《2.3.3 點(diǎn)到直線的距離公式》教案、導(dǎo)學(xué)案、同步練習(xí)

《2.3.3點(diǎn)到直線的距離公式》教案【教材分析】本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)》第二章《直線和圓的方程》，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)點(diǎn)到直線的距離公式。在前面已經(jīng)研究了兩點(diǎn)間的距離公式、直線方程、兩直線的位置關(guān)系，同時(shí)也介紹了“以數(shù)論形，以形輔數(shù)”的數(shù)學(xué)思想方法．“點(diǎn)到直線的距離”是從初中平面幾何的定性作圖，過渡到了解析幾何的定量計(jì)算；《點(diǎn)到直線的距離》的研究，又為以后直線與圓的位置關(guān)系和圓錐曲線的進(jìn)一步學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)，具有承前啟后的重要作用．【教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A.會(huì)用向量工具推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式.B.掌握點(diǎn)到直線的距離公式,能應(yīng)用點(diǎn)到直線距離公式解決有關(guān)距離問題.C.通過點(diǎn)到直線的距離公式的探索和推導(dǎo)過程，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法解決問題的能力1.數(shù)學(xué)抽象：點(diǎn)到直線的距離公式2.邏輯推理：點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：點(diǎn)到直線的距離公式的運(yùn)用4.直觀想象：幾何中的距離問題【教學(xué)重點(diǎn)】：點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)思路分析；點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用．【教學(xué)難點(diǎn)】：點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)不同方法的思路分析．【教學(xué)過程】教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖一、情境導(dǎo)學(xué)在公路附近有一家鄉(xiāng)村飯館,現(xiàn)在需要鋪設(shè)一條連接飯館和公路的道路.請(qǐng)同學(xué)們幫助設(shè)計(jì)一下：在理論上怎樣鋪路可以使這條連接道路的長(zhǎng)度最短?二、探究新知思考：最容易想到的方法是什么？思路①.定義法,其步驟為：①求l的垂線lPQ的方程；②解方程組；③得交點(diǎn)Q的坐標(biāo)；④求|PQ|的長(zhǎng)反思：這種解法的優(yōu)缺點(diǎn)是什么？我們知道，向量是解決距離、角度問題的有力工具。能否用向量方法求點(diǎn)到直線的距離？如圖，點(diǎn)P到直線l的距離，就是向量PQ的模，設(shè)M(x,y)是直線l上的任意一點(diǎn)，n是與直線l的方向向量垂直的單位向量，則PQ是PM在上n的投影向量,PQ=PM?思考：如何利用直線l的方程得到與的方向向量垂直的單位向量n

設(shè)P1x1,y1,P2（x2,y2）直線l：Ax+By+C=0

上的任意兩點(diǎn)，則P1P2=(x從而PM?n=(x-x0,y

-y因?yàn)辄c(diǎn)M(x,y)在直線l上所以Ax+By+C=0代入上式，得PM?n=1因此PQ=PM思考：比較上述兩種方法，第一種方法從定義出發(fā)，把問題轉(zhuǎn)化為求兩點(diǎn)間的距離，通過代數(shù)運(yùn)算得到結(jié)果，思路自然；第二種方法利用向量投影，通過向量運(yùn)算求出結(jié)果，簡(jiǎn)化了運(yùn)算，除了上述兩種方法，你還有其他推導(dǎo)方法嗎？1.點(diǎn)到直線的距離(1)定義:平面內(nèi)點(diǎn)到直線的距離,等于過這個(gè)點(diǎn)作直線的垂線所得垂線段的長(zhǎng)度.(2)圖示:(3)公式:d=|A點(diǎn)睛：(1)運(yùn)用此公式時(shí)要注意直線方程必須是一般式,若給出其他形式,應(yīng)先化成一般式再用公式.(2)當(dāng)點(diǎn)P0在直線l上時(shí),點(diǎn)到直線的距離為零,公式仍然適用.1.判斷對(duì)錯(cuò)：點(diǎn)P(x0,y0)到直線y=kx+b的距離為|kx0+b答案:×2.點(diǎn)(1,-1)到直線x-y+1=0的距離是()A.12B.32C.32答案:C解析:由點(diǎn)到直線的距離公式可得|13.你能說出代數(shù)式|3提示:該代數(shù)式可表示平面內(nèi)點(diǎn)(a,b)到直線3x+y+1=0的距離.三、典例解析例1、求點(diǎn)P(3，－2)到下列直線的距離：(1)y＝eq\f(3,4)x＋eq\f(1,4)；(2)y＝6；(3)x＝4.[解](1)直線y＝eq\f(3,4)x＋eq\f(1,4)化為一般式為3x－4y＋1＝0，由點(diǎn)到直線的距離公式可得d＝eq\f(|3×3－4×－2＋1|,\r(32＋－42))＝eq\f(18,5).(2)因?yàn)橹本€y＝6與y軸垂直，所以點(diǎn)P到它的距離d＝|－2－6|＝8.(3)因?yàn)橹本€x＝4與x軸垂直，所以點(diǎn)P到它的距離d＝|3－4|＝1.應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式應(yīng)注意的三個(gè)問題(1)直線方程應(yīng)為一般式，若給出其他形式應(yīng)化為一般式．(2)點(diǎn)P在直線l上時(shí)，點(diǎn)到直線的距離為0，公式仍然適用．(3)直線方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0公式也成立，但由于直線是特殊直線(與坐標(biāo)軸垂直)，故也可用數(shù)形結(jié)合求解．跟蹤訓(xùn)練1已知直線l經(jīng)過點(diǎn)M(-1,2),且A(2,3),B(-4,5)兩點(diǎn)到直線l的距離相等,求直線l的方程.解:(方法一)當(dāng)過點(diǎn)M(-1,2)的直線l的斜率不存在時(shí),直線l的方程為x=-1,恰好A(2,3),B(-4,5)兩點(diǎn)到直線l的距離相等,故x=-1滿足題意;當(dāng)過點(diǎn)M(-1,2)的直線l的斜率存在時(shí),設(shè)l的方程為y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0,由A(2,3)與B(-4,5)兩點(diǎn)到直線l的距離相等,得即x+3y-5=0.綜上所述,直線l的方程為x=-1或x+3y-5=0.|2k-3+此時(shí)l的方程為y-2=-13(x+1(方法二)由題意得l∥AB或l過AB的中點(diǎn).當(dāng)l∥AB時(shí),設(shè)直線AB的斜率為kAB,即x+3y-5=0.當(dāng)l過AB的中點(diǎn)(-1,4)時(shí),直線l的方程為x=-1.綜上所述,直線l的方程為x=-1或x+3y-5=0.直線l的斜率為kl,則kAB=kl=5-3-此時(shí)直線l的方程為y-2=-13(x+1點(diǎn)睛：用待定系數(shù)法求直線方程時(shí),首先考慮斜率不存在是否滿足題意.延伸探究若將本題改為“已知直線l經(jīng)過點(diǎn)M(-1,2),點(diǎn)A(2,3),B(-4,5)在l的同側(cè)且到該直線l的距離相等”,則所求l的方程為.

解析:將本例(2)中的x=-1這一情況舍去即可,也就是要舍去兩點(diǎn)在直線l異側(cè)的情況.答案:x+3y-5=0易錯(cuò)點(diǎn)——因?qū)π甭实那闆r考慮不全面而致錯(cuò)案例求經(jīng)過點(diǎn)P(-3,5),且與原點(diǎn)距離等于3的直線l的方程.所以原點(diǎn)到該直線的距離d=|3k+5所以15k+8=0.所以k=-815故直線l的方程為-815x-y+3×-815+錯(cuò)解:設(shè)所求直線方程為y-5=k(x+3),整理,得kx-y+3k+5=0.錯(cuò)因分析本題出錯(cuò)的根本原因在于思維不嚴(yán)密,求直線的方程時(shí)直接設(shè)為點(diǎn)斜式,沒有考慮斜率不存在的情況.正解:當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)所求直線方程為y-5=k(x+3),整理,得kx-y+3k+5=0.即8x+15y-51=0.當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),直線方程為x=-3也滿足題意.故滿足題意的直線l的方程為8x+15y-51=0或x=-3.所以原點(diǎn)到該直線的距離d=|3k+5所以15k+8=0.所以k=-815故所求直線方程為y-5=-815(x+3點(diǎn)睛:在根據(jù)距離確定直線方程時(shí),易忽略直線斜率不存在的情況,避免這種錯(cuò)誤的方法是當(dāng)用點(diǎn)斜式或斜截式表示直線方程時(shí),應(yīng)首先考慮斜率不存在的情況是否符合題設(shè)條件,然后再求解.通過生活中點(diǎn)到直線距離的問題情境，引出在坐標(biāo)系下探究點(diǎn)到直線距離公式的問題，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)聯(lián)系舊知，制定解決問題的策略，最終探索出點(diǎn)到直線的距離公式，讓學(xué)生感悟運(yùn)用坐標(biāo)法研究幾何問題的方法。通過不同方法推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式，體會(huì)算法的多樣性，同時(shí)比較不同推導(dǎo)方法，比較算法的優(yōu)劣，優(yōu)化思維品質(zhì)，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。在典例分析和練習(xí)中熟悉公式的基本結(jié)構(gòu)，并體會(huì)點(diǎn)到直線距離公式的初步應(yīng)用。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)1.點(diǎn)(1,-1)到直線y=1的距離是()A.2 B.22 C.3解析:d=|-1-1答案:D2.已知點(diǎn)A(-3,-4),B(6,3)到直線l:ax+y+1=0的距離相等,則實(shí)數(shù)a的值等于()A.79 B.-C.-79或-13解析:由點(diǎn)到直線的距離公式可得|-3a-4+1|a2+1=|6a+3+1|a2+1,化簡(jiǎn)得|答案:C3.直線3x-4y-27=0上到點(diǎn)P(2,1)距離最近的點(diǎn)的坐標(biāo)是.

解析:由題意知過點(diǎn)P作直線3x-4y-27=0的垂線,設(shè)垂足為M,則|MP|最小,直線MP的方程為y-1=-43(x-解方程組3∴所求點(diǎn)的坐標(biāo)為(5,-3).答案:(5,-3)4.已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)A(－1,3)，B(－3,0)，C(1,2)，求△ABC的面積S.【解析】由直線方程的兩點(diǎn)式得直線BC的方程為＝，即x－2y＋3＝0，由兩點(diǎn)間距離公式得|BC|＝，點(diǎn)A到BC的距離為d，即為BC邊上的高，d＝，所以S＝|BC|·d＝×2×＝4，即△ABC的面積為4.5.已知直線l經(jīng)過點(diǎn)P(0,2),且A(1,1),B(-3,1)兩點(diǎn)到直線l的距離相等,求直線l的方程.解:(方法一)∵點(diǎn)A(1,1)與B(-3,1)到y(tǒng)軸的距離不相等,∴直線l的斜率存在,設(shè)為k.又直線l在y軸上的截距為2,則直線l的方程為y=kx+2,即kx-y+2=0.由點(diǎn)A(1,1)與B(-3,1)到直線l的距離相等,∴直線l的方程是y=2或x-y+2=0.得|k-1+2|k2(方法二)當(dāng)直線l過線段AB的中點(diǎn)時(shí),A,B兩點(diǎn)到直線l的距離相等.∵AB的中點(diǎn)是(-1,1),又直線l過點(diǎn)P(0,2),∴直線l的方程是x-y+2=0.當(dāng)直線l∥AB時(shí),A,B兩點(diǎn)到直線l的距離相等.∵直線AB的斜率為0,∴直線l的斜率為0,∴直線l的方程為y=2.綜上所述,滿足條件的直線l的方程是x-y+2=0或y=2.通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過學(xué)生解決問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。四、小結(jié)1.點(diǎn)到直線的距離即是點(diǎn)與直線上點(diǎn)連線的距離的最小值，利用點(diǎn)到直線的距離公式，解題時(shí)要注意把直線方程化為一般式.2.利用點(diǎn)到直線的距離公式可求直線的方程，有時(shí)需結(jié)合圖形，數(shù)形結(jié)合，使問題更清晰.通過總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力?！窘虒W(xué)反思】點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo)，注意利用解析法推導(dǎo)公式時(shí)，由于字母較多，用運(yùn)算量大，在具體的運(yùn)算過程中學(xué)生容易產(chǎn)生畏難情緒，半途而廢；采取課前預(yù)習(xí)，小組討論，學(xué)生展示等手段加以突破．對(duì)于幾何法中的構(gòu)造直角三角形學(xué)生感到比較困難；采取利用復(fù)習(xí)兩點(diǎn)間距離公式的推導(dǎo)復(fù)習(xí)，利用類比教學(xué)法加以突破；對(duì)于幾向量法學(xué)生不容易想到，采取啟導(dǎo)法，小組討論法，讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)“設(shè)點(diǎn)不求點(diǎn)”的解題思路．《2.3.3點(diǎn)到直線的距離公式》導(dǎo)學(xué)案【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.會(huì)用向量工具推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式.2.掌握點(diǎn)到直線的距離公式,能應(yīng)用點(diǎn)到直線距離公式解決有關(guān)距離問題.3.通過點(diǎn)到直線的距離公式的探索和推導(dǎo)過程，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法解決問題的能力【重點(diǎn)和難點(diǎn)】重點(diǎn)：點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)思路分析；點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用．難點(diǎn)：點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)不同方法的思路分析．【知識(shí)梳理】一、自主導(dǎo)學(xué)1.點(diǎn)到直線的距離(1)定義:平面內(nèi)點(diǎn)到直線的距離,等于過這個(gè)點(diǎn)作直線的垂線所得垂線段的長(zhǎng)度.(2)圖示:(3)公式:d=|A點(diǎn)睛：(1)運(yùn)用此公式時(shí)要注意直線方程必須是一般式,若給出其他形式,應(yīng)先化成一般式再用公式.(2)當(dāng)點(diǎn)P0在直線l上時(shí),點(diǎn)到直線的距離為零,公式仍然適用.二、小試牛刀1.判斷對(duì)錯(cuò)：點(diǎn)P(x0,y0)到直線y=kx+b的距離為|kx0+b2.點(diǎn)(1,-1)到直線x-y+1=0的距離是()A.12B.32C.323.你能說出代數(shù)式|3【學(xué)習(xí)過程】一、情境導(dǎo)學(xué)在公路附近有一家鄉(xiāng)村飯館,現(xiàn)在需要鋪設(shè)一條連接飯館和公路的道路.請(qǐng)同學(xué)們幫助設(shè)計(jì)一下：在理論上怎樣鋪路可以使這條連接道路的長(zhǎng)度最短?思考1：最容易想到的方法是什么？反思：這種解法的優(yōu)缺點(diǎn)是什么？我們知道，向量是解決距離、角度問題的有力工具。能否用向量方法求點(diǎn)到直線的距離？如圖，點(diǎn)P到直線l的距離，就是向量PQ的模，設(shè)M(x,y)是直線l上的任意一點(diǎn)，n是與直線l的方向向量垂直的單位向量，則PQ是PM在上n的投影向量,PQ=PM?思考2：如何利用直線l的方程得到與的方向向量垂直的單位向量n

思考3：比較上述兩種方法，第一種方法從定義出發(fā)，把問題轉(zhuǎn)化為求兩點(diǎn)間的距離，通過代數(shù)運(yùn)算得到結(jié)果，思路自然；第二種方法利用向量投影，通過向量運(yùn)算求出結(jié)果，簡(jiǎn)化了運(yùn)算，除了上述兩種方法，你還有其他推導(dǎo)方法嗎？二、典例解析例1、求點(diǎn)P(3，－2)到下列直線的距離：(1)y＝eq\f(3,4)x＋eq\f(1,4)；(2)y＝6；(3)x＝4.應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式應(yīng)注意的三個(gè)問題(1)直線方程應(yīng)為一般式，若給出其他形式應(yīng)化為一般式．(2)點(diǎn)P在直線l上時(shí)，點(diǎn)到直線的距離為0，公式仍然適用．(3)直線方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0公式也成立，但由于直線是特殊直線(與坐標(biāo)軸垂直)，故也可用數(shù)形結(jié)合求解．跟蹤訓(xùn)練1已知直線l經(jīng)過點(diǎn)M(-1,2),且A(2,3),B(-4,5)兩點(diǎn)到直線l的距離相等,求直線l的方程.點(diǎn)睛：用待定系數(shù)法求直線方程時(shí),首先考慮斜率不存在是否滿足題意.延伸探究若將本題改為“已知直線l經(jīng)過點(diǎn)M(-1,2),點(diǎn)A(2,3),B(-4,5)在l的同側(cè)且到該直線l的距離相等”,則所求l的方程為.

易錯(cuò)點(diǎn)——因?qū)π甭实那闆r考慮不全面而致錯(cuò)案例求經(jīng)過點(diǎn)P(-3,5),且與原點(diǎn)距離等于3的直線l的方程.點(diǎn)睛:在根據(jù)距離確定直線方程時(shí),易忽略直線斜率不存在的情況,避免這種錯(cuò)誤的方法是當(dāng)用點(diǎn)斜式或斜截式表示直線方程時(shí),應(yīng)首先考慮斜率不存在的情況是否符合題設(shè)條件,然后再求解.【達(dá)標(biāo)檢測(cè)】1.點(diǎn)(1,-1)到直線y=1的距離是()A.2 B.22 C.32.已知點(diǎn)A(-3,-4),B(6,3)到直線l:ax+y+1=0的距離相等,則實(shí)數(shù)a的值等于()A.79 B.-C.-79或-133.直線3x-4y-27=0上到點(diǎn)P(2,1)距離最近的點(diǎn)的坐標(biāo)是.

4.已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)A(－1,3)，B(－3,0)，C(1,2)，求△ABC的面積S.5.已知直線l經(jīng)過點(diǎn)P(0,2),且A(1,1),B(-3,1)兩點(diǎn)到直線l的距離相等,求直線l的方程.【課堂小結(jié)】1.點(diǎn)到直線的距離即是點(diǎn)與直線上點(diǎn)連線的距離的最小值，利用點(diǎn)到直線的距離公式，解題時(shí)要注意把直線方程化為一般式.2.利用點(diǎn)到直線的距離公式可求直線的方程，有時(shí)需結(jié)合圖形，數(shù)形結(jié)合，使問題更清晰.【參考答案】知識(shí)梳理二、小試牛刀1.答案:×2.答案:C解析:由點(diǎn)到直線的距離公式可得|13.提示:該代數(shù)式可表示平面內(nèi)點(diǎn)(a,b)到直線3x+y+1=0的距離.學(xué)習(xí)過程思考1：思路①.定義法,其步驟為：①求l的垂線lPQ的方程②解方程組，③得交點(diǎn)Q的坐標(biāo)④求|PQ|的長(zhǎng)思考2：設(shè)P1x1,y1,P2（x2,y2）直線l：Ax+By+C=0

上的任意兩點(diǎn)，則P1P2=(x從而PM?n=(x-x0,y

-y因?yàn)辄c(diǎn)M(x,y)在直線l上所以Ax+By+C=0代入上式，得PM?n=1因此PQ=PM二、典例解析例1、[解](1)直線y＝eq\f(3,4)x＋eq\f(1,4)化為一般式為3x－4y＋1＝0，由點(diǎn)到直線的距離公式可得d＝eq\f(|3×3－4×－2＋1|,\r(32＋－42))＝eq\f(18,5).(2因?yàn)橹本€y＝6與y軸垂直，所以點(diǎn)P到它的距離d＝|－2－6|＝8.(3)因?yàn)橹本€x＝4與x軸垂直，所以點(diǎn)P到它的距離d＝|3－4|＝1.跟蹤訓(xùn)練1解:(方法一)當(dāng)過點(diǎn)M(-1,2)的直線l的斜率不存在時(shí),直線l的方程為x=-1,恰好A(2,3),B(-4,5)兩點(diǎn)到直線l的距離相等,故x=-1滿足題意;當(dāng)過點(diǎn)M(-1,2)的直線l的斜率存在時(shí),設(shè)l的方程為y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0,由A(2,3)與B(-4,5)兩點(diǎn)到直線l的距離相等,得即x+3y-5=0.綜上所述,直線l的方程為x=-1或x+3y-5=0.|2k-3+此時(shí)l的方程為y-2=-13(x+1(方法二)由題意得l∥AB或l過AB的中點(diǎn).當(dāng)l∥AB時(shí),設(shè)直線AB的斜率為kAB,即x+3y-5=0.當(dāng)l過AB的中點(diǎn)(-1,4)時(shí),直線l的方程為x=-1.綜上所述,直線l的方程為x=-1或x+3y-5=0.直線l的斜率為kl,則kAB=kl=5-3-此時(shí)直線l的方程為y-2=-13(x+1延伸探究解析:將本例(2)中的x=-1這一情況舍去即可,也就是要舍去兩點(diǎn)在直線l異側(cè)的情況.答案:x+3y-5=0案例所以原點(diǎn)到該直線的距離d=|3k+5所以15k+8=0.所以k=-815故直線l的方程為-815x-y+3×-815+錯(cuò)解:設(shè)所求直線方程為y-5=k(x+3),整理,得kx-y+3k+5=0.錯(cuò)因分析本題出錯(cuò)的根本原因在于思維不嚴(yán)密,求直線的方程時(shí)直接設(shè)為點(diǎn)斜式,沒有考慮斜率不存在的情況.正解:當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)所求直線方程為y-5=k(x+3),整理,得kx-y+3k+5=0.即8x+15y-51=0.當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),直線方程為x=-3也滿足題意.故滿足題意的直線l的方程為8x+15y-51=0或x=-3.所以原點(diǎn)到該直線的距離d=|3k+5所以15k+8=0.所以k=-815故所求直線方程為y-5=-815(x+3達(dá)標(biāo)檢測(cè)1.解析:d=|-1-1|2.解析:由點(diǎn)到直線的距離公式可得|-3a-4+1|a2+1=|6解得實(shí)數(shù)a=-79或-13.答案:C3.解析:由題意知過點(diǎn)P作直線3x-4y-27=0的垂線,設(shè)垂足為M,則|MP|最小,直線MP的方程為y-1=-43(x-解方程組3∴所求點(diǎn)的坐標(biāo)為(5,-3).答案:(5,-3)4.【解析】由直線方程的兩點(diǎn)式得直線BC的方程為＝，即x－2y＋3＝0，由兩點(diǎn)間距離公式得|BC|＝，點(diǎn)A到BC的距離為d，即為BC邊上的高，d＝，所以S＝|BC|·d＝×2×＝4，即△ABC的面積為4.5.解:(方法一)∵點(diǎn)A(1,1)與B(-3,1)到y(tǒng)軸的距離不相等,∴直線l的斜率存在,設(shè)為k.又直線l在y軸上的截距為2,則直線l的方程為y=kx+2,即kx-y+2=0.由點(diǎn)A(1,1)與B(-3,1)到直線l的距離相等,∴直線l的方程是y=2或x-y+2=0.得|k-1+2|k2(方法二)當(dāng)直線l過線段AB的中點(diǎn)時(shí),A,B兩點(diǎn)到直線l的距離相等.∵AB的中點(diǎn)是(-1,1),又直線l過點(diǎn)P(0,2),∴直線l的方程是x-y+2=0.當(dāng)直線l∥AB時(shí),A,B兩點(diǎn)到直線l的距離相等.∵直線AB的斜率為0,∴直線l的斜率為0,∴直線l的方程為y=2.綜上所述,滿足條件的直線l的方程是x-y+2=0或y=2.《2.3.3點(diǎn)到直線的距離公式-基礎(chǔ)練》同步練習(xí)一、選擇題1．原點(diǎn)到直線的距離為（）A． B． C． D．2．已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(2,6)、B(－4,3)、C(2，－3)，則點(diǎn)A到BC邊的距離為()A． B． C． D．43．動(dòng)點(diǎn)P在直線x+y-4=0上，O為原點(diǎn)，則|OP|的最小值為（）A． B． C． D．24．過點(diǎn)（1，3）且與原點(diǎn)相距為1的直線共有（）.A．0條 B．1條 C．2條 D．3條5．（多選題）已知直線，則下列結(jié)論正確的是（）A．直線的傾斜角是 B．若直線則C．點(diǎn)到直線的距離是 D．過與直線平行的直線方程是6．（多選題）已知直線過點(diǎn)且與點(diǎn)，等距離，則直線的方程可以是（）A． B．C． D．二、填空題7．直線的傾斜角為______；點(diǎn)到直線的距離為______.8.若點(diǎn)(2，k)到直線5x-12y+6=0的距離是4，則k的值為______.9．已知中，點(diǎn)，，.則的面積為________.10．過點(diǎn)且與點(diǎn)、距離相等的直線方程是________.三、解答題11．已知點(diǎn)、，點(diǎn)在直線上，并且使的面積等于21，求點(diǎn)的坐標(biāo).12．已知直線l經(jīng)過直線2x＋y－5＝0與x－2y＝0的交點(diǎn)．(1)點(diǎn)A(5,0)到l的距離為3，求l的方程；(2)求點(diǎn)A(5,0)到l的距離的最大值．《2.3.3點(diǎn)到直線的距離公式-基礎(chǔ)練》同步練習(xí)答案解析一、選擇題1．原點(diǎn)到直線的距離為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由點(diǎn)到直線距離可知所求距離.故選：.2．已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(2,6)、B(－4,3)、C(2，－3)，則點(diǎn)A到BC邊的距離為()A． B． C． D．4【答案】B【解析】BC邊所在直線的方程為，即x＋y＋1＝0；則d＝.3．動(dòng)點(diǎn)P在直線x+y-4=0上，O為原點(diǎn)，則|OP|的最小值為（）A． B． C． D．2【答案】B【解析】由題|OP|的最小值即為，O點(diǎn)到直線的距離..4．過點(diǎn)（1，3）且與原點(diǎn)相距為1的直線共有（）.A．0條 B．1條 C．2條 D．3條【答案】C【解析】當(dāng)斜率不存在時(shí)，過點(diǎn)（1，3）的直線為，原點(diǎn)到直線的距離為1，滿足題意；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線的斜率為，則直線方程為，即，則原點(diǎn)到直線的距離，解得，即直線方程為，即滿足題意的直線有2條.故選：C5．（多選題）已知直線，則下列結(jié)論正確的是（）A．直線的傾斜角是 B．若直線則C．點(diǎn)到直線的距離是 D．過與直線平行的直線方程是【答案】CD【解析】對(duì)于A．直線的斜率k＝tanθ，故直線l的傾斜角是，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B．因?yàn)橹本€的斜率k′，kk′＝1≠﹣1，故直線l與直線m不垂直，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C．點(diǎn)到直線l的距離d2，故C正確；對(duì)于D．過與直線l平行的直線方程是y﹣2（x﹣2），整理得：，故D正確．綜上所述，正確的選項(xiàng)為CD．故選：CD．6．（多選題）已知直線過點(diǎn)且與點(diǎn)，等距離，則直線的方程可以是（）A． B．C． D．【答案】AB【解析】設(shè)所求直線的方程為，即，由已知及點(diǎn)到直線的距離公式可得，解得或，即所求直線方程為或.故選:AB.二、填空題7．直線的傾斜角為______；點(diǎn)到直線的距離為______.【答案】;1【解析】直線軸,直線傾斜角為點(diǎn)到直線的距離,故為：；8.若點(diǎn)(2，k)到直線5x-12y+6=0的距離是4，則k的值為______.【答案】k=-3或【解析】由題得，解方程即得k=-3或.9．已知中，點(diǎn)，，.則的面積為________.【答案】10【解析】由兩點(diǎn)式的直線BC的方程為＝，即為x+2y﹣8＝0，由點(diǎn)A到直線的距離公式得BC邊上的高d＝＝，BC兩點(diǎn)之間的距離為＝4，∴△ABC的面積為×4×＝10.10．過點(diǎn)且與點(diǎn)、距離相等的直線方程是________.【答案】或【解析】分以下兩種情況討論：①所求直線與直線平行，由于直線的斜率為，且所求直線過點(diǎn)，此時(shí)，所求直線的方程為，即；②所求直線過線段的中點(diǎn)，由于所求直線過點(diǎn)，此時(shí)，所求直線的方程為.綜上所述，所求直線方程為或.故答案為：或.三、解答題11．已知點(diǎn)、，點(diǎn)在直線上，并且使的面積等于21，求點(diǎn)的坐標(biāo).【解析】點(diǎn)在直線上，則可設(shè)點(diǎn).直線由兩點(diǎn)式可得，得，線段，則點(diǎn)到的距離為.∴三角形面積∴或∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或12．已知直線l經(jīng)過直線2x＋y－5＝0與x－2y＝0的交點(diǎn)．(1)點(diǎn)A(5,0)到l的距離為3，求l的方程；(2)求點(diǎn)A(5,0)到l的距離的最大值．【解析】解：(1)經(jīng)過兩已知直線交點(diǎn)的直線系方程為(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0．∴＝3．即2λ2－5λ＋2＝0，∴λ＝2或．∴l(xiāng)的方程為x＝2或4x－3y－5＝0．(2)由解得交點(diǎn)P(2,1)，如圖，過P作任一直線l，設(shè)d為點(diǎn)A到l的距離，則d≤|PA|(當(dāng)l⊥PA時(shí)等號(hào)成立)．∴dmax＝|PA|＝．《2.3.3點(diǎn)到直線的距離公式-提高練》同步練習(xí)一、選擇題1．點(diǎn)P(a，0)到直線3x+4y-6=0的距離大于3，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A．a(chǎn)>7 B．a(chǎn)<-3C．a(chǎn)>7或a<-3 D．a(chǎn)>7或-3<a<72．“C＝5”是“點(diǎn)(2，1)到直線3x＋4y＋C＝0的距離為3”的()A．充要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件3.點(diǎn)到直線：的距離最大時(shí)，與的值依次為()A．3，－3 B．5，2C．5，1 D．7，14．在平面內(nèi)，與軸、軸和直線的距離都相等的點(diǎn)共有（）．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)5．（多選題）下列說法中，正確的有（）A．直線y＝ax﹣3a+2（a∈R）必過定點(diǎn)（3，2）B．直線y＝3x﹣2在y軸上的截距為2C．直線xy+1＝0的傾斜角為30°D．點(diǎn)（5，﹣3）到直線x+2＝0的距離為76.（多選題）已知點(diǎn)A(－3，－4)，B(6,3)到直線l：ax＋y＋1＝0的距離相等，則實(shí)數(shù)a的值等于()A．B．C．D．二、填空題7．已知直線l：，則點(diǎn)到直線l的距離等于________；直線l關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱的直線方程為________．8．點(diǎn)到直線的距離等于________．9．若點(diǎn)在直線上，且到直線的距離為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_________10．若動(dòng)點(diǎn)，分別在直線和上移動(dòng)，則的中點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最小值為__________．三、解答題11．已知點(diǎn)，求：（1）過點(diǎn)與原點(diǎn)距離為2的直線的方程；（2）過點(diǎn)與原點(diǎn)距離最大的直線的方程，最大距離是多少？（3）是否存在過點(diǎn)與原點(diǎn)距離為6的直線？若存在，求出方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．12．直線，相交于點(diǎn)，其中.（1）求證：、分別過定點(diǎn)、，并求點(diǎn)、的坐標(biāo)；（2）求的面積；（3）問為何值時(shí)，最大？《2.3.3點(diǎn)到直線的距離公式-提高練》同步練習(xí)答案解析一、選擇題1．點(diǎn)P(a，0)到直線3x+4y-6=0的距離大于3，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A．a(chǎn)>7 B．a(chǎn)<-3C．a(chǎn)>7或a<-3 D．a(chǎn)>7或-3<a<7【答案】C【解析】根據(jù)題意，得>3，解得a>7或a<-3.2．“C＝5”是“點(diǎn)(2，1)到直線3x＋4y＋C＝0的距離為3”的()A．充要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由題意知點(diǎn)到直線的距離為等價(jià)于，解得或，所以“”是“點(diǎn)到直線的距離為”的充分不必要條件，故選B.3.點(diǎn)到直線：的距離最大時(shí)，與的值依次為()A．3，－3 B．5，2C．5，1 D．7，1【答案】C【解析】直線，即，直線是過直線和交點(diǎn)的直線系方程，由，得，可得直線經(jīng)過定點(diǎn)，當(dāng)直線與垂直時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最大，的最大值為，此時(shí)軸，可得直線斜率不存在，即.故選：C.4．在平面內(nèi)，與軸、軸和直線的距離都相等的點(diǎn)共有（）．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【解析】設(shè)滿足題意得點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，b），∵點(diǎn)到x軸、y軸的距離相等，∴a2＝b2，∴a＝b或者a＝﹣b；由點(diǎn)到直線的距離公式可