高考數(shù)學專題《利用導數(shù)研究不等式恒成立問題 》

第04講利用導數(shù)研究不等式恒成立問題(精講+精練）目錄第一部分：知識點精準記憶第二部分：課前自我評估測試第三部分：典型例題剖析高頻考點一：分離變量法高頻考點二：分類討論法高頻考點三：等價轉(zhuǎn)化法第四部分：高考真題感悟第五部分：第04講利用導數(shù)研究不等式恒成立問題（精練）第一部分：知第一部分：知識點精準記憶1、分離參數(shù)法用分離參數(shù)法解含參不等式恒成立問題，可以根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來，得到一個一端是參數(shù)，另一端是變量表達式的不等式；步驟：①分類參數(shù)（注意分類參數(shù)時自變量的取值范圍是否影響不等式的方向）②轉(zhuǎn)化：若)對恒成立，則只需；若對恒成立，則只需．③求最值.2、分類討論法如果無法分離參數(shù)，可以考慮對參數(shù)或自變量進行分類討論求解，如果是二次不等式恒成立的問題，可以考慮二次項系數(shù)與判別式的方法(，或，)求解．3、等價轉(zhuǎn)化法當遇到型的不等式恒成立問題時，一般采用作差法，構(gòu)造“左減右”的函數(shù)或者“右減左”的函數(shù)，進而只需滿足，或者，將比較法的思想融入函數(shù)中，轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值的問題.第二部分：課前自我評估測試第二部分：課前自我評估測試1．（2022·全國·高二）設為正實數(shù)，函數(shù)，若，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2022·全國·高二）若不等式對任意實數(shù)x都成立，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2022·全國·高二）已知函數(shù)，對都有成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．第三部分：典型例題剖析第三部分：典型例題剖析高頻考點一：分離變量法1．（2022·全國·高三專題練習）設，若不等式在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2022·內(nèi)蒙古烏蘭察布·高二期末（文））已知函數(shù)，若對任意兩個不等的正數(shù)，，都有恒成立，則a的取值范圍為（

）A． B．C． D．3．（2022·全國·高三專題練習）已知對，不等式恒成立，則實數(shù)a的最小值是（

）A．e B． C． D．4．（2022·河南·高二階段練習（理））已知當時，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．（2022·湖南·臨澧縣第一中學高二階段練習）已知函數(shù)（為常數(shù)）1）討論函數(shù)的單調(diào)性；2）不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．6．（2022·重慶市育才中學高二階段練習）已知函數(shù)，．(1)討論函數(shù)在區(qū)間的極值；(2)若函數(shù)在處取得極值，對，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．7．（2022·四川省瀘縣第一中學高二階段練習（理））已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性與極值；(2)若對任意，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.8．（2022·河南·三模（文））已知函數(shù)（e是自然對數(shù)的底數(shù)），曲線在點處的切線為.(1)求a，b的值；(2)若不等式在上恒成立，求正實數(shù)m的取值范圍.高頻考點二：分類討論法1．（2022·廣西柳州·三模（文））已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若為函數(shù)的極值點，當，不等式恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．2．（2022·陜西西安·二模（文））已知函數(shù).(1)當時，求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；(2)若不等式對恒成立，求實數(shù)的取值范圍.3．（2022·河南·高二階段練習（文））已知曲線在處的切線方程為，且.(1)求的解析式；(2)若時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.4．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，曲線在點處的切線為．(1)證明：對于，；(2)當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．5．（2022·四川·樹德中學高三開學考試（文））已知，設函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.6．（2022·貴州黔東南·一模（文））已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)當x>1時，恒成立，求a的取值范圍.高頻考點三：等價轉(zhuǎn)化法1．（2022·河南·民權(quán)縣第一高級中學高三階段練習（文））已知函數(shù)，.(1)討論f（x）的單調(diào)性；(2)當a=1時，若不等式恒成立，求m的取值范圍.2．（2022·江蘇·高二課時練習）已知函數(shù)，．若對一切正實數(shù)都成立，求實數(shù)的取值范圍．3．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，．(1)當時，求函數(shù)的最小值；(2)當時，若對任意都有成立，求實數(shù)的取值范圍．4．（2022·江西·南昌市實驗中學高二階段練習（理））已知函數(shù)，.(1)若在點處的切線方程為，求實數(shù)a、b的值；(2)若對任意，都有成立，求實數(shù)的取值范圍.5．（2022·山東日照·高三期末）已知函數(shù)，中.(1)當時，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若，對任意實數(shù)恒成立，求的最大值.高頻考點四：最值法1．（2022·重慶市朝陽中學高二階段練習）已知函數(shù)，其中(1)若函數(shù)的極小值為0，求實數(shù)m的值；(2)當時，恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．2．（2022·重慶市長壽中學校高二階段練習）已知函數(shù)(1)求的最大值(2)若恒成立，求的值3．（2022·江西·模擬預測（文））已知函數(shù).(1)判斷的單調(diào)性；(2)若對，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.4．（2022·河南·高二階段練習（文））已知函數(shù)在與處都取得極值.(1)求a，b的值；(2)若對任意，不等式恒成立，求實數(shù)c的取值范圍.5．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若對，，不等式恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.6．（2022·全國·高三專題練習）已知曲線在點處的切線方程是.(1)求的解析式；(2)若對任意，都有，求實數(shù)的取值范圍.第四部分：高考真題感悟第四部分：高考真題感悟1．（2019·天津·高考真題（理））已知，設函數(shù)若關于的不等式在上恒成立，則的取值范圍為A． B． C． D．2．（2020·海南·高考真題）已知函數(shù)．（1）當時，求曲線在點處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積；（2）若不等式恒成立，求a的取值范圍．3．（2020·全國·高考真題（理））已知函數(shù).（1）當a=1時，討論f（x）的單調(diào)性；（2）當x≥0時，f（x）≥x3+1，求a的取值范圍.4．（2019·全國·高考真題（文））已知函數(shù)f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）為f（x）的導數(shù)．（1）證明：f′（x）在區(qū)間（0，π）存在唯一零點；（2）若x∈[0，π]時，f（x）≥ax，求a的取值范圍．第五部分：第04講利用導數(shù)研究不等式恒成立問題（精練）第五部分：第04講利用導數(shù)研究不等式恒成立問題（精練）一、單選題1．（2022·河南南陽·高二期末（文））若函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2022·全國·高二）函數(shù)f(x)＝x3－x2＋a，函數(shù)g(x)＝x2－3x，它們的定義域均為[1，＋∞)，并且函數(shù)f(x)的圖象始終在函數(shù)g(x)圖象的上方，那么a的取值范圍是（

）A．(0，＋∞) B．(－∞，0) C． D．3．（2022·全國·高三階段練習（理））已知，，且，，且，恒成立，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（2022·全國·高二）已知函數(shù)在上是減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．（2022·重慶市清華中學校高二階段練習）已知函數(shù)，若對任意的，且，都有，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．（2022·山西臨汾·二模（理））已知函數(shù)，若恒成立．則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．7．（2022·浙江·義烏市商城學校高二階段練習）已知m，n為實數(shù)，不等式恒成立，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．28．（2022·寧夏中衛(wèi)·一模（理））已知定義域為的函數(shù)滿足，且，e為自然對數(shù)的底數(shù)，若關于x的不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C．D．二、填空題9．（2022·全國·高二課時練習）當時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是______．10．（2022·上海交大附中高二階段練習）已知，若對任意，都有，則實數(shù)的取值范圍是______.11．（2022·江蘇省石莊高級中學高二階段練習）已知函數(shù)．若對任意，都有成立，則實數(shù)的最小值是________．12．（2022·河南·民權(quán)縣第一高級中學高三階段練習（文））設函數(shù)f（x）在區(qū)間I上有定義，若對和，都有，那么稱f（x）為I上的凹函數(shù)，若不等號嚴格成立，即“<”號成立，則稱f（x）在I上為嚴格的凹函數(shù).對于上述不等式的證明，19世紀丹麥數(shù)學家琴生給出了如下的判斷方法：設定義在（a，b）上的函數(shù)f（x），其一階導數(shù)為，其二階導數(shù)為（即對函數(shù)再求導，記為），若，那么函數(shù)f（x）是嚴格的凹函數(shù)（，均可導）.試根據(jù)以上信息解決如下問題：函數(shù)在定義域內(nèi)為嚴格的凹函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍為___________.三、解答題13．（2022·福建省廈門集美中學高二階段練習）已知函數(shù)，(1)求過點的函數(shù)的切線方程(2)若對任意，都有成立，求正數(shù)a的取值范圍.14．（2022·四川·成