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湖南省張家界市重點(diǎn)中學(xué)2024屆高考考前模擬數(shù)學(xué)試題
考生請(qǐng)注意:
1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。
2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的
位置上。
3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。
一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.斜率為1的直線1與橢圓、+y2=l相交于A、B兩點(diǎn),貝!J|AB|的最大值為()
4^/5?4M8^/10
A.2B.nu.---------
555
13
V4,C=log14,
2.已知a=logi2131=|13則a,b,c的大小關(guān)系為()
A.a>b>cB.c>a>bC.b>c>aD.a>c>b
3.如圖所示,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖,則該幾何體的體積是()
4.國務(wù)院發(fā)布《關(guān)于進(jìn)一步調(diào)整優(yōu)化結(jié)構(gòu)、提高教育經(jīng)費(fèi)使用效益的意見》中提出,要優(yōu)先落實(shí)教育投入.某研究機(jī)
構(gòu)統(tǒng)計(jì)了2010年至2018年國家財(cái)政性教育經(jīng)費(fèi)投入情況及其在中的占比數(shù)據(jù),并將其繪制成下表,由下表可
知下列敘述錯(cuò)誤的是()
2010-2018年國家財(cái)政性教育經(jīng)費(fèi)投入情況及其在GDP中的占比情況(單位:億元,%)
500005.00%
4.16%4.10%4受%4.22%4.14%,"%
450004.28%4.50%
3.83%^*^-
400003.66%369904.00%
3500012922131.||3.50%
3000()3.00%
231482譽(yù)8.?HIII
250002.50%
200002.00%
1.50%
l.(X)%
0.50%
0.00%
w201x02011iH20122013l2L01420L15201L62017L2018
■財(cái)政性教育經(jīng)費(fèi)支出(億元)財(cái)政性教育經(jīng)費(fèi)占GDP比田:(%)
A.隨著文化教育重視程度的不斷提高,國在財(cái)政性教育經(jīng)費(fèi)的支出持續(xù)增長(zhǎng)
B.2012年以來,國家財(cái)政性教育經(jīng)費(fèi)的支出占GDP比例持續(xù)7年保持在4%以上
C.從2010年至2018年,中國GDP的總值最少增加60萬億
D.從2010年到2018年,國家財(cái)政性教育經(jīng)費(fèi)的支出增長(zhǎng)最多的年份是2012年
5.已知函數(shù)f(x)滿足當(dāng)尤<0時(shí),2/(x-2)=/(x),且當(dāng)xe(—2,0]時(shí),/(x)=|x+11—1;當(dāng)%>0時(shí),
/0)=108“歡。>0且。/1).若函數(shù)/。)的圖象上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)恰好有3對(duì),則。的取值范圍是()
A.(625,+oo)B.(4,64)C.(9,625)D.(9,64)
6.盒子中有編號(hào)為1,2,3,4,5,6,7的7個(gè)相同的球,從中任取3個(gè)編號(hào)不同的球,則取的3個(gè)球的編號(hào)的中位
數(shù)恰好為5的概率是()
2863
A.C.—D.-
3535357
7.下列函數(shù)中,在區(qū)間(O,+。)上為減函數(shù)的是()
2
A.y=Vx+TB.y-x-1C.y—D.y=log2x
其中三視圖的長(zhǎng)、寬、高分別為2,a,b,且2a+b=g(a>0力>0),則
8.已知一個(gè)三棱錐的三視圖如圖所示,
此三棱錐外接球表面積的最小值為()
正線四倒槐的
B.-71C.4%D.57r
4
b,C滿足:a-Z?=O,|c|=l,|?-c|=|z?-c|=5,則a-8的最小值為(
9.已知平面向量Q,)
A.5B.6C.7D.8
10.金庸先生的武俠小說《射雕英雄傳》第12回中有這樣一段情節(jié),“……洪七公道:肉只五種,但豬羊混咬是一般
滋味,獐牛同嚼又是一般滋味,一共有幾般變化,我可算不出了”.現(xiàn)有五種不同的肉,任何兩種(含兩種)以上的肉
混合后的滋味都不一樣,則混合后可以組成的所有不同的滋味種數(shù)為()
A.20B.24C.25D.26
11.設(shè)集合A=Uly=2*-1,x^R},B={x\-2<r<3,x^Z},則AnB=()
A.(-1,3]B.[-1,3]C.{0,1,2,3}D.{-1,0,1,2,3)
12.若a>0,b>0,貝!|““+。>4”是“ab<4”的()
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件
二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。
13.已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為1.AM=2MB點(diǎn)N、T分別為線段BC、C4上的動(dòng)點(diǎn),則
AB-NT+3C7M+CA-MN取值的集合為
14.已知圓柱的上下底面的中心分別為a,a,過直線的平面截該圓柱所得的截面是面積為36的正方形,則該
圓柱的體積為__
15.已知尸為拋物線C:,=8y的焦點(diǎn),尸為C上一點(diǎn),M(-4,3),則APMF周長(zhǎng)的最小值是.
lx2+5x+4|,x<0..
16.已知函數(shù)/■(;<)=L,1,若函數(shù)y=/(%)—ax恰有4個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.
2|x-2],x>0
三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17.(12分)已知/(x)=xlnx與丁=。有兩個(gè)不同的交點(diǎn)4B,其橫坐標(biāo)分別為知%(^<X2).
(1)求實(shí)數(shù)。的取值范圍;
z-x-p->-r,3<7+2+e3
(2)求證:ae+1<x2-<---------
18.(12分)在直角坐標(biāo)系xQy中,曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為土+>2=1.以原點(diǎn)。為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸建立
4-
極坐標(biāo)系,直線/的極坐標(biāo)方程為何sin6+(=3百.
(1)求直線/的直角坐標(biāo)方程;
(2)若點(diǎn)p在曲線C上,點(diǎn)。在直線/上,求IPQI的最小值.
19.(12分)函數(shù)/(x)=?x-ln(x+l),g(x)=sinx,且/(x)..O恒成立.
(1)求實(shí)數(shù)。的集合M;
(2)當(dāng)aeM時(shí),判斷Ax)圖象與g(x)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù),并證明.
(參考數(shù)據(jù):出220.69,1:1.77)
20.(12分)某機(jī)構(gòu)組織的家庭教育活動(dòng)上有一個(gè)游戲,每次由一個(gè)小孩與其一位家長(zhǎng)參與,測(cè)試家長(zhǎng)對(duì)小孩飲食習(xí)
慣的了解程度.在每一輪游戲中,主持人給出A,B,C,。四種食物,要求小孩根據(jù)自己的喜愛程度對(duì)其排序,然后
由家長(zhǎng)猜測(cè)小孩的排序結(jié)果.設(shè)小孩對(duì)四種食物排除的序號(hào)依次為XAXBXSO,家長(zhǎng)猜測(cè)的序號(hào)依次為其中
2
XAXBXCXD和班班"加)都是1,2,3,4四個(gè)數(shù)字的一種排列.定義隨機(jī)變量X=(XA-yA)2+(XB-JB)+(xc-yc)2+
(xD-yD)2,用X來衡量家長(zhǎng)對(duì)小孩飲食習(xí)慣的了解程度.
(1)若參與游戲的家長(zhǎng)對(duì)小孩的飲食習(xí)慣完全不了解.
(i)求他們?cè)谝惠営螒蛑校瑢?duì)四種食物排出的序號(hào)完全不同的概率;
(ii)求X的分布列(簡(jiǎn)要說明方法,不用寫出詳細(xì)計(jì)算過程);
(2)若有一組小孩和家長(zhǎng)進(jìn)行來三輪游戲,三輪的結(jié)果都滿足XV4,請(qǐng)判斷這位家長(zhǎng)對(duì)小孩飲食習(xí)慣是否了解,說
明理由.
21.(12分)如圖所示,直角梯形ABCD中,AD//BC,AD±AB,AB=BC=2AD=2,四邊形EDCF為矩形,
CF=瓜EDCFABCD.
B
⑴求證:DF1平面ABE;
⑵求平面ABE與平面EFB所成銳二面角的余弦值.
(3)在線段DF上是否存在點(diǎn)P,使得直線BP與平面ABE所成角的正弦值為且,若存在,求出線段BP的長(zhǎng),若不
4
存在,請(qǐng)說明理由.
22.(10分)已知橢圓C:W+£=1(a>^>0)的離心率為孚,且經(jīng)過點(diǎn)1—1,等)
(1)求橢圓C的方程;
(2)過點(diǎn)(6,0)作直線/與橢圓。交于不同的兩點(diǎn)A,B,試問在x軸上是否存在定點(diǎn)。使得直線QA與直線恰
關(guān)于x軸對(duì)稱?若存在,求出點(diǎn)。的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
參考答案
一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1、C
【解析】
設(shè)出直線的方程,代入橢圓方程中消去山根據(jù)判別式大于0求得f的范圍,進(jìn)而利用弦長(zhǎng)公式求得|4初的表達(dá)式,利
用f的范圍求得以為的最大值.
【詳解】
解:設(shè)直線/的方程為y=x+f,代入'+y=1,消去y得一,+2枕+1-1=0,
44
由題意得^=⑵)2-1(Z2-1)>0,即/2<1.
弦長(zhǎng)|AB|=40x或H4生匝.
55
故選:C.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了橢圓的應(yīng)用,直線與橢圓的關(guān)系.常需要把直線與橢圓方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理,判別式找到解決問
題的突破口.
2、D
【解析】
由指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)易得b最小,利用作差法,結(jié)合對(duì)數(shù)換底公式及基本不等式的性質(zhì)即可比較。和。的大小關(guān)
系,進(jìn)而得解.
【詳解】
13
根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知0<匕=("<],
由對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知a=logi213>l,c=log1314>l,所以b最??;
而由對(duì)數(shù)換底公式化簡(jiǎn)可得a-c=logl213-log1314
=lgl3_lgl4
-lgl2lgl3
_lg213-lg12-lgl4
一Igl2-lgl3
一]¥
由基本不等式可知lgl2,lgl4V-(Igl2+lgl4),代入上式可得
「[f
2lg213--(Igl2+lgl4)
嵯13-Igl2.lgl4301
Igl2-lgl3'Igl2-lgl3
(iY
lg213--lgl68
_______1
"Igl2-lgl3
riwi
Igl3+-lgl68-lgl3—lgl68
_I2八2J
~Igl2-lgl3
(lgl3+lgV168).(lgl3-lgA^68)
—Igl2-lgl3
所以
綜上可知
故選:D.
【點(diǎn)睛】
本題考查了指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)變形,對(duì)數(shù)換底公式及基本不等式的簡(jiǎn)單應(yīng)用,作差法比較大小,屬于中檔題.
3、A
【解析】
由三視圖還原出原幾何體,得出幾何體的結(jié)構(gòu)特征,然后計(jì)算體積.
【詳解】
由三視圖知原幾何體是一個(gè)四棱錐,四棱錐底面是邊長(zhǎng)為2的正方形,高為2,
1Q
直觀圖如圖所示,V=-x2x2x2=-.
33
故選:A.
【點(diǎn)睛】
本題考查三視圖,考查棱錐的體積公式,掌握基本幾何體的三視圖是解題關(guān)鍵.
4、C
【解析】
觀察圖表,判斷四個(gè)選項(xiàng)是否正確.
【詳解】
由表易知A、B、。項(xiàng)均正確,2010年中國G0P為"Sa41萬億元,2018年中國G0P為當(dāng)”=90萬億元,
3.55%4.11%
則從2010年至2018年,中國GDP的總值大約增加49萬億,故C項(xiàng)錯(cuò)誤.
【點(diǎn)睛】
本題考查統(tǒng)計(jì)圖表,正確認(rèn)識(shí)圖表是解題基礎(chǔ).
5、C
【解析】
先作出函數(shù)/(%)在(一*0]上的部分圖象,再作出/(X)=log。x關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖象,分類利用圖像列出有3個(gè)交點(diǎn)
時(shí)滿足的條件,解之即可.
【詳解】
先作出函數(shù)f(x)在(-8,0]上的部分圖象,再作出/(X)=log“X關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖象,
如圖所示,當(dāng)0<。<1時(shí),對(duì)稱后的圖象不可能與在(-8,0]的圖象有3個(gè)交點(diǎn);
當(dāng)。>1時(shí),要使函數(shù)/(元)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后的圖象與所作的圖象有3個(gè)交點(diǎn),
a>\
Tog。3〉一g,解得9<a<625.
則
,「1
-log?5<--
故選:C.
【點(diǎn)睛】
本題考查利用函數(shù)圖象解決函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題,考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想、轉(zhuǎn)化與化歸的思想,是一道中檔題.
6、B
【解析】
由題意,取的3個(gè)球的編號(hào)的中位數(shù)恰好為5的情況有所有的情況有《種,由古典概型的概率公式即得解.
【詳解】
由題意,取的3個(gè)球的編號(hào)的中位數(shù)恰好為5的情況有所有的情況有種
由古典概型,取的3個(gè)球的編號(hào)的中位數(shù)恰好為5的概率為:
故選:B
【點(diǎn)睛】
本題考查了排列組合在古典概型中的應(yīng)用,考查了學(xué)生綜合分析,概念理解,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.
7、C
【解析】
利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性判斷各選項(xiàng)中函數(shù)在區(qū)間(0,+8)上的單調(diào)性,進(jìn)而可得出結(jié)果.
【詳解】
對(duì)于A選項(xiàng),函數(shù)y=門在區(qū)間(0,+8)上為增函數(shù);
對(duì)于B選項(xiàng),函數(shù)丁=爐-1在區(qū)間(0,+。)上為增函數(shù);
對(duì)于C選項(xiàng),函數(shù)y=在區(qū)間(0,+")上為減函數(shù);
對(duì)于D選項(xiàng),函數(shù)y=10g2X在區(qū)間(0,+8)上為增函數(shù).
故選:C.
【點(diǎn)睛】
本題考查函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)性的判斷,熟悉一些常見的基本初等函數(shù)的單調(diào)性是判斷的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.
8、B
【解析】
根據(jù)三視圖得到幾何體為一三棱錐,并以該三棱錐構(gòu)造長(zhǎng)方體,于是得到三棱錐的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球,進(jìn)而
得到外接球的半徑,求得外接球的面積后可求出最小值.
【詳解】
由已知條件及三視圖得,此三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)位于長(zhǎng)方體A3CD-4耳£2的四個(gè)頂點(diǎn),即為三棱錐A-C與2,且
長(zhǎng)方體ABC?!狝BIGR的長(zhǎng)、寬、高分別為2,a,b,
n
...此三棱錐的外接球即為長(zhǎng)方體ABCD-A6G。的外接球,
且球半徑為R=6+4+/="+/+/,
22
.?.三棱錐外接球表面積為4?"+=^(4+a2+Z.2)=5^(a-l)2+—,
121
.?.當(dāng)且僅當(dāng)a=l,6=7時(shí),三棱錐外接球的表面積取得最小值為二乃.
24
故選B.
【點(diǎn)睛】
(1)解決關(guān)于外接球的問題的關(guān)鍵是抓住外接的特點(diǎn),即球心到多面體的頂點(diǎn)的距離都等于球的半徑,同時(shí)要作一圓
面起襯托作用.
(2)長(zhǎng)方體的外接球的直徑即為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線,對(duì)于一些比較特殊的三棱錐,在研究其外接球的問題時(shí)可考慮通
過構(gòu)造長(zhǎng)方體,通過長(zhǎng)方體的外球球來研究三棱錐的外接球的問題.
9、B
【解析】
rr
建立平面直角坐標(biāo)系,將已知條件轉(zhuǎn)化為所設(shè)未知量的關(guān)系式,再將的最小值轉(zhuǎn)化為用該關(guān)系式表達(dá)的算式,
利用基本不等式求得最小值.
【詳解】
建立平面直角坐標(biāo)系如下圖所示,設(shè)c=(cosasind),OA=a,OB=b,且4(加,0),8(0,9,由于
|?-c|=|z?-c|=5,所以77解e[4,6].
a-c=(m-cosa一sind),〃一c=(—cos0,n-sin6).所以
m2-2mcos0+cos28+sin?8=25
即+“2=48+2/17cos0+2nsin0?
n2-Znsin^+sin2^+cos20=25
J(a-c)_2(a_<?)?(/?_c)+(〃-c)=^48+2mcos3+2nsin0
==
=ylnr+n2>y/2mn?當(dāng)且僅當(dāng)m=n時(shí)取得最小值,此時(shí)由機(jī)?+/=48+2mcos,+2"sin,得
2〃/=48+2m(sin,+cos,)=48+2j5msin[,+?J,當(dāng)。=子時(shí),2根?有最小值為48—2/n,即
l5%rr
2m2=48-2V2m>m2+V2m-24=0>解得m=30?所以當(dāng)且僅當(dāng)根=〃=342,。=7-時(shí)a—b有最小值為
,2x(3何=6-
故選:B
本小題主要考查向量的位置關(guān)系、向量的模,考查基本不等式的運(yùn)用,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,屬于難題.
10、D
【解析】
利用組合的意義可得混合后所有不同的滋味種數(shù)為C;+C;+或+C;,再利用組合數(shù)的計(jì)算公式可得所求的種數(shù).
【詳解】
混合后可以組成的所有不同的滋味種數(shù)為=20+5+1=26(種),
故選:D.
【點(diǎn)睛】
本題考查組合的應(yīng)用,此類問題注意實(shí)際問題的合理轉(zhuǎn)化,本題屬于容易題.
11,C
【解析】
先求集合4,再用列舉法表示出集合凰再根據(jù)交集的定義求解即可.
【詳解】
解:?.?集合4={加=2,-1,xe/?!={jly>-1},
B={x|-2<x<3,xGZ}={-2,-1,0,1,2,3},
/.AnB={0,1,2,3),
故選:C.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查集合的交集運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.
12、A
【解析】
本題根據(jù)基本不等式,結(jié)合選項(xiàng),判斷得出充分性成立,利用“特殊值法”,通過特取。,6的值,推出矛盾,確定必要
性不成立.題目有一定難度,注重重要知識(shí)、基礎(chǔ)知識(shí)、邏輯推理能力的考查.
【詳解】
當(dāng)。>0,匕>0時(shí),a+b>14ab,則當(dāng)a+/?W4時(shí),有2病<a+6<4,解得充分性成立;當(dāng)。=1,匕=4
時(shí),滿足就44,但此時(shí)。+6=5>4,必要性不成立,綜上所述,“。+/?44"是“"<4”的充分不必要條件.
【點(diǎn)睛】
易出現(xiàn)的錯(cuò)誤有,一是基本不等式掌握不熟,導(dǎo)致判斷失誤;二是不能靈活的應(yīng)用“賦值法”,通過特取6的值,從
假設(shè)情況下推出合理結(jié)果或矛盾結(jié)果.
二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。
13、{-6}
【解析】
根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)三角形各點(diǎn)的坐標(biāo),依題意求出NT,TM,又N,的表達(dá)式,再進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算,最后求
和即可得出結(jié)果.
【詳解】
解:以8C的中點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn),BC所在直線為x軸,線段BC的垂直平分線為丁軸建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示,
則A(0,網(wǎng),6(-l,0),C(l,0),M
則A3=(—1,—@貴=(2,0),C4=(-1,6),
設(shè)N”,0),AT=AAC,
OT=OA+AT=OA+AAC=(Q,j3)+4(1,—6)=(2,73(1-2)),
即點(diǎn)T的坐標(biāo)為(九y/3(l-2)),
則NT=(/lT,若(1—X)),77Vf=-1-2,y^-73(l-2),MN=?+
所以AB?NT+BCTM+CA-MN
=-lx(Z-0+(-5/3)xV3(l-/l)+2xf-1-zj+0xy—73(1-2)+
=-6
故答案為:{-6}
本題考查平面向量的坐標(biāo)表示和線性運(yùn)算,以及平面向量基本定理和數(shù)量積的運(yùn)算,是中檔題.
14、54"
【解析】
由軸截面是正方形,易求底面半徑和高,則圓柱的體積易求.
【詳解】
解:因?yàn)檩S截面是正方形,且面積是36,
所以圓柱的底面直徑和高都是6
V=兀=%x32x6=54%
故答案為:54〃
【點(diǎn)睛】
考查圓柱的軸截面和其體積的求法,是基礎(chǔ)題.
15、5+V17
【解析】
△PMF的周長(zhǎng)最小,即求|「河|+|尸/I最小,過P做拋物線準(zhǔn)線的垂線,垂足為Q,轉(zhuǎn)化為求1尸河1+1PQI最小,
數(shù)形結(jié)合即可求解.
【詳解】
如圖,尸為拋物線C:,=8y的焦點(diǎn),尸為C上一點(diǎn),M(-4,3),
拋物線C:必=8/的焦點(diǎn)為尸(0,2),準(zhǔn)線方程為y=-2.
過P作準(zhǔn)線的垂線,垂足為Q,則有I尸/l=|PQI
|PM|+|PF|=|PM|+|P2|>|MQ\=5,
當(dāng)且僅當(dāng)/,尸,Q三點(diǎn)共線時(shí),等號(hào)成立,
所以△PMF的周長(zhǎng)最小值為5+J(—4f+(3—=5+717.
故答案為:5+V17.
本題考查拋物線定義的應(yīng)用,考查數(shù)形結(jié)合與數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法,屬于中檔題.
16、(L3)
【解析】
函數(shù)V=/(x)—恰有4個(gè)零點(diǎn),等價(jià)于函數(shù)/(元)與函數(shù)y=a|x|的圖象有四個(gè)不同的交點(diǎn),畫出函數(shù)圖象,利用
數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解即可.
【詳解】
函數(shù)y=/(x)—恰有4個(gè)零點(diǎn),等價(jià)于函數(shù)f(x)與函數(shù))的圖象有四個(gè)不同的交點(diǎn),畫出函數(shù)圖象如下圖
所示:
故答案為:(1,3)
【點(diǎn)睛】
本題考查了已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)取值范圍問題,考查了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想.
三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17、(1)(一5°];(2)見解析
【解析】
(1)利用導(dǎo)數(shù)研究/(x)=xlnx的單調(diào)性,分析函數(shù)性質(zhì),數(shù)形結(jié)合,即得解;
11(fl
(2)構(gòu)造函數(shù)g(x)=-x-xlnx,hCx)=----(無一1)一jdnx可證得:-x>xinx,----(x-l)>xiwcxe-,1
e-1e-V7I(e
分析直線y=y=」一(x—l)與y=a
從左到右交點(diǎn)的橫坐標(biāo),/(X)在x=e-3,無=1處的切線即得解.
【詳解】
(1)設(shè)函數(shù)/(x)=xlnx,
/'(%)=1+lnx,
令尸(x)>0,x>L4'/'(x)<0,0<x<—
故/(九)在(0,)單調(diào)遞減,在g,包)單調(diào)遞增,
?.y=/II
???尤f0+時(shí)/(%)-。;/(1)=0;時(shí)/(%)—+8
貝!|令g(x)=f_xlnx,XG^O,-
短(x)=-2-lnx
=g(%)max=g("2),g(x)mta>min0,
/
=^>-x>xiwcxe
②過點(diǎn)(i,o),H,—1的直線為了=匕(犬一1),
l
貝!|/z(x)=---(x-l)-xlnxXG
e-1{
〃(x)=T—In%—1>0n/z(x)在上單調(diào)遞增
=>/z(x)>/z(』)=O=>^"^(x—l)>xhuxe^—,1
③設(shè)直線y=_x,y=」一(x—l)與y=a
c—\
從左到右交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為退=-。,5=a(e-D+l,
由圖知/一%>x4~x3=ae+l.
④/(x)在x=e-3,兀=1處的切線分別為丫=—2工—"3,y=x-l,同理可以證得
記直線丁=。與兩切線和/z(x)從左到右交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為七,西,%,天,
3a+2-a
2
【點(diǎn)睛】
本題考查了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合,考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合,綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,邏輯推理,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于較難題.
18、(1)x+y-36=0(2)回
【解析】
(1)直接利用極坐標(biāo)公式計(jì)算得到答案
(2)設(shè)P(2cosa,sina),1=電網(wǎng)經(jīng)處之包,根據(jù)三角函數(shù)的有界性得到答案.
【詳解】
(1)因?yàn)轹縪sin,+m=36,所以0sine+/?cos6-3百=0,
因?yàn)椋?八所以直線/的直角坐標(biāo)方程為x+y-3君=0.
y=psme.
(2)由題意可設(shè)尸(2cos%sina),
則點(diǎn)P到直線l的距離d=12cosc+,9"3君|=函sm(*y-36
V2V2
因?yàn)橐?麴bin(a+e)1,所以J蕊H2y/10,
因?yàn)镮PQI.S,故IPQI的最小值為JIU.
【點(diǎn)睛】
本題考查了極坐標(biāo)方程,參數(shù)方程,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.
19、(1){1};(2)2個(gè),證明見解析
【解析】
(1)要,(x)..O恒成立,只要/(元)的最小值大于或等于零即可,所以只要討論求解看了(元)是否有最小值;
(2)將圖像與g(x)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為方程/(x)=g(x)實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)問題,然后構(gòu)造函數(shù)
=/(x)-g(x),再利用導(dǎo)數(shù)討論此函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
【詳解】
(1)/(x)的定義域?yàn)?—1,+8),因?yàn)?'(x)=a———,
x+1
1。當(dāng)%0時(shí),/'(為<0,75)在土?(0,4?>)上單調(diào)遞減,去e(o,4w)時(shí),使得/。)</(0)=0,與條件矛盾;
2。當(dāng)。>0時(shí),由/'(幻<0,得—l<xJ—1;由/(%)>0,得x〉L—1,所以/(尤)在(―J—1]上單調(diào)遞減,
aa\aJ
在]T,+j上單調(diào)遞增,即有狐(x)=d=l—a+lna,由/'(x)..0恒成立,所以1—a+lna.O恒成立,
1\-
令h(a)=1-a+Ina(a>0),h'(a)=-1+—=----a,
aa
若0<a<1,h'(d)^0,h(a)<h(l)=0;
若a>L〃(a)<O,7z(a)<7z(l)=O;而a=l時(shí),h(a)=O,要使l-a+lna.O恒成立,
故H.
(2)原問題轉(zhuǎn)化為方程/(x)=g(x)實(shí)根個(gè)數(shù)問題,
當(dāng)。=1時(shí),“X)圖象與g(x)圖象有且僅有2個(gè)交點(diǎn),理由如下:
由/(x)=g(x),gpx-ln(x+l)-sinx=O,令°(x)=x-ln(x+l)-sinx,
因?yàn)?(0)=0,所以x=0是0(x)=。的一根;(p'(x)=1——-——cosx,
x+1
1。當(dāng)_l<x<0時(shí),1---—(0,cosjf)0,
x+1
所以“(九)<o,9(x)在(-1,0)上單調(diào)遞減,以%)>9(0)=0,即°(幻=。在(-1,0)上無實(shí)根;
2。當(dāng)0cx<3時(shí),(p\x)=---+sinx>0,
(x+1)?2
n2
則9(x)在(0,3)上單調(diào)遞遞增,又°,=1------>0,^(0)=-1<0,
71+2
0,11,且滿足1-1
所以9,(x)=0在(0,3)上有唯一實(shí)根xo,xoe----7=cos%,
%+1
①當(dāng)O<x,不時(shí),9(x),,0,9(x)在(0,%]上單調(diào)遞減,此時(shí)。(%)<。(0)=0,。(%)=0在(0,九()]上無實(shí)根;
二1
②當(dāng)x0<x<3時(shí),/(%)>0,0(%)在(%,3)上單調(diào)遞增,=+=
2+1
2,\
<ln----(lnl=0,^(3)=3-sin3-21n2=2(l-ln2)+l-sin3)0?,,八才/文、L七?!?H
兀、//,故。(幻=。在(%,3)上有唯一實(shí)根.
--ri
2
3。當(dāng)xN3時(shí),由(1)知,%Tn(l+x)—l在(0,+co)上單調(diào)遞增,
所以x-ln(l+x)-L.2-21n2=21n]>0,
故"(x)=x-ln(l+x)-sinx=x-ln(l+x)-l+(l-sinx)>0,所以°(x)=0在[3,+oo)上無實(shí)根.
綜合1。,2°,3°,故0(%)=。有兩個(gè)實(shí)根,即/(尤)圖象與g(x)圖象有且僅有2個(gè)交點(diǎn).
【點(diǎn)睛】
此題考查不等式恒成立問題、函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化思想,考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用,屬于較難題.
3
20、(l)(i):(ii)分布表見解析;(2)理由見解析
O
【解析】
(1)(i)若家長(zhǎng)對(duì)小孩子的飲食習(xí)慣完全不了解,則家長(zhǎng)對(duì)小孩的排序是隨意猜測(cè)的,家長(zhǎng)的排序有禺=24種等可
能結(jié)果,利用列舉法求出其中滿足“家長(zhǎng)的排序與對(duì)應(yīng)位置的數(shù)字完全不同”的情況有9種,由此能求出他們?cè)谝惠営?/p>
戲中,對(duì)四種食物排出的序號(hào)完全不同的概率.
(ii)根據(jù)(i)的分析,同樣只考慮小孩排序?yàn)?234的情況,家長(zhǎng)的排序一共有24種情況,由此能求出X的分布列.
(2)假設(shè)家長(zhǎng)對(duì)小孩的飲食習(xí)慣完全不了解,在一輪游戲中,P(XV4)=P(X=0)+P(X=2)=」,三輪游戲結(jié)果
都滿足“X<4”的概率為工<二,這個(gè)結(jié)果發(fā)生的可能性很小,從而這位家長(zhǎng)對(duì)小孩飲食習(xí)慣比較了解.
2161000
【詳解】
(1)CO若家長(zhǎng)對(duì)小孩子的飲食習(xí)慣完全不了解,
則家長(zhǎng)對(duì)小孩的排序是隨意猜測(cè)的,
先考慮小孩的排序?yàn)閄A,XB,xc,期為1234的情況,家長(zhǎng)的排序有=24種等可能結(jié)果,
其中滿足“家長(zhǎng)的排序與對(duì)應(yīng)位置的數(shù)字完全不同”的情況有9種,分別為:
2143,2341,2413,3142,3412,3421,4123,4312,4321,
93
家長(zhǎng)的排序與對(duì)應(yīng)位置的數(shù)字完全不同的概率P=—=~.
248
基小孩對(duì)四種食物的排序是其他情況,
只需將角標(biāo)A,B,C,。按照小孩的順序調(diào)整即可,
假設(shè)小孩的排序X4,XB,XC,。為1423的情況,四種食物按1234的排列為ACD5,
再研究yAyBycyn的情況即可,其實(shí)這樣處理后與第一種情況的計(jì)算結(jié)果是一致的,
???他們?cè)谝惠営螒蛑?,?duì)四種食物排出的序號(hào)完全不同的概率為!3.
O
5)根據(jù)⑴的分析,同樣只考慮小孩排序?yàn)?234的情況,家長(zhǎng)的排序一共有24種情況,
列出所有情況,分別計(jì)算每種情況下的x的值,
X的分布列如下表:
X02468101214161820
11111111111
P
248246121212624824
(2)這位家長(zhǎng)對(duì)小孩的飲食習(xí)慣比較了解.
理由如下:
假設(shè)家長(zhǎng)對(duì)小孩的飲食習(xí)慣完全不了解,由(D可知,在一輪游戲中,
P(XV4)=尸(X=0)+P(X=2)=L
6
三輪游戲結(jié)果都滿足4”的概率為(4)3=,〈工.,
62161000
這個(gè)結(jié)果發(fā)生的可能性很小,
...這位家長(zhǎng)對(duì)小孩飲食習(xí)慣比較了解.
【點(diǎn)睛】
本題考查概率的求法,考查古典概型、排列組合、列舉法等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,是中檔題.
21、(I)見解析(II)生亙(III)\BP\=2
3111
【解析】
試題分析:
(I)取。為原點(diǎn),ZM所在直線為x軸,OE所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,由題意可得平面A3E的法向量
n=(73,0,1),且DE=(—1,2,6),據(jù)此有則"V/平面ABE.
(II)由題意可得平面螭的法向量機(jī)=(2道,6,4),結(jié)合(I)的結(jié)論可得IcosOU曰m=一1,即平面ABE
\)11\m\-\n\31
與平面EFB所成銳二面角的余弦值為豆豆.
31
(!!!)設(shè)。尸=40b=卜42%g),2e[0,l],則取二㈠―1,24—2,&),而平面ABE的法向量
八=(百據(jù)此可得sin6=kosBP,“=-^,解方程有人;或彳,據(jù)此計(jì)算可得網(wǎng)=2.
試題解析:
(I)取。為原點(diǎn),ZM所在直線為x軸,。石所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,則4(1,0,0),5(1,2,0),
E(0,0,6),網(wǎng)—1,2,指),,麗=(-1,—2,若),AB=(
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