基于問題關(guān)聯(lián)淺析與探索以題會(huì)類 論文

基于問題關(guān)聯(lián)，淺析與探索以題會(huì)類摘要：數(shù)學(xué)教學(xué)的三個(gè)思考，從“知其然”到“知其所以然”提升至“何由以知其所以然”，以知識溯源為思維引路，以“教會(huì)學(xué)生怎么想”為能力抓手，堅(jiān)持“同一類型還可怎么做”為拓展方向，探究部分?jǐn)?shù)學(xué)題型深入淺出的解答，從強(qiáng)調(diào)怎么做的到遷移能力的培養(yǎng)，達(dá)到既要快又要準(zhǔn)的找出解題思路，筆者從數(shù)學(xué)學(xué)科的重點(diǎn)題型入手，淺談江蘇部分中考題型的解答，以達(dá)到以題會(huì)類的效果。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)模型數(shù)形結(jié)合類比關(guān)聯(lián)“怎么入手”、“怎么想到這種方法”、“同一類型還可怎么做”，注重知識的“生長點(diǎn)”與“延伸點(diǎn)”，抓住同類題型的關(guān)聯(lián)點(diǎn)。近年來，中考題型壓軸題多以最值問題、路徑問題、倍角問題等，多與動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)線、圖形旋轉(zhuǎn)等問題關(guān)聯(lián)，初中數(shù)學(xué)難在幾何，成在幾何，這類題目往往是大部分考生的攔路虎，但細(xì)究之下，發(fā)現(xiàn)很多題目都是有規(guī)律可循，代數(shù)有方法幾何有模型，基本的定理和必備的幾何模型往往就是解答壓軸題的突破口，所以夯實(shí)幾何基礎(chǔ)，具有事半功倍的效果。一、基于基本定義，挖掘隱圓條件實(shí)踐和操作在空間與圖形的學(xué)習(xí)中顯得尤為重要，學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識簡單幾何體和平面圖形，感受平移、旋轉(zhuǎn)、對稱等現(xiàn)象，從一般到特殊，學(xué)習(xí)描述物體相對位置的一些方法，建立初步的空間觀念。我們要做好類別的劃分，在研究重點(diǎn)題型的解答方法時(shí)，并通過研究針對不同題型有不同的解題方法來提高學(xué)生的解題能力與應(yīng)對能力。例如，隱圓類型有多種，有“圓”千里來相會(huì)，尋找圓的影子，讓“圓”形畢露。描述性定義，在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它的固定的一個(gè)端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形叫做圓，其中固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑。幾何形定義，平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的所有點(diǎn)做成的圖形（形成的軌跡）叫做圓。如圖如圖1-3所示，在¨ABCD中，AB=6,BC=8,P為BC邊上一動(dòng)點(diǎn).以直線AP為對稱軸將ΔABP翻折得到ΔAB’P,當(dāng)DB’最小時(shí)，線段CP長為

.方法：由定點(diǎn)找定長出現(xiàn)圓形.在翻轉(zhuǎn)中A點(diǎn)始終固定不變?yōu)槎c(diǎn)，而翻轉(zhuǎn)后AB的長度也固定不變，所以AB為定長.從而得到B’的運(yùn)動(dòng)軌跡是以A為圓心AB為半徑的圓，如圖1-3-1所示，當(dāng)點(diǎn)A、B’、D在一條直線上時(shí)DB’最小，最小值為DB’.可計(jì)算得：DB’的最小值為2。例2：（宿遷2020中考）如圖矩形ABCD中，AB=1,AD=,點(diǎn)P為AD邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BP,線段BA與線段BQ關(guān)于BP所在的直線對稱，連接PQ，當(dāng)P從A點(diǎn)遠(yuǎn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)，線段PQ在平面內(nèi)掃過的面積為___________.二、類比同類模型，構(gòu)造一線三角一線三垂直和一線三等角，是初中數(shù)學(xué)常見的數(shù)學(xué)模型，應(yīng)用非常廣泛，如下圖是兩種最基礎(chǔ)的模型，由此會(huì)演變出來的幾種不同的樣式。在江蘇2019和2020年中考中應(yīng)用。例：（鹽城2019）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=2x-1分別交x、y軸于A、B兩點(diǎn)將直線AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，交x軸于點(diǎn)C，則直線BC的直線表達(dá)式________.如何通過相似或全等解決這類中考題，充分利用給定角度45°（或60°等），利用一線三垂直構(gòu)造輔助線，如圖過A點(diǎn)作AD?BC垂足為D點(diǎn)，作DE?X軸垂足為E點(diǎn)，這樣三角形的關(guān)系立刻出來。例：（宿遷市2020）中考題27題【感知】如圖①，在四邊形ABCD中，∠AEB＝90°，點(diǎn)E在邊CD上，∠C＝∠D＝90°，求證：＝．【探究】如圖②，在四邊形ABCD中，∠C＝∠ADC＝90°，點(diǎn)E在邊CD上，點(diǎn)F在邊AD的延長線上，∠FEG＝∠AEB＝90°，且＝，連接BG交CD于點(diǎn)H．求證：BH＝GH．【拓展】如圖③，點(diǎn)E在四邊形ABCD內(nèi)，∠AEB十∠DEC＝180°，且＝，過E作EF交AD于點(diǎn)F，若∠EFA＝∠AEB，延長FE交BC于點(diǎn)G．求證：BG＝CG．圖一、圖二是我們常見的一線三垂直，由圖一很自然想到圖二輔助線的做法，構(gòu)造兩次相似，圖三是演化后的一線三等角，層層深入，圖二的思路對于圖三的解答作用重大。圖一只需要一次相似，圖二需要兩次。如圖二，做輔助線FI?CD，由一線三垂直可得△ADE∽ECB,可得,同理△DGE∽△IEF,可得,由題意可得，兩個(gè)式子比值相等從而得到兩條線段。如圖三，此問難度較大一些，類比第二個(gè)問題，畫兩條輔助線構(gòu)造一線三等角，作∠BME=AME,從而得到△AFE∽EMB,作CN∥BM，△DFE∽△ENC,通過兩組相似可得對應(yīng)線段成比例，是兩個(gè)相似三角形聯(lián)系的紐帶，思路和第二問相同。這道中考題把一線三角垂直和相等應(yīng)用的淋漓極致。三、動(dòng)點(diǎn)動(dòng)線動(dòng)角，主動(dòng)從動(dòng)緊密相連2019和2020江蘇部分中考試題出現(xiàn)一個(gè)定點(diǎn)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，主動(dòng)、從動(dòng)點(diǎn)互為主從這種情況，主動(dòng)線和從動(dòng)線夾角固定比值固定，數(shù)學(xué)史上稱為瓜豆原理，常見的瓜豆原理有兩種模型。第一種情況，主動(dòng)點(diǎn)軌跡是直線，從動(dòng)點(diǎn)軌跡也是直線，如圖已知A為定點(diǎn)，點(diǎn)B是直線L上的動(dòng)點(diǎn),⊿ABC是等腰直角三角形。證明（1）點(diǎn)C軌跡是直線（2）該直線與L的夾角為45度。過A點(diǎn)作垂線段垂直直線L，構(gòu)造初始狀態(tài)等腰Rt△ADE，因?yàn)楹偷妊黂t△ABC有公共部分，∠DAE=∠BAC=45,所以可以說明△ADB和△AEC相似，并且相似比是1：，E點(diǎn)是定點(diǎn)，∠AED是45度，∠AEC=45,所以C點(diǎn)的軌跡是一條直線。并且發(fā)現(xiàn)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡夾角是定值，夾角等于兩個(gè)動(dòng)直線的夾角。通過幾何畫板可以進(jìn)一步演示C點(diǎn)的軌跡。瓜豆原理的第二個(gè)模型，第一個(gè)條件是主線AB和從線夾角固定，第二個(gè)條件是主線CP和從先CD的夾角定值，兩線段比值為定值，如圖動(dòng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)，D的軌跡也是一個(gè)圓。如何探討呢，如圖二，作Rt△GOC，∠OCG=60、∠OGC=90，易正明△PCD∽△OCG，△POC∽△GCD,相似比為2:1，所以GD=OP，G到D長度為定值，并且D點(diǎn)是定點(diǎn)，所以DE軌跡是圓。例：(2018南通)中考題27題第三小題，如圖正方形ABCD中，C是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是正反形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，連接DE，將線段DE繞著D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度的DF，連接AE、CF,求線段OF長的最小值。由于E是主動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是從動(dòng)點(diǎn)，DE、DF夾角固定是90度，并且比值是1，符合掛豆原理，E、F軌跡完全相同，都是圓。用瓜豆原理方法解決此題，構(gòu)造等腰Rt△ODO’,OO’為斜邊，容易證明△DEO≌△DFO’,因?yàn)镺是定點(diǎn)所以O(shè)’也是定點(diǎn)，OE是定值，O’E也是定值，所以F點(diǎn)的軌跡是一個(gè)以O(shè)’為圓心的圓。OF的最小值，當(dāng)F、F’、O’三點(diǎn)共線時(shí)有最小值，根據(jù)等腰Rt△ODO’斜邊長為，圓O;半徑為2，所以O(shè)F的最小值為-2.例：（2019宿遷中考）正方形ABCD中邊長為4，E為BC上一點(diǎn)，且BE=1，F(xiàn)為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EF，以EF為邊向右側(cè)作等邊△EFG,連接CG，則CG的最小值為________。如圖，首先判斷，E是定點(diǎn)F點(diǎn)軌跡是直線，∠FEG是定角60度，并且GE與FE的比值是定值1，符合瓜豆原理，所以G點(diǎn)的軌跡是直線，先從F點(diǎn)初始狀態(tài)找到G點(diǎn)的初始狀態(tài)H點(diǎn)，然后當(dāng)F點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A時(shí)，G點(diǎn)運(yùn)到結(jié)束落在CD上。四、基本定理入手，深入淺出例如七年級數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)了兩點(diǎn)之間線段最短這一定理，八年級上冊《最短路徑問題的探究》將最值問題引入一個(gè)新的臺階，以及二次函數(shù)中的面積最值、倍角、弧長，一線三垂直，一線三等角、手拉手等豐富多彩的數(shù)學(xué)模型。動(dòng)點(diǎn)類的數(shù)學(xué)模型學(xué)習(xí)幾何有規(guī)律可循，讓信心逐步增加。例：RT△ABC中，∠C=90°,AC=6,BC=4,圓C的半徑是2，P為圓C的動(dòng)點(diǎn)，連接PA,PB,求AP+BP的最小值。解決此類問題AP+BP，動(dòng)點(diǎn)為P是一個(gè)圓，我們要考慮近年常考的兩種模型，胡不歸問題和阿氏圓問題，數(shù)學(xué)史上這兩種類型的題目，基本解題思想還是兩點(diǎn)間距離最短問題。此題動(dòng)點(diǎn)軌跡是圓，顯然是阿氏圓問題，構(gòu)造母子型相似。在CD取一點(diǎn)D，使CD:CP=PC:BC,這樣一來⊿PCD∽⊿BCP,當(dāng)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PD=PB,A、P、D三點(diǎn)共線時(shí)AD值最小，把AP+BP的最小值轉(zhuǎn)化成AD的最小值。例：（南通市2019中考18題）在平行四邊形ABCD中，,AB=6,BC=2,∠DAB=60，P為CD邊上一動(dòng)點(diǎn)，則PB+PD的最小值等于_______。解決此題的中心思想還是轉(zhuǎn)化，難點(diǎn)是PD，如何轉(zhuǎn)化大部分同學(xué)束手無策，P點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，軌跡是直線，所以此題屬于數(shù)學(xué)史上的胡不歸模型，作∠CDH=60構(gòu)造直角三角形作PH?AH,垂足為H,把PD轉(zhuǎn)化成PH的長，利用兩點(diǎn)間線段最短即可求出最小值。由此可見胡不歸的中心思想就是構(gòu)造直角三角形將系數(shù)不為1的后項(xiàng)轉(zhuǎn)化為系數(shù)為1的項(xiàng)，利用七年級時(shí)學(xué)的基本的定理，兩點(diǎn)之間線段最短。教根據(jù)學(xué)，學(xué)根據(jù)教，代數(shù)有方法，幾何有模型，滲透數(shù)學(xué)對象研究的基本思維，勾畫研究路線圖整體把握知識結(jié)構(gòu)，能使問題的解決顯得更直接、更簡捷，一題多變多解，化抽象為具體，層層深入讓學(xué)生在探究解題的過程中流連忘返，數(shù)學(xué)解題的方法和解題模型是運(yùn)用數(shù)學(xué)概念、法則、公式、定理等知識的體現(xiàn)。突破解決問題的思路，在領(lǐng)悟問題的過程中思考別人為什么要這樣命題，主要想考察些什么，類似的題型還有哪些，不僅僅停留在傳授知識上,還應(yīng)進(jìn)一步圍繞數(shù)學(xué)思維能力的基本特征,從對學(xué)生的思維訓(xùn)練入手,關(guān)鍵是抓住思維訓(xùn)練的內(nèi)容、類型、水平與層次,認(rèn)真對學(xué)生的數(shù)學(xué)思維進(jìn)行培養(yǎng),訓(xùn)練思維的敏捷性、獨(dú)立性和邏輯性,充分利用已知的數(shù)學(xué)思維，又要排除思維定式的障礙,