【完整版】2020年北京市海淀區(qū)高三一模數(shù)學(xué)試卷逐題解析

/2020年北京市海淀區(qū)高三一模數(shù)學(xué)考試逐題解析2020.5本試卷分為第I卷〔選擇題〕和第II卷〔非選擇題〕兩局部,總分值150分,考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案寫(xiě)在答題紙上,在試卷上作答無(wú)效?？荚囃戤吅?將本試卷和答題紙一并交回。第I卷〔選擇題共40分〕一、選擇題：共10小題,每題4分,共40分。在每題列出的四個(gè)選項(xiàng)中,選出符合題目要求的一項(xiàng)。1. 在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于〔A〕第一象限 〔B〕第二象限〔C〕第三象限 〔D〕第四象限【答案】A【解析】此題考察復(fù)數(shù)的運(yùn)算.對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第一象限內(nèi).應(yīng)選A.2. 集合,那么集合可以是〔A〕 〔B〕〔C〕 〔D〕

【答案】B【解析】此題考察集合運(yùn)算.選項(xiàng)A:選項(xiàng)B:選項(xiàng)C:選項(xiàng)D:應(yīng)選B.3. 雙曲線的離心率是,那么的值為〔A〕 〔B〕〔C〕 〔D〕【答案】B【解析】此題考察雙曲線的離心率.由,可知解得∵∴應(yīng)選B.4. 實(shí)數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)如下圖,那么以下式子中正確的選項(xiàng)是〔A〕 〔B〕〔C〕 〔D〕【答案】D【解析】此題考察不等式的性質(zhì).由圖可知,且選項(xiàng)A:∵∴∴∴,故A項(xiàng)錯(cuò)誤;選項(xiàng)B:∵∴,且∴∴,應(yīng)選項(xiàng)B錯(cuò)誤;選項(xiàng)C:∵∴∴,應(yīng)選項(xiàng)C錯(cuò)誤;選項(xiàng)D:∵且∴,應(yīng)選項(xiàng)D正確.5. 在的展開(kāi)式中,常數(shù)項(xiàng)為〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕【答案】C【解析】此題考察二項(xiàng)式定理.,其中常數(shù)項(xiàng)需滿足,即,.應(yīng)選C.6. 如圖,半徑為1的圓與直線相切于點(diǎn),圓沿著直線滾動(dòng).當(dāng)圓滾到圓時(shí),圓與直線相切于點(diǎn),點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn),線段的長(zhǎng)度為,那么點(diǎn)到直線的間隔為〔A〕 〔B〕〔C〕 〔D〕【答案】C【解析】此題考察直線與圓.由題可知,且圓的周長(zhǎng)為,所以由圓到圓的過(guò)程中沿著直線旋轉(zhuǎn)了圈,所以點(diǎn)的位置如下圖,此時(shí)為等腰直角三角形,所以到直線的間隔為.應(yīng)選C.7. 函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱.假設(shè)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減,那么的取值范圍為〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕【答案】D【解析】此題考察函數(shù)單調(diào)性.因?yàn)楹瘮?shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱,所以函數(shù).由解析式可知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減,假設(shè)函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減,那么,即,解得.應(yīng)選D.

8. 某四棱錐的三視圖如下圖,該四棱錐中最長(zhǎng)棱的棱長(zhǎng)為〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】C【解析】此題考察三視圖.四棱錐的直觀圖如下圖:由圖可知,該四棱錐中最長(zhǎng)棱的棱長(zhǎng)為.應(yīng)選C.9. 假設(shè)數(shù)列滿足,那么“〞是“為等比數(shù)列〞的〔A〕充分而不必要條件 〔B〕必要而不充分條件〔C〕充分必要條件 〔D〕既不充分也不必要條件【答案】A【解析】此題考察等比數(shù)列.充分條件:因?yàn)閿?shù)列中,,并且對(duì)于都成立,所以,即所以各項(xiàng)均不為0.令,那么,即,所以為以為首項(xiàng),公比的等比數(shù)列,所以充分條件成立;必要條件:假設(shè)為等比數(shù)列,那么公比可以為1.當(dāng)時(shí),,,,此時(shí),所以必要條件不成立.所以“〞是“為等比數(shù)列〞的充分而不必要條件,應(yīng)選A.10. 形如〔是非負(fù)整數(shù)〕的數(shù)稱為費(fèi)馬數(shù),記為.數(shù)學(xué)家費(fèi)馬根據(jù)都是質(zhì)數(shù)提出了猜測(cè):費(fèi)馬數(shù)都是質(zhì)數(shù).多年之后,數(shù)學(xué)家歐拉計(jì)算出不是質(zhì)數(shù),那么的位數(shù)是〔參考數(shù)據(jù):〕〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕【答案】B【解析】此題考察指對(duì)數(shù)運(yùn)算.由題知,因?yàn)?所以的位數(shù)是10.應(yīng)選B.

第II卷〔非選擇題共110分〕二、填空題：共5小題,每題5分,共25分。11. 點(diǎn)在拋物線上,那么拋物線的準(zhǔn)線方程為.【答案】【解析】此題考察拋物線.將點(diǎn)代入,解得,所以拋物線,其準(zhǔn)線方程為.12. 在等差數(shù)列中,,那么數(shù)列的前4項(xiàng)的和為.【答案】24【解析】此題考察等差數(shù)列.設(shè)等差數(shù)列公差為,由,解得,其中.所以數(shù)列的前4項(xiàng)和13. 非零向量滿足,那么.【答案】0【解析】此題考察平面向量.因?yàn)?平方得,化簡(jiǎn)得,所以.

14. 在中,點(diǎn)在邊上,,那么;的面積為【答案】【解析】此題考察解三角形.在中,由正弦定理得,其中,所以,所以.15. 如圖,在等邊三角形中,.動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā),沿著此三角形三邊逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)回到點(diǎn),記運(yùn)動(dòng)的路程為,點(diǎn)到此三角形中心間隔的平方為,給出以下三個(gè)結(jié)論:①函數(shù)的最大值為;②函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸方程為;③關(guān)于的方程最多有個(gè)實(shí)數(shù)根.其中,所有正確結(jié)論的序號(hào)是.注:此題給出的結(jié)論中,有多個(gè)符合題目要求.全部選對(duì)得5分,不選或有錯(cuò)選得0分,其他得3分.

【答案】①②【解析】此題考察函數(shù)的應(yīng)用、圖象與性質(zhì).由題意可知,函數(shù)解析式為:,圖象如下圖.易知:當(dāng)點(diǎn)與的頂點(diǎn)重合,即時(shí),獲得最大值為12,故①正確;由解析式可知,,函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸方程為,故②正確;由圖象可知,的圖象與直線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)最多為6個(gè),即此時(shí)方程有6個(gè)實(shí)數(shù)根,故③不正確.綜上所述,所有正確結(jié)論的序號(hào)為①②.

三、解答題：共6小題,共85分。解容許寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。16. 〔本小題總分值14分〕如圖,在三棱柱中,平面,,,點(diǎn)為的中點(diǎn).〔Ⅰ〕求證:平面;〔Ⅱ〕求二面角的大小.【解析】〔Ⅰ〕因?yàn)槭侨庵?三棱柱側(cè)棱平行且相等,所以,,在中,,所以,所以是直角三角形,且,即,又因?yàn)槠矫?平面,所以,又因?yàn)槠矫?平面,,所以平面.〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得兩兩垂直,故以為原點(diǎn),分別以為軸,軸,軸,如圖建立空間直角坐標(biāo)系,,,,,,因?yàn)闉橹悬c(diǎn),所以,所以,,由〔Ⅰ〕可知平面一個(gè)法向量為,設(shè)平面的一個(gè)法向量,由,得令,得.設(shè)二面角為,由圖可知為銳角,那么,即二面角為.17. 〔本小題總分值14分〕函數(shù).〔Ⅰ〕求的值;〔Ⅱ〕從①;②這兩個(gè)條件中任選一個(gè),作為題目的條件,求函數(shù)在上的最小值,并直接寫(xiě)出函數(shù)的一個(gè)周期.注:假如選擇兩個(gè)條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.【解析】〔Ⅰ〕.〔Ⅱ〕選①時(shí),,因?yàn)?所以,所以當(dāng),即時(shí)函數(shù)有最小值,函數(shù)的一個(gè)周期.選②時(shí),,令,,因?yàn)?所以,因?yàn)榍液瘮?shù)開(kāi)口向下,所以當(dāng)時(shí)函數(shù)有最小值,即當(dāng)時(shí),函數(shù)有最小值,函數(shù)的一個(gè)周期.18. 〔本小題總分值14分〕科技創(chuàng)新才能是決定綜合國(guó)力和國(guó)際競(jìng)爭(zhēng)力的關(guān)鍵因素,也是推動(dòng)經(jīng)濟(jì)實(shí)現(xiàn)高質(zhì)量開(kāi)展的重要支撐,而研發(fā)投入是科技創(chuàng)新的根本保障.以下圖是某公司從2020年到2019年這10年研發(fā)投入的數(shù)據(jù)分布圖:其中折線圖是該公司研發(fā)投入占當(dāng)年總營(yíng)收的百分比,條形圖是當(dāng)年研發(fā)投入的數(shù)值〔單位:十億元〕.〔Ⅰ〕從2020年至2019年中隨機(jī)選取一年,求該年研發(fā)投入占當(dāng)年總營(yíng)收的百分比超過(guò)的概率;〔Ⅱ〕從2020年至2019年中隨機(jī)選取兩個(gè)年份,設(shè)表示其中研發(fā)投入超過(guò)500億元的年份的個(gè)數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望;〔Ⅲ〕根據(jù)圖中的信息,結(jié)合統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí),判斷該公司在開(kāi)展的過(guò)程中是否比擬重視研發(fā),并說(shuō)明理由.【解析】〔Ⅰ〕設(shè)“該年研發(fā)投入占當(dāng)年總營(yíng)收的百分比超過(guò)〞為事件,從2020年到2019年共有10年,其中研發(fā)投入占當(dāng)年總營(yíng)收的百分比超過(guò)的有9年,所以.〔Ⅱ〕低于500億的年份是2020、2020、2021、2021、2021共5年,超過(guò)500億的年份是2021、2016、2017、2018、2019共5年.的所有可能的取值為:0,1,2;;所以的分布列為:012〔Ⅲ〕該公司在開(kāi)展的過(guò)程中比擬重視研發(fā),原因是:總體看從2020年到2019年研發(fā)投入從180億到980億,研發(fā)投入占比從,均呈上漲趨勢(shì),且研發(fā)投入占比平均數(shù)為,判斷該公司在開(kāi)展過(guò)程中比擬重視研發(fā).

19. 〔本小題總分值15分〕函數(shù).〔Ⅰ〕當(dāng)時(shí),①曲線在點(diǎn)處的切線方程;②求函數(shù)的最小值;〔Ⅱ〕求證:當(dāng)時(shí),曲線與有且只有一個(gè)交點(diǎn).【解析】〔Ⅰ〕①由題意,得當(dāng)時(shí),,那么,所以在處的切線方程為②由①知:隨著變化,與的變化情況如下表所示:0↘極小值↗所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.所以的最小值為.

〔Ⅱ〕當(dāng)時(shí),令,由②知:當(dāng)時(shí),,即:所以在上單調(diào)遞增,所以,使得由在上單調(diào)遞增可知:在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)即:與有且只有一個(gè)交點(diǎn).20. 〔本小題總分值14分〕橢圓的離心率為,,的面積為.〔Ⅰ〕求橢圓的方程;〔Ⅱ〕設(shè)是橢圓上一點(diǎn),且不與頂點(diǎn)重合,假設(shè)直線與直線交于點(diǎn),直線與直線交于點(diǎn).求證:為等腰三角形.

【解析】〔Ⅰ〕由題知,所以橢圓的方程為.〔Ⅱ〕設(shè)且滿足,所以的直線方程為,,所以直線的直線方程為,聯(lián)立兩條直線方程,得到因?yàn)橹本€與直線交于點(diǎn),所以,所以的直線方程為,,所以直線的直線方程為,聯(lián)立兩條直線方程,得到因?yàn)橹本€與直線交于點(diǎn),所以所以,直線的斜率不存在,所以直線垂直軸.因此可以得到的中點(diǎn)縱坐標(biāo)為與點(diǎn)縱坐標(biāo)一樣,所以對(duì)于以為底的來(lái)說(shuō),中線的斜率為,所以中線與底垂直,所以是等腰三角形.21. 〔本小題總分值14分〕數(shù)列是由正整數(shù)組成的無(wú)窮數(shù)列.假設(shè)存在常數(shù),使得對(duì)任意的成立,那么稱數(shù)列具有性質(zhì).〔Ⅰ〕分別判斷以下數(shù)列是否具有性質(zhì);〔直接寫(xiě)出結(jié)論〕①; ②.〔Ⅱ〕假設(shè)數(shù)列滿足,求證:“數(shù)列具有性質(zhì)〞是“數(shù)列為常數(shù)列〞的充分必要條件;〔Ⅲ〕數(shù)列中,,且.假設(shè)數(shù)列具有性質(zhì),求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【解析】〔Ⅰ〕①具有,②不具有.〔Ⅱ〕必要條件:假設(shè)為常數(shù)列,即,所以成立.充分條件:當(dāng)時(shí),,所以.假設(shè)存在,使,假設(shè)為奇數(shù),那么,所以,矛盾;假設(shè)為偶數(shù),那么,所以,矛盾.所以,并且,所以,都有,即為常數(shù)列.所以“數(shù)列具有性質(zhì)〞是“數(shù)列為常數(shù)列〞的充分必要條件.〔Ⅲ〕由題意,易知,且,假設(shè),那么,,矛盾;假設(shè),那么