《1.3 空間向量及其坐標(biāo)的運(yùn)算》考點(diǎn)復(fù)習(xí)與同步訓(xùn)練（含答案解析）

《1.3空間向量及其坐標(biāo)的運(yùn)算》考點(diǎn)復(fù)習(xí)【思維導(dǎo)圖】【常見(jiàn)考點(diǎn)】考點(diǎn)一坐標(biāo)的運(yùn)算【例1】（1）設(shè)，向量，，則（）A． B． C．3 D．4（2）已知空間向量，，則向量與（）的夾角為（）A． B．或 C． D．或【一隅三反】1．下列向量中與向量平行的向量是（）A． B．C． D．2．已知向量，，若，則k的值等于（）A．1 B． C． D．3．在空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz中,點(diǎn)A（2,﹣1,3）關(guān)于yOz平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是()A．（2,1,3）B．（﹣2,﹣1,3）C．（2,1,﹣3）D．（2,﹣1,﹣3）4．已知.（1）若，分別求λ與m的值；（2）若，且與垂直，求.考點(diǎn)二坐標(biāo)運(yùn)算在幾何中的運(yùn)用【例2】如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M，N分別是AA1，CB1的中點(diǎn).（1）求BM，BN的長(zhǎng).（2）求△BMN的面積.【一隅三反】1．如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有直三棱柱，，，則直線與直線夾角的余弦值為（）.A． B． C． D．2．在直三棱柱ABO-A1B1O1中，∠AOB＝，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D為A1B1的中點(diǎn)，在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，求的坐標(biāo)．考點(diǎn)三最值問(wèn)題【例3】已知點(diǎn)，，則，兩點(diǎn)的距離的最小值為（） B． C． D．【一隅三反】1．已知，，，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．2．已知點(diǎn)，，，，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_______________．《1.3空間向量及其坐標(biāo)的運(yùn)算》考點(diǎn)復(fù)習(xí)答案解析考點(diǎn)一坐標(biāo)的運(yùn)算【例1】（1）設(shè)，向量，，則（）A． B． C．3 D．4（2）已知空間向量，，則向量與（）的夾角為（）A． B．或 C． D．或【答案】（1）C（2）B【解析】，，，故選：C.（2）解得，代入得，又向量夾角范圍：故的夾角為，則與的夾角，當(dāng)時(shí)為；時(shí)為.故選：B.【一隅三反】1．下列向量中與向量平行的向量是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，又，所以A、C、D選項(xiàng)均不符合的形式，只有滿足.故選：B.2．已知向量，，若，則k的值等于（）A．1 B． C． D．【答案】D【解析】由已知得=，2，且，所以得，即2k+8k=2，解得k=.故選：D3．在空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz中,點(diǎn)A（2,﹣1,3）關(guān)于yOz平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是()A．（2,1,3） B．（﹣2,﹣1,3）C．（2,1,﹣3） D．（2,﹣1,﹣3）【答案】B【解析】在空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz中,點(diǎn)A（2,﹣1,3）關(guān)于yOz平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣2,﹣1,3）.故選：B.4．已知.（1）若，分別求λ與m的值；（2）若，且與垂直，求.【答案】（1）λ=，m=3；（2）.【解析】（1）由，得，解得（2），且化簡(jiǎn)得，解得.因此考點(diǎn)二坐標(biāo)運(yùn)算在幾何中的運(yùn)用【例2】如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M，N分別是AA1，CB1的中點(diǎn).（1）求BM，BN的長(zhǎng).（2）求△BMN的面積.【答案】（1）BM的長(zhǎng)為，BN的長(zhǎng)為；（2）.【解析】以C為原點(diǎn)，以CA，CB，CC1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖).則B(0，1，0)，M(1，0，1)，N.（1），.故BM的長(zhǎng)為，BN的長(zhǎng)為.（2）故.即△BMN的面積為.【一隅三反】1．如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有直三棱柱，，，則直線與直線夾角的余弦值為（）.A． B． C． D．【答案】A【解析】，，設(shè)，根據(jù)題意得，,,,.,,.故選：A.2．在直三棱柱ABO-A1B1O1中，∠AOB＝，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D為A1B1的中點(diǎn)，在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，求的坐標(biāo)．【答案】【解析】∵＝－(＋)＝＝－－－又||＝||＝4，||＝4，||＝2，∴＝－－－∵＝－＝－(＋)＝－－.又||＝2，||＝4，||＝4，∴＝－－(－4,2，－4)．考點(diǎn)三最值問(wèn)題【例3】已知點(diǎn)，，則，兩點(diǎn)的距離的最小值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)辄c(diǎn)，所以由兩點(diǎn)之間的距離公式求得AB之間的距離用t表示出來(lái)，建立關(guān)于t的函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值有二次函數(shù)易知，當(dāng)時(shí)，取得最小值為由兩點(diǎn)之間的距離公式求得AB之間的距離用t表示出來(lái)，建立關(guān)于t的函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值【一隅三反】1．已知，，，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，則，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，所以，所以，即，，所以，所以所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：B2．已知點(diǎn)，，，，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)______________．【答案】《1.3空間向量及其坐標(biāo)的運(yùn)算》同步練習(xí)【題組一空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算】1．已知點(diǎn)，向量，則點(diǎn)坐標(biāo)是（）A． B． C． D．2．設(shè)點(diǎn)．若，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．3．若，，，則的值為（）A． B．5 C．7 D．364．若直線的方向向量為，平面的法向量為，則可能使的是（）A．， B．，C．， D．，5．對(duì)于任意非零向量，，以下說(shuō)法錯(cuò)誤的有()A．若，則B．若，則C．D．若，則為單位向量6已知點(diǎn)P是△ABC所在的平面外一點(diǎn)，若＝(﹣2，1，4)，＝(1，﹣2，1)，＝(4，2，0)，則（）A．AP⊥AB B．AP⊥

BP C．BC＝ D．AP//

BC7已知向量.（1）計(jì)算和.（2）求.8．已知空間三點(diǎn)，設(shè).（1）的夾角的余弦值；（2）若向量互相垂直，求實(shí)數(shù)的值；（3）若向量共線，求實(shí)數(shù)的值.【題組二坐標(biāo)運(yùn)算在幾何中的運(yùn)用】1．棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是DD1，BD，BB1的中點(diǎn).（1）求證：EF⊥CF；（2）求與所成角的余弦值；（3）求CE的長(zhǎng).2．棱長(zhǎng)為1的正方體中，，，分別是，，的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）求與所成角的余弦值；（3）求的長(zhǎng)．3．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為A1D1，BB1的中點(diǎn)，則____，EF=____.

4．如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為D1C1，B1C1的中點(diǎn)，若以為基底，則向量的坐標(biāo)為_(kāi)__，向量的坐標(biāo)為_(kāi)__，向量的坐標(biāo)為_(kāi)__.

【題組三最值問(wèn)題】1．在平面內(nèi)的直線上求一點(diǎn)，使點(diǎn)到點(diǎn)的距離最小，并求出此最小值．2．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=2，點(diǎn)G與E分別是A1B1和CC1的中點(diǎn)，點(diǎn)D與F分別是AC和AB上的動(dòng)點(diǎn)．若GD⊥EF，則線段DF長(zhǎng)度的最小值為_(kāi)_____________.

《1.3空間向量及其坐標(biāo)的運(yùn)算》同步練習(xí)答案解析【題組一空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算】1．已知點(diǎn)，向量，則點(diǎn)坐標(biāo)是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)點(diǎn)，則向量，所以，所以點(diǎn).故選：D2．設(shè)點(diǎn)．若，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為，則，∵，∴，解得，故選：C．3．若，，，則的值為（）A． B．5 C．7 D．36【答案】B【解析】，.故選：B4．若直線的方向向量為，平面的法向量為，則可能使的是（）A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】A中，所以排除A；B中，所以排除B；C中，所以排除C；D中，所以，能使.故選D5．（對(duì)于任意非零向量，，以下說(shuō)法錯(cuò)誤的有()A．若，則B．若，則C．D．若，則為單位向量【答案】BD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?，則，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，若，且，，若，但分式無(wú)意義，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，由空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可知，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，若，則，此時(shí)，不是單位向量，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BD.6已知點(diǎn)P是△ABC所在的平面外一點(diǎn)，若＝(﹣2，1，4)，＝(1，﹣2，1)，＝(4，2，0)，則（）A．AP⊥AB B．AP⊥

BP C．BC＝ D．AP//

BC【答案】AC【解析】因?yàn)?，故A正確；，，故B不正確；，，故C正確；，，各個(gè)對(duì)應(yīng)分量的比例不同，故D不正確。故選:AC。7已知向量.（1）計(jì)算和.（2）求.【答案】（1）；；（2）.【解析】（1）因?yàn)橄蛄克?，所以?）因?yàn)椋?．已知空間三點(diǎn)，設(shè).（1）的夾角的余弦值；（2）若向量互相垂直，求實(shí)數(shù)的值；（3）若向量共線，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）；（2）或；（3）或.【解析】（1）已知空間三點(diǎn)，（2）若向量互相垂直，又，則解得：或（3）向量共線，又當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，成立，當(dāng)時(shí)，，不成立，故：或【題組二坐標(biāo)運(yùn)算在幾何中的運(yùn)用】1．棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是DD1，BD，BB1的中點(diǎn).（1）求證：EF⊥CF；（2）求與所成角的余弦值；（3）求CE的長(zhǎng).【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）.【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz則所以（1）證明：因?yàn)?，所以，即EF⊥CF.（2）因?yàn)?（3）2．棱長(zhǎng)為1的正方體中，，，分別是，，的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）求與所成角的余弦值；（3）求的長(zhǎng)．【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）；（3）.【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則,,,,.所以,,,.（1）證明：因?yàn)樗约矗?）因?yàn)橛上蛄繆A角的求法可得∴（3）根據(jù)空間中兩點(diǎn)的距離公式可得.3．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為A1D1，BB1的中點(diǎn)，則____，EF=____.

【答案】【解析】以A為原點(diǎn)，AB，AD，AA1分別為x軸、y軸、z軸建立直角坐標(biāo)系設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則.故答案為：；4．如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為D1C1，B1C1的中點(diǎn)，若以為基底，則向量的坐標(biāo)為_(kāi)__，向量的坐標(biāo)為_(kāi)__，向量的坐標(biāo)為_(kāi)__.

【答案】【解析】因?yàn)?，所以向量的坐?biāo)為.因?yàn)椋韵蛄康淖鴺?biāo)為.因?yàn)?，所以向量的坐?biāo)為.故答案為：；；【題組三最值問(wèn)題】1．在平面內(nèi)的直線上求一點(diǎn)，使點(diǎn)到點(diǎn)的距離最小，并求出此最小值．【答案】點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，【解析】設(shè)，則．所以當(dāng)，即點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，．2．