湖南省張家界市2024屆高考考前模擬數(shù)學(xué)試題含解析

湖南省張家界市重點(diǎn)中學(xué)2024屆高考考前模擬數(shù)學(xué)試題

考生請(qǐng)注意：

1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.斜率為1的直線1與橢圓、+y2=l相交于A、B兩點(diǎn)，貝!J|AB|的最大值為（）

4^/5?4M8^/10

A.2B.nu.---------

555

13

V4,C=log14,

2.已知a=logi2131=|13則a,b,c的大小關(guān)系為（）

A.a>b>cB.c>a>bC.b>c>aD.a>c>b

3.如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是（)

4.國務(wù)院發(fā)布《關(guān)于進(jìn)一步調(diào)整優(yōu)化結(jié)構(gòu)、提高教育經(jīng)費(fèi)使用效益的意見》中提出，要優(yōu)先落實(shí)教育投入.某研究機(jī)

構(gòu)統(tǒng)計(jì)了2010年至2018年國家財(cái)政性教育經(jīng)費(fèi)投入情況及其在中的占比數(shù)據(jù)，并將其繪制成下表,由下表可

知下列敘述錯(cuò)誤的是（）

2010-2018年國家財(cái)政性教育經(jīng)費(fèi)投入情況及其在GDP中的占比情況（單位：億元,％）

500005.00%

4.16%4.10%4受%4.22%4.14%,"%

450004.28%4.50%

3.83%^*^-

400003.66%369904.00%

3500012922131.||3.50%

3000()3.00%

231482譽(yù)8.?HIII

250002.50%

200002.00%

1.50%

l.(X)%

0.50%

0.00%

w201x02011iH20122013l2L01420L15201L62017L2018

■財(cái)政性教育經(jīng)費(fèi)支出（億元）財(cái)政性教育經(jīng)費(fèi)占GDP比田：（％）

A.隨著文化教育重視程度的不斷提高，國在財(cái)政性教育經(jīng)費(fèi)的支出持續(xù)增長(zhǎng)

B.2012年以來，國家財(cái)政性教育經(jīng)費(fèi)的支出占GDP比例持續(xù)7年保持在4%以上

C.從2010年至2018年，中國GDP的總值最少增加60萬億

D.從2010年到2018年，國家財(cái)政性教育經(jīng)費(fèi)的支出增長(zhǎng)最多的年份是2012年

5.已知函數(shù)f（x）滿足當(dāng)尤＜0時(shí)，2/（x-2）=/（x）,且當(dāng)xe（—2,0］時(shí)，/（x）=|x+11—1；當(dāng)％＞0時(shí),

/0）=108“歡。＞0且。/1）.若函數(shù)/。）的圖象上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)恰好有3對(duì)，則。的取值范圍是（）

A.(625,+oo)B.(4,64)C.(9,625)D.(9,64)

6.盒子中有編號(hào)為1,2,3,4,5,6,7的7個(gè)相同的球，從中任取3個(gè)編號(hào)不同的球，則取的3個(gè)球的編號(hào)的中位

數(shù)恰好為5的概率是（)

2863

A.C.—D.-

3535357

7.下列函數(shù)中，在區(qū)間（O,+。）上為減函數(shù)的是（）

2

A.y=Vx+TB.y-x-1C.y—D.y=log2x

其中三視圖的長(zhǎng)、寬、高分別為2,a,b,且2a+b=g（a＞0力＞0）,則

8.已知一個(gè)三棱錐的三視圖如圖所示,

此三棱錐外接球表面積的最小值為（）

正線四倒槐的

B.-71C.4%D.57r

4

b，C滿足：a-Z?=O,|c|=l,|?-c|=|z?-c|=5,則a-8的最小值為(

9.已知平面向量Q,)

A.5B.6C.7D.8

10.金庸先生的武俠小說《射雕英雄傳》第12回中有這樣一段情節(jié)，“……洪七公道：肉只五種，但豬羊混咬是一般

滋味，獐牛同嚼又是一般滋味，一共有幾般變化，我可算不出了”.現(xiàn)有五種不同的肉，任何兩種(含兩種)以上的肉

混合后的滋味都不一樣，則混合后可以組成的所有不同的滋味種數(shù)為()

A.20B.24C.25D.26

11.設(shè)集合A=Uly=2*-1,x^R},B={x\-2<r<3,x^Z},則AnB=()

A.(-1,3]B.[-1,3]C.{0,1,2,3}D.{-1,0,1,2,3)

12.若a>0,b>0,貝！|““+。>4”是“ab<4”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為1.AM=2MB點(diǎn)N、T分別為線段BC、C4上的動(dòng)點(diǎn)，則

AB-NT+3C7M+CA-MN取值的集合為

14.已知圓柱的上下底面的中心分別為a，a,過直線的平面截該圓柱所得的截面是面積為36的正方形，則該

圓柱的體積為__

15.已知尸為拋物線C：，=8y的焦點(diǎn)，尸為C上一點(diǎn)，M(-4,3),則APMF周長(zhǎng)的最小值是.

lx2+5x+4|,x<0..

16.已知函數(shù)/■(;<)=L,1，若函數(shù)y=/(%)—ax恰有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.

2|x-2],x>0

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知/(x)=xlnx與丁=。有兩個(gè)不同的交點(diǎn)4B,其橫坐標(biāo)分別為知%(^<X2).

(1)求實(shí)數(shù)。的取值范圍;

z-x-p->-r,3<7+2+e3

(2)求證：ae+1<x2-<---------

18.(12分)在直角坐標(biāo)系xQy中，曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為土+>2=1.以原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立

4-

極坐標(biāo)系，直線/的極坐標(biāo)方程為何sin6+(=3百.

(1)求直線/的直角坐標(biāo)方程;

(2)若點(diǎn)p在曲線C上，點(diǎn)。在直線/上，求IPQI的最小值.

19.(12分)函數(shù)/(x)=?x-ln(x+l),g(x)=sinx,且/(x)..O恒成立.

(1)求實(shí)數(shù)。的集合M；

(2)當(dāng)aeM時(shí)，判斷Ax)圖象與g(x)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明.

(參考數(shù)據(jù)：出220.69,1:1.77)

20.(12分)某機(jī)構(gòu)組織的家庭教育活動(dòng)上有一個(gè)游戲，每次由一個(gè)小孩與其一位家長(zhǎng)參與，測(cè)試家長(zhǎng)對(duì)小孩飲食習(xí)

慣的了解程度.在每一輪游戲中，主持人給出A,B,C,。四種食物，要求小孩根據(jù)自己的喜愛程度對(duì)其排序，然后

由家長(zhǎng)猜測(cè)小孩的排序結(jié)果.設(shè)小孩對(duì)四種食物排除的序號(hào)依次為XAXBXSO,家長(zhǎng)猜測(cè)的序號(hào)依次為其中

2

XAXBXCXD和班班"加)都是1,2,3,4四個(gè)數(shù)字的一種排列.定義隨機(jī)變量X=(XA-yA)2+(XB-JB)+(xc-yc)2+

(xD-yD)2,用X來衡量家長(zhǎng)對(duì)小孩飲食習(xí)慣的了解程度.

(1)若參與游戲的家長(zhǎng)對(duì)小孩的飲食習(xí)慣完全不了解.

(i)求他們?cè)谝惠営螒蛑校瑢?duì)四種食物排出的序號(hào)完全不同的概率；

(ii)求X的分布列(簡(jiǎn)要說明方法，不用寫出詳細(xì)計(jì)算過程)；

(2)若有一組小孩和家長(zhǎng)進(jìn)行來三輪游戲，三輪的結(jié)果都滿足XV4,請(qǐng)判斷這位家長(zhǎng)對(duì)小孩飲食習(xí)慣是否了解，說

明理由.

21.(12分)如圖所示，直角梯形ABCD中，AD//BC,AD±AB,AB=BC=2AD=2,四邊形EDCF為矩形,

CF=瓜EDCFABCD.

B

⑴求證：DF1平面ABE；

⑵求平面ABE與平面EFB所成銳二面角的余弦值.

(3)在線段DF上是否存在點(diǎn)P,使得直線BP與平面ABE所成角的正弦值為且，若存在，求出線段BP的長(zhǎng)，若不

4

存在，請(qǐng)說明理由.

22.(10分)已知橢圓C：W+￡=1(a>^>0)的離心率為孚，且經(jīng)過點(diǎn)1—1,等)

(1)求橢圓C的方程；

(2)過點(diǎn)(6,0)作直線/與橢圓。交于不同的兩點(diǎn)A,B,試問在x軸上是否存在定點(diǎn)。使得直線QA與直線恰

關(guān)于x軸對(duì)稱？若存在，求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、C

【解析】

設(shè)出直線的方程，代入橢圓方程中消去山根據(jù)判別式大于0求得f的范圍，進(jìn)而利用弦長(zhǎng)公式求得|4初的表達(dá)式，利

用f的范圍求得以為的最大值.

【詳解】

解：設(shè)直線/的方程為y=x+f,代入'+y=1,消去y得一，+2枕+1-1=0,

44

由題意得^=⑵)2-1(Z2-1)>0,即/2<1.

弦長(zhǎng)|AB|=40x或H4生匝.

55

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了橢圓的應(yīng)用，直線與橢圓的關(guān)系.常需要把直線與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，判別式找到解決問

題的突破口.

2、D

【解析】

由指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)易得b最小，利用作差法，結(jié)合對(duì)數(shù)換底公式及基本不等式的性質(zhì)即可比較。和。的大小關(guān)

系，進(jìn)而得解.

【詳解】

13

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知0<匕=("<],

由對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知a=logi213>l,c=log1314>l,所以b最??；

而由對(duì)數(shù)換底公式化簡(jiǎn)可得a-c=logl213-log1314

=lgl3_lgl4

-lgl2lgl3

_lg213-lg12-lgl4

一Igl2-lgl3

一］￥

由基本不等式可知lgl2,lgl4V-(Igl2+lgl4)，代入上式可得

「［f

2lg213--(Igl2+lgl4)

嵯13-Igl2.lgl4301

Igl2-lgl3'Igl2-lgl3

(iY

lg213--lgl68

_______1

"Igl2-lgl3

riwi

Igl3+-lgl68-lgl3—lgl68

_I2八2J

~Igl2-lgl3

(lgl3+lgV168).(lgl3-lgA^68)

—Igl2-lgl3

所以

綜上可知

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)變形，對(duì)數(shù)換底公式及基本不等式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，作差法比較大小，屬于中檔題.

3、A

【解析】

由三視圖還原出原幾何體，得出幾何體的結(jié)構(gòu)特征，然后計(jì)算體積.

【詳解】

由三視圖知原幾何體是一個(gè)四棱錐，四棱錐底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，高為2,

1Q

直觀圖如圖所示，V=-x2x2x2=-.

33

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查三視圖，考查棱錐的體積公式，掌握基本幾何體的三視圖是解題關(guān)鍵.

4、C

【解析】

觀察圖表，判斷四個(gè)選項(xiàng)是否正確.

【詳解】

由表易知A、B、。項(xiàng)均正確，2010年中國G0P為"Sa41萬億元，2018年中國G0P為當(dāng)”=90萬億元,

3.55%4.11%

則從2010年至2018年，中國GDP的總值大約增加49萬億，故C項(xiàng)錯(cuò)誤.

【點(diǎn)睛】

本題考查統(tǒng)計(jì)圖表，正確認(rèn)識(shí)圖表是解題基礎(chǔ).

5、C

【解析】

先作出函數(shù)/（%）在（一*0］上的部分圖象，再作出/（X）=log。x關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖象，分類利用圖像列出有3個(gè)交點(diǎn)

時(shí)滿足的條件，解之即可.

【詳解】

先作出函數(shù)f（x）在（-8,0］上的部分圖象，再作出/（X）=log“X關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖象,

如圖所示，當(dāng)0＜。＜1時(shí)，對(duì)稱后的圖象不可能與在（-8,0］的圖象有3個(gè)交點(diǎn);

當(dāng)。＞1時(shí)，要使函數(shù)/（元）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后的圖象與所作的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，

a>\

Tog。3〉一g,解得9<a<625.

則

,「1

-log?5<--

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用函數(shù)圖象解決函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想、轉(zhuǎn)化與化歸的思想，是一道中檔題.

6、B

【解析】

由題意，取的3個(gè)球的編號(hào)的中位數(shù)恰好為5的情況有所有的情況有《種，由古典概型的概率公式即得解.

【詳解】

由題意，取的3個(gè)球的編號(hào)的中位數(shù)恰好為5的情況有所有的情況有種

由古典概型，取的3個(gè)球的編號(hào)的中位數(shù)恰好為5的概率為：

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查了排列組合在古典概型中的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，概念理解，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.

7、C

【解析】

利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性判斷各選項(xiàng)中函數(shù)在區(qū)間（0,+8）上的單調(diào)性，進(jìn)而可得出結(jié)果.

【詳解】

對(duì)于A選項(xiàng)，函數(shù)y=門在區(qū)間（0,+8）上為增函數(shù)；

對(duì)于B選項(xiàng)，函數(shù)丁=爐-1在區(qū)間（0,+。）上為增函數(shù)；

對(duì)于C選項(xiàng)，函數(shù)y=在區(qū)間（0,+"）上為減函數(shù)；

對(duì)于D選項(xiàng)，函數(shù)y=10g2X在區(qū)間（0,+8）上為增函數(shù).

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)性的判斷，熟悉一些常見的基本初等函數(shù)的單調(diào)性是判斷的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

8、B

【解析】

根據(jù)三視圖得到幾何體為一三棱錐，并以該三棱錐構(gòu)造長(zhǎng)方體，于是得到三棱錐的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球，進(jìn)而

得到外接球的半徑，求得外接球的面積后可求出最小值.

【詳解】

由已知條件及三視圖得，此三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)位于長(zhǎng)方體A3CD-4耳￡2的四個(gè)頂點(diǎn)，即為三棱錐A-C與2,且

長(zhǎng)方體ABC?！狝BIGR的長(zhǎng)、寬、高分別為2,a,b,

n

...此三棱錐的外接球即為長(zhǎng)方體ABCD-A6G。的外接球，

且球半徑為R=6+4+/="+/+/,

22

.?.三棱錐外接球表面積為4?"+=^（4+a2+Z.2）=5^（a-l）2+—，

121

.?.當(dāng)且僅當(dāng)a=l,6=7時(shí)，三棱錐外接球的表面積取得最小值為二乃.

24

故選B.

【點(diǎn)睛】

(1)解決關(guān)于外接球的問題的關(guān)鍵是抓住外接的特點(diǎn)，即球心到多面體的頂點(diǎn)的距離都等于球的半徑，同時(shí)要作一圓

面起襯托作用.

(2)長(zhǎng)方體的外接球的直徑即為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，對(duì)于一些比較特殊的三棱錐，在研究其外接球的問題時(shí)可考慮通

過構(gòu)造長(zhǎng)方體，通過長(zhǎng)方體的外球球來研究三棱錐的外接球的問題.

9、B

【解析】

rr

建立平面直角坐標(biāo)系，將已知條件轉(zhuǎn)化為所設(shè)未知量的關(guān)系式，再將的最小值轉(zhuǎn)化為用該關(guān)系式表達(dá)的算式，

利用基本不等式求得最小值.

【詳解】

建立平面直角坐標(biāo)系如下圖所示，設(shè)c=(cosasind),OA=a,OB=b,且4(加,0),8(0,9，由于

|?-c|=|z?-c|=5,所以77解e[4,6].

a-c=(m-cosa一sind)，〃一c=(—cos0,n-sin6).所以

m2-2mcos0+cos28+sin?8=25

即+“2=48+2/17cos0+2nsin0?

n2-Znsin^+sin2^+cos20=25

J(a-c)_2(a_<?)?(/?_c)+(〃-c)=^48+2mcos3+2nsin0

==

=ylnr+n2>y/2mn?當(dāng)且僅當(dāng)m=n時(shí)取得最小值，此時(shí)由機(jī)？+/=48+2mcos，+2"sin，得

2〃/=48+2m(sin，+cos，)=48+2j5msin[，+?J,當(dāng)。=子時(shí)，2根？有最小值為48—2/n，即

l5%rr

2m2=48-2V2m>m2+V2m-24=0>解得m=30?所以當(dāng)且僅當(dāng)根=〃=342,。=7-時(shí)a—b有最小值為

,2x(3何=6-

故選：B

本小題主要考查向量的位置關(guān)系、向量的模，考查基本不等式的運(yùn)用，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.

10、D

【解析】

利用組合的意義可得混合后所有不同的滋味種數(shù)為C；+C；+或+C；,再利用組合數(shù)的計(jì)算公式可得所求的種數(shù).

【詳解】

混合后可以組成的所有不同的滋味種數(shù)為=20+5+1=26（種），

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查組合的應(yīng)用，此類問題注意實(shí)際問題的合理轉(zhuǎn)化，本題屬于容易題.

11,C

【解析】

先求集合4,再用列舉法表示出集合凰再根據(jù)交集的定義求解即可.

【詳解】

解：?.?集合4={加=2,-1,xe/?!={jly>-1},

B={x|-2<x<3,xGZ}={-2,-1,0,1,2,3},

/.AnB={0,1,2,3）,

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查集合的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

12、A

【解析】

本題根據(jù)基本不等式，結(jié)合選項(xiàng)，判斷得出充分性成立，利用“特殊值法”，通過特取。,6的值，推出矛盾，確定必要

性不成立.題目有一定難度，注重重要知識(shí)、基礎(chǔ)知識(shí)、邏輯推理能力的考查.

【詳解】

當(dāng)。>0,匕>0時(shí)，a+b>14ab，則當(dāng)a+/?W4時(shí)，有2病<a+6<4,解得充分性成立；當(dāng)。=1,匕=4

時(shí)，滿足就44,但此時(shí)。+6=5>4,必要性不成立，綜上所述，“。+/?44"是“"<4”的充分不必要條件.

【點(diǎn)睛】

易出現(xiàn)的錯(cuò)誤有，一是基本不等式掌握不熟，導(dǎo)致判斷失誤；二是不能靈活的應(yīng)用“賦值法”，通過特取6的值，從

假設(shè)情況下推出合理結(jié)果或矛盾結(jié)果.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、{-6}

【解析】

根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)三角形各點(diǎn)的坐標(biāo)，依題意求出NT,TM，又N，的表達(dá)式，再進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算,最后求

和即可得出結(jié)果.

【詳解】

解：以8C的中點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn),BC所在直線為x軸，線段BC的垂直平分線為丁軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示,

則A(0,網(wǎng),6(-l,0),C(l,0),M

則A3=(—1,—@貴=(2,0),C4=(-1,6),

設(shè)N”,0),AT=AAC,

OT=OA+AT=OA+AAC=(Q,j3)+4(1,—6)=(2,73(1-2)),

即點(diǎn)T的坐標(biāo)為(九y/3(l-2)),

則NT=(/lT,若(1—X)),77Vf=-1-2,y^-73(l-2),MN=?+

所以AB?NT+BCTM+CA-MN

=-lx(Z-0+(-5/3)xV3(l-/l)+2xf-1-zj+0xy—73(1-2)+

=-6

故答案為：{-6}

本題考查平面向量的坐標(biāo)表示和線性運(yùn)算，以及平面向量基本定理和數(shù)量積的運(yùn)算，是中檔題.

14、54"

【解析】

由軸截面是正方形，易求底面半徑和高，則圓柱的體積易求.

【詳解】

解：因?yàn)檩S截面是正方形，且面積是36,

所以圓柱的底面直徑和高都是6

V=兀=%x32x6=54%

故答案為：54〃

【點(diǎn)睛】

考查圓柱的軸截面和其體積的求法，是基礎(chǔ)題.

15、5+V17

【解析】

△PMF的周長(zhǎng)最小，即求|「河|+|尸/I最小，過P做拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為Q,轉(zhuǎn)化為求1尸河1+1PQI最小,

數(shù)形結(jié)合即可求解.

【詳解】

如圖，尸為拋物線C：，=8y的焦點(diǎn)，尸為C上一點(diǎn)，M(-4,3),

拋物線C：必=8/的焦點(diǎn)為尸(0,2),準(zhǔn)線方程為y=-2.

過P作準(zhǔn)線的垂線，垂足為Q,則有I尸/l=|PQI

|PM|+|PF|=|PM|+|P2|>|MQ\=5,

當(dāng)且僅當(dāng)/，尸,Q三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，

所以△PMF的周長(zhǎng)最小值為5+J（—4f+（3—=5+717.

故答案為：5+V17.

本題考查拋物線定義的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合與數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，屬于中檔題.

16、（L3）

【解析】

函數(shù)V=/（x）—恰有4個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)/（元）與函數(shù)y=a|x|的圖象有四個(gè)不同的交點(diǎn)，畫出函數(shù)圖象，利用

數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解即可.

【詳解】

函數(shù)y=/（x）—恰有4個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)f（x）與函數(shù)）的圖象有四個(gè)不同的交點(diǎn)，畫出函數(shù)圖象如下圖

所示:

故答案為:(1,3)

【點(diǎn)睛】

本題考查了已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)取值范圍問題，考查了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)(一5°］；(2)見解析

【解析】

(1)利用導(dǎo)數(shù)研究/(x)=xlnx的單調(diào)性，分析函數(shù)性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，即得解；

11(fl

(2)構(gòu)造函數(shù)g(x)=-x-xlnx,hCx)=----(無一1)一jdnx可證得：-x>xinx,----(x-l)>xiwcxe-,1

e-1e-V7I(e

分析直線y=y=」一(x—l)與y=a

從左到右交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，/(X)在x=e-3,無=1處的切線即得解.

【詳解】

(1)設(shè)函數(shù)/(x)=xlnx,

/'(%)=1+lnx,

令尸(x)>0，x>L4'/'(x)<0,0<x<—

故/（九）在（0，）單調(diào)遞減，在g,包）單調(diào)遞增,

?.y=/II

???尤f0+時(shí)/(%)-。；/(1)=0；時(shí)/(%)—+8

貝！|令g(x)=f_xlnx,XG^O,-

短(x)=-2-lnx

=g(%)max=g("2)，g(x)mta>min0,

/

=^>-x>xiwcxe

②過點(diǎn)（i,o）,H，—1的直線為了=匕（犬一1）,

l

貝！|/z(x)=---(x-l)-xlnxXG

e-1{

〃(x)=T—In%—1>0n/z(x)在上單調(diào)遞增

=>/z(x)>/z(』)=O=>^"^(x—l)>xhuxe^—,1

③設(shè)直線y=_x,y=」一(x—l)與y=a

c—\

從左到右交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為退=-。，5=a（e-D+l,

由圖知/一%>x4~x3=ae+l.

④/(x)在x=e-3,兀=1處的切線分別為丫=—2工—"3,y=x-l,同理可以證得

記直線丁=。與兩切線和/z(x)從左到右交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為七，西，%,天,

3a+2-a

2

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合，考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合，綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，邏輯推理，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于較難題.

18、(1)x+y-36=0(2)回

【解析】

(1)直接利用極坐標(biāo)公式計(jì)算得到答案

(2)設(shè)P(2cosa,sina),1=電網(wǎng)經(jīng)處之包，根據(jù)三角函數(shù)的有界性得到答案.

【詳解】

(1)因?yàn)轹縪sin，+m=36,所以0sine+/?cos6-3百=0,

因?yàn)椋?八所以直線/的直角坐標(biāo)方程為x+y-3君=0.

y=psme.

(2)由題意可設(shè)尸(2cos%sina),

則點(diǎn)P到直線l的距離d=12cosc+，9"3君|=函sm(*y-36

V2V2

因?yàn)橐?麴bin(a+e)1,所以J蕊H2y/10,

因?yàn)镮PQI.S,故IPQI的最小值為JIU.

【點(diǎn)睛】

本題考查了極坐標(biāo)方程，參數(shù)方程，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.

19、(1){1}；(2)2個(gè)，證明見解析

【解析】

(1)要，(x)..O恒成立，只要/(元)的最小值大于或等于零即可，所以只要討論求解看了(元)是否有最小值;

(2)將圖像與g(x)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為方程/(x)=g(x)實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)問題，然后構(gòu)造函數(shù)

=/(x)-g(x),再利用導(dǎo)數(shù)討論此函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

【詳解】

(1)/(x)的定義域?yàn)?—1,+8),因?yàn)?'(x)=a———,

x+1

1。當(dāng)％0時(shí)，/'(為<0,75)在土?(0,4?>)上單調(diào)遞減，去e(o,4w)時(shí)，使得/。)</(0)=0,與條件矛盾；

2。當(dāng)。>0時(shí)，由/'(幻<0,得—l<xJ—1；由/(%)>0,得x〉L—1,所以/(尤)在(―J—1］上單調(diào)遞減，

aa\aJ

在］T,+j上單調(diào)遞增，即有狐(x)=d=l—a+lna,由/'(x)..0恒成立，所以1—a+lna.O恒成立,

1\-

令h(a)=1-a+Ina(a>0),h'(a)=-1+—=----a,

aa

若0<a<1,h'(d)^0,h(a)<h(l)=0；

若a>L〃(a)<O,7z(a)<7z(l)=O；而a=l時(shí),h(a)=O,要使l-a+lna.O恒成立,

故H.

(2)原問題轉(zhuǎn)化為方程/(x)=g(x)實(shí)根個(gè)數(shù)問題，

當(dāng)。=1時(shí)，“X)圖象與g(x)圖象有且僅有2個(gè)交點(diǎn)，理由如下:

由/(x)=g(x),gpx-ln(x+l)-sinx=O,令°(x)=x-ln(x+l)-sinx,

因?yàn)?(0)=0,所以x=0是0(x)=。的一根；(p'(x)=1——-——cosx,

x+1

1。當(dāng)_l<x<0時(shí)，1---—(0,cosjf)0,

x+1

所以“(九)<o,9(x)在(-1,0)上單調(diào)遞減，以%)>9(0)=0,即°(幻=。在(-1,0)上無實(shí)根;

2。當(dāng)0cx<3時(shí)，(p\x)=---+sinx>0,

(x+1)?2

n2

則9(x)在(0,3)上單調(diào)遞遞增，又°,=1------>0,^(0)=-1<0,

71+2

0,11,且滿足1-1

所以9,(x)=0在(0,3)上有唯一實(shí)根xo,xoe----7=cos%,

%+1

①當(dāng)O<x,不時(shí)，9(x),,0,9(x)在(0,%］上單調(diào)遞減，此時(shí)。(%)<。(0)=0,。(%)=0在(0,九()］上無實(shí)根；

二1

②當(dāng)x0<x<3時(shí)，/(％)>0,0(%)在(%,3)上單調(diào)遞增，=+=

2+1

2,\

<ln----(lnl=0,^(3)=3-sin3-21n2=2(l-ln2)+l-sin3)0?,,八才/文、L七?！?H

兀、//，故。(幻=。在(%，3)上有唯一實(shí)根.

--ri

2

3。當(dāng)xN3時(shí)，由(1)知，％Tn(l+x)—l在(0,+co)上單調(diào)遞增，

所以x-ln(l+x)-L.2-21n2=21n］>0,

故"(x)=x-ln(l+x)-sinx=x-ln(l+x)-l+(l-sinx)>0,所以°(x)=0在［3,+oo)上無實(shí)根.

綜合1。，2°,3°,故0(%)=。有兩個(gè)實(shí)根，即/(尤)圖象與g(x)圖象有且僅有2個(gè)交點(diǎn).

【點(diǎn)睛】

此題考查不等式恒成立問題、函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化思想，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，屬于較難題.

3

20、(l)(i)：(ii)分布表見解析；(2)理由見解析

O

【解析】

(1)(i)若家長(zhǎng)對(duì)小孩子的飲食習(xí)慣完全不了解，則家長(zhǎng)對(duì)小孩的排序是隨意猜測(cè)的，家長(zhǎng)的排序有禺=24種等可

能結(jié)果，利用列舉法求出其中滿足“家長(zhǎng)的排序與對(duì)應(yīng)位置的數(shù)字完全不同”的情況有9種，由此能求出他們?cè)谝惠営?/p>

戲中，對(duì)四種食物排出的序號(hào)完全不同的概率.

(ii)根據(jù)(i)的分析，同樣只考慮小孩排序?yàn)?234的情況，家長(zhǎng)的排序一共有24種情況，由此能求出X的分布列.

(2)假設(shè)家長(zhǎng)對(duì)小孩的飲食習(xí)慣完全不了解，在一輪游戲中，P(XV4)=P(X=0)+P(X=2)=」，三輪游戲結(jié)果

都滿足“X<4”的概率為工<二，這個(gè)結(jié)果發(fā)生的可能性很小，從而這位家長(zhǎng)對(duì)小孩飲食習(xí)慣比較了解.

2161000

【詳解】

(1)CO若家長(zhǎng)對(duì)小孩子的飲食習(xí)慣完全不了解，

則家長(zhǎng)對(duì)小孩的排序是隨意猜測(cè)的，

先考慮小孩的排序?yàn)閄A,XB,xc,期為1234的情況，家長(zhǎng)的排序有=24種等可能結(jié)果，

其中滿足“家長(zhǎng)的排序與對(duì)應(yīng)位置的數(shù)字完全不同”的情況有9種，分別為：

2143,2341,2413,3142,3412,3421,4123,4312,4321,

93

家長(zhǎng)的排序與對(duì)應(yīng)位置的數(shù)字完全不同的概率P=—=~.

248

基小孩對(duì)四種食物的排序是其他情況,

只需將角標(biāo)A,B,C,。按照小孩的順序調(diào)整即可，

假設(shè)小孩的排序X4,XB,XC,。為1423的情況，四種食物按1234的排列為ACD5,

再研究yAyBycyn的情況即可，其實(shí)這樣處理后與第一種情況的計(jì)算結(jié)果是一致的，

???他們?cè)谝惠営螒蛑?，?duì)四種食物排出的序號(hào)完全不同的概率為！3.

O

5)根據(jù)⑴的分析，同樣只考慮小孩排序?yàn)?234的情況，家長(zhǎng)的排序一共有24種情況,

列出所有情況，分別計(jì)算每種情況下的x的值，

X的分布列如下表：

X02468101214161820

11111111111

P

248246121212624824

(2)這位家長(zhǎng)對(duì)小孩的飲食習(xí)慣比較了解.

理由如下：

假設(shè)家長(zhǎng)對(duì)小孩的飲食習(xí)慣完全不了解，由(D可知，在一輪游戲中，

P(XV4)=尸(X=0)+P(X=2)=L

6

三輪游戲結(jié)果都滿足4”的概率為(4)3=，〈工.，

62161000

這個(gè)結(jié)果發(fā)生的可能性很小，

...這位家長(zhǎng)對(duì)小孩飲食習(xí)慣比較了解.

【點(diǎn)睛】

本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合、列舉法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

21、(I)見解析(II)生亙(III)\BP\=2

3111

【解析】

試題分析:

(I)取。為原點(diǎn)，ZM所在直線為x軸，OE所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，由題意可得平面A3E的法向量

n=(73,0,1),且DE=(—1,2,6)，據(jù)此有則"V/平面ABE.

(II)由題意可得平面螭的法向量機(jī)=(2道,6,4),結(jié)合(I)的結(jié)論可得IcosOU曰m=一1，即平面ABE

\)11\m\-\n\31

與平面EFB所成銳二面角的余弦值為豆豆.

31

(!!!)設(shè)。尸=40b=卜42%g),2e[0,l],則取二㈠―1,24—2,&),而平面ABE的法向量

八=(百據(jù)此可得sin6=kosBP,“=-^,解方程有人;或彳,據(jù)此計(jì)算可得網(wǎng)=2.

試題解析:

(I)取。為原點(diǎn)，ZM所在直線為x軸，。石所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則4(1,0,0),5(1,2,0),

E(0,0,6),網(wǎng)—1,2,指)，，麗=(-1,—2,若)，AB=(