云南師范大學實驗中學2023-2024學年高一數(shù)學第二學期期末綜合測試模擬試題含解析

云南師范大學實驗中學2023-2024學年高一數(shù)學第二學期期末綜合測試模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．若三棱錐的所有頂點都在球的球面上，平面，，，且三棱錐的體積為，則球的體積為()A． B． C． D．2．設點，，若直線與線段沒有交點，則的取值范圍是A． B． C． D．3．設，為兩個平面，則能斷定∥的條件是（）A．內有無數(shù)條直線與平行 B．，平行于同一條直線C．，垂直于同一條直線 D．，垂直于同一平面4．直線，，的斜率分別為，，，如圖所示，則（）A． B．C． D．5．設，，若是與的等比中項，則的最小值為（）A． B． C．3 D．6．已知數(shù)列是各項均為正數(shù)且公比不等于的等比數(shù)列.對于函數(shù)，若數(shù)列為等差數(shù)列，則稱函數(shù)為“保比差數(shù)列函數(shù)”.現(xiàn)有定義在上的如下函數(shù)：①；②；③；④，則為“保比差數(shù)列函數(shù)”的所有序號為（）A．①② B．③④ C．①②④ D．②③④7．各項不為零的等差數(shù)列中，，數(shù)列是等比數(shù)列，且，則（）A．4 B．8 C．16 D．648．已知函數(shù)，函數(shù)的最小值等于（）A． B． C．5 D．99．定義在上的函數(shù)若關于的方程(其中)有個不同的實根,,…,,則（）A． B． C． D．10．已知兩點，，則（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．函數(shù)的值域是______．12．正項等比數(shù)列中，存在兩項使得，且，則的最小值為______.13．已知數(shù)列中，且當時，則數(shù)列的前項和=__________．14．已知角終邊經過點，則__________.15．函數(shù)的零點個數(shù)為__________．16．水平放置的的斜二測直觀圖如圖所示，已知，，則邊上的中線的實際長度為______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知.（1）求的值；（2）若為第二象限角，且角終邊在上，求的值.18．已知某校甲、乙、丙三個年級的學生志愿者人數(shù)分別是240，160，160.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學去某敬老院參加獻愛心活動。（1）應從甲、乙、丙三個年級的學生志愿者中分別抽取多少人？（2）設抽出的7名同學分別用A，B，C，D，E，F(xiàn)，G表示，現(xiàn)從中隨機抽取2名同學承擔敬老院的衛(wèi)生工作，求事件M“抽取的2名同學來自同一年級”發(fā)生的概率。19．已知等比數(shù)列是遞增數(shù)列，且滿足：，.（1）求數(shù)列的通項公式：（2）設，求數(shù)列的前項和.20．已知數(shù)列滿足,,,.(1)證明:數(shù)列是等比數(shù)列;(2)求數(shù)列的通項公式;(3)證明:.21．如圖，四棱錐的底面為平行四邊形，為中點.（1）求證:平面；（2）求證:平面.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】

由的體積計算得高，已知將三棱錐的外接球，轉化為長2，寬2，高的長方體的外接球，求出半徑，可得答案．【詳解】∵，，故三棱錐的底面面積為，由平面，得，又三棱錐的體積為，得，所以三棱錐的外接球，相當于長2，寬2，高的長方體的外接球，故球半徑，得，故外接球的體積.故選：A．【點睛】本題考查了三棱錐外接球的體積，三棱錐體積公式的應用，根據(jù)已知計算出球的半徑是解答的關鍵，屬于中檔題．2、B【解析】直線恒過點且斜率為由圖可知，且故選點睛：本題主要考查了兩條直線的交點坐標，直線恒過點，直線與線段沒有交點轉化為過定點的直線與線段無公共點，作出圖象，由圖求解即可．3、C【解析】

對四個選項逐個分析，可得出答案.【詳解】對于選項A，當，相交于直線時，內有無數(shù)條直線與平行，即A錯誤；對于選項B，當，相交于直線時，存在直線滿足：既與平行又不在兩平面內，該直線平行于，，故B錯誤；對于選項C，設直線AB垂直于，平面，垂足分別為A,B，假設與不平行，設其中一個交點為C，則三角形ABC中，，顯然不可能成立，即假設不成立，故與平行，故C正確；對于選項D，，垂直于同一平面，與可能平行也可能相交，故D錯誤.【點睛】本題考查了面面平行的判斷，考查了學生的空間想象能力，屬于中檔題.4、A【解析】

根據(jù)題意可得出直線，，的傾斜角滿足，由傾斜角與斜率的關系得出結果.【詳解】解：設三條直線的傾斜角為，根據(jù)三條直線的圖形可得，因為，當時，，當時，單調遞增，且，故，即故選A.【點睛】本題考查了直線的傾斜角與斜率的關系，解題的關鍵是熟悉正切函數(shù)的單調性.5、C【解析】

先由題意求出，再結合基本不等式，即可求出結果.【詳解】因為是與的等比中項，所以，故，因為，，所以，當且僅當，即時，取等號；故選C【點睛】本題主要考查基本不等式的應用，熟記基本不等式即可，屬于常考題型.6、C【解析】

①，為“保比差數(shù)列函數(shù)”；②，為“保比差數(shù)列函數(shù)”；③不是定值，不是“保比差數(shù)列函數(shù)”；④，是“保比差數(shù)列函數(shù)”，故選C.考點：等差數(shù)列的判定及對數(shù)運算公式點評：數(shù)列，若有是定值常數(shù)，則是等差數(shù)列7、D【解析】

根據(jù)等差數(shù)列性質可求得，再利用等比數(shù)列性質求得結果.【詳解】由等差數(shù)列性質可得：又各項不為零，即由等比數(shù)列性質可得：本題正確選項：【點睛】本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列性質的應用，屬于基礎題.8、C【解析】

先將化為，由基本不等式即可求出最小值.【詳解】因為，當且僅當，即時，取等號.故選C【點睛】本題主要考查利用基本不等式求函數(shù)的最值問題，需要先將函數(shù)化為能用基本不等式的形式，即可利用基本不等式求解，屬于基礎題型.9、C【解析】畫出函數(shù)的圖象，如圖，由圖可知函數(shù)的圖象關于對稱，解方程方程，得或,時有三個根，，時有兩個根，所以關于的方程共有五個根，，,故選C.【方法點睛】本題主要考查函數(shù)的圖象與性質以及函數(shù)與方程思想、數(shù)形結合思想的應用，屬于難題.數(shù)形結合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對應關系，通過數(shù)與形的相互轉化來解決數(shù)學問題的一種重要思想方法，.函數(shù)圖象是函數(shù)的一種表達形式，它形象地揭示了函數(shù)的性質，為研究函數(shù)的數(shù)量關系提供了“形”的直觀性．歸納起來，圖象的應用常見的命題探究角度有：1、確定方程根的個數(shù)；2、求參數(shù)的取值范圍；3、求不等式的解集；4、研究函數(shù)性質．10、C【解析】

直接利用兩點間距離公式求解即可．【詳解】因為兩點，，則，故選．【點睛】本題主要考查向量的模，兩點間距離公式的應用．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

將函數(shù)化為的形式，再計算值域?！驹斀狻恳驗樗浴军c睛】本題考查三角函數(shù)的值域，屬于基礎題。12、【解析】

先由已知求出公比，然后由求出滿足的關系，最后求出的所有可能值得最小值．【詳解】設數(shù)列公比為，由得，∴，解得（舍去），由得，，∵，所以只能取，依次代入，分別為2，，2，，，最小值為．故答案為：．【點睛】本題考查等比數(shù)列的性質，考查求最小值問題．解題關鍵是由等比數(shù)列性質求出滿足的關系．接著求最小值，容易想到用基本不等式求解，但本題實質上由于，因此對應的只有5個，可以直接代入求值，然后比較大小即可．13、【解析】

先利用累乘法計算，再通過裂項求和計算.【詳解】，數(shù)列的前項和故答案為：【點睛】本題考查了累乘法，裂項求和，屬于數(shù)列的?？碱}型.14、4【解析】

根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義，結合同角三角函數(shù)的基本關系求解即可．【詳解】因為角終邊經過點，所以，因此.故答案為：4【點睛】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，同角三角函數(shù)的基本關系，屬于基礎題．15、3【解析】

運用三角函數(shù)的誘導公式先將函數(shù)化簡，再在同一直角坐標系中做出兩支函數(shù)的圖像，觀察其交點的個數(shù)即得解.【詳解】由三角函數(shù)的誘導公式得，所以令，求零點的個數(shù)轉化求方程根的個數(shù)，因此在同一直角坐標系分別做出和的圖象，觀察兩支圖象的交點的個數(shù)為個，注意在做的圖像時當時，,故得解.【點睛】本題考查三角函數(shù)的有界性和余弦函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的交點情況，屬于中檔題.16、【解析】

利用斜二測直觀圖的畫圖規(guī)則，可得為一個直角三角形，且，得，從而得到邊上的中線的實際長度為.【詳解】利用斜二測直觀圖的畫圖規(guī)則，平行于軸或在軸上的線段，長度保持不變；平行于軸或在軸上的線段，長度減半，利用逆向原則，所以為一個直角三角形，且，所以，所以邊上的中線的實際長度為.【點睛】本題考查斜二測畫法的規(guī)則，考查基本識圖、作圖能力.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

(1)先根據(jù)誘導公式將原式子化簡，再將已知條件中的表達式平方，可得到結果；（2）原式子可化簡為，由已知條件可得到，再由第一問中得到，結合第一問中的條件可得到結果.【詳解】（1）=已知,將式子兩邊平方可得到（2）為第二象限角，且角終邊在上，則根據(jù)三角函數(shù)的定義得到原式化簡等于由第一問得到將已知條件均代入可得到原式等于.【點睛】三角函數(shù)求值與化簡必會的三種方法(1)弦切互化法:主要利用公式tanα=;形如,asin2x+bsinxcosx+ccos2x等類型可進行弦化切.(2)“1”的靈活代換法:1=sin2θ+cos2θ=(sinθ+cosθ)2-2sinθcosθ=tan等.(3)和積轉換法:利用(sinθ±cosθ)2=1±2sinθcosθ,(sinθ+cosθ)2+(sinθ-cosθ)2=2的關系進行變形、轉化.18、(1)應分別從甲、乙、丙三個年級分別抽取3人，2人，2人(2)P【解析】

（1）由分層抽樣的性質可得甲、乙、丙三個年級的學生志愿者人數(shù)之比為3：2：2，可得抽取7名同學，應分別從甲、乙、丙三個年級分別抽取3人，2人，2人；(2)從抽出的7名同學中隨機抽取2名的所有可能結果為21種，其中2名同學來自同一年級的所有可能結果為5種，可得答案.【詳解】解：（1）由已知，甲、乙、丙三個年級的學生志愿者人數(shù)之比為3：2：2因為采取分層抽樣的方法抽取7名同學，所以應分別從甲、乙、丙三個年級分別抽取3人，2人，2人（2）從抽出的7名同學中隨機抽取2名的所有可能結果為：ABACADAEAFAGBCBDBEBFBGCDCECF共21種CGDEDFDGEFEGFG不妨設抽出的7名同學中，來自甲年級的是A，B，C，來自乙年級的是D，E，來自丙年級的是F，G，則2名同學來自同一年級的所有可能結果為：AB，AC，BC，DE，F(xiàn)G共5種P【點睛】本題主要考查分層抽樣及利用列舉法求時間發(fā)生的概率，相對簡單.19、（1）；（2）【解析】

（1）利用等比數(shù)列的性質結合已知條件解得首項和公比，由此得通項公式；（2）由（1）得，再利用等差數(shù)列的求和公式進行解答即可．【詳解】（1）由題意，得，又，所以，，或，，由是遞增的等比數(shù)列，得，所以，，且，∴，即；（2）由（1）得，得，所以數(shù)列是以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列，所以.【點睛】本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式，以及等差數(shù)列的其前n項和公式的應用，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．20、(1)證明見解析;(2);(3)證明見解析.【解析】

（1）由，得，即可得到本題答案；（2）由，得，即可得到本題答案；（3）當時，滿足題意；若n是偶數(shù)，由，可得；當n是奇數(shù),且時，由，可得，綜上，即可得到本題答案.【詳解】(1)因為，所以，因為，所以，所以數(shù)列是等比數(shù)列；(2)因為，所以，所以，又因為，所以，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，所以；(3)①