2017初中數(shù)學(xué)全面復(fù)習(xí)提綱

2017初中數(shù)學(xué)全面復(fù)習(xí)提綱

一章、實(shí)數(shù)問(wèn)題

知識(shí)點(diǎn)梳理

考點(diǎn)一、實(shí)數(shù)的概念及分類（3分）

1、實(shí)數(shù)的分類

廠正有理數(shù)1

「有理數(shù)」零（有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)

實(shí)數(shù)4［負(fù)有理數(shù)J

廠正無(wú)理數(shù)1

［無(wú)理數(shù)】卜無(wú)限不循環(huán)小數(shù)

L負(fù)無(wú)理數(shù)一

2、無(wú)理數(shù)

在理解無(wú)理數(shù)時(shí)，要抓住“無(wú)限不循環(huán)”這一實(shí)質(zhì)，歸納起來(lái)有四類:

（1）開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)，如甘，次等；

（2）有特定意義的數(shù)，如圓周率n,或化簡(jiǎn)后含有n的數(shù)，如3+8等；

（3）有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.1010010001…等;

（4）某些三角函數(shù)，如sin60°等

考點(diǎn)二、實(shí)數(shù)的倒數(shù)、相反數(shù)和絕對(duì)值（3分）

1、相反數(shù)

實(shí)數(shù)與它的相反數(shù)是一對(duì)數(shù)（只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)，零的相反數(shù)是零）,

從數(shù)軸上看，互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，如果a與b互為相反數(shù)，則

有a+b=0,a=-b,反之亦成立。

2,絕對(duì)值

一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值就是表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，零的絕對(duì)值時(shí)它本身，也可

看成它的相反數(shù)，若|a|=a,則a》0；若|a|=-a,則a<0。正數(shù)大于零，負(fù)數(shù)小于零，正

數(shù)大于一切負(fù)數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小。

3、倒數(shù)

如果a與b互為倒數(shù)，則有ab=L反之亦成立。倒數(shù)等于本身的數(shù)是1和-1。零沒(méi)有倒數(shù)。

考點(diǎn)三、平方根、算數(shù)平方根和立方根（3—10分）

1、平方根

如果一個(gè)數(shù)的平方等于a,那么這個(gè)數(shù)就叫做a的平方根（或二次方跟）。

一個(gè)數(shù)有兩個(gè)平方根，他們互為相反數(shù)；零的平方根是零；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根。

正數(shù)a的平方根記做“土丘”。

2、算術(shù)平方根

正數(shù)a的正的平方根叫做a的算術(shù)平方根，記作“&

正數(shù)和零的算術(shù)平方根都只有一個(gè)，零的算術(shù)平方根是零。

a（?>o）「&20

"=14=v；注意&的雙重非負(fù)性：<

I-a（?<0）I°20

3、立方根L

如果一個(gè)數(shù)的立方等于a,那么這個(gè)數(shù)就叫做a的立方根（或a的三次方根）。

一個(gè)正數(shù)有一個(gè)正的立方根；一個(gè)負(fù)數(shù)有一個(gè)負(fù)的立方根；零的立方根是零。

注意：舊=劣,這說(shuō)明三次根號(hào)內(nèi)的負(fù)號(hào)可以移到根號(hào)外面。

考點(diǎn)四、科學(xué)記數(shù)法和近似數(shù)（3—6分）

1、有效數(shù)字

1

一個(gè)近似數(shù)四舍五入到哪一位，就說(shuō)它精確到哪一位，這時(shí)，從左邊第一個(gè)不是零的數(shù)字

起到右邊精確的數(shù)位止的所有數(shù)字，都叫做這個(gè)數(shù)的有效數(shù)字。

例如:1.66666....

如果結(jié)果只取整數(shù)，那么按四舍五入的法則應(yīng)為2,就叫做精確到個(gè)位；

如果結(jié)果取1位小數(shù)，則應(yīng)為1.7,就叫做精確到十分位（或叫精確到0.1）；

如果結(jié)果取2位小數(shù)，則應(yīng)為1.67,就叫做精確到百分位（或叫精確到0.01）；…….

例如：0.0572精確到萬(wàn)分位（精確到0.0001）,共有3個(gè)有效數(shù)字5、7、2；

2.40萬(wàn)。2.40萬(wàn)精確到百位，共有3個(gè)有效數(shù)字2、4、0.（注意:2.40萬(wàn)，單位是萬(wàn)，要求是精

確到哪一位？要特別注意）

2、科學(xué)記數(shù)法

把一個(gè)數(shù)寫做±4X10"的形式，其中l(wèi)4a<10,n是整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法。

考點(diǎn)五、實(shí)數(shù)大小的比較（3分）

1、數(shù)軸

規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸（畫數(shù)軸時(shí)，要注意上述規(guī)定的三要素缺

一不可）。

解題時(shí)要真正掌握數(shù)形結(jié)合的思想，理解實(shí)數(shù)與數(shù)軸的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，并能靈活運(yùn)用。

2、實(shí)數(shù)大小比較的幾種常用方法

（1）數(shù)軸比較：在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。

（2）求差比較：設(shè)a、b是實(shí)數(shù)，

a-b>0<=>a>b,

a—b=0=a=b,

。一/?<0=a<b

a[a[]aQ>

—>1t0a>b\—=10a=b\—<1=a<b;

（3）求商比較法：設(shè)a、b是兩正實(shí)數(shù)，bbb

（4）絕對(duì)值比較法：設(shè)a、b是兩負(fù)實(shí)數(shù)，則時(shí)>網(wǎng)Q“<"。

（5）平方法：設(shè)a、b是兩負(fù)實(shí)數(shù)，則

考點(diǎn)六、實(shí)數(shù)的運(yùn)算(做題的基礎(chǔ)，分值相當(dāng)大)

1、加法交換律a+b=b+a

。)+

2、加法結(jié)合律(a+c=a+S+c)

3、乘法交換律ab-ba

4、乘法結(jié)合律(ah)c=a(bc)

5,乘法對(duì)加法的分配律a(b+c)=ah+ac

6、實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序

先算乘方，再算乘除，最后算加減，如果有括號(hào)，就先算括號(hào)里面的。

二章、代數(shù)式

一節(jié)、整式

知識(shí)點(diǎn)梳理

考點(diǎn)一、整式的有關(guān)概念（3分）

1、代數(shù)式：用運(yùn)算符號(hào)把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子叫做代數(shù)式。單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一

個(gè)字母也是代數(shù)式。

蝎徵地表示方急

in關(guān)于乘號(hào)的寫溯：數(shù)字與字母相乘，或者字母與字母相乘，乘號(hào)一般不寫成“x”，而是在兩個(gè)因數(shù)

之間的垂直居中位置寫上實(shí)心的圓點(diǎn)“?”，注意寫的位置不要靠下，以免與小數(shù)點(diǎn)”混淆；或者干

脆省略不寫；數(shù)字與數(shù)字之間的乘號(hào)，一般仍寫成“X”.

2

2、題字的寫■:如果字母與數(shù)字相乘，那么一般把數(shù)字寫在字母的前面；如果數(shù)字為帶分?jǐn)?shù)的，應(yīng)該把

帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)。

3、?于除法的寫潮：在代數(shù)式中出現(xiàn)除法運(yùn)算時(shí)，一般不寫“+”，而是用分?jǐn)?shù)線代替，改寫成分?jǐn)?shù)的

形式；如果除數(shù)為整數(shù)的,還可以把用這個(gè)整數(shù)為分母的分?jǐn)?shù)單位作為數(shù)字因數(shù)，寫到前面。

4、帶單位的代數(shù)式的寫法：要從總體上看整個(gè)代數(shù)式，如果它是加減關(guān)系的，就要把整個(gè)代數(shù)式加上括

號(hào)；如果是乘除關(guān)系的,就不必在整個(gè)代數(shù)是上加括號(hào)了。

5、快于約定的寫潴一些寫法是約定俗成的，比如當(dāng)數(shù)字與字母相乘，數(shù)字因數(shù)為1時(shí)，通常把1省略

不寫；“a與b的差”是指“a-b”，而不是“b-a”；“a、b的平方和”是指“a、b兩個(gè)數(shù)分別平方后相

加的和”，即“M+b”',；同樣，“a、b的平方差”是指“a、b兩個(gè)數(shù)分別平方后相減的差”，即“aM?”，

a、b和的平方即（a+bT等等。

單項(xiàng)式：只含有數(shù)字與字母的積的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式。單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是單項(xiàng)式

■MOHM

1.單項(xiàng)式表示數(shù)與字母相乘時(shí)，通常把數(shù)寫在前面；

2.乘號(hào)可以省略為點(diǎn)或不寫；

3.除法的式子可以寫成分?jǐn)?shù)式；

4.帶分?jǐn)?shù)與字母相乘，帶分?jǐn)?shù)要化為假分?jǐn)?shù)

5.n是常數(shù)，因此也可以作為系數(shù)。是特指的數(shù)，不是字母，讀pdi。）

6.當(dāng)一個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)是1或-1時(shí)，“1”通常省略不寫，如［（-l）ab］寫成［-ab］等。

7.在單項(xiàng)式中字母不可以做分母，分子可以。字母不能在分母中（因?yàn)檫@樣為分式，不為單項(xiàng)式）

8.單獨(dú)的數(shù)“0”的系數(shù)是零，次數(shù)也是零.

常數(shù)的系數(shù)是它本身，次數(shù)為零。

1,

注意：?jiǎn)雾?xiàng)式是由系數(shù)、字母、字母的指數(shù)構(gòu)成的，其中系數(shù)不能用帶分?jǐn)?shù)表示，如一4一。切，這

3

種表示就是錯(cuò)誤的，應(yīng)寫成一值a?。。一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)。

3

如一5a3b2c是6次單項(xiàng)式。

2、

考點(diǎn)二、多項(xiàng)式（11分）

1、多項(xiàng)式：幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式。其中每個(gè)單項(xiàng)式叫做這個(gè)多項(xiàng)式的項(xiàng)多項(xiàng)式中不

含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)。多項(xiàng)式中次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)，叫做這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)。

①單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱整式。

②用數(shù)值代替代數(shù)式中的字母，按照代數(shù)式指明的運(yùn)算,計(jì)算出結(jié)果，叫做代數(shù)式的值。

③注意：（1）求代數(shù)式的值，一般是先將代數(shù)式化簡(jiǎn)，然后再將字母的取值代入。

（2）求代數(shù)式的值，有時(shí)求不出其字母的值，需要利用技巧，“整體”代入。

2、同類項(xiàng)：所有字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng)。幾個(gè)常數(shù)項(xiàng)

也是同類項(xiàng)。

3、去括號(hào)法則

①括號(hào)前是“+”，把括號(hào)和它前面的“+”號(hào)一起去掉，括號(hào)里各項(xiàng)都不變號(hào)。

②括號(hào)前是“-把括號(hào)和它前面的“-”號(hào)一起去掉，括號(hào)里各項(xiàng)都變號(hào)。

4、整式的運(yùn)算法則

整式的加減法：（1）去括號(hào)；（2）合并同類項(xiàng)。

整式的乘法：優(yōu)"=優(yōu)"+"（加，〃都是正整數(shù)）

（a'"）"=曖"（加，〃都是正整數(shù)）

（"）"=優(yōu)%"（〃都是正整數(shù)）

（a+b）（a—b）=a2—h2

（a+b）2-a2+2ab+b-

（a-b）~—2ab+b~

整式的除法：am^an=a""（九〃都是正整數(shù),a豐0）

注意：（1）單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的結(jié)果仍然是單項(xiàng)式。

（2）單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，結(jié)果是一個(gè)多項(xiàng)式，其項(xiàng)數(shù)與因式中多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)

相同。

3

(3)計(jì)算時(shí)要注意符號(hào)問(wèn)題，多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都包括它前面的符號(hào)，同時(shí)還

要注意單項(xiàng)式的符號(hào)。

(4)多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的展開(kāi)式中，有同類項(xiàng)的要合并同類項(xiàng)。

(5)公式中的字母可以表示數(shù)，也可以表示單項(xiàng)式或多項(xiàng)式。

(6)。°=1(。H0)；。一"=H0,〃為正整數(shù))

ap

(7)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得

的商相加，單項(xiàng)式除以多項(xiàng)式是不能這么計(jì)算的。

考點(diǎn)三、因式分解(11分)

1、因式分解：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫

做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式。

2、因式分解的常用方法

(1)提公因式法：ab+ac=a(b+c)

(2)運(yùn)用公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)

+2ab+=(a+/?)~

a2-2ab+b2-(a-b)2

(3)分組分解法：ac+ad+bc+bd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)

(4)十字相乘法：a2+(p+q}a+pq-(a+p)(a+q)

3、因式分解的一般步驟：

(1)如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，那么先提取公因式。

(2)在各項(xiàng)提出公因式以后或各項(xiàng)沒(méi)有公因式的情況下，觀察多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)：二項(xiàng)式可

以嘗試運(yùn)用公式法分解因式；3項(xiàng)式可以嘗試運(yùn)用公式法、十字相乘法分解因式；4

項(xiàng)式及4項(xiàng)式以上的可以嘗試分組分解法分解因式

(3)分解因式必須分解到每一個(gè)因式都不能再分解為止。

4、整式的運(yùn)算順序：先算乘方、再乘除、最后加減；有括號(hào)先算括號(hào)里的。

二節(jié)、分式

知識(shí)點(diǎn)梳理

一、分式的定義：

A

一般地，如果A,B表示兩個(gè)整數(shù)，并且B中含有字母，那么式子?叫做分式，

B

二、與分式有關(guān)的條件

①分式有意義：分母不為0(BH0)②分式無(wú)意義：分母為0(B=0)

‘A=0

③分式值為0：分子為0且分母不為0()

'A>0[A<0

④分式值為正或大于0：分子分母同號(hào)(或)

B>0[B<0

'A>0FA<o

⑤分式值為負(fù)或小于o：分子分母異號(hào)(或)

B<0[B>0

⑥分式值為1：分子分母值相等(A=B)

三、分式的基本性質(zhì)

分式的分子和分母同乘(或除以)一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變。

?通分時(shí)，最簡(jiǎn)公分母的確定方法：

1.系數(shù)取各個(gè)分母系數(shù)的最小公倍數(shù)作為最簡(jiǎn)公分母的系數(shù).

2.取各個(gè)公因式的最高次幕作為最簡(jiǎn)公分母的因式.

3.如果分母是多項(xiàng)式,則應(yīng)先把每個(gè)分母分解因式,然后判斷最簡(jiǎn)公分母.

4

四、一個(gè)分式的分子與分母沒(méi)有非零次的公因式時(shí)(即分子與分母互素)叫最簡(jiǎn)分式。和

分?jǐn)?shù)不能再化簡(jiǎn)一樣，叫最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。

把一個(gè)分式中相同的因式約去的過(guò)程叫做約分，如果一個(gè)分式中沒(méi)有可約的因式，則為

最簡(jiǎn)分式。

知識(shí)點(diǎn)梳理

二次根式的概念及其運(yùn)用

1重點(diǎn)：1形如?(a20)的式子叫做二次根式，“一”稱為二次根號(hào).

2.要使二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須滿足被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù).

難點(diǎn)與關(guān)鍵：利用“八(a20)”解決具體問(wèn)題.

1.T有算術(shù)平方根嗎？2.0的算術(shù)平方根是多少？3.當(dāng)a<0,右有意義嗎？

2.最簡(jiǎn)二次根式：必須同時(shí)滿足下列條件：

⑴被開(kāi)方數(shù)中不含開(kāi)方開(kāi)的盡的因數(shù)或因式；⑵被開(kāi)方數(shù)中丕盒分母；⑶分母中不

含根式。

3.同親二次根式：

二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，若被開(kāi)方數(shù)相同，則這幾個(gè)二次根式就是同類二次根式。

二次根式的性質(zhì)：

(1)(Va)=a(a20)；(2)籽=時(shí)=

4、二次根式的意義和性質(zhì)(1)

重點(diǎn)：G(a20)是一個(gè)非負(fù)數(shù)；(及)Ja(a》O)反之:a=(、萬(wàn))2(a\0)及其運(yùn)用.

二次根式的意義和性質(zhì)(2)

重點(diǎn)：J/=a(a20)及其運(yùn)用，同時(shí)理解當(dāng)a<0時(shí)，J/=-a的應(yīng)用拓展.

難點(diǎn)：探究結(jié)論.讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到當(dāng)時(shí)，(&)2=必

5、比較數(shù)值

(1)、根式變形法

當(dāng)。>01>0時(shí)，①如果a>b,則五>正；②如果a<b,則&<揚(yáng)。

例1、比較與5JJ的大小。

(2)、平方法

當(dāng)。>01>0時(shí)，①如果則。>人；②如果/<尸，則。<沙。

例2、比較38與26的大小。

(3)、分母有理化法

通過(guò)分母有理化，利用分子的大小來(lái)比較。

21

例3、比較與一—的大小。

V3-1V2-1

(4)、分子有理化法

通過(guò)分子有理化，利用分母的大小來(lái)比較。

例4、比較J療-J值與舊-舊的大小。

(5)、倒數(shù)法(V15-V14)(V15+V14)/(1/(V15+714)=1/(715+V14)

(V14-V13)(V14+V13)/(1/(V14+713)=1/(714+V13)

(V15+714)X714+V13)AV15-V14<V14-V13

例5、比較V7-"與振-石的大小。

(6)、媒介傳遞法

適當(dāng)選擇介于兩個(gè)數(shù)之間的媒介值，利用傳遞性進(jìn)行比較。

5

例6、比較夕+3與—3的大小。（J7+3CJ9+3=6=J81-3VJ87-3

:.J7+3CJ87-3）

（7）、作差比較法

在對(duì)兩數(shù)比較大小時(shí)，經(jīng)常運(yùn)用如下性質(zhì)：

①a-b>Q=a>b;?a-b<0a<b

例7、比較需與,

的大小。

（8）、求商比較法

它運(yùn)用如下性質(zhì)：當(dāng)a>0,b>0時(shí)，貝!|：

①一>1=。>方；②一<loa<b

bb

例8、比較5—G與2+6的大小。

6、二次根式的運(yùn)算：

（1）因式的外移和內(nèi)移：如果被開(kāi)方數(shù)中有的因式能夠開(kāi)得盡方，那么，就可以用它

的算術(shù)根代替而移到根號(hào)外面；如果被開(kāi)方數(shù)是代數(shù)和的形式，那么先分解因式，變

形為積的形式，再移因式到根號(hào)外面，反之也可以將根號(hào)外面的正因式平方后移到根

號(hào)里面.

（2）二次根式的加減法：先把二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式再合并同類二次根式.

（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），將被開(kāi)方數(shù)相乘（除），所得的積（商）

仍作積（商）的被開(kāi)方數(shù)并將運(yùn)算結(jié)果化為最簡(jiǎn)二次根式.

\[ab=\/a?y/b(a20,b20)；（b20,a>0）.（反之也成立）

a4a

（4）有理數(shù)的加法交換律、結(jié)合律，乘法交換律及結(jié)合律，乘法對(duì)加法的分配律以

及多項(xiàng)式的乘法公式，都適用于二次根式的運(yùn)算.

**海倫-秦九韶公式：S=』pg（P-b）（P-c），S是三角形的面積，p為pl+b+c

三章、一元一次不等式（組）

知識(shí)點(diǎn)梳理

一元一次不等式復(fù)習(xí)

一、不等式與不等式的性質(zhì)

1、不等式：表示不等關(guān)系的式子。（表示不等關(guān)系的常用符號(hào)：W,<,>）。

2、不等式的性質(zhì)：

（1）不等式的兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)，不等號(hào)方向不改變，如a>b,c為實(shí)數(shù)

=>a+c>b+c

（2）不等式兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)方向不變，如a>b,c>O=^ac

>bco

（3）不等式兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向改變，如a>b,c<O=>ac<

be.

注：在不等式的兩邊都乘以（或除以）一個(gè)實(shí)數(shù)時(shí)，一定要養(yǎng)成好的習(xí)慣、就是先確定該

數(shù)的數(shù)性（正數(shù)，零，負(fù)數(shù)）

再確定不等號(hào)方向是否改變，不能像應(yīng)用等式的性質(zhì)那樣隨便，以防出錯(cuò)。

3、任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b的大小關(guān)系（三種）：

（1）a-b>（）Qa>b

（2）a-b=0Qa=b

（3）a-bVO=a<b

（4）4、（l）a>b>0Q標(biāo)>而

（2）a>b>0<=>a~<b~

6

二、不等式（組）的解、解集、解不等式

1、能使一個(gè)不等式（組）成立的未知數(shù)的一個(gè)值叫做這個(gè)不等式（組）的一個(gè)解。

不等式的所有解的集合，叫做這個(gè)不等式的解集。

不等式組中各個(gè)不等式的解集的公共部分叫做不等式組的解集。

2.求不等式（組）的解集的過(guò)程叫做解不等式（組）

三、不等式（組）的類型及解法

1、一元一次不等式：

（1）概念：含有一個(gè)未知數(shù)并且含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是一次的不等式，叫做一元一次不等

式。

（2）解法：與解一元一次方程類似，但要特別注意當(dāng)不等式的兩邊同乘以（或除以）一個(gè)

負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)方向要改變。

2、一元一次不等式組：

（1）概念：含有相同未知數(shù)的幾個(gè)一元一次不等式所組成的不等式組，叫做一元一次不等

式組。

（2）解法：先求出各不等式的解集，再確定解集的公共部分。

注：求不等式組的解集一般借助數(shù)軸求解較方便。

例題分析：

方法1：利用不等式的基本性質(zhì)

1、判斷正誤：

（1）若a>b,c為實(shí)數(shù)，貝！|雨2>從2；

212

（2）若ac>bc,則a>b

分析：在（1）中，若c=0,貝！在盤）中，因?yàn)?>"，所以。c#0,否

則應(yīng)有"'be?故a>b解：略

［規(guī)律總結(jié)］將不等式正確變形的關(guān)鍵是牢記不等式的三條基本性質(zhì)，不等式的兩邊都乘以或除以含有字

母的式子時(shí)，要對(duì)字母進(jìn)行討論。

方法2：特殊值法

例2、若a<bVO,那么下列各式成立的是（）

11aa

—<——<1—>1

A、abB、ab<0C、bD、b

分析：使用直接解法解答常常費(fèi)時(shí)間，又因?yàn)榇鸢冈谝话闱闆r下成立，當(dāng)然特殊情況

也成立，因此采用特殊值法。

解：根據(jù)aVb<0的條件，可取a=-2,b=-1,代入檢驗(yàn)，易知人，所以選D

［規(guī)律總結(jié)］此種方法常用于解選擇題，學(xué)生知識(shí)有限，不能直接解答時(shí)使用特殊值法，既

快，又能找到符合條件的答案。

方法3：類比法

例3、解下列一元一次不等式，并把解集在數(shù)軸上表示出來(lái)。

［上上

（1）8-2（x+2）<4x-2；（2）23

分析：解一元一次不等式的步驟與解一元一次方程類似，主要步驟有去分母，去括號(hào)、

移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，把系數(shù)化成1,

需要注意的是，不等式的兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)要改變方向。解：

略

［規(guī)律總結(jié)］解一元一次不等式與解一元一次方程的步驟類似，但要注意當(dāng)不等式的兩邊都

乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，

不等號(hào)的方向必須改變，類比法解題，使學(xué)生容易理解新知識(shí)和掌握新知識(shí)。

方法4：數(shù)形結(jié)合法

7

2(x+8)<10—4(x—3)

<x+16x+71

-------------<1

例4、求不等式組：123的非負(fù)整數(shù)解

分析：

要求一個(gè)不等式組的非負(fù)整數(shù)解，就應(yīng)先求出不等式組的解集，再?gòu)慕饧姓页銎渲械姆?/p>

負(fù)整數(shù)解。解：略

方法5：逆向思考法

例5、已知關(guān)于x的不等式m-2)x>l°一"的解集是x>3,求a的值。

分析：因?yàn)殛P(guān)于x的不等式的解集為x>3,與原不等式的不等號(hào)同向，

所以有a-2>0,

10-tz10-?.

x>----------=3

即原不等式的解集為。-2,a-2解此方程求出a的值。解：略

［規(guī)律總結(jié)］此題先解字母不等式，后著眼已知的解集，探求成立的條件，此種類型題都

采用逆向思考法來(lái)解。

。+22。+1

例6：:若實(shí)數(shù)a<l,則實(shí)數(shù)M=a,N=3,p=3的大小關(guān)系為()

A.P>N>MB.M>N>PC.N>P>MD.M>P>N

化簡(jiǎn)不等式(組)，比較列式求解

若不等式［(2乂-102*-2卜的解集為*4-2,求k值。

33

5j?

解：化簡(jiǎn)不等式，得xW5k,比較已知解集x4--，得5k=-」，二女---。

333

x+8<4x-1

(2001年山東威海市中考題)若不等式組《、的解集是x>3,則m的取值范

圍是()?

A>m23B、m=3C、m<3D、mW3

(x>3

解：化簡(jiǎn)不等式組，得《、，比較已知解集x>3,得3》叫???選D。

x>m

—a<1

(2001年重慶市中考題)若不等式組?’的解集是那么(a+l)(b-l)的值等

-2b>3

x<-----,

2

(x>2b+3

,/它的解集是T〈x〈l,

伊+3=7

歸也為其解集，比較得

2b+3<x<Ja+1?=><

2-----=1b

2

A(a+1)(b-l)=-6.

結(jié)合性質(zhì)、對(duì)照求解

8

2

（2000年江蘇鹽城市中考題）已知關(guān)于x的不等式（l-a）x>2的解集為乂<——，則a的

1-a

取值范圍是（）。

A、a>0B、a>lC、a<0D,a<l

解：對(duì)照已知解集，結(jié)合不等式性質(zhì)3得：l-a<0,即a>l,選B。

（X>3

（2001年湖北荊州市中考題）若不等式組《的解集是x>a,則a的取值范圍是（）。

Ix>a

A、a<3B、a=3C、a>3D、a23

解：根確定不等式組解集法則：“大大取較大”，對(duì)照已知解集x〉a,得a》3,...選I）。

變式（2001年重慶市初數(shù)賽題）關(guān)于x的不等式（2a-b）x>a-2b的解集是x<-，則關(guān)

2

于x的不等式ax+b<0的解集為。

利用性質(zhì)，分類求解

已知不等式3（愕-2|-5）-1〉30口-2|+2）的解集是乂<1,求a的取值范圍。

,1

解：由解集X<一得x-2〈0,脫去絕對(duì)值號(hào)，得

2

-[（-x+2）-5]-1>l[a（-x+2）+2]=>（a-l）x>2a+7?

22

、2a+71

當(dāng)a-DO時(shí)，得解集X>-----------與已知解集X<一矛盾；

a-12

當(dāng)a-l=0時(shí)，化為0?x>0無(wú)解；

2a+7,1

當(dāng)a-l<0時(shí)，得解集X<-----------與解集x<一等價(jià).

a-12

2a+71c

a-12

r2x+5a<3（x+2）

例7.若不等式組|x-a/x有解，且每一個(gè)解x均不在-1WxW4范圍內(nèi)，

----\—

23

求a的取值范圍。

（x25a-6,

解：化簡(jiǎn)不等式組，得|C

<3a

?.?它有解，5a-6<3a=a<3；利用解集性質(zhì)，題意轉(zhuǎn)化為：其每一解在x〈-l或x>4內(nèi).

于是分類求解，當(dāng)x〈-i時(shí)，得%4-1=a4-2，

3

當(dāng)x〉4時(shí)，得4〈5a-6=a〉2。故a4-L或2〈a<3為所求。

3

評(píng)述：（1）未知數(shù)系數(shù)含參數(shù)的一次不等式，當(dāng)不明確未知數(shù)系數(shù)正負(fù)情況下，須得分正、零、負(fù)討

論求解；對(duì)解集不在aWx<b范圍內(nèi)的不等式（組），也可分x〈a或x2b求解。（2）要細(xì)心體驗(yàn)所列不等

式中是否能取等號(hào)，必要時(shí)畫數(shù)軸表示解集分析等號(hào)。

借助數(shù)軸，分析求解

'x-a20

（2000年山東聊城中考題）已知關(guān)于x的不等式組（c.、，的整數(shù)解共5個(gè)，則a的

3-2x>-1

取值范圍是?

9

（x>a

解：化簡(jiǎn)不等式組，得《,八有解，將其表在數(shù)軸上，

<2

如圖1,其整數(shù)解5個(gè)必為x=l,0,-1,-2,-3。由圖1得：-4<aW-3。

變式：（1）若上不等式組有非負(fù)整數(shù)解，求a的范圍。

（2）若上不等式組無(wú)整數(shù)解，求a的范圍。（答：（l）-"aW0；（2）a>l）

'2y+543（y+:）

關(guān)于y的不等式組<y-t,y7的整數(shù)解是-3,-2,-1,0,1?求參數(shù)t的范圍。

\一—一

236

'y25-3t'5-3t4y<3t-7,

解：化簡(jiǎn)不等式組，得,,cr，其解集為

y<3t-75-3t<3t-7.

'-4<5-3t?-3,

借助數(shù)軸圖2得《

1<3t-7i2.

2<3,

g

化簡(jiǎn)得

|<ti3.3

圖2

評(píng)述：不等式（組）有特殊解（整解、正整數(shù)解等）必有解（集），反之不然。圖2中確定可動(dòng)點(diǎn)4、B的

位置，是正確列不等式（組）的關(guān)鍵，注意體會(huì)。

運(yùn)用消元法，求混臺(tái)組中參數(shù)范圍

例10.下面是三種食品A、B、C含微量元素硒與鋅的含量及單價(jià)表。某食品公司準(zhǔn)備

將三種食品混合成100kg,混合后每kg含硒不低于5個(gè)單位含量，含鋅不低于4.5個(gè)單位

含量。要想成本最低，問(wèn)三種食品各取多少kg?

ABC

硒（單位含量/kg）446

鋅（單位含量/kg）624

單位（元/kg）F510

解設(shè)A、B、C三種食品各取x,y,zkg,總價(jià)S元。依題意列混合組

x+y+z=100,......(1)

4x+4y+6z25x100,...(2)

6x+2y+4z24.5x100,....(3)

S=9x+5y+lOz...............(4)

視S為參數(shù)，(1)代入(2)整體消去x+y得：4(100-z)+6z》500=>z>50,

(2)+(3)由不等式性質(zhì)得：10(x+z)+6y》950,

由(D整體消去(x+z)得：10(100-y)+6y,950=yW12.5,

再把(D與(4)聯(lián)立消去x得：S=900-4y+z》900+4X(-12.5)+50,即S>900?

10

當(dāng)x=37.5kg,y=12.9kg,z=50kg時(shí)）S取最小值900元。

評(píng)述：由以上解法得求混合組中參變量范圍的思維模式：由幾個(gè)方程聯(lián)立消元，用一個(gè)（或多個(gè)）未知

數(shù)表示其余未知數(shù)，將此式代入不等式中消元（或整體消元），求出一個(gè)或幾個(gè)未知數(shù)范圍，再用它們的范

圍來(lái)放縮（求出）參數(shù)的范圍。

涉及最佳決策型和方案型應(yīng)用問(wèn)題，往往需列混合組求解。作為變式練習(xí)，請(qǐng)同學(xué)們解混合組

a+30x=30y,

<a+10x=2X10y,其中a,n為正整數(shù)，x,y為正數(shù)。試確定參數(shù)n的取值.

a+5x<5ny.

四章二方程回題

一節(jié)、一元一次方程（緞）

知識(shí)山梳理

方程有關(guān)概念

1、方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程。

2、方程的解：使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫方程的解，含有一個(gè)未知數(shù)的方程

的解也叫做方程的根。

3、解方程：求方程的解或方判斷方程無(wú)解的過(guò)程叫做解方程。

4、方程的增根：在方程變形時(shí)，產(chǎn)生的不適合原方程的根叫做原方程的增根。

一元方程

1、一元一次方程

（1）一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式：ax+b=O（其中x是未知數(shù)，a、b是已知數(shù)，a#0）

（2）一玩一次方程的最簡(jiǎn)形式：ax=b（其中x是未知數(shù)，a、b是已知數(shù)，aWO）

（3）解一元一次方程的一般步驟:去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)和系數(shù)化為1。（4）

一元一次方程有唯一的一個(gè)解。

（5）ax=b當(dāng)a=0時(shí)，方程無(wú)解

方程組1、方程組的解：方程組中各方程的公共解叫做方程組的解。

2、解方程組：求方程組的解或判斷方程組無(wú)解的過(guò)程叫做解方程組

3、二元一次方程組：一般形式中，兩個(gè)未知數(shù)的系數(shù)不能全為0）

解法：代入消遠(yuǎn)法和加減消元法

解的個(gè)數(shù)：有唯一的解，或無(wú)解，當(dāng)兩個(gè)方程相同時(shí)有無(wú)數(shù)的解。

（一元一次方程（組））工程問(wèn)題

重要關(guān)系式：工作量=工作效率x工作時(shí)間、工作量=工作效率x工作時(shí)間x人數(shù)

（一元一次方程（組））增長(zhǎng)率問(wèn)題

重要關(guān)系式：增長(zhǎng)率=（新數(shù)-原數(shù)）/原數(shù)X100%

（一元一次方程（組））濃度問(wèn)題

重要關(guān)系式：濃度=溶質(zhì)的的質(zhì)量（體積）/溶液的質(zhì)量（體積）x100%

（一元一次方程（組））行程問(wèn)題

重要關(guān)系式：相遇問(wèn)題：全路程=甲走的路程+乙走的路程

追及問(wèn)題：同地不同時(shí)出發(fā)：前者走的路程=后者走的路程

同時(shí)不同地出發(fā):追著走的路程=前者走的路程+兩者間的距離

水中航行問(wèn)題、順?biāo)俣?靜水速度+船速、逆水速度=靜水速度-船速

重要關(guān)系式：售價(jià)=原價(jià)x折扣、銷售額=售價(jià)x銷量、利潤(rùn)=售價(jià)-成本、

利潤(rùn)率=（利潤(rùn)/成本）100%

二節(jié)、一元二次方程

知識(shí)點(diǎn)梳理

11

(J.)含有個(gè)未知數(shù)。

(2)未知數(shù)的最高次數(shù)是___________

(1、概念](3)是方程。

(4)一元二次方程的一般形式是_________________。

“(1)法，適用于能化為(x+Q)的

二次方程

(2)法，即把方程變形為ab=O的形式，

一

2、解法(a,b為兩個(gè)因式)，則a=0或

元

二(3)法

次/(4)法,其中求根公式是

方

程

r當(dāng)________時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。

(5)當(dāng)________時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。

1當(dāng)時(shí)，方程有沒(méi)有的實(shí)數(shù)根。

(可用于解某些求值題

(1)_________________

一元二次方程的應(yīng)用[(2)_________________

(3)____________________

I可用于解決實(shí)際問(wèn)題的步驟(4)

(5)

(6)_________________

知識(shí)點(diǎn)一一元二次方程的定義

如果一個(gè)方程通過(guò)移項(xiàng)可以使右邊為0,而左邊只含有一個(gè)未知數(shù)的二次家項(xiàng)式，那么這樣的方程叫做

一元二次方程。

注意：一元二次方程必須同時(shí)滿足以下三點(diǎn)：①方程是整式方程。②它只含有一個(gè)未知數(shù)。

③未知數(shù)的最高次數(shù)是2.同時(shí)還要注意在判斷時(shí)，需將方程化成一般形式。

知識(shí)點(diǎn)二一元二次方程的一般形式

一元二次方程的一般形式為ax?+云+C=°(a,b,C是已知數(shù)，。其中a,b,c分別叫

做二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)。

注意：(1)二次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)都包括它前面的符號(hào).

(2)要準(zhǔn)確找出一個(gè)一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，必須把它先化為一般

形式。

(3)形如以2+灰+C=°不一定是一元二次方程，當(dāng)且僅當(dāng)aH°時(shí)是一元二次方程。

知識(shí)點(diǎn)三一元二次方程的解

使方程左、右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解，如：當(dāng)X=2時(shí)，X?—3x+2=°所以

x=2是無(wú)2-3尤+2=°方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。

知識(shí)點(diǎn)四建立一元二次方程模型

建立一元二次方程模型的步驟是：審題、設(shè)未知數(shù)、列方程。

注意：(1)審題過(guò)程是找出己知量、未知量及等量關(guān)系；(2)設(shè)未知數(shù)要帶單位；(3)建立一元

二次方程模型的關(guān)鍵是依題意找出等量關(guān)系。

解法：

知識(shí)看一因式分解法解一元二次方程

如果兩個(gè)因式的積等于0,那么這兩個(gè)方程中至少有一個(gè)等于0,即若pq=o時(shí)，則p=0或q=0。

用因式分解法解一元二次方程的一般步驟：(1)將方程的右邊化為0;(2)將方程左邊分解成兩個(gè)一

次因式的乘積。(3)令每個(gè)因式分別為0,得兩個(gè)一元一次方程。(4)解這兩個(gè)一元一次方程，它們的

解就是原方程的解。

關(guān)鍵點(diǎn)：(1)要將方程右邊化為0；(2)熟練掌握多項(xiàng)式因式分解的方法，常用方法有：提公式法,

公式法(平方差公式，完全平方公式)等。

知識(shí)點(diǎn)二直接開(kāi)平方法解一元二次方程

12

若“2=a（a>0）（則％叫做a的平方根，表示為*=這種解一元二次方程的方法叫

做直接開(kāi)平方法。

（1）/=。（。2°）的解是％=±了；⑵（”+加）:〃（〃“））的解是

_±yfc—n

x=±4n-m.（3）（/nr+〃）2=c（〃zw0,且c20）的解是'-m

知識(shí)點(diǎn)三靈活運(yùn)用’因式分解法和直接開(kāi)平方法解一元二次方程

形如（依+-=°（42°）的方程，既可用因式分解法分解，也可用直接開(kāi)平方法解。

知識(shí)點(diǎn)四用提公因式法解一元二次方程

把方程左邊的多項(xiàng)式（方程右邊為0時(shí)）的公因式提出，將多項(xiàng)式寫出因式的乘積形式，然后利用“若

pq=0時(shí)，則P=0或q=0”來(lái)解一元二次方程的方法，稱為提公因式法。

如：O.Olr-2r=0,將原方程變形為2）=0,由此可得出

t=0或O.Of-2=0,即4=0,與=200

注意：在解方程時(shí)，千萬(wàn)注意不能把方程兩宓都同時(shí)除以一個(gè)含有未知數(shù)的式子，否則可能丟失原方程的

根。

知識(shí)點(diǎn)五形如+（。+沙+匕=0（。,匕為常數(shù)）”的方程的解法。

對(duì)于形如“廣+（。+。卜+人=0（。/為常數(shù)），，的方程（或通過(guò)整理符合其形式的），

可將左邊分解因式，方程變形為（X+。）（》+0）+0,則x+a=0或x+/?=0,即

%]=-a,x2=-b

注意：應(yīng)用這種方法解一元二次方程時(shí)，要熟悉"X?+（a+'）x+"=°（a,"為第數(shù)）”型方

程的特征。

配方法

知識(shí)點(diǎn)一配方法

‘%一元二次方程時(shí)，在方程的左邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，再減去這個(gè)數(shù)，使得含未知數(shù)的項(xiàng)在

一個(gè)完全平方式里，這種方法叫做配方，配方后就可以用因式分解法或直接開(kāi)平方法了，這樣解一元二次

方程的方法叫做配方法。

注意：用配方法解一元二次方程X-+"X+4=°,當(dāng)對(duì)方程的左邊配方時(shí)，一定記住在方程

的左邊加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方后，還要再減去這個(gè)數(shù)。

知識(shí)點(diǎn)二用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程

用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程的步驟：

（1）在方程的左邊加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，再減去這個(gè)數(shù)；

（2）把原方程變?yōu)椋╔+機(jī)）"=〃的形式。

（3）若“2°,用直接開(kāi)平方法求出X的值，若n<0,原方程無(wú)解。

知識(shí)點(diǎn)三用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)不是1的一元二次方程

當(dāng)一元二次方程的形式為依一+'x+c=°（aH°，aH1）時(shí)，用配方法解一元二次方程的步驟：（1）

先把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1:方程的左、右兩邊同時(shí)除以二項(xiàng)的系數(shù)；

（2）移項(xiàng)：在方程的左邊加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，再減去這個(gè)數(shù)，把原方程化為

（x+/=〃的形式；

（3）若用直接開(kāi)平方法或因式分解法解變形后的方程。

公式法

知識(shí)點(diǎn)一一元二次方程的求根公式

_-b±y/b2-4ac

一元二次方程公？+/zx+c=（）（aH（））的求根公式是：2a

用求根公式法解一元二次方程的步驟是：（1）把方程化為我~+"x+c=°（aH°）的形式，確定的值

?/”（注意符號(hào)）；⑵求出〃一4公的值；⑶若/尸—4ac20,則把及-4ac的值

13

—b±\b~—4ac

x=-------------------

代人求根公式2a，求出的，*2。

選擇適合的方法解一元二次方程

直接開(kāi)平方法用于解左邊的含有未知數(shù)的平方式，右邊是一個(gè)非負(fù)數(shù)或也是一個(gè)含未知數(shù)的平方式的

方程

因式分解要求方程右邊必須是0,左邊能分解因式；

公式法是由配方法推導(dǎo)而來(lái)的，要比配方法簡(jiǎn)單。

注意：一元二次方程解法的