湖南省張家界市2024屆高考考前模擬數學試題含解析

湖南省張家界市重點中學2024屆高考考前模擬數學試題

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.斜率為1的直線1與橢圓、+y2=l相交于A、B兩點，貝!J|AB|的最大值為（）

4^/5?4M8^/10

A.2B.nu.---------

555

13

V4,C=log14,

2.已知a=logi2131=|13則a,b,c的大小關系為（）

A.a>b>cB.c>a>bC.b>c>aD.a>c>b

3.如圖所示，網格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是（)

4.國務院發(fā)布《關于進一步調整優(yōu)化結構、提高教育經費使用效益的意見》中提出，要優(yōu)先落實教育投入.某研究機

構統(tǒng)計了2010年至2018年國家財政性教育經費投入情況及其在中的占比數據，并將其繪制成下表,由下表可

知下列敘述錯誤的是（）

2010-2018年國家財政性教育經費投入情況及其在GDP中的占比情況（單位：億元,％）

500005.00%

4.16%4.10%4受%4.22%4.14%,"%

450004.28%4.50%

3.83%^*^-

400003.66%369904.00%

3500012922131.||3.50%

3000()3.00%

231482譽8.?HIII

250002.50%

200002.00%

1.50%

l.(X)%

0.50%

0.00%

w201x02011iH20122013l2L01420L15201L62017L2018

■財政性教育經費支出（億元）財政性教育經費占GDP比田：（％）

A.隨著文化教育重視程度的不斷提高，國在財政性教育經費的支出持續(xù)增長

B.2012年以來，國家財政性教育經費的支出占GDP比例持續(xù)7年保持在4%以上

C.從2010年至2018年，中國GDP的總值最少增加60萬億

D.從2010年到2018年，國家財政性教育經費的支出增長最多的年份是2012年

5.已知函數f（x）滿足當尤＜0時，2/（x-2）=/（x）,且當xe（—2,0］時，/（x）=|x+11—1；當％＞0時,

/0）=108“歡。＞0且。/1）.若函數/。）的圖象上關于原點對稱的點恰好有3對，則。的取值范圍是（）

A.(625,+oo)B.(4,64)C.(9,625)D.(9,64)

6.盒子中有編號為1,2,3,4,5,6,7的7個相同的球，從中任取3個編號不同的球，則取的3個球的編號的中位

數恰好為5的概率是（)

2863

A.C.—D.-

3535357

7.下列函數中，在區(qū)間（O,+。）上為減函數的是（）

2

A.y=Vx+TB.y-x-1C.y—D.y=log2x

其中三視圖的長、寬、高分別為2,a,b,且2a+b=g（a＞0力＞0）,則

8.已知一個三棱錐的三視圖如圖所示,

此三棱錐外接球表面積的最小值為（）

正線四倒槐的

B.-71C.4%D.57r

4

b，C滿足：a-Z?=O,|c|=l,|?-c|=|z?-c|=5,則a-8的最小值為(

9.已知平面向量Q,)

A.5B.6C.7D.8

10.金庸先生的武俠小說《射雕英雄傳》第12回中有這樣一段情節(jié)，“……洪七公道：肉只五種，但豬羊混咬是一般

滋味，獐牛同嚼又是一般滋味，一共有幾般變化，我可算不出了”.現有五種不同的肉，任何兩種(含兩種)以上的肉

混合后的滋味都不一樣，則混合后可以組成的所有不同的滋味種數為()

A.20B.24C.25D.26

11.設集合A=Uly=2*-1,x^R},B={x\-2<r<3,x^Z},則AnB=()

A.(-1,3]B.[-1,3]C.{0,1,2,3}D.{-1,0,1,2,3)

12.若a>0,b>0,貝！|““+。>4”是“ab<4”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知等邊三角形ABC的邊長為1.AM=2MB點N、T分別為線段BC、C4上的動點，則

AB-NT+3C7M+CA-MN取值的集合為

14.已知圓柱的上下底面的中心分別為a，a,過直線的平面截該圓柱所得的截面是面積為36的正方形，則該

圓柱的體積為__

15.已知尸為拋物線C：，=8y的焦點，尸為C上一點，M(-4,3),則APMF周長的最小值是.

lx2+5x+4|,x<0..

16.已知函數/■(;<)=L,1，若函數y=/(%)—ax恰有4個零點，則實數a的取值范圍是________.

2|x-2],x>0

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知/(x)=xlnx與丁=。有兩個不同的交點4B,其橫坐標分別為知%(^<X2).

(1)求實數。的取值范圍;

z-x-p->-r,3<7+2+e3

(2)求證：ae+1<x2-<---------

18.(12分)在直角坐標系xQy中，曲線C的標準方程為土+>2=1.以原點。為極點，x軸的非負半軸為極軸建立

4-

極坐標系，直線/的極坐標方程為何sin6+(=3百.

(1)求直線/的直角坐標方程;

(2)若點p在曲線C上，點。在直線/上，求IPQI的最小值.

19.(12分)函數/(x)=?x-ln(x+l),g(x)=sinx,且/(x)..O恒成立.

(1)求實數。的集合M；

(2)當aeM時，判斷Ax)圖象與g(x)圖象的交點個數，并證明.

(參考數據：出220.69,1:1.77)

20.(12分)某機構組織的家庭教育活動上有一個游戲，每次由一個小孩與其一位家長參與，測試家長對小孩飲食習

慣的了解程度.在每一輪游戲中，主持人給出A,B,C,。四種食物，要求小孩根據自己的喜愛程度對其排序，然后

由家長猜測小孩的排序結果.設小孩對四種食物排除的序號依次為XAXBXSO,家長猜測的序號依次為其中

2

XAXBXCXD和班班"加)都是1,2,3,4四個數字的一種排列.定義隨機變量X=(XA-yA)2+(XB-JB)+(xc-yc)2+

(xD-yD)2,用X來衡量家長對小孩飲食習慣的了解程度.

(1)若參與游戲的家長對小孩的飲食習慣完全不了解.

(i)求他們在一輪游戲中，對四種食物排出的序號完全不同的概率；

(ii)求X的分布列(簡要說明方法，不用寫出詳細計算過程)；

(2)若有一組小孩和家長進行來三輪游戲，三輪的結果都滿足XV4,請判斷這位家長對小孩飲食習慣是否了解，說

明理由.

21.(12分)如圖所示，直角梯形ABCD中，AD//BC,AD±AB,AB=BC=2AD=2,四邊形EDCF為矩形,

CF=瓜EDCFABCD.

B

⑴求證：DF1平面ABE；

⑵求平面ABE與平面EFB所成銳二面角的余弦值.

(3)在線段DF上是否存在點P,使得直線BP與平面ABE所成角的正弦值為且，若存在，求出線段BP的長，若不

4

存在，請說明理由.

22.(10分)已知橢圓C：W+￡=1(a>^>0)的離心率為孚，且經過點1—1,等)

(1)求橢圓C的方程；

(2)過點(6,0)作直線/與橢圓。交于不同的兩點A,B,試問在x軸上是否存在定點。使得直線QA與直線恰

關于x軸對稱？若存在，求出點。的坐標；若不存在，說明理由.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、C

【解析】

設出直線的方程，代入橢圓方程中消去山根據判別式大于0求得f的范圍，進而利用弦長公式求得|4初的表達式，利

用f的范圍求得以為的最大值.

【詳解】

解：設直線/的方程為y=x+f,代入'+y=1,消去y得一，+2枕+1-1=0,

44

由題意得^=⑵)2-1(Z2-1)>0,即/2<1.

弦長|AB|=40x或H4生匝.

55

故選：C.

【點睛】

本題主要考查了橢圓的應用，直線與橢圓的關系.常需要把直線與橢圓方程聯立，利用韋達定理，判別式找到解決問

題的突破口.

2、D

【解析】

由指數函數的圖像與性質易得b最小，利用作差法，結合對數換底公式及基本不等式的性質即可比較。和。的大小關

系，進而得解.

【詳解】

13

根據指數函數的圖像與性質可知0<匕=("<],

由對數函數的圖像與性質可知a=logi213>l,c=log1314>l,所以b最小；

而由對數換底公式化簡可得a-c=logl213-log1314

=lgl3_lgl4

-lgl2lgl3

_lg213-lg12-lgl4

一Igl2-lgl3

一］￥

由基本不等式可知lgl2,lgl4V-(Igl2+lgl4)，代入上式可得

「［f

2lg213--(Igl2+lgl4)

嵯13-Igl2.lgl4301

Igl2-lgl3'Igl2-lgl3

(iY

lg213--lgl68

_______1

"Igl2-lgl3

riwi

Igl3+-lgl68-lgl3—lgl68

_I2八2J

~Igl2-lgl3

(lgl3+lgV168).(lgl3-lgA^68)

—Igl2-lgl3

所以

綜上可知

故選：D.

【點睛】

本題考查了指數式與對數式的化簡變形，對數換底公式及基本不等式的簡單應用，作差法比較大小，屬于中檔題.

3、A

【解析】

由三視圖還原出原幾何體，得出幾何體的結構特征，然后計算體積.

【詳解】

由三視圖知原幾何體是一個四棱錐，四棱錐底面是邊長為2的正方形，高為2,

1Q

直觀圖如圖所示，V=-x2x2x2=-.

33

故選：A.

【點睛】

本題考查三視圖，考查棱錐的體積公式，掌握基本幾何體的三視圖是解題關鍵.

4、C

【解析】

觀察圖表，判斷四個選項是否正確.

【詳解】

由表易知A、B、。項均正確，2010年中國G0P為"Sa41萬億元，2018年中國G0P為當”=90萬億元,

3.55%4.11%

則從2010年至2018年，中國GDP的總值大約增加49萬億，故C項錯誤.

【點睛】

本題考查統(tǒng)計圖表，正確認識圖表是解題基礎.

5、C

【解析】

先作出函數/（%）在（一*0］上的部分圖象，再作出/（X）=log。x關于原點對稱的圖象，分類利用圖像列出有3個交點

時滿足的條件，解之即可.

【詳解】

先作出函數f（x）在（-8,0］上的部分圖象，再作出/（X）=log“X關于原點對稱的圖象,

如圖所示，當0＜。＜1時，對稱后的圖象不可能與在（-8,0］的圖象有3個交點;

當。＞1時，要使函數/（元）關于原點對稱后的圖象與所作的圖象有3個交點，

a>\

Tog。3〉一g,解得9<a<625.

則

,「1

-log?5<--

故選：C.

【點睛】

本題考查利用函數圖象解決函數的交點個數問題，考查學生數形結合的思想、轉化與化歸的思想，是一道中檔題.

6、B

【解析】

由題意，取的3個球的編號的中位數恰好為5的情況有所有的情況有《種，由古典概型的概率公式即得解.

【詳解】

由題意，取的3個球的編號的中位數恰好為5的情況有所有的情況有種

由古典概型，取的3個球的編號的中位數恰好為5的概率為：

故選：B

【點睛】

本題考查了排列組合在古典概型中的應用，考查了學生綜合分析，概念理解，數學運算的能力，屬于中檔題.

7、C

【解析】

利用基本初等函數的單調性判斷各選項中函數在區(qū)間（0,+8）上的單調性，進而可得出結果.

【詳解】

對于A選項，函數y=門在區(qū)間（0,+8）上為增函數；

對于B選項，函數丁=爐-1在區(qū)間（0,+。）上為增函數；

對于C選項，函數y=在區(qū)間（0,+"）上為減函數；

對于D選項，函數y=10g2X在區(qū)間（0,+8）上為增函數.

故選：C.

【點睛】

本題考查函數在區(qū)間上單調性的判斷，熟悉一些常見的基本初等函數的單調性是判斷的關鍵，屬于基礎題.

8、B

【解析】

根據三視圖得到幾何體為一三棱錐，并以該三棱錐構造長方體，于是得到三棱錐的外接球即為長方體的外接球，進而

得到外接球的半徑，求得外接球的面積后可求出最小值.

【詳解】

由已知條件及三視圖得，此三棱錐的四個頂點位于長方體A3CD-4耳￡2的四個頂點，即為三棱錐A-C與2,且

長方體ABC。—ABIGR的長、寬、高分別為2,a,b,

n

...此三棱錐的外接球即為長方體ABCD-A6G。的外接球，

且球半徑為R=6+4+/="+/+/,

22

.?.三棱錐外接球表面積為4?"+=^（4+a2+Z.2）=5^（a-l）2+—，

121

.?.當且僅當a=l,6=7時，三棱錐外接球的表面積取得最小值為二乃.

24

故選B.

【點睛】

(1)解決關于外接球的問題的關鍵是抓住外接的特點，即球心到多面體的頂點的距離都等于球的半徑，同時要作一圓

面起襯托作用.

(2)長方體的外接球的直徑即為長方體的體對角線，對于一些比較特殊的三棱錐，在研究其外接球的問題時可考慮通

過構造長方體，通過長方體的外球球來研究三棱錐的外接球的問題.

9、B

【解析】

rr

建立平面直角坐標系，將已知條件轉化為所設未知量的關系式，再將的最小值轉化為用該關系式表達的算式，

利用基本不等式求得最小值.

【詳解】

建立平面直角坐標系如下圖所示，設c=(cosasind),OA=a,OB=b,且4(加,0),8(0,9，由于

|?-c|=|z?-c|=5,所以77解e[4,6].

a-c=(m-cosa一sind)，〃一c=(—cos0,n-sin6).所以

m2-2mcos0+cos28+sin?8=25

即+“2=48+2/17cos0+2nsin0?

n2-Znsin^+sin2^+cos20=25

J(a-c)_2(a_<?)?(/?_c)+(〃-c)=^48+2mcos3+2nsin0

==

=ylnr+n2>y/2mn?當且僅當m=n時取得最小值，此時由機？+/=48+2mcos，+2"sin，得

2〃/=48+2m(sin，+cos，)=48+2j5msin[，+?J,當。=子時，2根？有最小值為48—2/n，即

l5%rr

2m2=48-2V2m>m2+V2m-24=0>解得m=30?所以當且僅當根=〃=342,。=7-時a—b有最小值為

,2x(3何=6-

故選：B

本小題主要考查向量的位置關系、向量的模，考查基本不等式的運用，考查數形結合的數學思想方法，屬于難題.

10、D

【解析】

利用組合的意義可得混合后所有不同的滋味種數為C；+C；+或+C；,再利用組合數的計算公式可得所求的種數.

【詳解】

混合后可以組成的所有不同的滋味種數為=20+5+1=26（種），

故選：D.

【點睛】

本題考查組合的應用，此類問題注意實際問題的合理轉化，本題屬于容易題.

11,C

【解析】

先求集合4,再用列舉法表示出集合凰再根據交集的定義求解即可.

【詳解】

解：?.?集合4={加=2,-1,xe/?!={jly>-1},

B={x|-2<x<3,xGZ}={-2,-1,0,1,2,3},

/.AnB={0,1,2,3）,

故選：C.

【點睛】

本題主要考查集合的交集運算，屬于基礎題.

12、A

【解析】

本題根據基本不等式，結合選項，判斷得出充分性成立，利用“特殊值法”，通過特取。,6的值，推出矛盾，確定必要

性不成立.題目有一定難度，注重重要知識、基礎知識、邏輯推理能力的考查.

【詳解】

當。>0,匕>0時，a+b>14ab，則當a+/?W4時，有2病<a+6<4,解得充分性成立；當。=1,匕=4

時，滿足就44,但此時。+6=5>4,必要性不成立，綜上所述，“。+/?44"是“"<4”的充分不必要條件.

【點睛】

易出現的錯誤有，一是基本不等式掌握不熟，導致判斷失誤；二是不能靈活的應用“賦值法”，通過特取6的值，從

假設情況下推出合理結果或矛盾結果.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、{-6}

【解析】

根據題意建立平面直角坐標系,設三角形各點的坐標，依題意求出NT,TM，又N，的表達式，再進行數量積的運算,最后求

和即可得出結果.

【詳解】

解：以8C的中點。為坐標原點,BC所在直線為x軸，線段BC的垂直平分線為丁軸建立平面直角坐標系，如圖所示,

則A(0,網,6(-l,0),C(l,0),M

則A3=(—1,—@貴=(2,0),C4=(-1,6),

設N”,0),AT=AAC,

OT=OA+AT=OA+AAC=(Q,j3)+4(1,—6)=(2,73(1-2)),

即點T的坐標為(九y/3(l-2)),

則NT=(/lT,若(1—X)),77Vf=-1-2,y^-73(l-2),MN=?+

所以AB?NT+BCTM+CA-MN

=-lx(Z-0+(-5/3)xV3(l-/l)+2xf-1-zj+0xy—73(1-2)+

=-6

故答案為：{-6}

本題考查平面向量的坐標表示和線性運算，以及平面向量基本定理和數量積的運算，是中檔題.

14、54"

【解析】

由軸截面是正方形，易求底面半徑和高，則圓柱的體積易求.

【詳解】

解：因為軸截面是正方形，且面積是36,

所以圓柱的底面直徑和高都是6

V=兀=%x32x6=54%

故答案為：54〃

【點睛】

考查圓柱的軸截面和其體積的求法，是基礎題.

15、5+V17

【解析】

△PMF的周長最小，即求|「河|+|尸/I最小，過P做拋物線準線的垂線，垂足為Q,轉化為求1尸河1+1PQI最小,

數形結合即可求解.

【詳解】

如圖，尸為拋物線C：，=8y的焦點，尸為C上一點，M(-4,3),

拋物線C：必=8/的焦點為尸(0,2),準線方程為y=-2.

過P作準線的垂線，垂足為Q,則有I尸/l=|PQI

|PM|+|PF|=|PM|+|P2|>|MQ\=5,

當且僅當/，尸,Q三點共線時，等號成立，

所以△PMF的周長最小值為5+J（—4f+（3—=5+717.

故答案為：5+V17.

本題考查拋物線定義的應用，考查數形結合與數學轉化思想方法，屬于中檔題.

16、（L3）

【解析】

函數V=/（x）—恰有4個零點，等價于函數/（元）與函數y=a|x|的圖象有四個不同的交點，畫出函數圖象，利用

數形結合思想進行求解即可.

【詳解】

函數y=/（x）—恰有4個零點，等價于函數f（x）與函數）的圖象有四個不同的交點，畫出函數圖象如下圖

所示:

故答案為:(1,3)

【點睛】

本題考查了已知函數零點個數求參數取值范圍問題，考查了數形結合思想和轉化思想.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)(一5°］；(2)見解析

【解析】

(1)利用導數研究/(x)=xlnx的單調性，分析函數性質，數形結合，即得解；

11(fl

(2)構造函數g(x)=-x-xlnx,hCx)=----(無一1)一jdnx可證得：-x>xinx,----(x-l)>xiwcxe-,1

e-1e-V7I(e

分析直線y=y=」一(x—l)與y=a

從左到右交點的橫坐標，/(X)在x=e-3,無=1處的切線即得解.

【詳解】

(1)設函數/(x)=xlnx,

/'(%)=1+lnx,

令尸(x)>0，x>L4'/'(x)<0,0<x<—

故/（九）在（0，）單調遞減，在g,包）單調遞增,

?.y=/II

???尤f0+時/(%)-。；/(1)=0；時/(%)—+8

貝！|令g(x)=f_xlnx,XG^O,-

短(x)=-2-lnx

=g(%)max=g("2)，g(x)mta>min0,

/

=^>-x>xiwcxe

②過點（i,o）,H，—1的直線為了=匕（犬一1）,

l

貝！|/z(x)=---(x-l)-xlnxXG

e-1{

〃(x)=T—In%—1>0n/z(x)在上單調遞增

=>/z(x)>/z(』)=O=>^"^(x—l)>xhuxe^—,1

③設直線y=_x,y=」一(x—l)與y=a

c—\

從左到右交點的橫坐標依次為退=-。，5=a（e-D+l,

由圖知/一%>x4~x3=ae+l.

④/(x)在x=e-3,兀=1處的切線分別為丫=—2工—"3,y=x-l,同理可以證得

記直線丁=。與兩切線和/z(x)從左到右交點的橫坐標依次為七，西，%,天,

3a+2-a

2

【點睛】

本題考查了函數與導數綜合，考查了學生數形結合，綜合分析，轉化劃歸，邏輯推理，數學運算的能力，屬于較難題.

18、(1)x+y-36=0(2)回

【解析】

(1)直接利用極坐標公式計算得到答案

(2)設P(2cosa,sina),1=電網經處之包，根據三角函數的有界性得到答案.

【詳解】

(1)因為隹osin，+m=36,所以0sine+/?cos6-3百=0,

因為＜.八所以直線/的直角坐標方程為x+y-3君=0.

y=psme.

(2)由題意可設尸(2cos%sina),

則點P到直線l的距離d=12cosc+，9"3君|=函sm(*y-36

V2V2

因為一1麴bin(a+e)1,所以J蕊H2y/10,

因為IPQI.S,故IPQI的最小值為JIU.

【點睛】

本題考查了極坐標方程，參數方程，意在考查學生的計算能力和轉化能力.

19、(1){1}；(2)2個，證明見解析

【解析】

(1)要，(x)..O恒成立，只要/(元)的最小值大于或等于零即可，所以只要討論求解看了(元)是否有最小值;

(2)將圖像與g(x)圖像的交點個數轉化為方程/(x)=g(x)實數解的個數問題，然后構造函數

=/(x)-g(x),再利用導數討論此函數零點的個數.

【詳解】

(1)/(x)的定義域為(—1,+8),因為/'(x)=a———,

x+1

1。當％0時，/'(為<0,75)在土?(0,4?>)上單調遞減，去e(o,4w)時，使得/。)</(0)=0,與條件矛盾；

2。當。>0時，由/'(幻<0,得—l<xJ—1；由/(%)>0,得x〉L—1,所以/(尤)在(―J—1］上單調遞減，

aa\aJ

在］T,+j上單調遞增，即有狐(x)=d=l—a+lna,由/'(x)..0恒成立，所以1—a+lna.O恒成立,

1\-

令h(a)=1-a+Ina(a>0),h'(a)=-1+—=----a,

aa

若0<a<1,h'(d)^0,h(a)<h(l)=0；

若a>L〃(a)<O,7z(a)<7z(l)=O；而a=l時,h(a)=O,要使l-a+lna.O恒成立,

故H.

(2)原問題轉化為方程/(x)=g(x)實根個數問題，

當。=1時，“X)圖象與g(x)圖象有且僅有2個交點，理由如下:

由/(x)=g(x),gpx-ln(x+l)-sinx=O,令°(x)=x-ln(x+l)-sinx,

因為9(0)=0,所以x=0是0(x)=。的一根；(p'(x)=1——-——cosx,

x+1

1。當_l<x<0時，1---—(0,cosjf)0,

x+1

所以“(九)<o,9(x)在(-1,0)上單調遞減，以%)>9(0)=0,即°(幻=。在(-1,0)上無實根;

2。當0cx<3時，(p\x)=---+sinx>0,

(x+1)?2

n2

則9(x)在(0,3)上單調遞遞增，又°,=1------>0,^(0)=-1<0,

71+2

0,11,且滿足1-1

所以9,(x)=0在(0,3)上有唯一實根xo,xoe----7=cos%,

%+1

①當O<x,不時，9(x),,0,9(x)在(0,%］上單調遞減，此時。(%)<。(0)=0,。(%)=0在(0,九()］上無實根；

二1

②當x0<x<3時，/(％)>0,0(%)在(%,3)上單調遞增，=+=

2+1

2,\

<ln----(lnl=0,^(3)=3-sin3-21n2=2(l-ln2)+l-sin3)0?,,八才/文、L七保》4H

兀、//，故。(幻=。在(%，3)上有唯一實根.

--ri

2

3。當xN3時，由(1)知，％Tn(l+x)—l在(0,+co)上單調遞增，

所以x-ln(l+x)-L.2-21n2=21n］>0,

故"(x)=x-ln(l+x)-sinx=x-ln(l+x)-l+(l-sinx)>0,所以°(x)=0在［3,+oo)上無實根.

綜合1。，2°,3°,故0(%)=。有兩個實根，即/(尤)圖象與g(x)圖象有且僅有2個交點.

【點睛】

此題考查不等式恒成立問題、函數與方程的轉化思想，考查導數的運用，屬于較難題.

3

20、(l)(i)：(ii)分布表見解析；(2)理由見解析

O

【解析】

(1)(i)若家長對小孩子的飲食習慣完全不了解，則家長對小孩的排序是隨意猜測的，家長的排序有禺=24種等可

能結果，利用列舉法求出其中滿足“家長的排序與對應位置的數字完全不同”的情況有9種，由此能求出他們在一輪游

戲中，對四種食物排出的序號完全不同的概率.

(ii)根據(i)的分析，同樣只考慮小孩排序為1234的情況，家長的排序一共有24種情況，由此能求出X的分布列.

(2)假設家長對小孩的飲食習慣完全不了解，在一輪游戲中，P(XV4)=P(X=0)+P(X=2)=」，三輪游戲結果

都滿足“X<4”的概率為工<二，這個結果發(fā)生的可能性很小，從而這位家長對小孩飲食習慣比較了解.

2161000

【詳解】

(1)CO若家長對小孩子的飲食習慣完全不了解，

則家長對小孩的排序是隨意猜測的，

先考慮小孩的排序為XA,XB,xc,期為1234的情況，家長的排序有=24種等可能結果，

其中滿足“家長的排序與對應位置的數字完全不同”的情況有9種，分別為：

2143,2341,2413,3142,3412,3421,4123,4312,4321,

93

家長的排序與對應位置的數字完全不同的概率P=—=~.

248

基小孩對四種食物的排序是其他情況,

只需將角標A,B,C,。按照小孩的順序調整即可，

假設小孩的排序X4,XB,XC,。為1423的情況，四種食物按1234的排列為ACD5,

再研究yAyBycyn的情況即可，其實這樣處理后與第一種情況的計算結果是一致的，

???他們在一輪游戲中，對四種食物排出的序號完全不同的概率為！3.

O

5)根據⑴的分析，同樣只考慮小孩排序為1234的情況，家長的排序一共有24種情況,

列出所有情況，分別計算每種情況下的x的值，

X的分布列如下表：

X02468101214161820

11111111111

P

248246121212624824

(2)這位家長對小孩的飲食習慣比較了解.

理由如下：

假設家長對小孩的飲食習慣完全不了解，由(D可知，在一輪游戲中，

P(XV4)=尸(X=0)+P(X=2)=L

6

三輪游戲結果都滿足4”的概率為(4)3=，〈工.，

62161000

這個結果發(fā)生的可能性很小，

...這位家長對小孩飲食習慣比較了解.

【點睛】

本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合、列舉法等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題.

21、(I)見解析(II)生亙(III)\BP\=2

3111

【解析】

試題分析:

(I)取。為原點，ZM所在直線為x軸，OE所在直線為z軸建立空間直角坐標系，由題意可得平面A3E的法向量

n=(73,0,1),且DE=(—1,2,6)，據此有則"V/平面ABE.

(II)由題意可得平面螭的法向量機=(2道,6,4),結合(I)的結論可得IcosOU曰m=一1，即平面ABE

\)11\m\-\n\31

與平面EFB所成銳二面角的余弦值為豆豆.

31

(!!!)設。尸=40b=卜42%g),2e[0,l],則取二㈠―1,24—2,&),而平面ABE的法向量

八=(百據此可得sin6=kosBP,“=-^,解方程有人;或彳,據此計算可得網=2.

試題解析:

(I)取。為原點，ZM所在直線為x軸，。石所在直線為z軸建立空間直角坐標系，如圖，則4(1,0,0),5(1,2,0),

E(0,0,6),網—1,2,指)，，麗=(-1,—2,若)，AB=(