河南省鄭州市第十八中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末模擬數(shù)學(xué)試題（六）

鄭州市第十八中學(xué)20232024學(xué)年度高二上期期末考試模擬題六試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘一?單選題1.經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的傾斜角為，則的值為（）A.2 B.1 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)兩點(diǎn)斜率公式及斜率與傾斜角的關(guān)系求解即可.【詳解】經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的斜率為，又直線的傾斜角為，所以，解得.故選：B.2.焦點(diǎn)在直線上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A.或 B.或C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】根據(jù)焦點(diǎn)即可求解拋物線方程.【詳解】直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為以及，所以拋物線的焦點(diǎn)為或，當(dāng)焦點(diǎn)為，此時(shí)拋物線方程為，當(dāng)焦點(diǎn)為時(shí)，此時(shí)拋物線的方程為，故選：C3.若雙曲線（，）的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出漸近線方程，得到，從而得到離心率.【詳解】由題意得的漸近線方程為，顯然在上，故，故，即雙曲線的離心率為.故選：A4.已知圓的方程為，直線過點(diǎn)且與圓交于兩點(diǎn)，當(dāng)弦長(zhǎng)最短時(shí)，（）A. B. C.4 D.8【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，由條件可知，當(dāng)最短時(shí)，直線，然后再結(jié)合向量的數(shù)量積，從而得到結(jié)果.【詳解】當(dāng)最短時(shí)，直線，，.故選：B.5.記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則（）A48 B.81 C.93 D.243【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和先確定公比，再計(jì)算得，從而計(jì)算得的值，即可得的值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，，若，則，得，則，故，則，所以，所以，所以.故選：C.6.過兩直線與的交點(diǎn)，并且與第一條直線垂直的直線方程是（

）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】通過解方程組，結(jié)合互相垂直的直線斜率之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】由可得兩直線交點(diǎn)，由第一條直線的斜率為，得到所求直線的斜率為，所求直線的方程為：，即．故選：C7.已知首項(xiàng)為的數(shù)列，其前項(xiàng)和為，若，則（

）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用代入法，得到數(shù)列的周期，利用周期進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)椋裕?/p>

由，得，同理可得，，，，，

所以數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，

因此，

故選：C8.已知拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的左焦點(diǎn)重合，點(diǎn)為拋物線與橢圓的公共點(diǎn)，且軸，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，易得，先求出，再根據(jù)橢圓的定義求出，再在中，利用勾股定理求出關(guān)于的齊次式即可得解.【詳解】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，拋物線的焦點(diǎn)為，橢圓的左焦點(diǎn)為，由題意可得，所以，將代入拋物線方程解得，所以，由橢圓的定義可得，所以，在中，由勾股定理得，即，即，所以，解得（舍去），即橢圓的離心率為.故選：C.二?多選題9已知直線：，則（）A.不過原點(diǎn) B.的橫截距為C.的斜率為 D.與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為3【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)直線方程的確定點(diǎn)是否再直線上可判斷A，由橫截距、斜率的概念可判斷B，C，由橫縱截距求解與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積可判斷D.詳解】已知直線：，對(duì)于A，原點(diǎn)不滿足直線方程，故不過原點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，故的橫截距為，故B不正確；對(duì)于C，直線的方程可化為，則的斜率為，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，則與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，故D不正確.故選：AC.10.等比數(shù)列{an}的公比為q，其前n項(xiàng)的積為，并且滿足條件，，.給出下列結(jié)論，其中正確的是（）A.B.C.的值是中最大的D.的值是中最大的【答案】ABD【解析】【分析】運(yùn)用等比數(shù)列的定義和等比數(shù)列的性質(zhì)根據(jù)題目條件逐項(xiàng)分析即得.【詳解】對(duì)于A，∵，，即，，又，又，，且，，故A正確；對(duì)于B，，，即，故B正確；對(duì)于C，由于，而，故有，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由題可知，所以當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，∴T99的值是Tn中最大的，故D正確.故選：ABD.11.（多選）已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，直線過點(diǎn)且與拋物線交于，兩點(diǎn)，若是線段的中點(diǎn)，則（）A. B.拋物線的方程為C.直線的方程為 D.【答案】ACD【解析】【分析】由焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離可求得，則可判斷A正確，B錯(cuò)誤；利用斜率坐標(biāo)計(jì)算公式幾何中點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算公式可求得直線的斜率，從而求得的方程，可判斷C正確；，所以從而判斷D正確.【詳解】因?yàn)榻裹c(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4，根據(jù)拋物線的定義可知，故A正確故拋物線的方程為，焦點(diǎn)，故B錯(cuò)誤則，．又是的中點(diǎn)，則，所以，即，所以直線的方程為．故C正確由，得．故D正確故選：ACD．12.在平面直角坐標(biāo)系中，，動(dòng)點(diǎn)滿足，得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡是曲線．則下列說法正確的是（）A.曲線的方程為B.若直線與曲線有公共點(diǎn)，則的取值范圍是C.當(dāng)三點(diǎn)不共線時(shí)，若點(diǎn)，則射線平分D.過曲線外一點(diǎn)作曲線的切線，切點(diǎn)分別為，則直線過定點(diǎn)【答案】ACD【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)，根據(jù)題意可求出的方程可判A；根據(jù)直線與圓有公共點(diǎn)列方程判斷B；根據(jù)三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)可判斷C；分析可得兩圓的公共弦，求出公共弦所在直線方程可判斷D.【詳解】對(duì)于A，設(shè)點(diǎn)，則由，可得，化簡(jiǎn)可得，故A正確；對(duì)于B，曲線的方程為，圓心為，半徑為，直線，即，若直線與曲線有公共點(diǎn)，則圓心到直線的距離，解得或，則的取值范圍是，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)三點(diǎn)不共線時(shí)，，則，，，則，所以，所以由角平分線定理的逆定理知射線平分，故C正確；對(duì)于D，設(shè)曲線外一點(diǎn)，因?yàn)?，，所以在以為直徑的圓上.線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以以為直徑的圓方程為化簡(jiǎn)得：，因?yàn)閮蓤A的公共弦，所以直線的方程為，即，令，解得，則直線過定點(diǎn)，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：過定點(diǎn)問題兩大類型及解法（1）動(dòng)直線l過定點(diǎn)問題．解法：設(shè)動(dòng)直線方程(斜率存在)為，由題設(shè)條件將t用k表示為，得，故動(dòng)直線過定點(diǎn)；（2）動(dòng)曲線C過定點(diǎn)問題．解法：引入?yún)⒆兞拷⑶€C的方程，再根據(jù)其對(duì)參變量恒成立，令其系數(shù)等于零，得出定點(diǎn)．三?填空題13.若方程表示雙曲線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的方程即可求解.【詳解】若方程表示雙曲線，顯然，則由可得，故,故答案為：14.經(jīng)過點(diǎn)以及圓與交點(diǎn)的圓的方程為______．【答案】【解析】【分析】求出兩圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出所求圓的一般方程，將三點(diǎn)坐標(biāo)代入，解出參數(shù)，可得答案.【詳解】聯(lián)立，整理得，代入，得，解得或，則圓與交點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)經(jīng)過點(diǎn)以及的圓的方程為,則，解得，故經(jīng)過點(diǎn)以及圓與交點(diǎn)的圓的方程為，故答案為：15.已知數(shù)列滿足，，，則__________．【答案】128【解析】【分析】由題意，根據(jù)等比數(shù)列的定義可知數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為4的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，利用累乘法求得，令，計(jì)算即可求解.【詳解】由題意知，，即，又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為4的等比數(shù)列，所以，當(dāng)時(shí)，，所以.故答案為：12816.若為拋物線：在第二象限內(nèi)一點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為，直線的傾斜角為，拋物線在點(diǎn)處的切線與軸相交于點(diǎn).若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則的面積為____________.【答案】【解析】【分析】先根據(jù)直線和拋物線聯(lián)立得到的坐標(biāo)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義算出在處的切線，得到的坐標(biāo)，根據(jù)的坐標(biāo)算出的邊長(zhǎng)，得到是等邊三角形，從而得出面積【詳解】依題意，，直線的斜率為，則直線的方程為，與拋物線聯(lián)立，整理得，又在第二象限內(nèi)，解得，拋物線可寫為，，所以，所以直線的斜率為，切線方程為，即，則點(diǎn)，，，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可得，，所以為正三角形，又，所以，因此為邊長(zhǎng)是的正三角形，則其面積為.故答案為：.四?解答題17.已知等比數(shù)列滿足，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，其前項(xiàng)和記為，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解；（2）根據(jù)錯(cuò)位相減法求和即可.【小問1詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為.由已知，且，得，即（*）易觀察，2是（*）方程的一個(gè)根，∴，又恒成立，∴，又，∴．【小問2詳解】由（1）知，，∴，，以上兩個(gè)式子相減得，，∴.18.如圖，在直三棱柱中，，分別為，的中點(diǎn)．（1）若，求的值；（2）求與平面所成角的正弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)向量的運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)得到，結(jié)合，即可求解；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求得和平面的法向量為，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.【小問1詳解】解：由向量的線性運(yùn)算法則，可得，又由，所以．【小問2詳解】解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，所以．設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，設(shè)與平面所成的角為，可得．19.已知是公差不為零的等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求的前1012項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比中項(xiàng)即可得解；（2）由裂項(xiàng)相消法可求出前1012項(xiàng)和.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，又，則，，因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，即，得，又因?yàn)槭枪畈粸榱愕牡炔顢?shù)列，所以，即.【小問2詳解】由（1）知，.20.已知是離心率為的橢圓：（）上任意一點(diǎn)，是橢圓的右焦點(diǎn)，且的最小值是1.（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，若，求直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先由離心率得到，，設(shè)，，表達(dá)出，結(jié)合最小值得到方程，求出，得到橢圓方程；（2）當(dāng)過點(diǎn)的直線的斜率為0時(shí)不合要求，當(dāng)過點(diǎn)的直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)出方程，聯(lián)立橢圓方程，得到兩根之和，兩根之積，由弦長(zhǎng)公式列出方程，求出直線方程.【小問1詳解】由題意得，，故，又，故，設(shè)，，則，即，，故當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，故，則，橢圓方程為；小問2詳解】當(dāng)過點(diǎn)的直線的斜率為0時(shí)，，不合要求，當(dāng)過點(diǎn)的直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)為，聯(lián)立得，恒成立，設(shè)，則，故，故，解得，故直線的方程為.21.已知直線過點(diǎn)且與直線平行，圓經(jīng)過點(diǎn).（1）求直線的方程；（2）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（3）點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)到直線的距離最大值和最小值.【答案】（1）（2）（3）最大值，最小值.【解析】【分析】（1）法一：利用直線的斜截式方程及兩直線平行的條件及點(diǎn)斜式即可求解；法二：利用直線的平行系方程及點(diǎn)在直線上即可求解；（2）法一：根據(jù)已知條件及圓心在弦的垂直平分線上，進(jìn)而求出垂直平分線方程，聯(lián)立方程組求出圓心，利用兩點(diǎn)間的距離求出半徑，結(jié)合圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解；法二：利用待定系數(shù)法設(shè)出圓的方程，再結(jié)合點(diǎn)在圓上即可求解；（3）根據(jù)圓的性質(zhì)及點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.【小問1詳解】法一：由，得，所以直線的斜率為，因?yàn)橹本€與直線平行，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，即.法二：依題意可設(shè)直線的方程為，由于直線過點(diǎn)，所以，所以所以直線的方程為【小問2詳解】法一：由題意知，作出圖形如圖所示，圓過，所以中點(diǎn)為，直線垂直平分線記為，由得，所以直線的方程為即，又圓心在軸上，即上，聯(lián)立，解得，所以圓心坐標(biāo)為，半徑所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.法二：設(shè)圓的一般方程為，圓過，所以，解得，所以圓的一般方程為，即.所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問3詳解】由（2）知，圓心，半徑為，作出圖形如圖所示，所以圓心到直線的距離為，所以點(diǎn)到直線的距離最大值為；點(diǎn)到直線的距離最小值為.22.已知分別為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，為雙曲線