二階線性微分方程(二)

1.一階線性微分方程的三個類型：(1)可分離變量的微分方程(2)齊次型微分方程：解法：令(3)一階線性微分方程

線性非齊次方程

齊次方程的通解為：復(fù)習(xí)1常數(shù)變易法：

線性非齊次方程通解為:令2.二階微分方程(1)可降階的有：

方法：接連積分2次.

方法：

方法：令令2

寫出相應(yīng)的特征方程;通解的表達(dá)式特征根情況實根實根復(fù)根

求出特征根;

根據(jù)特征根的不同情況,得到相應(yīng)的通解.(2)二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟:3§6-4二階常系數(shù)非齊次線性方程的解法它對應(yīng)齊次方程非齊次通解結(jié)構(gòu)f(x)常見類型難點(diǎn)：方法：(P,q為常數(shù))如何求特解y*？待定系數(shù)法.4設(shè)非齊次方程特解為一、型.代入原方程，將(1)若不是特征方程的根，可設(shè)并整理得：其中：是常數(shù)，是m次多項式.其中：中，比較等式兩端x的同次冪的系數(shù)，即可把的系數(shù)求出.代入原方程，將5綜上討論：解y*可以設(shè)為：(2)若是特征方程的單根，可設(shè)(3)若是特征方程的重根，可設(shè)不是特征根，是特征單根，是特征重根.0，1，2，非齊次方程的特6例1求微分方程的一個特解.解這里屬型特征方程為而是特征單根，所以應(yīng)設(shè)特解為：代入所給方程得：比較兩端同次冪的系數(shù)得：則得：于是求得一個特解為：7例2求微分方程的特解.解它對應(yīng)的齊次方程的特征方程為：得特征根為：屬型，不是特征根，則應(yīng)設(shè)求導(dǎo)：代入原方程,并約去化簡得：比較兩端同次冪的系數(shù)得：于是求得一個特解為：8例3求微分方程的通解.解它對應(yīng)的齊次方程的特征方程為：得特征根為：則得齊次通解為：屬型，為特征二重根，則應(yīng)設(shè)求導(dǎo)：代入原方程，并消去化簡得：9比較x的同次冪的系數(shù)，得于是則所求通解為：代入原方程，并約去化簡得：10例4設(shè)出下列方程的特解解而則設(shè)而則設(shè)而則設(shè)而則設(shè)11其中：是次多項式，是次多項式，如(1)：這里則設(shè)(2)這里則設(shè)12(3)這里則設(shè)(4)這里則設(shè)它對應(yīng)的齊次方程的特征根為：13(5)這里則應(yīng)設(shè)它對應(yīng)的齊次方程的特征根為：一般地：設(shè)特解為：其中：當(dāng)不是特征根時，當(dāng)是特征根時，14例5求的一個特解.解且特征方程為：顯然不是特征根，則應(yīng)設(shè)特解為：求導(dǎo)得：15代入原方程，并化簡得比較同類項的系數(shù)得：則得：于是求得一個特解為：16解特征方程例6的特解可設(shè)為的特解可設(shè)為原方程的通解為求方程的通解.17二階常系數(shù)非齊次線性微分方程解法二階常系數(shù)非齊次線性方程解法：三、小結(jié)設(shè)設(shè)不是特征根，是特征單根，