路去研學(xué)，記事件A為“甲和乙至少有一所學(xué)校選擇

萬(wàn)華巖中小學(xué)生研學(xué)實(shí)踐基地”，事件B為“甲和乙選擇研學(xué)線路不同”，則尸CB|A）=（）

A.-B.-C.-D.-

5544

22

8.如圖，已知片，用是雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，p,。為雙曲線C上兩點(diǎn)，滿足￡尸//工。，且

ab

什。|=2怩）=5國(guó)甘，則雙曲線C的離心率為（）

二、多項(xiàng)選擇題:本題共3小題,每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的

得6分,部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.下列說(shuō)法中，正確的是（）

A.用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從含有50個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容量為5的樣本，則個(gè)體加被抽到的概率是

0.1

B.一組數(shù)據(jù)10,11,11,12,13,14,16,18,20,22的第60百分位數(shù)為14

C.若樣本數(shù)據(jù)2而+1,2務(wù)+1,……,2/+1的方差為8,則數(shù)據(jù)再,網(wǎng)0的方差為2

D.將總體劃分為2層，通過(guò)分層抽樣，得到兩層的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為豆，司和,若吊=為，

則總體方差

2

10.已知直線/："-y+2-2a=0與圓C:(x-4)2+(y_l)2=產(chǎn)(r>0)總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)M,N,O為坐標(biāo)原點(diǎn),

則()

A.直線/過(guò)定點(diǎn)(2,2)

B.re(2,-H?)

C.當(dāng)r=3時(shí)，\MN\E[4,6]

D.當(dāng)r=5時(shí)，CMCN的最小值為-25

11.如圖，己知正方體ABCD-AgG0的棱長(zhǎng)為2,尸為底面正方形ABCO內(nèi)(含邊界)的一動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)

論正確的是()

A.存在點(diǎn)尸，使得GP，平面AC，

B.三棱錐片-AQ/的體積為定值

C.當(dāng)點(diǎn)P在棱CO上時(shí)，|上4|+|尸留的最小值為2a+2

D.若點(diǎn)尸到直線8月與到直線的距離相等，8的中點(diǎn)為E,則點(diǎn)尸到直線AE的最短距離是越

10

三、填空題:本題共3小題,每小題5分，共15分.

12.在(2X-^)5的展開(kāi)式中，/的系數(shù)為.(用數(shù)字作答)

X

13.在正項(xiàng)等比數(shù)列｛%｝中，已知=4,=8,a?an+lan+2=128,則n=.

14.若對(duì)于Vme[-e,e],Vye(-l,+<x>),使得不等式4三+111(工+1)+(2023-機(jī))尤—l<yln(y+l)恒成立，則實(shí)

數(shù)尤的范圍為.

四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

3

15.（本題13分）2024年元旦將至，國(guó)產(chǎn)影片與國(guó)外好萊塢大片同時(shí)上映，廣大網(wǎng)民，對(duì)喜愛(ài)的電影進(jìn)行投

票?某平臺(tái)為了解觀眾對(duì)影片的選擇情況（情況僅有“國(guó)產(chǎn)”“國(guó)外”），從平臺(tái)所有觀眾中隨機(jī)抽取200人進(jìn)行調(diào)

查，數(shù)據(jù)如下表所示（單位：人）：

（1）把2x2列聯(lián)表補(bǔ)充完整，試根據(jù)小概率值戊=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)分析對(duì)影片的選擇情況是否與性別有關(guān)；

⑵若將頻率視為概率，從抽取的200人中所有給出“國(guó)產(chǎn)”的觀眾中隨機(jī)抽取3人，用隨機(jī)變量X表示被抽到的

女性觀眾的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

國(guó)產(chǎn)國(guó)外合計(jì)

男性40100

女性80

合計(jì)200

參考公式：參=g+6）（c+d）g+c）g+<r其中〃=a+"c+d

參考數(shù)據(jù)

a0.100.050.0250.0100.0050.001

Xa2.7063.8415.0246.6357.87910.828

16.（本題15分）如圖1,在平面四邊形B40c中，PA±AB,CD//AB,CD=2AB=2Pr>=2AZ）=4.點(diǎn)E是線

段尸C上靠近尸端的三等分點(diǎn)，將△PDC沿。折成四棱錐尸-ABCD,且”=2百，連接尸4尸8瓦人如圖

4

2.

(1)在圖2中，證明：R4//平面3DE；

(2)求圖2中，直線”與平面P3C所成角的正弦值.

17.(本題15分)已知函數(shù)/(x)=xe*,尤eR.

⑴求函數(shù)/'(x)=xex單調(diào)區(qū)間；

⑵若過(guò)點(diǎn)eR)可以作曲線y=〃x)的3條切線，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

18.(本題17分)已知拋物線。：9=2加(0>0)過(guò)點(diǎn)(1,0,直線/與該拋物線C相交于M,N兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M

作x軸的垂線，與直線y=r交于點(diǎn)G,點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)G的對(duì)稱點(diǎn)為P,且O,N,P三點(diǎn)共線.

(1)求拋物線C的方程；

5

（2）若過(guò)點(diǎn)。（2,0）作垂足為H（不與點(diǎn)。重合），是否存在定點(diǎn)T,使得|〃刀為定值？若存在，求出

該定點(diǎn)和該定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

19.（本題17分）對(duì)于一個(gè)有窮單調(diào)遞增正整數(shù)數(shù)列P,設(shè)其各項(xiàng)為％,出，L,an（n>5）,若數(shù)列P中存

在不同的四項(xiàng)4,%,%滿足4+%=4+4,則稱尸為等和數(shù)列，集合M={4,q，4，q}稱為尸的一

個(gè)等和子集，否則稱尸為不等和數(shù)列.

⑴判斷下列數(shù)列是否是等和數(shù)列，若是等和數(shù)列，直接寫(xiě)出它的所有等和子集；A：1,3,5,7,9；B：2,4,

6,7,10；

⑵已知數(shù)列P：%,%,a3,a4,%是等和數(shù)列，并且對(duì)于任意的總存在尸的一個(gè)等和子

集M滿足集合求證：數(shù)列尸是等差數(shù)列；

，rn+9

（3）若數(shù)列P：%,g，L,?！笆遣坏群蛿?shù)列，求證：an>~.

備戰(zhàn)2024年廣東新高考數(shù)學(xué)仿真模擬練習(xí)卷（三）（新結(jié)構(gòu)）

答案解析

一、單項(xiàng)選擇題:本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知全集。=1<,集合4={引y=e，+2,xeR},集合2={x|y=lg（尤-1）},則圖中陰影部分所表示的集合

為（）

A.[1,2]B.(1,2]C.(1,2)D.[1,2)

【答案】B

6

【分析】先化簡(jiǎn)兩個(gè)集合，根據(jù)陰影部分可求答案.

【詳解】由題意圖中陰影部分為Be樂(lè)A,

而4=(2,+力)，3=(1,+力)，6A=(-8,2],

所以B①A=(l,2].

故選：B.

2.已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,2),則下列結(jié)論正確的是()

A.z-i=2-iB.復(fù)數(shù)z的共軌復(fù)數(shù)是1—2i

C.z?的實(shí)部為5D.|z|=5

【答案】B

【分析】由復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，得復(fù)數(shù)z,通過(guò)復(fù)數(shù)的乘法，復(fù)數(shù)模的計(jì)算，共朝復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)實(shí)部的定義，驗(yàn)

證各選項(xiàng)的結(jié)論.

【詳解】復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,2),則z=l+2i,

z-i=(l+2i)-i=-2+i,A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

5=1—2i,B選項(xiàng)正確；

z2=(l+2i)2=l+4i-4=-3+4i,Z?的實(shí)部為-3,C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

|Z|=A/12+22=y/5,D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：B.

3.已知向量a=(l,-l),b=(m,l-ni),若則機(jī)=()

A.—2B.—C.-D.2

22

【答案】c

【分析】直接利用向量垂直的坐標(biāo)表示求解即可.

【詳解】由心6，得〃2-(1-帆)=0,則%=：,

故選：C.

4.已知在特定的時(shí)期內(nèi)某人在一個(gè)月內(nèi)每天投入的體育鍛煉時(shí)間x(分鐘)與一個(gè)月內(nèi)減輕的體重y(斤)

的一組數(shù)據(jù)如表所示：

X3040506070

7

y1.93.244.8

一個(gè)月內(nèi)減輕的體重y與每天投入的體育鍛煉時(shí)間工之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，其線性回歸直線方程是

y=0.095x+a，據(jù)此模型估計(jì)當(dāng)此人在一個(gè)月內(nèi)每天投入的體育鍛煉時(shí)間為90分鐘時(shí)，該月內(nèi)減輕的體重約

為()

A.6.8斤B.6.9斤C.7.0斤D.7.1斤

【答案】A

【分析】先求出樣本點(diǎn)中心，代入回歸方程求出〃，再將％=90代入計(jì)算即可.

【詳解】由表中數(shù)據(jù)可得

-30+40+50+60+700

x=---------------------------=50,

-1.1+1.9+3.2+4+4.8。

y=-------------5-------------=§，

將(50,3)代入y=0.095x+a得3=0,095x50+a，解得a=-1.75，

Wj=0.095%-1.75.

則當(dāng)x=90時(shí)，y=0.095x90-1.75=6.8.

故選：A.

5.設(shè)函數(shù)F(x)=x|R-2x,則()

A.是偶函數(shù)，且在(1,+8)上單調(diào)遞增B.是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減

C.是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增D.是奇函數(shù)，且在(-雙-1)上單調(diào)遞減

【答案】B

【分析】根據(jù)奇偶性的定義判斷函數(shù)的奇偶性，畫(huà)函數(shù)圖象，然后結(jié)合圖象得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=x|x|-2x的定義域?yàn)镽,且『(一x)=_xW+2x=-(x|x|-2x)=—〃x),

所以/(x)是奇函數(shù)，又/(x)=x|尤|-2尤2作出函數(shù)/(尤)圖象如下圖：

-x—2x

8

由圖知，函數(shù)/(X)在(-8,-1)和(L+8)上單調(diào)遞增，在(-1,1)上單調(diào)遞減.

故選：B.

6.若函數(shù)/(x)=sin(ox+胃(0>0)在(0口上單調(diào)，則0的取值范圍是()

A.(1,+S)B.[1,問(wèn)C.(0,1)D.(0,1]

【答案】D

【分析】由0<x<.得到++g然后根據(jù)〃x)在(0三]單調(diào)求解.

36636I力

【詳解】解：因?yàn)?。弓，

所以?尤+3<20+3，

6636

因?yàn)閺V(X)在(0片]單調(diào)，

所以S。+1妾，

362

0<。<1,

故選：D.

7.湖南第二屆旅游發(fā)展大會(huì)于2023年9月15日至17日在郴州舉行，為讓廣大學(xué)生知曉郴州，熱愛(ài)郴州，親

身感受“走遍五大洲I,最美有郴州“綠色生態(tài)研學(xué)，現(xiàn)有甲，乙兩所學(xué)校從萬(wàn)華巖中小學(xué)生研學(xué)實(shí)踐基地，王仙

嶺旅游風(fēng)景區(qū)，雄鷹戶外基地三條線路中隨機(jī)選擇一條線路去研學(xué)，記事件A為“甲和乙至少有一所學(xué)校選擇

萬(wàn)華巖中小學(xué)生研學(xué)實(shí)踐基地”，事件B為“甲和乙選擇研學(xué)線路不同”，則尸(B|A)=()

【答案】B

【分析】利用古典概率求出事件AAB的概率，再利用條件概率公式計(jì)算即得.

【詳解】依題意，甲，乙隨機(jī)選擇一條線路去研學(xué)的試驗(yàn)有32個(gè)基本事件,

事件A含有的基本事件數(shù)是2x2+1=5,則P(A)=?!,

4

事件A5含有的基本事件數(shù)為2x2=4,貝=

所以尸(B|A)=今黑4

5

故選：B.

22

8.如圖，已知片，鳥(niǎo)是雙曲線C：3-多=1的左'右焦點(diǎn)，P，。為雙曲線C上兩點(diǎn)，滿足耳尸//心。，且

ab

I瑪。1=2優(yōu)H=5|耳H，則雙曲線c的離心率為()

9

「719

D.叵

23

【答案】B

【分析】延長(zhǎng)。耳與雙曲線交于點(diǎn)P,易得閨?=優(yōu)習(xí)，設(shè)國(guó)產(chǎn)|=優(yōu)尸［=2L結(jié)合雙曲線定義得"+，進(jìn)

而在尸名鳥(niǎo)中應(yīng)用勾股定理得到齊次方程，即可得離心率.

【詳解】延長(zhǎng)。工與雙曲線交于點(diǎn)P,因?yàn)槠琍/書(shū)尸'，根據(jù)對(duì)稱性知閨

設(shè)國(guó)？=內(nèi)尸1=2,則優(yōu)尸|=5f,|42|=10f,可得怩目一閨尸|=3r=2a,即」=鏟,

所以|PQ|=12f=爭(zhēng)，則|Q胤=|四+2"=爭(zhēng)，|耳尸［=］巴尸卜g,

即\P'Qf+山尸'「=|Q＜，可知&FQ=&\PF］=90。，

在月中，由勾股定理得|用P「+閨尸［2=1百用2,即=4。2，解得e=￡=g.

故選：B.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：延長(zhǎng)。B與雙曲線交于點(diǎn)P，利用雙曲線對(duì)稱性及定義求出4尸'。=4尸乙=90°,最

后在P'FtF2中應(yīng)用勾股定理得到齊次方程為關(guān)鍵.

二、多項(xiàng)選擇題:本題共3小題,每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的

得6分,部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.下列說(shuō)法中，正確的是（）

10

A.用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從含有50個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容量為5的樣本，則個(gè)體機(jī)被抽到的概率是

0.1

B.一組數(shù)據(jù)10,11,11,12,13,14,16,18,20,22的第60百分位數(shù)為14

C.若樣本數(shù)據(jù)2石+1,2%+1,……,2/+1的方差為8,則數(shù)據(jù)再,々,…凸。的方差為2

D.將總體劃分為2層，通過(guò)分層抽樣，得到兩層的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為百，,若吊=務(wù)，

則總體方差/=，s；+s；)

【答案】AC

【分析】由古典概型的概率可判斷A,根據(jù)百分位數(shù)定義可判斷B,由數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差的定義可判斷C,

D.

【詳解】選項(xiàng)A：個(gè)體也被抽到的概率為點(diǎn)=0.1,故A正確；

選項(xiàng)B：由于10x60%=6,第六個(gè)數(shù)為14,第七個(gè)數(shù)為16,則第60百分位數(shù)為號(hào)3=15,故B錯(cuò)誤;

22

選項(xiàng)C：設(shè)數(shù)據(jù)王鵬,…,與的平均數(shù)為元=+/,方差為s2=\［(X］-X)+(X2-X)++(/-￡

則數(shù)據(jù)2%+1,2%+1,……,2/+1的平均數(shù)為

—,（2%+1）+（29+1）+，+（2%0+1）2（再+/+」+%（））+1。

x——■=2x+l,

1010

方差為+1-x）+（2々+1-%）+-+（2玉0+1-x）

=^^[（2再-2x）+（2々-2x）++（2%]0—2x）+（%2-%）++（xio-%）]=4s?=8，

所以/=2,故C正確;

選項(xiàng)D：設(shè)弟一■層數(shù)據(jù)為％1，%2,…,％九，第一^層數(shù)據(jù)為M，%,

則彳=3+期+…+無(wú)“，元=M+%+...+.%

nm

所以％+九2+???+/=，乂+為+…+%=帆?％2

S；=：［■一玉）2+伍一％）2++［“一％）［，=^yl-x2^+（y2-x2^++（%—%）］，

總體平均數(shù)X=西++—+X++y”,

n+m

總體方差一=六［(%一寸+

因?yàn)椋?可，則%+……,

11

所以丁J+“+x，，+%+"%=("+〃斷=0兀

n+mn+m

++(%_%++(北-司『

故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

10.己知直線/：依-〉+2-24=0與圓(7:(彳-4)2+(丫-1)2=，(/>0)總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)出,乂0為坐標(biāo)原點(diǎn),

則()

A.直線/過(guò)定點(diǎn)(2,2)

B.re(2,+oo)

C.當(dāng)廠=3時(shí)，|%V|￡[4,6]

D.當(dāng)r=5時(shí)，CMCN的最小值為-25

【答案】ACD

【分析】根據(jù)直線方程求得定點(diǎn)判斷A；利用點(diǎn)在圓內(nèi)求得廠的取值范圍判斷B；利用弦長(zhǎng)公式求得判斷

C；利用數(shù)量積運(yùn)算，結(jié)合直線與圓的關(guān)系判斷D.

【詳解】對(duì)于A,at-y+2-2a=0可化為。(尤-2)+(->+2)=0,

則直線/過(guò)定點(diǎn)尸(2,2),故A正確；

對(duì)于B,因?yàn)橹本€/與圓C總有兩個(gè)公共點(diǎn)，可得點(diǎn)尸(2,2)在圓C內(nèi)部，

所以(2-4)2+(2-1)2</，解得廠>百，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,當(dāng)r=3時(shí)，圓C的方程為(x-4)2+(y-l)2=9,

所以圓心C(4,l),又P(2,2),貝IJ|CP|=JL

可得的最小值為2小尸_|"|2=4,最大值即為2r=6,故C正確;

對(duì)于D,當(dāng)r=5時(shí)，圓C的方程為(x-4)2+"-1)2=25,

則CM-CN=|CM||CN|cosNMCN=25cos/MCN,

當(dāng)直線/過(guò)圓心C(4,D時(shí)，cosNMCN=—l,所以cosNMCN的最小值為-I,

所以CM-CN的最小值為-25,故D正確.

故選：ACD.

11.如圖，已知正方體ABC。-AAGR的棱長(zhǎng)為2,P為底面正方形A3CO內(nèi)(含邊界)的一動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)

12

論正確的是（）

A.存在點(diǎn)尸，使得G?，平面4C，

B.三棱錐4-ARP的體積為定值

C.當(dāng)點(diǎn)尸在棱8上時(shí)，|P4|+|P閡的最小值為2a+2

D.若點(diǎn)P到直線8月與到直線AD的距離相等，8的中點(diǎn)為E,則點(diǎn)P到直線AE的最短距離是當(dāng)5

10

【答案】ABD

【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)P與A重合時(shí)，利用線面垂直的判定定理即可判斷；對(duì)于B選項(xiàng)，由尸到上底面

的距離是定值即可判斷；對(duì)于C選項(xiàng)，將平面ABCD沿。旋轉(zhuǎn)至平面4月。共面，即可得到|到+|「閡的最

小值，從而得以判斷；對(duì)于D選項(xiàng)，先得到點(diǎn)尸的軌跡方程，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為拋物線上的點(diǎn)到直線的最小距離,

從而得解.

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，如圖，連接AG，4G，

因?yàn)樵谡襟wABCD-A4Gq中，A4,1平面4月GR,BRu平面A.B.C.D,,

所以BQLAA，因?yàn)锳4GA為正方形，所以用RJLAG，

又因?yàn)锳GM=AA，4GU平面AAC，所以耳已，平面MG，

因?yàn)锳Gu平面A41G，所以AC|JLBQ,同理可得AC|JL片C,

因?yàn)?。1門4。=4，BR,4Cu平面42。，所以￡A_L平面片2。，

所以當(dāng)點(diǎn)尸與A重合時(shí)，GP，平面4A。，故A正確；

13

對(duì)于B選項(xiàng)，三棱錐4-An尸的體積就是三棱錐尸一用AA的體積，而產(chǎn)到上底面的距離是定值,

所以三棱錐片-AD尸的體積是定值，故B正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)P在棱CO上時(shí)，把平面ABC。沿8旋轉(zhuǎn)，

使得旋轉(zhuǎn)面與平面A4co共面，連接A'q,如圖，

此時(shí)|網(wǎng)+忸周取得最小值|A41a在RtA耳A中，/聞=2,1^1=25/2+2,

則|AB||=也+(2+2/)2=2及+2,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,由點(diǎn)P到直線BBi與到直線AD的距離相等，

可知尸在以AD為準(zhǔn)線，8為焦點(diǎn)的拋物線上，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,

貝1]3(1,。)，P的軌跡是拋物線，其方程為J/=4x(04x41),

因?yàn)镃D的中點(diǎn)為E,A(TO)、E(0,2),

所以AE的方程:y=2x+2,與AE平行的拋物線的切線方程設(shè)為y^2x+b,

y=2x+bc°

聯(lián)立2，可得4%2+(48—4)x+Z?2=0,

y=4x

則由A=(46-4)2—16〃=0,解得。=g,可得切線方程為y=2x+：,

則點(diǎn)尸到直線AE的最短距離為I|2--2||_3r4-,故D正確；

有一10

故選：ABD.

14

【點(diǎn)睛】本題D選項(xiàng)的結(jié)論的解決關(guān)鍵是利用拋物線的定義，建立平面直角坐標(biāo)系，得到點(diǎn)尸的軌跡方程，

從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為拋物線上的點(diǎn)到直線AE的距離的最值，從而得解.

三、填空題:本題共3小題,每小題5分，共15分.

12.在（2尤-工）5的展開(kāi)式中，x3的系數(shù)為.（用數(shù)字作答）

【答案】-80

【分析】直接用二項(xiàng)式定理展開(kāi)的通項(xiàng)求出即可.

【詳解】在（2x—y的展開(kāi)式中通項(xiàng)為小=（：；（2》廣,_婷丁，

所以5-左+（」？目3,解得％=1,

所以V的系數(shù)為C；2,？（1了=-80,

故答案為：-80.

13.在正項(xiàng)等比數(shù)列｛qj中，己知％的。3=4,。4%。6=8，?！胺?1凡+2=128,貝=.

【答案】16

3345

【分析】由題意得。落3=4,a；q'2=8兩式相比得/=2,再由堤，=4,。/小=128兩式相比得?-=32=q,

由此即可得解.

【詳解】因?yàn)閍。%=4,所以a；"'"因?yàn)閍4a5a6=8,所以a：/2=8,

所以/=2,a/x%+產(chǎn)128,所以％3/=128,

q3"3=32=,所以“=16.

故答案為：16.

14.若對(duì)于Vme[-e,e],VyG（-1,+OO）,使得不等式4x3+ln（x+l）+（2023-機(jī)）無(wú)一l<yln（y+l）恒成立，則實(shí)

數(shù)x的范圍為.

【答案】（一1,0]

【分析】由題，有[4尤3+也（元+1）+（2023-加行一1，<口111（丁+1）」.利用導(dǎo)數(shù)可得[加。+1）入=0,則可

得〔4/+In（%+1）+（2023-m）%-1]<0.

后將4丁+In（尤+1）+（2023-m）無(wú)一1看成關(guān)于m的函數(shù)g（m）,后分類討論

g（7〃）在-1<x<0,x=0,x>0三種情況下的最大值與0的大小即可.

15

【詳解】4丁+111(尤+1)+(2023-〃?)x—l<yln(y+l)恒成立，

等價(jià)于［4/+ln(x+l)+(2023—根)x-l［a<［yln(y+l)］向『

令f(y)=yln(y+1),則1(y)=In(y+1)+,

注意到y(tǒng)e(-l,O)時(shí),r(y)<0,尸(0)=0,ye(0,")時(shí)，〃y)>0.

則〃y)在(TO)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增，則〃y)N〃O)=O.

則［yIn(y+川勒=0,則［4三+In(x+1)+(2023一根)x-立曲<［yIn(y+3山

=［4V+In(x+1)+(2023-x-1］<0.

令g(77?)=-xm+4x3+2023x+ln(x+l)-l,me［-e,e］.

當(dāng)x=0,g(/77)=-1<0,故x=0滿足條件；

當(dāng)x>0,則g(〃z)在［-e,e］上單調(diào)遞減，故

g(77?)=g(-e)=ex+4x3+2023x+In(x+1)-1.

令p(x)=ex+4尤3+2023x+ln(尤+1)-1,xe(0,+oo).

則p'(尤)=12x2+e+2023+」一>0,得p(x)在(0,+e)上單調(diào)遞增,

X>1時(shí)，p(x)>p(l)>0,因p(元)此時(shí)無(wú)最值，且Hxe(0,+oo),〃⑺>0.

則x>0不合題意；

當(dāng)x<0,g(m)在［-e,e］上單調(diào)遞增，故

g(機(jī))=g(e)=-e尤+4x3+2023x+In(x+1)-1.

令〃(x)=-ex+4x3+2023x+In(%+1)-1,xe(-1,0).

則"(x)=12x2+—'―+2023-e.

''X+1

令h(x)=12x2++2023-e,xe(-l,O).

則〃(x)=24x-(二『<°,故/z(x)在(TO)上單調(diào)遞減，

則“卜)=n'(x)>n'(0)=2024-e>0,則〃(x)在(—1,0)上單調(diào)遞增，

16

則”(x)<?(o)=-1<0,則xe(-l,o)符合題意.

綜上，XG(-1,0].

故答案為：（-1,。］.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題涉及雙變量與恒成立，難度較大.

恒成立問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為最值相關(guān)問(wèn)題，本題因告知，"范圍，求x范圍，故還采取了變換主元的做題方法.

四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.（本題13分）2024年元旦將至，國(guó)產(chǎn)影片與國(guó)外好萊塢大片同時(shí)上映，廣大網(wǎng)民，對(duì)喜愛(ài)的電影進(jìn)行投

票?某平臺(tái)為了解觀眾對(duì)影片的選擇情況（情況僅有“國(guó)產(chǎn)”“國(guó)外”），從平臺(tái)所有觀眾中隨機(jī)抽取200人進(jìn)行調(diào)

查，數(shù)據(jù)如下表所示（單位：人）：

⑴把2x2列聯(lián)表補(bǔ)充完整，試根據(jù)小概率值。=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)分析對(duì)影片的選擇情況是否與性別有關(guān)；

⑵若將頻率視為概率，從抽取的200人中所有給出“國(guó)產(chǎn)”的觀眾中隨機(jī)抽取3人，用隨機(jī)變量X表示被抽到的

女性觀眾的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

國(guó)產(chǎn)國(guó)外合計(jì)

男性40100

女性80

合計(jì)200

參考公式：參=(a+6)(c+d)(“+c)(6+d)'其中”=?+c+d

參考數(shù)據(jù)

a0.100.050.0250.0100.0050.001

Xa2.7063.8415.0246.6357.87910.828

【答案】（1）表格見(jiàn)解析，有關(guān)；（2）分布列見(jiàn)解析，—

【分析】（1）通過(guò)計(jì)算/的值，查表即可判斷；

（2）根據(jù)條件知，X~B（3,g）,繼而可求得分布列和期望.

【詳解】（1）2x2列聯(lián)表補(bǔ)充完整如下：

國(guó)產(chǎn)國(guó)外合計(jì)

17

男性6040100

女性8020100

合計(jì)14060200

零假設(shè)為口)：對(duì)影片的選擇情況與性別無(wú)關(guān).

根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得:

2200x(60x20-40x80)2200…八

r2?----------------------------—=——x9.524>7.879=

100x100x140x60210005

根據(jù)小概率值a=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷Ho不成立,

即認(rèn)為對(duì)影片的選擇情況與性別有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.005.

(2)從抽取的200人中所有給出“國(guó)產(chǎn)”的觀眾中隨機(jī)抽取1人為女性的概率尸=瑞=，

4

且各次抽取之間互相獨(dú)立，故X?6(3,1),

所以P(X=0)=CX(1)°x(|)3=W,P(X=1)=C；X(I)1X(1)2=罌,

P(X=2Xx(1)2x(1)'=5，尸(X=3)=C嶺x9。嗜

故X的分布列為:

X0123

2710814464

P

343343343343

八271108c144。6412

月f以E(X)=0x------F1x--------F2x-------F3x-----=—

3433433433437

16.(本題15分)如圖1,在平面四邊形R4BC中，PA1AB,CD/IAB,CD=2AB=2~D=2Ar)=4.點(diǎn)￡是線

段尸C上靠近P端的三等分點(diǎn)，將△尸DC沿。折成四棱錐尸且AP=2后，連接PA,尸民加，如圖

圖I圖2

(1)在圖2中，證明：R4//平面3DE；

18

(2)求圖2中，直線AP與平面P3C所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)正

6

【分析】(1)根據(jù)線面平行的判定定理證得上4//平面

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得直線叱與平面P8C所成角的正弦值.

【詳解】(1)連接AC交8。于點(diǎn)歹，連接所，AB//CD,CD=2AB,

AF1

ABF.CDF,—=-,

AC3

(2)在圖1中，PA±AB,ABHCD,PA±CD,PDLCD,ADLCD,

在圖2中，AD=PD=2,PA=2V2,AP2=AD2+DP2,

:.PDLAD,.也門8=驍,4。,。＜=平面48?！?,二尸￡＞，平面45。￡),

4￡),。0：平面4861),所以尸r＞_LAD,PD_LC￡),而AO_LCZ),

由此以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則4（2,0,0）,5（220）,C（0,4,0）,尸（0,0,2）,5不=（一2,2,0）,沖=（2,2,—2）,

m-BC=-2x+2y=0

設(shè)平面P3C的法向量為加=(x,y,z),貝卜

m?PB=2x+2y-2z=0

可取機(jī)=(1,1,2),又轉(zhuǎn)=(一2,0,2),

AP-m

所以cosAP,相=

API-|m|6

19

所以直線"與平面尸5C所成角的正弦值為丑.

6

17.(本題15分)已知函數(shù)/'(x)=xe*,xeR.

⑴求函數(shù)〃”=北單調(diào)區(qū)間；

⑵若過(guò)點(diǎn)P(lJ)(/eR)可以作曲線y=/(x)的3條切線，求實(shí)數(shù)》的取值范圍.

【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間是(-1,y);單調(diào)遞減區(qū)間是(-j-1);(2)]-,，°]

【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解不等式，即可求得函數(shù)單調(diào)區(qū)間；

(2)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，推出方程/=研(一片+與+1)有三個(gè)不等實(shí)數(shù)

根，構(gòu)造函數(shù)，將方程根的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)、=。，=*(-君+%+1)圖像的交點(diǎn)問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的性

質(zhì)，作出函數(shù)圖像，數(shù)形結(jié)合，即可求解.

【詳解】⑴函數(shù)〃尤)的定義域?yàn)镽,/(x)=e，+W=e，(x+l),

令『'(x)>0,解得無(wú)>T,所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-1,+功；

令_f(x)<0,解得x<-l,所以函數(shù)外力的單調(diào)遞減區(qū)間是(-e,T)

(2)由題意可得/'(x)=(x+l)e)

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(/,%),則切線斜率左=(%+l)-e拓，

所以切線方程為y-x()e*,

將尸(1J)代入得t=e』(一無(wú)；+%+1).

因?yàn)榇嬖谌龡l切線，即方程f=e~(-x；+龍。+1)有三個(gè)不等實(shí)數(shù)根，

方程t=e%(-片+%+1)有三個(gè)不等實(shí)數(shù)根等價(jià)于函數(shù)y=f,y=e乂-片+%+1)的圖像有三個(gè)交點(diǎn)，

設(shè)g(x)=(-爐+x+l)eA,貝！]g,(x)=-(x-l)(%+2)ex,

當(dāng)xe(-2,1)時(shí),g，(x)>0,g⑺在(-2,1)上單調(diào)遞增;

在(-00,-2)和(1,+8)上，g'(X)<0,g(X)在(-00,-2)(1,+00)上單調(diào)遞減，

&(-2)=-旨，g(l)=e；

當(dāng)彳<子或x>于時(shí)，g(x)<0,1<尤時(shí)，g(x)>0,

20

當(dāng)尤--00時(shí)，g（x）-0;當(dāng)時(shí)，g（x）--00,

畫(huà)出g（x）=（-爐+犬+1）/的圖象如圖，

要使函數(shù)y=f,y=eM（-x；+Xo+i）的圖像有三個(gè)交點(diǎn)，需g⑵<r<0,

即q<r<0,即實(shí)數(shù)t的取值范圍卜go].

【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的難點(diǎn)在于根據(jù)過(guò)點(diǎn)P（iJ）（/eR）可以作曲線y=/（x）的3條切線，求解參數(shù)的

范圍，解答時(shí)要利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，即要使得方程，=?。?君+%+1）有三個(gè)不等實(shí)數(shù)根，構(gòu)

造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖像的交點(diǎn)問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，即可求解.

18.（本題17分）已知拋物線。:9=2/（°>0）過(guò)點(diǎn)（1,。），直線/與該拋物線C相交于M,N兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M

作x軸的垂線，與直線y=r交于點(diǎn)G,點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)G的對(duì)稱點(diǎn)為P,且。，N,P三點(diǎn)共線.

（1）求拋物線C的方程；

⑵若過(guò)點(diǎn)。（2,0）作。巨，/,垂足為反（不與點(diǎn)。重合），是否存在定點(diǎn)T,使得|阿|為定值？若存在，求出

該定點(diǎn)和該定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（l）y2=4x；（2）存在定點(diǎn)使得為定值，該定值為0

【分析】（1）將點(diǎn)（1,小代入拋物線方程可求出P,從而可求出拋物線方程；

（2）設(shè)點(diǎn)手,yj,然后表示出點(diǎn)G,尸的坐標(biāo)，由O,N,P三點(diǎn)共線，化簡(jiǎn)可得

2（%+為）+乂%=0,設(shè)直線/的方程為x="y+〃，代入拋物線方程化簡(jiǎn)，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得"=2"，

則直線I過(guò)定點(diǎn)￡（0,-2）,從而可得點(diǎn)H的軌跡是以石。為直徑的圓.

【詳解】（1）因?yàn)閽佄锞€。：丫2=2.（0>0）過(guò)點(diǎn)。,0）,所以p2=2p,所以p=2,

所以拋物線C的方程為y=4x.

21

⑵設(shè)點(diǎn)聯(lián)立—4,得G3，—A-］，

又因?yàn)辄c(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)G的對(duì)稱點(diǎn)為p,所以點(diǎn)yj，

弁v

由O,N,尸三點(diǎn)共線，可得k0N=k°p,即一—=與，

2LA

44

化簡(jiǎn)得2（乂+%）+%%=。，

［x=my+n

設(shè)直線/的方程為x=〃V+〃，聯(lián)“Jj—?，消去無(wú)，得/n_4切-4〃=0,

貝1］公=（4相）2一4X（T"）>0,BPm2+n>0,可得%+%=4%，%%=-4〃，

代入2（乂+%）+%%=°，可得8根—4〃=0,可得力=2:〃，

所以直線/的方程：X=my+n,即x=my+2〃z,則尤=〃《y+2）,

所以直線/過(guò)定點(diǎn)醺0,-2）,

因?yàn)?。以?,

所以點(diǎn)打的軌跡是以E。為直徑的圓（除去E,。兩點(diǎn)），圓心為半徑為近，

所以存在定點(diǎn)7（1,-1）,使得|“刀為定值，該定值為夜.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：此題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查拋物線中的定點(diǎn)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是將直線方程

代入拋物線方程化簡(jiǎn)，利用根與系數(shù)的關(guān)系，再結(jié)合。，N,尸三點(diǎn)共線的條件表示出直線方程，從而可求得

直線過(guò)的定點(diǎn).

19.（本題17分）對(duì)于一個(gè)有窮單調(diào)遞增正整數(shù)數(shù)列P,設(shè)其各項(xiàng)為％,g,L,??（?>5）,若數(shù)列P中存

22

在不同的四項(xiàng)a0,aq,as,%