2025版新高考版高考總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)二項(xiàng)式定理（十年高考）

2025版新高考版高考總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)10.2二項(xiàng)式定理考點(diǎn)二項(xiàng)式定理1.(2023北京,5,4分,易)在2x?1x5的展開式中,xA.-40B.40C.-80D.80答案D2x?1x5的展開式的通項(xiàng)為Tk+1=C5k(2x)5-k·?1xk=C5k25-k(-1)kx5-2k,令5-2k=1,得k=22.(2022北京,8,4分)若(2x-1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,則a0+a2+a4=()A.40B.41C.-40D.-41答案B∵(2x-1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,∴令x=1,得a4+a3+a2+a1+a0=1,令x=-1,得a4-a3+a2-a1+a0=34,∴a0+a2+a4=12×(1+34)=41.故選B3.(2016四川理,2,5分)設(shè)i為虛數(shù)單位,則(x+i)6的展開式中含x4的項(xiàng)為()A.-15x4B.15x4C.-20ix4D.20ix4答案AT3=C62x4i2=-15x4,易錯(cuò)警示易誤認(rèn)為i2=1而致錯(cuò).4.(2015湖北理,3,5分)已知(1+x)n的展開式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,則奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為()A.212B.211C.210D.29答案D∵(1+x)n的展開式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)分別為Cn3,Cn7,∴Cn從而有C100+C101+C102+C10又C100+C102+…+C1010=C10∴奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為C100+C102+…+評(píng)析本題考查求二項(xiàng)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)及其性質(zhì)、組合數(shù)性質(zhì),考查運(yùn)算求解能力.5.(2015陜西理,4,5分)二項(xiàng)式(x+1)n(n∈N+)的展開式中x2的系數(shù)為15,則n=()A.4B.5C.6D.7答案C因?yàn)?x+1)n的展開式中x2的系數(shù)為Cn所以Cnn?2=15,即Cn2=15,亦即n6.(2015課標(biāo)Ⅰ理,10,5分)(x2+x+y)5的展開式中,x5y2的系數(shù)為()A.10B.20C.30D.60答案C(x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5的展開式中只有C52(x2+x)3y2中含x5y2,易知x5y2的系數(shù)為C57.(2014四川理,2,5分)在x(1+x)6的展開式中,含x3項(xiàng)的系數(shù)為()A.30B.20C.15D.10答案C在(1+x)6的展開式中,含x2的項(xiàng)為T3=C62·x2=15x2,故在x(1+x)6的展開式中,含x38.(2014湖南理,4,5分)12x?2y5的展開式中A.-20B.-5C.5D.20答案A展開式的通項(xiàng)為Tk+1=C5k12x5?k·(-2y)k=(-1)k·22k-5C5kx5-k·yk,令5-k=2,得k=3.則展開式中x2y3的系數(shù)為評(píng)析本題考查由二項(xiàng)式定理求指定項(xiàng)系數(shù)、組合數(shù)的計(jì)算,考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.9.(2014浙江理,5,5分)在(1+x)6(1+y)4的展開式中,記xmyn項(xiàng)的系數(shù)為f(m,n),則f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=()A.45B.60C.120D.210答案C在(1+x)6的展開式中,xm的系數(shù)為C6m,在(1+y)4的展開式中,yn的系數(shù)為C4n,故f(m,n)=C6m·C4n.從而f(3,0)=C63=20,f(2,1)=C62·C410.(2013課標(biāo)Ⅱ理,5,5分)已知(1+ax)(1+x)5的展開式中x2的系數(shù)為5,則a=()A.-4B.-3C.-2D.-1答案D由二項(xiàng)式定理得(1+x)5的展開式的通項(xiàng)為Tr+1=C5r·xr,所以當(dāng)r=2時(shí),(1+ax)(1+x)5的展開式中x2的系數(shù)為C52,當(dāng)r=1時(shí),x2的系數(shù)為C51·a,所以C11.(2013遼寧理,7,5分)使3x+1xxn(n∈NA.4B.5C.6D.7答案BTr+1=Cnr(3x)n-r·x?32r=Cnr·3n-r·xn?若Tr+1是常數(shù)項(xiàng),則有n-52r=0,即2n=5r(r=0,1,…,n),當(dāng)r=0,1時(shí),n=0,52,不滿足條件;當(dāng)r=2時(shí),n=5,12.(2013大綱全國(guó)理,7,5分)(1+x)8(1+y)4的展開式中x2y2的系數(shù)是()A.56B.84C.112D.168答案D(1+x)8·(1+y)4的展開式中x2y2的系數(shù)為C82·C413.(2013課標(biāo)Ⅰ理,9,5分)設(shè)m為正整數(shù),(x+y)2m展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為a,(x+y)2m+1展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為b.若13a=7b,則m=()A.5B.6C.7D.8答案B由題意得:a=C2mm,b=C2m+1m,所以13C2mm=7C2m+1m,∴14.(2012湖北理,5,5分)設(shè)a∈Z,且0≤a<13,若512012+a能被13整除,則a=()A.0B.1C.11D.12答案D512012+a=(52-1)2012+a=522012+C20121×522011×(-1)+…+C20122011×52×(-1)2011+(-1)2012+a能被13整除,只需(-1)2012+a=1+a能被13整除即可.∵0評(píng)析本題考查二項(xiàng)式定理及整除等知識(shí),考查學(xué)生應(yīng)用意識(shí)和運(yùn)算求解能力.15.(2012安徽理,7,5分)(x2+2)1x2A.-3B.-2C.2D.3答案D由題意知展開式的常數(shù)項(xiàng)為2×(-1)5+C51×(-1)4=-2+5=3,16.在的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為_________．【答案】【解析】展開式的通項(xiàng)公式，令可得，，則項(xiàng)的系數(shù)為.17.(2021北京,11,5分)x3?1答案-4解析Tr+1=C4r(x3)4-r?1xr=(-1)rC4rx12-4r,令12-4r=0,得r=3,所以x3?1x18.(2022新高考Ⅰ,13,5分)1?yx(x+y)8的展開式中x2y6的系數(shù)為(用數(shù)字作答答案-28解析(x+y)8的展開式中x2y6的系數(shù)為C86=28,x3y5的系數(shù)為C85=56,因此1?yx(x+y)8的展開式中x219.(2022浙江,12,6分)已知多項(xiàng)式(x+2)(x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,則a2=,a1+a2+a3+a4+a5=.

答案8;-2解析由(x+2)(x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,知含x2的項(xiàng)是由x+2中的x和2分別與(x-1)4的展開式中含x和x2的項(xiàng)相乘后再相加得到的,所以a2=C43(-1)3+2C42(-1對(duì)于(x+2)(x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,令x=0,得a0=2×(-1)4=2;令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4+a5=0,所以a1+a2+a3+a4+a5=-2.20.(2018上海,3,4分)在(1+x)7的二項(xiàng)展開式中,x2項(xiàng)的系數(shù)為(結(jié)果用數(shù)值表示).

答案21解析本題主要考查二項(xiàng)展開式.(1+x)7的二項(xiàng)展開式中,x2項(xiàng)的系數(shù)為C72=21.(2016天津理,10,5分)x2?1x8的展開式中x7答案-56解析Tr+1=C8rx16-2r(-x)-r=(-1)-rC8rx16-3r,令16-3r=7,得r=3,所以x7的系數(shù)為易錯(cuò)警示本題中,展開式的通項(xiàng)易寫錯(cuò),尤其是符號(hào),正負(fù)易混,需引起注意.評(píng)析本題主要考查二項(xiàng)式定理,對(duì)運(yùn)算求解能力要求較高.屬中檔題.22.(2015天津,12,5分)在x?14x6的展開式中答案15解析x?14x6的展開式的通項(xiàng)為Tr+1=C6rx6-r?14xr=?14rC6r23.(2015重慶理,12,5分)x3+12x5的展開式中x答案5解析二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為Tr+1=C5r(x3)5-r·12xr=12rC5r·x15?3r?r2,令24.(2015課標(biāo)Ⅱ理,15,5分)(a+x)(1+x)4的展開式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為32,則a=.

答案3解析設(shè)f(x)=(a+x)(1+x)4,則其所有項(xiàng)的系數(shù)和為f(1)=(a+1)·(1+1)4=(a+1)×16,又奇數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)和為12[f(1)-f(-1)],∴1評(píng)析二項(xiàng)展開式問(wèn)題中,涉及系數(shù)和的問(wèn)題,通常采用賦值法.25.(2014安徽理,13,5分)設(shè)a≠0,n是大于1的自然數(shù),1+xan的展開式為a0+a1x+a2x2+…+anxn.若點(diǎn)Ai(i,ai)(i=0,1,2)的位置如圖所示,則答案3解析根據(jù)題意知a0=1,a1=3,a2=4,結(jié)合二項(xiàng)式定理得Cn1·126.(2014課標(biāo)Ⅰ理,13,5分)(x-y)(x+y)8的展開式中x2y7的系數(shù)為.(用數(shù)字填寫答案)

答案-20解析由二項(xiàng)展開式公式可知,含x2y7的項(xiàng)可表示為x·C87xy7-y·C86x2y6,故(x-y)(x+y)8的展開式中x2y7的系數(shù)為C87-27.(2014課標(biāo)Ⅱ理,13,5分)(x+a)10的展開式中,x7的系數(shù)為15,則a=.(用數(shù)字填寫答案)

答案1解析Tr+1=C10rx10-rar,令10-r=7,∴C103a3=15,即10×9×83×228.(2013浙江理,11,4分)設(shè)二項(xiàng)式x?13x5的展開式中常數(shù)項(xiàng)為答案-10解析展開式通項(xiàng)為Tr+1=C5r·(x)=C5r(-1)rx52?56r當(dāng)r=3時(shí),T4=C53(-1)3=-10.29.(2012福建理,11,4分)(a+x)4的展開式中x3的系數(shù)等于8,則實(shí)數(shù)a=.

答案2解析T3+1=C43a1x3=4ax評(píng)析本題考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式,也考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.30.(2012浙江理,14,4分)若將函數(shù)f(x)=x5表示為f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+x)5,其中a0,a1,a2,…,a5為實(shí)數(shù),則a3=.

答案10解析由于f(x)=x5=[(1+x)-1]5,所以a3=C53(-1)評(píng)析本題考查二項(xiàng)式定理的運(yùn)用,考查整體思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,可利用構(gòu)造法解決問(wèn)題.31.(2012大綱全國(guó)理,15,5分)若x+1xn的展開式中第3項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,則該展開式中答案56解析由Cn2=Cn6得n=8,Tr+1=C8rx8-r·1xr=C8rx8-2r評(píng)析本題考查了二項(xiàng)式定理,運(yùn)用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求指定項(xiàng)的系數(shù).32.(2016課標(biāo)Ⅰ,14,5分)(2x+x)5的展開式