高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 全等與相似模型-對角互補模型

專題17全等與相似模型-對角互補模型

全等三角形與相似三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位。相似三角形與其它知識點結(jié)合以綜

合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，難度大，是中考的?？碱}型。如果大家平時注重解題方法，熟練掌握基本

解題模型，再遇到該類問題就信心更足了.本專題就對角互補模型進行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。

模型1、旋轉(zhuǎn)中的對角互補模型

對角互補模型概念：對角互補模型特指四邊形中，存在一對對角互補，而且有一組鄰邊相等的幾何模型。

思想方法：解決此類問題常用的輔助線畫法主要有兩種：①過頂點做雙垂線，構(gòu)造全等三角形；②進行旋

轉(zhuǎn)的構(gòu)造，構(gòu)造手拉手全等。

常見的對角互補模型含90。-90。對角互補模型、120。-60。對角互補模型、2a-(180°-2a)對角互補模型。

1)“共斜邊等腰直角三角形+直角三角形”模型(異側(cè)型)

條件：如圖，已知/AO8=NOCE=90°,0c平分/AOB.

結(jié)論：?CD=CE,②0D+0E=g0C,?S=S+S=-OC2.

ODCEvCiOziE—dC/OzyD

2)“斜邊等腰直角三角形+直角三角形”模型(同側(cè)型)

2

結(jié)論：?CD=CE,?OE-OD=y/2OC,@SC0E-SCOD=^OC-

3）“等邊三角形對120。模型”（1）

條件：如圖，已知NAOB=2NDCE=120°,0C平分N408.

結(jié)論：①CD=CE,@OD+OE=OC,?S+S^—OC2.

r\-XnJnULrUnFE4

4）“等邊三角形對120。模型”（2）

條件：如圖，已知/AOB=2N￡>CE=120°,OC^ZAOB,NQCE的一邊與3。的延長線交于點。，.

結(jié)論：?CD=CE,?OD-OE=OC,?S-S,.=—OC2.

r\--nUUnvtn/cF4

5)“120。等腰三角形對60。模型”

條件：△ABC是等腰三角形，且NBAC=120。，NBPC=60。。結(jié)論：@PB+PC=y/jPA；

6)“2a對180。-2a模型”

條件：四邊形ABC。中，AP=BP,ZA+ZB=\80°結(jié)論：。尸平分/AOB

注意：①AP=BP,②乙4+NB=180。，③O尸平分/AO8,以上三個條件可知二推一。

7）“蝴蝶型對角互補模型”

例1.（2023?黑龍江黑河?八年級期中）《/△ABC中，A8=AC,點。為BC中點.NMDN=90。,NMDN繞點、

。旋轉(zhuǎn)，DM、ON分別與邊A3、AC交于E、尸兩點.下列結(jié)論：①（BE+CF）*BC,@SAAFF<-SAABC,

24

③S四邊形AEDF=A〃EF,④ACNEF其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【詳解】解:EIRtl3ABe中，AB=AC,點D為BC中點.0MDN=9O°,

EIAD=DC,E1EAD=E)C=45°,回EDA=?MDN-(3ADN=90°—EIADN=EIFDC.

00EDABEFDC(ASA).0AE=CF.回BE+CF=BE+AE=AB.

在RtBABC中，根據(jù)勾股定理，得AB=X^BC.0(BE+CF)=^BC.回結(jié)論①正確.

22

設(shè)AB=AC=a,AE=b,則AF=BE=a-b.

0SAAFp—SAABC=—AE,AF----------AB?AC=—b(a—b)—a~=—(a—2b)40.

AAtr4AABV2422、,88、

^^AAEF-^^AABC?團結(jié)論②正確?

如圖，過點E作日(SAD于點I,過點F作FGHAD于點G,過點F作FHI3BC于點H,ADEF相交于點0.

用四邊形GDHF是矩形，團A日和團AGF是等腰直角三角形，

(3EO汩(EFI3AD時取等于)=FH=GD,OF>GH(EFSAD時取等于)=AG.

EIEF=E0+0F>GD4-AG=AD.回結(jié)論④錯誤.

E10EDAEEFDC,EJS^^^DFMSAADcug-AD-DCMgAiyvALyVAD-EF.團結(jié)論③錯誤.

綜上所述，結(jié)論①②正確.故選C.

例2.（2022遼寧九年級期末模擬）已知回AOB=90。，在EAOB的平分線OM上有一點C,將一個三角板的直

角頂點與C重合，它的兩條直角邊分別與。A,OB（或它們的反向延長線）相交于點D,E.

當(dāng)三角板繞點C旋轉(zhuǎn)到CD與OA垂直時（如圖①），易證：OD+OE=&OC；

當(dāng)三角板繞點C旋轉(zhuǎn)到CD與OA不垂直時，即在圖②，圖③這兩種情況下，上述結(jié)論是否仍然成立？若

成立，請給予證明：若不成立，線段OD,OE,OC之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明.

【答案】圖②中OD+OE=75OC成立.證明見解析；圖③不成立，有數(shù)量關(guān)系：OE—OD=0OC

【分析】當(dāng)三角板繞點C旋轉(zhuǎn)到CD與OA不垂直時，易得EICKDHaCHE,進而可得出證明；判斷出結(jié)果，解

此題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到全等三角形或等價關(guān)系，進而得出OC與OD、OE的關(guān)系：最后轉(zhuǎn)化得到結(jié)論.

【詳解】解：圖②中OD+OE=^OC成立.

證明：過點C分別作OA,OB的垂線，垂足分別為P,Q

有回CPD03CQE,回DP=EQ,@OP=OD+DP,OQ=OE-EQ,

又團OP+OQ=&OC,即。D+DP+OE-EQ=0OC,EIOD+OE=夜OC.

圖③不成立，有數(shù)量關(guān)系：OE-OD=0OC過點C分別作CKEIOA,CH0OB,

回0C為0AOB的角平分線，且CKS1OA,CH0OB,0CK=CH,0CKD=0CHE=9O°,

又00KCD與EIHCE都為旋轉(zhuǎn)角，E0KCD=0HCE,

03CKD03cHE,0DK=EH,0OE-OD=OH+EH-OD=OH+DK-OD=OH+OK,

由（1）知：OH+OK=^OC,0OD,OE,OC滿足OE-OD=及OC.

【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)變化前后，對應(yīng)線段、對應(yīng)角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變，

兩組對應(yīng)點連線的交點是旋轉(zhuǎn)中心.

例3.（2022秋?四川綿陽?九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）已知NAC￡>=9（）。，AC=DC,MN是過點A的直線，過

點。作于點B,連接CB.

⑴問題發(fā)現(xiàn)：如圖（1）,過點C作CELC8,與仞N交于點E,BD、43、C8之間的數(shù)量關(guān)系是什么？并

給予證明.（2）拓展探究：當(dāng)MN繞點A旋轉(zhuǎn)到如圖（2）位置時，BD、AB、CB之間滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？

請寫出你的猜想，并給予證明.

【答案】（1）BD+AB=&CB：證明見解析（2）8O-AB=^CB：證明見解析

【分析】（1）過點C作CE_LC8,得到/BC?=/ACE,判斷出,ACE經(jīng)-DCB,確定“ECB為等腰直角三角

形即可得出結(jié)論；（2）過點（7作點，8于點。，判斷出..ACE組.DC3,確定EC8為等腰直角一角形，即

可得出結(jié)論.

【詳解】（1）解：如圖1，過點C作CE_LCB交MN于點E,

ZACE=9Q°-^ACB,ZBCD=90°-ZACB.:.NACE=NBCD,

DBLMN,.,.在四邊形AC。/?中，ZBAC+ZACD+ZABD+ZD=36()°,.?./胡C+—0=18()。,

ZCAE+ZBAC=\^°,^\ZCAE=ZD,AC=DC,：_ACE&DCB,:.AE=DB,CE=CB,

-ZECB=90°,.=ECB是等腰直角二角形，.?.3￡=夜CB,

.\BE=AE+AB=DB+AB,E1BD+AB=0CB：

(2)BD-AB=41CB-.理由：如圖2,過點C作CELCB交MN于點E,

ZACE=90°+ZACB,ZBCD^90°+ZACB,:.NACE=NBCD,

:DBVMN,:.^CAE=90°-^AFB,ZD=9G°-ZCFD,

NAFB=NCFD,：.ZCAE=ZD,AC=DC,:.ACERDCB,:.AE=DB,CE=CB,

?/ECS=90。，.〈ECB是等腰直角三角形，.?.8E=GCB,

:.BE=AE-AB=DB-AB,aBD-AB=QCB;

【點睛】本題考查J'全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，構(gòu)造全等三角

形是解題的關(guān)鍵.

例4.(2022四川宜賓八年級期末)如圖1,NAO8=90，0C平分NA08,以C為頂點作NQCE=90,

交OA于點。，。8于點E.(1)求證：CD=CE；(2)圖1中，若OC=3,求OD+OE的長；

(3)如圖2,ZAOB=120\0C平分NA08,以C為頂點作N￡>CE=60°,交。4于點￡>，0B于點E.若OC=3,

求四邊形OECD的面積.

【分析】（1）過點C作CGE10A于G,CHI30B于H,然后根據(jù)題意利用AAS定理進行證明E1CDG回回CEH,從而

求解；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到OD+OE=2OH,然后利用勾股定理求OH的值，從而求解；

（3）過點C作CG0OA于G,CHBOB于H,然后根據(jù)題意利用AAS定理進行證明I3CDG013CEH,從而求得S四邊形

=^oHCG=2SAOC（i,然后利用含30。的直角三角形性質(zhì)求得OH],CH=邁從而求得三角形面積，使問題

22

得到解決.

【詳解】解:（1）如圖，過點C作CGI30A于G,CHSOB于H,

回ZAOB=90,NDCE=9000CDO+E)CEO=18O0

00CDG+E1CDO=18OEEJ0CDG=G1CEO

NCDG=ZC￡O

在國CDG與EICEH中?NCGO=NCHEEHCDGEI13CEH(A4S)2ia)=CE

CG=CH

(2)由(1)^0CDG00CEH0DG=HE

由題易得團OCG與團OC”是全等的等腰直角三角形，且OG=OH

^1OD+OE=OD+OH+HE=OG+OH^2OHOH=CH=x,在R/HOCH中，由勾股定理，得:

OH2+CH2=OC2^x1+x2=320x=—(舍負)E10H=拽回OD+OE=2OH=3亞

22

(3)如圖，過點C作CG0OA于G,CH0OB于H,

回OC平分ZAOB0CG=CH0NA08=120°,NDCE=60°EI0CDO+0CEO=18OEI

ffl0CDG+0CDO=18O0EBCDG=0CEO

NCDG=ACEO

在EICDG與EICEH4'\^CGD=ZCHE^ECDG00CEH（/L45）ODG=HE

CG=CH

由題易得回。CG與國。CH是全等的直角三角形，且OG=OH

0OD+OE=OD+OH+HE=OG+OH=2OH0^pqxii?o￡-CD=S四邊彩o“cc=2^^OCG

在Rt0OCH中，有I3COH=60°,OC=3,回OH=g,CH=迪團S4OCO=噸團S四邊形理⑺=2SAOCC=—

2224

【點睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)及判定，含30。直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，是一道綜合性問題，

掌握相關(guān)知識點靈活應(yīng)用解題是本題的解題關(guān)鍵.

例5.（2022湖北省宜城市八年級期末）如圖，已知EL4OB=120。，在四03的平分線OM上有一點C,將一個

60。角的頂點與點C重合，它的兩條邊分別與直線OA、。8相交于點。、E.

（1）當(dāng)回力CE繞點C旋轉(zhuǎn)到CD與0A垂直時（如圖1）,請猜想OE+。力與OC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（2）當(dāng)MCE繞點C旋轉(zhuǎn)到CO與OA不垂直時，到達圖2的位置，（1）中的結(jié)論是否成立？并說明理由；

(3)當(dāng)配)CE繞點C旋轉(zhuǎn)到CZ)與0A的反向延長線相交時，上述結(jié)論是否成立？若成立，請給于證明;

若不成立，線段。以O(shè)E與。C之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明.

【答案】(1)詳見解析；(2)(1)中結(jié)論仍然成立，理由詳見解析：(3)(1)中結(jié)論不成立，結(jié)論為OE-

OD=OC,證明詳見解析.

【分析】⑴根據(jù)OM是財。8的角平分線，可得勖。8=60。，則回。CE=30。，再根據(jù)30。所對直角邊是斜邊的

一半，得出同理：OE=：OC,即可得出結(jié)論；(2)同⑴的方法得到。尸+OG=OC,再根據(jù)AAS證

明ACraaElCGE,得出。尸=EG,則OF=O￡>+OF=OQ+EG,OG=OE-EG,OF+OG=OD+OE,即可得出結(jié)論.(3)

同(2)的方法得到DF=EG,根據(jù)等量代換可得OE-OD=OC.

【詳解】(l)OOM是EL4O3的角平分線，回國40c=EIB0C=1?405=60。，

SCDSOA,00O￡>C=9O°,0EIOCD=3O°,S0OC￡=EIDC￡-0(9CZ)=3O°,

在RSOCD中，OD=-OC,同理：OE=-OC,SOD+OE=OC,

22

⑵⑴中結(jié)論仍然成立，理由：過點C作C/T30A于凡CGSOBTG,如圖，

aaOFC=i3OGC=90°,0a408=120°,WFCG=60",

同(1)的方法得，OF=^OC,OG=；OC,WF+OG=OC,

0C/T3OA,CG0O8,且點C是S40B的平分線。歷上一點，I3CF=CG,

00DC￡=6O°,0FCG=6O°,EE￡>CF=0ECG,aSCFDEBCGE,0DF=EG,

^OF=OD+DF=OD+EG,OG=OE-EG,?OF+OG=OD+EG+OE-EG=OD+OE,0OD+OE=OC；

(3乂1)中結(jié)論不成立，結(jié)論為：OE-OD=OC,

理由：過點C作CfBOA于F,CGSOB于G,如圖，

盟OFCM21OGC=90°,團兇08=120°,fflFCG=60°,

同（1）的方法得，OF^OC,OG=；OC,EIOF+OG=OC,

EJCflSOA,CGQOB,且點C是?408的平分線OM上一點，回CF=CG,

00DCE=6O°,回尸CG=60°,SEDCF=SECG,SBCFDSECGE,

團。尸=EG,?OF=DF-0D=EG-OD,OG=OE-EG,

^OF+OG=EG-OD+OE-EG=OE-OD,0O￡-OD=OC.

【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì).正確作輔助線是

解題的關(guān)鍵.

例6.（2023?山東?九年級專題練習(xí)）如圖，AABC是邊長為4的等邊三角形,點D是線段BC的中點，回EDF=120。，

把自EDF繞點D旋轉(zhuǎn)，使回EDF的兩邊分別與線段AB、AC交于點E、F.（1）當(dāng)DH3AC時，求證：BE=CF；

（2）在旋轉(zhuǎn)過程中，BE+CF是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由

【答案】（1）證明見解析；（2）是，2.

【分析】（1）根據(jù)四邊形內(nèi)角和為36形,可求21DEA=9。。，根據(jù)"AAS”可判定△BDEEBCDF,即可證BE=CF；

（2）過點D作DMI3AB于M,作DNI3AC于N,如圖2,易證△MBDEBNCD,則有BM=CN,DM=DN,進而可

證至貝IJ有EM=FN,就可得到BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BDxcos60°=BD=^-

BC=2.

【詳解】（1）回團ABC是邊長為4的等邊三角形，點D是線段BC的中點，

03B=EC=6O°,BD=CD,0DF0AC,00DFA=9O0,

g0A+0EDF+0AFD+iaAED=18O°,a3AED=90°,

EBDEB=E）DFC,且回B=EIC=60°,BD=DC,00BDE00CDF（AAS）

(2)過點D作DMI3AB于M,作DNE1AC于N,

A

則有回AMD=0BMD=?AND=I3CND=90°.

fflA=60°,0(3MDN=36O<,-6O°-9O<>-9OO=12O".

a0EDF=12O°,0BMDE=0NDF.

NBMD=NCND

在^MBD和ANCD中，■ZB=ZC,00MBD甌NCD（AAS）BM=CN,DM=DN.

BD=CD

'乙EMD=2FND

在AEMD和AFND中，DM=DN,00EMD00FND（ASA）0EM=FN,

ZMDE=ZNDF

E）BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BDxcos60°=BD=JBC=2.

【點睛】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值等知

識，通過證明三角形全等得到BM=CN,DM=DN,EM=FN是解決本題的關(guān)鍵.

例7.（2022山東省棗莊市一模）如圖，已知NAOB=60。，在NA03的角平分線。河上有一點C,將一個120。

角的頂點與點C重合，它的兩條邊分別與射線OAOB相交于點D,E.

（1）如圖1,當(dāng)N0CE繞點C旋轉(zhuǎn)到CD與OA垂直時，請猜想OO+OE與OC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由：

（2）當(dāng)NDCE繞點C旋轉(zhuǎn)到C。與OA不垂直時，到達圖2的位置，（1）中的結(jié)論是否成立？并說明理由；

（3）如圖3,當(dāng)—DCE繞點C旋轉(zhuǎn)到點。位于的反向延長線上時，求線段ODOE與OC之間又有怎樣

的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明.

【答案】（1）OD+OE=y/3OC,見解析；（2）結(jié)論仍然成立，見解析；（3）OE-OD=y/iOC

【分析】（1）先判斷出用OCE=60。，再利用特殊角的三角函數(shù)得出OD=^OC,同OE=^OC,即可得出

22

結(jié)論;（2）同（1）的方法得OF+OG=gOC,再判斷出團CFD03CGE,得出DF=EG,最后等量代換即可得出

結(jié)論：（3）同（2）的方法即可得出結(jié)論.

【詳解】解：（1）、0知是二403的角平分線，440。=/80。=（4408=30。

CD±OA,:.ZODC=90°,ZOCD=60°Z.OCE=NDCE-NOCD=60°

在用AOCZ）中，O￡?=OCcos3（）o=4OC，同理：0E=L（）C:.0D+0E=C0C

22

（2）（1）中結(jié)論仍然成立，理由：過點C作CFLOA于尸，CGLO3于G

NOFC=ZOGC=90°:ZAOB=60°/.ZFCG=120°

由（1）知，OF=?OC,OG=2OC：.OF+OG=6OC

22

CFlOA,CGrOB,且點C是/AO8的平分線OM上點，B=CG

NDCF=120°,ZFCG=120°ZDCF=NECG,:.\CFD=ACGE

DF=EG:.OF=OD+DF=OD+EG,OG=OE-EG

:.OF+OG=OD+EG+OE-EG=OD+OE：.OD+OE=^OC

（3）結(jié)論為：OE-OD=6OC.

理由：過點C作CF0OA于F,CG0OB于G,03OFC=0OGC=9O°,

EE）AOB=60°,EBFCG=120°,同（1）的方法得，OF=±OC,OG=—OC,0OF+OG=^/3OC,

22

（3CF0OA,CG0OB,且點C是回AOB的平分線0M上一點，

E1CF=CG,勵DCE=120°,I3FCG=12O°,0EIDCF=0ECG,

SECFDEEICGE,?DF=EG,團OF=DF-OD=EG-OD,OG=OE-EG,

0OF+OG=EG-OD+OE-EG=OE-OD,0OE-OD=GOC.

【點睛】此題屬于幾何變換綜合題，主要考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)的綜合運用，

正確作出輔助線，構(gòu)造全等三角形是解本題的關(guān)鍵.

例8.（2022秋?福建廈門?九年級?？计谥校┤鐖D，ZAOB=a（。是常量）.點P在24O8的平分線上，且

OP=2,以點P為頂點的2用PN繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過程中，4WW的兩邊分別與0B,相

交于M,N兩點，若NMPN始終與NAOB互補,則以下四個結(jié)論：①PM=PN；②OM+ON的值不變；

③四邊形PMON的面積不變；④點M與點N的距離保持不變.其中正確的為（）

N,

oA/B

A.①③B.①②③C.①③④D.②③

【答案】B

【分析】如圖作莊，。4于點E,PFLOB于點F,只要證明Rt.PEO^RtPFO,Rt.PEN^Rt.PFM即可

一一判斷.

【詳解】解：如圖所示：作于點E,即，。8于點F,

ZPEO=ZPFO=<X)°,.-.Z￡P(guān)F+ZAOS=180°,

ZMPN+ZAOB=180°,ZEPF=/MPN,

ZEPF=ZEPN+ANPF,AMPN=NMPF+ZNPF,/.NEPN=NMPF,

0尸平分NAOB,PELOA,PFLOB,.-.PE=PF,

[PO=PO/、

在吊/￡。和MPAO中，《一『人『，:.RtPEgRtPFO(HL),：.OE=OF,

PE=PF

ZEPN=ZFPM

在和△/YM中，，PE=PF,:.Rt.PENQRt.PFM(ASA),

NPEN=NPFM

:.EN=FM,PN=PM,故①正確，，S△閑v=SgfM，

一S四邊形PMON=S四邊形PEOF=定值，故③正確,

OM+ON=OF+MF+ON=OE+NE+ON=OE+OE=2OE=定值，故②正確，

M、N的位置是變化的，N之間的距離也是變化的，故④錯誤；故選：B.

【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，四邊形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會

添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題.

模型2.對角互補模型（相似模型）

【模型解讀】四邊形或多邊形構(gòu)成的兒何圖形中，相對的角互補。該題型常用到的輔助線主要是頂定點向

兩邊做垂線，從而證明兩個三角形相似.

【常見模型及結(jié)論】

1）對角互補相似1

條件：如圖，在RfAABC中，/C=/EOF=90。，點0是A8的中點,

輔助線：過點。作OCAC,垂足為D,過點。作垂足為”,

結(jié)論：①AODEfOHF；②"=史（思路提示：—BHBC、

---=---)

OFACOFOHOHAC

2）對角互補相似2

條件：如圖，已知/AO8=NOCE=90。，/BOC=a.

CG、

結(jié)論：①4ECG?〉DCF；②CE=C￡>smz.(思路提示：—,CF=OG,在R於COG中,tana=---)

CDCF0G

輔助線：作法2：如圖2,過點C作CFJ_OC,交OB于F；

,CECFCF

結(jié)論：①△CFE?△C。。；②CE=CO?以〃a.（思路提示：一=—=taiwc,在知ZiOC尸中，tana=---)

CDCOOC

3）對角互補相似3

條件：已知如圖，四邊形A3CO中，ZB+Z￡>=180°

輔助線：過點。作。ELBA,垂足為￡過點。作。FLBC,垂足為尸;

結(jié)論：①ADAE*DCF；②A8CO四點共圓。

E

例L（2023?成都市?九年級期中）如圖所示，在Rt,"C中，ZABC=90°,AB=3,BC=4,在向MPN中,

/MPN=90。，點P在AC上，交于點E,PN交BC于點、F.當(dāng)尸￡=2依時，4尸的值為（）.

A

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】過P作PM38C于"PQEL4B于。，證明那。￡00/7/尸，得出「。=2尸，=28。，再由P01BC證得

S4Q&EL48C,—,設(shè)8Q=x,則AQ=3-x,PQ=2x,求出x值即可解決問題.

ABBCAC

【詳解】解：團在RtABC中，ZABC=90°,48=3,BC=4,

財c=yjAB2+BC2=V32+42=5-

過P作PM38C于，，PQL4B于Q,則EIPQB=g)P4B=iaB=90。，

團四邊形PQ8H是矩形，⑦PH=BQ,SiQPH=90°=^MPN,PQ^BC,

^\EPH+^QPE^EPH+SHPF^90°,^EQPE^HPF,

PQPE?

^PQESBPHF,E—=—,又PE=2PF,I3PQ=2PH=2BQ,

PHPF

ISPQ回8C,REAQPE圖43C,回爺=￡1=喘’

3-r2xAP6

設(shè)5Q=x,則AQ=3-x,PQ=2x,^^-=—=—t解得：x=-,AP=3,故選：C.

A

【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、等角的余角相等、矩形的判定與性質(zhì)，熟練掌握

相關(guān)知識的聯(lián)系與運用，添加輔助線是解答的關(guān)鍵.

例2.（2023?河南南陽?九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在等腰直角一"C中，ZACB=90°,AC=3C,過點C

作射線C9〃AB，。為射線CP上一點，E在邊BC上（不與民C重合）且/D4E=45。，AC與交于點

O.(1)求證：ZW)C4AEB；(2)求證：_ACB；(3)如果CO=CE,求證：CD2=CO.CA.

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析

【分析】（1）根據(jù)題意先由等腰直角0ABe得到回BAC=I38=45。，從而結(jié)合回。4￡=45。得到回。4c=團￡48,再由

平行線的性質(zhì)得到B4CP=13&4C=aB=45。，從而得到EWDaaMEB；

（2）根據(jù)題意由相似三角形的性質(zhì)得到4）：AE=AC：AB,轉(zhuǎn)化為AC：AC=AE：AB,結(jié)合團D4E=E）C4B=45。

得證結(jié)果；（3）根據(jù)題意結(jié)合GL4CD=45。和EL4c8=90。，由CD=CE得至I向COERJCEOnZZ.S。,從而得到I3D4C=22.5°,

然后得到I3OCZ?團OCA,最后即可求證.

【詳解】解：（1）證明：回AABC是等腰直角三角形，團NBAC=N8=45°，

0ZDAE=45°,PC//AB,^ADAC=AEAB,ZACD=ABAC=ZB=45°.I?1AA￡）CAAEB；

AnACADAF

（2）證明：0AAZ>CAAE60—=—,即——=—,

AEABACAB

ZDAE=ABAC=45"，0AADEMCB■.

（3）0ZACD=45°,ZACB=90',0ZCDE+ZCED=180-90=-45°=45°.

0CD=CE,0NCDE=NCED=22.5"，0AAZJEAACB,mNAQE=ZAC8=90’，

fflZCAD=180°-ZADE-Z.CDE-ZAC￡>=180°-90°-22.5°-45°=22.5°SACAD=NCDE,

,OCCD,

又團NOC?=N￡>C4,0AOC￡>ADC4,0——=——，BCD2=CO-CA

CDCA

【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是通過線段的比例關(guān)

系得到三角形相似.

例3.（2023?廣西河池?校聯(lián)考一模）綜合與實踐【問題情境】在RtZ\ABC中，ZBAC=90°,AB=3,AC=4,

在直角三角板EE正中，ZEDF=90°,將三角板的直角頂點。放在Rt^ABC斜邊8C的中點處，并將三角

板繞點。旋轉(zhuǎn)，三角板的兩邊DE,。尸分別與邊A8,AC交于點M,N.

【猜想證明】如圖1,在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)M為邊A8的中點時，試判斷四邊形的形狀，并說明

理由.【問題解決】如圖2,在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)=汨時，求線段CN的長.

圖I圖2

25

【答案】［猜想證明］四邊形AMDN是矩形，理由見解析；［問題解決］CN==.

【分析】［猜想證明］由三角形中位線定理可得朋D〃4C,可證NA=NAA〃）=N/WDN=90。，即可求解；

［問題解決］由勾股定理可求8C的長，由中點的性質(zhì)可得CG的長，由銳角三角函數(shù)可求解.

【詳解】［猜想證明）四邊形AMQN是矩形，理由如下：如圖1，.點。是8c的中點，點M是A8的中點,

.?.MD是.A3C的中位線，MD//AC,ZBAC+ZAMD=i80°,

ABAC=90°,:.ZAMD=90°,NEDF=NMDN=9Q°,

：.ABAC=ZAMD=AMDN=90°，二四邊形AMDN是矩形;

［問題解決］過點N作NG_LCO于G,如圖2：

圖2

AB=3,AC=4,ZBAC=90°,BC=VAB2+AC2=5.

?「點。是8c的中點，..也）=0）=1，ZMDN=90°=NBAC,

ZB+ZC=90°,ZBDM+ANDC=90°,ZB=ZMDB,:.ZNDC=ZC,:.DN=CN,

又；NG-LCD■:.DG=CG=-,cosC==>44,:.CN=—.

4CNBC~16

CN5

【點睛】本題考查四邊形綜合應(yīng)用，涉及矩形的判定，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)等有

關(guān)知識，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵.

例4.（2023年江西省南昌市月考）如圖，兩個全等的四邊形A8CD和OV8C,其中四邊形OAB'C的頂點

。位于四邊形A8CO的對角線交點O.

⑴如圖1,若四邊形A3。和。4aC都是正方形，則下列說法正確的有.（填序號）

①OE=OF；②重疊部分的面積始終等于四邊形A8CD的《；③BE+BF=與DB.

⑵應(yīng)用提升:如圖2,若四邊形A5CO和0A6C'都是矩形，49=",。。=人，寫出。后與。尸之間的數(shù)量關(guān)系,

并證明.

⑶類比拓展:如圖3,若四邊形ABC。和O/TSC'都是菱形，ZDAB=a,判斷（1）中的結(jié)論是否依然成立:

如不成立，請寫出你認為正確的結(jié)論（可用。表示），并選取你所寫結(jié)論中的一個說明理由.

【答案】⑴①②③⑵關(guān)系為繇=￡，證明見解析

OFb

⑶①成立，②③不成立，正確結(jié)論②重疊部分的面積始終等于四邊形ABCD的：sin2（，｝③

BE+M=s嗚。8.證明①的過程見解析

【詳解】（1）如圖，在圖1中，過點。作于點H,OG_LAB于點G

圖3

.OHLAB于點、H,OGLAB于點G：.ZOHE=NOGF=90°

???四邊形ABCD和0A8'C'都是正方形03〃=08G（AAS）..OH=OF

ZHOE=90°-ZEOG,ZGOF=90°-ZEOG；.NHOE=ZGOF

Z.OHE=NOGF

在,HOE和△6。尸中,OH=OG二."QE三尸（ASA）；.QE=Of故①正確

ZHOE=ZGOF

HOEGOFSHOK=S（；OFSoEBF=S°EBG+SQGF=SoEBG+^OHE=$OHBG=ABCD故②止確

???四邊形ABCD是正方形;AB=8C=也BQ

2

BE+BF=BE+BG+GF=BE+BG+HE=BG+BH=AB=—DB故③正確

2

⑵關(guān)系為器證明如下：如圖'在圖2中,過點。作。心.于點耳如,融于點G

。”_LAB于點H,OG1AB丁點G：.NOHE=NOGF=90°

???四邊形ABCD和OA'B'C'都是矩形.?.NQ〃OG=ZEOF=90°

VZHOE=90°-ZEOG,ZGOF=90°-ZEOG:./HOE=ZGOF

AD

NOHE=NOGF.xOEOH7ADa

在，HOE和aGOF中.—HOEGOF（AA）.-.——=—=-f一?=—=-

NHOE=/GOF、'OFOGl/?cDCb

2

(3)(1)中結(jié)論，①成立，②③不成立，正確結(jié)論②重疊部分的面積始終等于四邊形ABC。的;sir?圖:

③BE+BF=sin掾DB.現(xiàn)證明①如下:

如圖，在圖3中，過點。作0"，48于點”,06,45『點6

：OH工AB于前HOGLAB于點G：.ZOHE=NOGF=90°

???四邊形A8CD和0A8'C'都是菱形OBH=OBG(AAS).-.OH=OF

■：NHOE=a-/EOG,NGOF=a-NEOG：.ZHOE=NGOF

NOHE=NOGF

在&HOE和△GOF中,OH=OG:.HOE=.GOF(ASA)：.OE=OF

NHOE=NGOF

例5.（2023.遼寧中考模擬）如圖，在放.ABC中，AC=8C,MCB=90。，點。在線段A3上（點。不與點

A,B重合），且OB=ZOA,點M是AC延長線上的一點，作射線OM,將射線0M繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90。,

交射線CB于點M（1）如圖1,當(dāng)時，判斷線段OM與ON的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（2）如圖2,當(dāng)k>l時，判斷線段OM與ON的數(shù)量關(guān)系（用含左的式子表示），并證明；（3）點尸在射

線BC上，若回BON=15。，PN=kAM且穿<避二1,請直接寫出f的值（用含k的式子表示）.

AC2Z0

圖1圖2備用圖

【答案】（1）OM=ON,見解析；（2）ON=k?OM,見解析；（3）挺=匕2做

PCk-\

【分析】（1）作。DIMM,O￡08C,證明EJOOMBEIEON；（2）作0ZM4M,OE3\BC,證明I3QOMB2EON；（3）

設(shè)AC=8C=a,解R/0EON和斜S40M,用含的代數(shù)式分別表示NC,PN,再利用比例的性質(zhì)可得答案.

【詳解】解：（1）0M=0N,如圖1,作。ZM4M于。，0EHC8于E,

圖1

^ADO=^MDO=^CEO=^OEN=90°fWDOE=90°f

0AC=8C,0ACB=9O°,回0A=0ABC=45°,

在??柳OD中，OZ)=O4sin/A=^OA,同理：OE=叵OB,

22

WA=OB,aOD=OE,WDOE=9Q°,隨及OM+團MOE=90°,

團0MON=9O°,幽EON+0MOE=9O°,^DOM=^EONf

/MDO=/NEO

在Rt^DOM和R杷EON中，|。。=。后,盟。OMHDEONCASA),團OM=ON.

/DOM=NEON

(2)如圖2,作OZMAM于D,OEHBC于E,由(1)知：OD=—OAOE=—OB,

2f2

0—=—=-,由(1)知：^DOM=^\EON團MDO=E1NEO=90°,

OEOBkf

團團。OA/0團EON,=—=-,⑦ON=k?OM.

ONOEk

(3)如圖3,設(shè)AC=3C=m財8=

kiF)k

130B=k?0A,田0B=正.——a,0A=近.——a,EIOE=?OB=——a

k+1k+l2k+T

八八OE廣八lk

WN=^ABC-^BON=45°-15°=30°,⑦EN=--------=JjOE=Jj?——a,

tan/N77%+i

萬11k

^CE=OD=—OA=——a,^1NC=CE+EN=-—。+百?——a,

2Z+lk+1Z+l

由(2)知：=—=-,團。OMZBEOM^\AMO=-^N=30°

ONOBk

AM1OMAM八八…八

團——=-,0——=——,團回POM30AOM,邈P=M=45°,

PNkONPN

kkk

aPE=OE=——a,⑦PN=PE+EN=——a+Q?——a,

k+\Jl+1k+\

設(shè)AD=OO=x,田DM=6x,由AD+QM=AC+CM得，（G+1）x=AC+CM,

、a\Eka

?。ˋC+CM）（AC+^^-AC）=；AC,齦＞1團些------='+#,