重慶市部分學校2024屆高三年級下冊3月聯(lián)考數(shù)學試題（含答案解析）

重慶市部分學校2024屆高三下學期3月聯(lián)考數(shù)學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知z=2,貝1]彳=()

2-1

A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i

2.設全集為R,集合A={xld-2x-35<0},則\A=()

A.{x|-7<x<5}B.{x|-5<x<7}

C.{%[X<-7或％35}D.{x|x<-5^x>7]

3.已知向量a=(m,l),b=(0,3),且Q_L(Q-。)，則根=()

A.V2B.2C.±72D.±2

22

4.已知耳耳分別是橢圓C:二+工=1(°>“0)的左、右焦點，P是C上一點.若

ab

3

PF2上PF】,tan/P鳥耳=z，則C的離心率為()

A.-B.-C.—D.1

7742

5.設S“為等差數(shù)列{%}的前〃項和，若。8+40-3%=4-2,貝!|%=()

A.10B.15C.—D.5

2

6.如圖，一個裝有水的密封瓶子，其內(nèi)部可以看成由一個圓錐和一個圓柱組合而成的

幾何體，圓柱和圓錐的底面半徑均為3,圓柱的高為6,圓錐的高為3,已知液面高度

為7,則瓶子中水的體積為()

170K160兀

c.D.

33

_L2

7.已知a===貝1](

A.c>b>aB.a>b>c

C.c>a>bD.b>a>c

8.將分別標有數(shù)字1,2,3,4,5的五個小球放入A,B,C三個盒子，每個小球

只能放入一個盒子，每個盒子至少放一個小球.若標有數(shù)字1和2的小球放入同一個盒

子，且A盒子中只放一個小球，則不同的放法數(shù)為（）

A.28B.24C.18D.12

二、多選題

9.如圖，彈簧掛著的小球做上下運動，它在is時相對于平衡位置的高度〃（單位：cm）

由關系式"=Asin（a+0）Je[O,+e）確定，其中4＞。,。＞0,0€（0,n].小球從最高點出發(fā),

經(jīng)過1.8s后，第一次回到最高點，則（）

3

C.r=9s與r=2.1s時的相對于平衡位置的高度。之比為彳

D.f=9s與1=2.1s時的相對于平衡位置的高度。之比為2

10.如圖，在直三棱柱ABC-ABC1中，若/ACBngO.ACMBCnlAAnLRE分別

是AVUG的中點，則下列結(jié)論正確的是（）

B.AE〃平面

C.點C到平面叫的距離為當

試卷第2頁，共4頁

D.三棱錐G-BOC外接球的半徑為亞

2

22

11.如圖,已知雙曲線C：十方=1(“>08>。)的左、右焦點分別為耳(-3,0),乙(3,0),點

A在C上，點8在y軸上，8三點共線，若直線的斜率為6,直線前的斜率

A.C的漸近線方程為>=±2n

3

B.C的禺心率為力

2

C.|AB|=16

D.ABFX的面積為16外

三、填空題

12.已知圓加：/+>2=4和圓":爐+，2+天+>=3交于A,B兩點，貝.

13.已知某果園中舜猴桃單果的質(zhì)量M(單位：g)服從正態(tài)分布N(100,b2),若從該

果園中隨機挑選4個卿猴桃，則恰有2個單果的質(zhì)量均不低于100g的概率為.

2',尤40

14.已知函數(shù)/(x)=21n尤，g(x)=x2+2x+l-2A,2eR,若關于x的方程

-------,x>0

、X

/(g(x))=X有6個解，則彳的取值范圍為.

四、解答題

15.在ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c,已知7acosB=6(c-7cosA).

⑴求b；

jr

(2)。為邊A3上一點，AD=2DB=2BC,ZBDC=~,求ABC的面積.

16.如圖，在四棱錐A-3C/汨中，底面BC7)E是梯形，CDIIBE,BE=4CD=4,

AB=AE=A/13,BC=幣、tmZEBC=

(2)已知平面ABE上平面BCDE,點下滿足A尸=2FE，求二面角尸—BD—E的余弦值.

17.某商場在店慶日進行有獎促銷活動，當日在該商場消費的顧客可獲得一次摸獎機會.

摸獎規(guī)則如下：獎盒中放有除顏色不同外其余完全相同的7個球，其中3個紅球，4個

白球，顧客每次摸出1個球不放回，直到摸出所有的紅球，則摸獎停止，否則就繼續(xù)摸

球.按規(guī)定：摸出3個球停止摸獎獲得200元獎金，摸出4個球停止摸獎獲得100元獎

金，摸出5個球停止摸獎獲得50元獎金，其他情況獲得10元獎金.

⑴若顧客甲獲得了100元獎金，求甲第一次摸到的球是紅球的概率；

(2)已知顧客乙獲得了一次摸獎機會，記X為乙摸獎獲得的獎金數(shù)額，求隨機變量X的

分布列和數(shù)學期望.

18.已知。為坐標原點，拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為JF,M(/,8)(毛>2)為C上

一點，|MF|=10.

⑴求C的方程；

⑵若4,8是C上異于點。的兩個動點，且點A8不關于x軸對稱，=過點M作

x軸的垂線交直線y=T于點N,記△M4B的面積為S1,ZWIB的面積為S2,求去.

19.已知函數(shù)/(%)=/-數(shù)111%-灰：08%.€[-兀,+8),且/(尤)的圖象與X軸相切于原點

(0,0).

⑴求6；

⑵若飛是〃彳)的一個極值點，且飛?-兀,0),證明：V2</(x0)<2.

試卷第4頁，共4頁

參考答案：

1.B

【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算化簡，即可由共軌復數(shù)的定義求解.

3+i（3+i）（2+i）5+5i

【詳解】2^i-（2-i）（2+i）-5則彳=1—i.

故選：B

2.D

【分析】解一元二次不等式化簡集合A,結(jié)合補集的概念即可得解.

【詳解】由題得A={H尤2—2工一35<0}={尤|一5<尤<7},貝嶙A={x|xW-5或尤27}.

故選：D.

3.C

【分析】利用向量的模及數(shù)量積的坐標運算及向量垂直的條件即可求解.

【詳解】因為°=（八1）/=（0,3）,

所以同=y/m2+\,a-b=711x0+1x3=3.

因為a_L（d-6）,

所以&—b）=°,§Pfl2-a-/>=nr+1-3=0>解得m=±V^.

故選：C.

4.A

【分析】根據(jù)橢圓的定義，結(jié)合余弦定理即可求解.

3\PF\3

【詳解】因為尸耳1■咫,tan/P/y；=所以晶=>又|尸耳|+|尸耳|=2。，所以

4r^2\4

I叫考,1明考,

則作:+仔：=4。2,解得故橢圓C的離心率為：

故選：A

答案第1頁，共12頁

【分析】由等差數(shù)列性質(zhì)得4+。9=2,結(jié)合等差數(shù)列求和公式即可得解.

【詳解】由。8+40—3〃9=電一2,可得2。9一3%=。2—2,所以〃2+%=2,

則S10=——―=5(〃2+〃9)=10.

故選：A.

6.A

【分析】根據(jù)圓柱體積和圓錐體積的計算公式，結(jié)合已知條件，求解即可.

【詳解】圓柱的體積為兀x3?x6=54兀，圓錐的體積為卜兀義32義3=9兀，

設液體上方圓錐的底面圓半徑為人高為心

作出圓錐的軸截面示意圖如下所示：

rh

貝ij/z=3—1=2,-=j,解得尸=2；

故液體上方圓錐的體積為:X”產(chǎn)、2=年，

所以瓶子中水的體積為54兀+9n-g=一.

故選：A.

7.C

【分析】利用指數(shù)塞運算規(guī)則可得〃＞＞，從而可得〃1＞。，故可得三數(shù)的大小關系.

答案第2頁，共12頁

4

【詳解】//二

116

1Q

因為故〃6>//即匕，故Ovbvavl.

2

因為一1>26-I=2xI3—1=2§—1>0,

所以c=2"+J>2°=1,所以c>a>b.

故選：C.

8.C

【分析】先將五個小球分為1,1,3或1,2,2三組，再分配到三個盒子中.

【詳解】第一種情況，將五個小球按1,1,3分為三組，則安排的方法有C；C；A；=12種;

第二種情況，將五個小球按1,2,2分為三組，則安排的方法有C；C；=6種.

不同的放法數(shù)為18.

故選：C.

9.BD

10jrIT

【分析】根據(jù)周期求出。=詈，代入f=o則得到。=],則得到函數(shù)解析式，再代入數(shù)據(jù)

即可判斷CD.

210兀

【詳解】由題可知小球運動的周期T=1.8s,所以?、墙獾?。=丁，故B正確;

當t=Os時，Asin°=A.

又。40,可，所以9=],故A錯誤;

107171

貝I」h=Asin——1+~…嗎,

929

兀

Acos1°ol

所以/=9s與1=2.Is時的相對于平衡位置的高度之比為——=2,故C錯誤，D

卜

Acos2.1

正確.

故選：BD.

10.ABD

【分析】利用線面垂直的判定即可判斷A；利用線面平行的判定即可判斷B,利用等體積法

答案第3頁，共12頁

即可求出點到平面距離，找到球心位于BG的中點，則得到外接球半徑，即判斷D.

【詳解】對A,因為3cl平面AAGCDGu平面A41c0,所以BCLDC-

在△CQC中，因為?！?￡)。=忘,。￡=2,所以。C：+OC2=CC；,

則DG^DC.又BCu平面BDCDCu平面BDCBCcOCnC,所以。平面BOC,故

A正確.

對B,取。為BG的中點，連接OE,OD.易知OE〃A，OE=A。，所以四邊形AQOE為平

行四邊形，

則AE〃O。.又4EZ平面8OG，O0u平面BZ)G，所以AE//平面BZ)G，故B正確.

對C,設點C到平面BDC的距離為x,則x是以C為頂點，BDG為底面的三棱錐的高.

因為BC，平面441GC,所以BC是三棱錐B-CDG的高.又C￡)G為直角三角形，

所以S.cg=，DCOC|=gx&x0=l,所以限％=gxlxl=g.

又△BCD是直角三角形，所以=6.又DC；=^/2,Bq=^/i+4=^/5,

所以破+3C：=8C；,所以BDG是直角三角形，則5樂=，&石=當

由％cg=@Bg，得工逅x=L則.》=逅，即點C到平面BDQ的距離為如，故C錯

32333

誤.

對D,因為BCC和°8OG均為直角三角形，所以。為三棱錐G-BDC外接球的球心，即

半徑為且，故D正確.

2

故選：ABD.

11.BC

【分析】根據(jù)斜率以及橢圓的對稱性可得△8G鳥為等邊三角形，即可根據(jù)同角關系求解三

答案第4頁，共12頁

角函數(shù)值，進而利用正弦定理求解|初|=14,|初1=10,由雙曲線定義可得2a=4,進而根

據(jù)選項即可逐一求解.

【詳解】依題意，直線3的斜率為百，所以N班;工=巳，又忸聞=忸耳，所以△不居為等

邊三角形，故忸耳|=忸用=|與用=2c=6,N①記=4.

在△A￡F,中，=為銳角，sin^EA=—,cos^F,F,A=—

21112121142114

所以sinA=sin[]+/耳片誓，根據(jù)正弦定理可得

但用=_/_=_M_解得|曲|=14,|A閭=10,

sinAsin^F^Asin^F^A11112|

所以2〃=4,即a=2,b=yjc2—a2=A/5，

所以C的漸近線方程為y=±1尤,。的離心率為（=|,|AB|=\BF2\+^AF2^=16,

ABF,的面積為

||f；^||B^|sin|+1|f；^||A^|sinj=1|f；F2||BA|sin-|=1x6xl6xsin|=2473

故選：BC.

12.714

【分析】求出相交弦所在直線方程，再利用弦長公式即可.

【詳解】將圓“：Y+y2=4和圓N：%2+y2+x+y=3的方程作差得了+y+l=0.

圓心M（0,0）至I]直線x+y+l=。的距離為圭=9，

所以網(wǎng)=2小二1=714.

故答案為：714.

3

13.-/0.375

8

【分析】服從正態(tài)分布N（100,〃）可得P（M2100）=；,由二項分布公式可求恰有2個單果

的質(zhì)量均不低于100g的概率.

答案第5頁，共12頁

【詳解】由題可知尸(MN100)=),若從該果園中隨機挑選4個舜猴桃,

則恰有2個單果的質(zhì)量均不低于100g的概率為?卜弓j=|.

故答案為：.

O

【分析】令g(x)=c，根據(jù)〃x)圖象可知,〃無)等于常數(shù)的解最多只有3個,根據(jù)g(x)圖

象性質(zhì)可知，g(x)等于常數(shù)的解最多只有2個，若/(g(尤))=4有6個解，需要“。，有

9

3個解，g(x)=t有2個解，根據(jù)“X)圖象先求出。<彳<一,再得出力和/⑺=力中最小解

e

之間的等式關系，而后結(jié)合g(元)的值域即可建立關于4的不等式，最后構(gòu)造關于X的函數(shù)，

求導求單調(diào)性即可解不等式，進而得出結(jié)果。

【詳解】解：由題可得，令g(x)=r,則方程/?)=九的解有3個，

當two時，f(t)=2\所以/⑺在(f,0］上單調(diào)遞增，

當空0時，/⑺=2(1丁),

則/⑺在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+8)上單調(diào)遞減，

/(e)=-,/(1)=0,當x>l時，lnx>0,所以〃x)>0,

畫>=/?)的圖象如下：

e

且方程/(t)=X的三個解分別為。，，2J3，不妨設4<G<匕，

則有2'=彳,即％=log2A,

答案第6頁，共12頁

又g(%)=￡+2%+1-24=(%+1)2-22

所以g⑴在(田,-1)上單調(diào)遞減，在(-1,y)上單調(diào)遞增，

且8(力神=-22,

又因為g(x)=r,所以一22<：<G，

所以有l(wèi)og2%>-22,gp2A+log22>0,

4/?(2)=2A+log2>i,(A>0),所以〃⑷=2+」一>0,

4In2

所以/7(彳)在(0,+巧上單調(diào)遞增，

又〃1)=0,所以24+log">0的解集為Q,+［,

綜上，幾的取值范圍為］

故答案為：SB

【點睛】方法點睛：本題考查復合函數(shù)零點個數(shù)問題，此類題目一般做法為：

(1)先根據(jù)解析式畫出兩個函數(shù)圖象；

(2)令復合函數(shù)內(nèi)函數(shù)為r；

(3)結(jié)合函數(shù)圖象及零點個數(shù)，分析外函數(shù)根的個數(shù)以及自變量對應的取值范圍;

(4)再確定內(nèi)函數(shù)根個數(shù)及對應參數(shù)取值范圍；

(5)解出參數(shù)范圍即可。

15.(1)6=7

4

【分析】(1)通過正弦定理將7acos3=Z?(c-7cosA)中的邊化為角，可求出》的值；

(2)由題可知9C為等邊三角形，［8|=。，在△ADC中運用余弦定理可求出。的值,

進而求得ABC的面積.

【詳解】(1)7acosB=&(c-7cosA),由正弦定理得：7sinAcosB=sinB(c-7cosA),

7sinAcosB+7sinBcosA=csinB,即7sin(A+B)=加inC=7sinC,

貝|J6=7.

答案第7頁，共12頁

(2)由題可知加C為等邊三角形，則|CZ)|=a,ZADC=y

'：\AD\=2a,在△ADC中，由余弦定理可得：

\ACf=\ADf+\DCf-2\AD\-\DC\-cosZADC,

2兀

即49=(2Q)2+Q?—2,2Qea,cos,解得a=,

AFC的面積為J7x3j7xsinP=&^叵.

234

16.(1)證明見解析

【分析】(1)。為BE的中點，余弦定理和勾股定理證明OCL3E,由等腰三角形證明

OA1BE,可證鹿_L平面。4C,所以AC_LBE；

(2)。為原點建立空間直角坐標系，向量法求二面角的余弦值.

【詳解】(1)證明：取。為BE的中點，連接OA,OC.

因為tan/EBC=立，所以cos/EBC=25.

27

在30c中，oc2=OB2+BC2-2OB-BC-cosZEBC=3,

貝U有Be?=032+002,所以OCJ_5E.

因為=所以。A_L3E.

又。C,0Au平面Q4C,OCr>OA=O,所以3E_L平面OAC.

因為ACu平面。AC,所以AC_L3E.

(2)解：因為平面ABE2平面BCDE,且兩平面相交于3E,

OAu平面ME,OA1BE,所以。4_L平面BCDE.

以。為坐標原點，OCOEOA所在直線分別為尤,y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系,

答案第8頁，共12頁

BE=4CD=4,AB=AE=Jl3,BC=y/l,OC=5貝UQ4==3，

則A(0,0,3),2(0,-2,0),。(省,1,0),E(0,2,0),

由AP=2EE，即AF=|AE=：X(O,2,-3),則

所以BD=(6,3,0),BF=(0，m，l：

m-BD=6x+3y=0,

設平面方的法向量為m=(%,y,z),貝葉io

m?BF=一y+z=0,

令，=3,貝！J%=—3\/§\z=—10,得加=卜3若,3,-10).

易知平面5r出的一個法向量為〃=（0,0,1）,

m-n105734

所以|cos外4同時「

J27+9+10034

因為二面角尸-皮）-"的夾角為銳角，所以二面角產(chǎn)-3。-石的余弦值為士叵.

34

2

17.（1）-

⑵E（X）=30,分布列見解析

【分析】（1）利用公式計算條件概率；

（2）由X可能的取值，計算相應的概率，得到分布列，利用公式計算數(shù)學期望.

【詳解】（1）設事件A為顧客甲獲得了100元獎金，事件3為甲第一次摸到的球是紅球.

3A3

A?2c32

「網(wǎng)=

"^rA35

所以尸（2⑶=普=：

即顧客甲在獲得了100元獎金的條件下，第一次摸到的球是紅

球的概率為;7.

（2）隨機變量X的所有取值為200,100,50,10.

A31

P(X=200)=T-

'，A；35

答案第9頁，共12頁

C[C；A；_3

P（X=100）=

A；35

C；C；A：6

P（X=50）=

35

5

'73535357

所以隨機變量X的分布列為

X2001005010

1365_

P

3535357

ioAS

E（X）=200x—+100x—+50x—+10x-=30.

v73535357

18.（l）/=8x

（2）8

【分析】（1）由點M伉,8）在C上，慳尸|=10,列方程求出P，X。，可得C的方程；

（2）設出直線方程，與拋物線聯(lián)立方程組，由ZAOB='結(jié)合韋達定理，求得直線A8恒過

/、SMP

點尸（8,0）,則有寸=E，求值即可.

J7LN1

【詳解】⑴因為點/（％,8）在C上，所以。無。=32,又+勺10.

由%>2,解得。=4,%=8,

故C的方程為V=8x.

（2）設直線AB的方程為乂=沖+〃，4（占,%）,3（巧,為）.

,、[x=my+n,。

聯(lián)2o則/-8my-8"=°，且△=64〃/+32〃>。，

[y=8x,

由韋達定理得%+%=8九=-8".

答案第10頁，共12頁

=0,解得％%=-64,

即M為=-8"=-64,解得〃=8,直線A3恒過點尸（8,0）.

由⑴可知M（8,8）,則N（8,T）.

設點M到直線AB的距離為4,點N到直線AB的距離為d2,

444MP

-=8.

吟^■\AB\-ddNP1

22

【點睛】方法點睛：

解答直線與圓錐曲線的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立,消去x（或y）建立一元二次方程,

然后借助根與系數(shù)的關系，并結(jié)合題設條件建立有關參變量的等量關系，涉及到直線方程的

設法時，務必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形，強化有關直線與圓錐

曲線聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關系、弦