高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第四章　第二節(jié)　導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性（導(dǎo)學(xué)案）

第二節(jié)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性【課程標(biāo)準(zhǔn)】1.結(jié)合實(shí)例,借助幾何直觀了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.2.能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次).【必備知識·精歸納】1.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系條件結(jié)論函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)f'(x)>0f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞增f'(x)<0f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞減f'(x)=0f(x)在區(qū)間(a,b)上是常數(shù)函數(shù)2.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟第1步,確定函數(shù)的定義域;第2步,求出導(dǎo)數(shù)f'(x)的零點(diǎn);第3步,用f'(x)的零點(diǎn)將f(x)的定義域劃分為若干個區(qū)間,列表給出f'(x)在各區(qū)間上的正負(fù),由此得出函數(shù)y=f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性.【常用結(jié)論】1.若函數(shù)f(x)在(a,b)上單調(diào)遞增,則x∈(a,b)時,f'(x)≥0恒成立;若函數(shù)f(x)在(a,b)上單調(diào)遞減,則x∈(a,b)時,f'(x)≤0恒成立.2.若函數(shù)f(x)在(a,b)上存在單調(diào)遞增區(qū)間,則x∈(a,b)時,f'(x)>0有解;若函數(shù)f(x)在(a,b)上存在單調(diào)遞減區(qū)間,則x∈(a,b)時,f'(x)<0有解.【基礎(chǔ)小題·固根基】教材改編結(jié)論應(yīng)用易錯易混1,2,43,561.(教材變式)函數(shù)y=x-ex的單調(diào)遞減區(qū)間為 ()A.(-∞,0) B.(0,+∞)C.[1,+∞) D.(1,+∞)解析：選B.y'=1-ex<0,所以x>0.2.(教材提升)如圖是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的圖象,則下列判斷正確的是 ()A.在區(qū)間(-2,1)上f(x)單調(diào)遞增B.在區(qū)間(2,3)上f(x)單調(diào)遞增C.在區(qū)間(4,5)上f(x)單調(diào)遞增D.在區(qū)間(3,5)上f(x)單調(diào)遞減解析：選C.在區(qū)間(-2,1)上,當(dāng)x∈（-2,-32)時,f'(x)<0,當(dāng)x∈（-32,1)時,f'(x)>0,故f(x)在（-2,-32)上單調(diào)遞減,在（-32,1)上單調(diào)遞增,A錯誤;在區(qū)間(3,5)上,當(dāng)x∈(3,4)時,f'(x)<0,當(dāng)x∈(4,5)時,f'(x)>0,即f(x)在(3,4)上單調(diào)遞減,在(4,5)上單調(diào)遞增,D錯誤;在區(qū)間(4,5)上f'(x)>0恒成立,所以f(x)單調(diào)遞增,C正確;在區(qū)間(2,3)上f'(x)<0恒成立,f3.(結(jié)論2)若函數(shù)h(x)=lnx-12ax2-2x在[1,4]上存在單調(diào)遞減區(qū)間,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 (A.[-716,+∞) B.C.[-1,+∞) D.(-716解析：選B.因?yàn)閔(x)在[1,4]上存在單調(diào)遞減區(qū)間,所以h'(x)=1x-ax所以當(dāng)x∈[1,4]時,a>1x2-而當(dāng)x∈[1,4]時,1x2-2x=(1x-1)2-1,(1x2-所以a>-1,所以a的取值范圍是(-1,+∞).4.(教材變式)函數(shù)y=3x2-2lnx的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為.

解析：y'=6x-2x=6x所以由y'>0,得x>33所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(33,+∞)由y'<0,得0<x<33所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,33)答案:(33,+∞)(0,35.(結(jié)論1)已知函數(shù)f(x)=sinx-ax,對于任意實(shí)數(shù)x1,x2,且x1≠x2,都有f(x1)-f解析：由題意知,f(x)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù),所以f'(x)=cosx-a≤0恒成立,即cosx≤a在x∈R上恒成立,所以a≥1.答案:[1,+∞)6.(單調(diào)性與充要條件的關(guān)系把握不準(zhǔn))若函數(shù)f(x)=sinx+kx在(0,π)上是增函數(shù),則實(shí)數(shù)k的取值范圍為.

解析：因?yàn)閒'(x)=cosx+k≥0,所以k≥-cosx,x∈(0,π)恒成立.當(dāng)x∈(0,π)時,-1<-cosx<1,所以k≥1.答案:[1,+∞)題型一不含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性[典例1](1)函數(shù)f(x)=x2-2lnx的單調(diào)遞減區(qū)間是 ()A.(0,1) B.(1,+∞)C.(-∞,1) D.(-1,1)解析：選A.因?yàn)閒'(x)=2x-2=2(x+1令f'(x)=0,得x=1,所以當(dāng)x∈(0,1)時,f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(1,+∞)時,f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.(2)求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.①f(x)=xlnx;②f(x)=③f(x)=(x-1)ex-x2; ④f(x)=2exsinx.解析：①f(x)的定義域?yàn)?0,1)∪(1,+∞).f'(x)=lnx-x由f'(x)>0,解得x>e.由f'(x)<0,解得0<x<e,且x≠1.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(e,+∞),f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1),(1,e).②f'(x)=(=2cosx令f'(x)>0,得cosx>-12即2kπ-2π3<x<2kπ+2π3(k令f'(x)<0,得cosx<-12即2kπ+2π3<x<2kπ+4π3(k∈因此f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(2kπ-2π3,2kπ+2π3)(k∈Z),f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(2kπ+2π3,2kπ+4π3)(③由f(x)=(x-1)ex-x2,得f'(x)=ex+(x-1)ex-2x=xex-2x=x(ex-2),令f'(x)=0,得x1=0,x2=ln2.當(dāng)x變化時,f'(x),f(x)的變化如表:x(-∞,0)0(0,ln2)ln2(ln2,+∞)f'(x)+0-0+f(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增由表可知,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,ln2),單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,0),(ln2,+∞).④f'(x)=2ex(sinx+cosx)=22exsin(x+π4由f'(x)<0,解得2kπ+3π4<x<2kπ+7π4(k由f'(x)>0,解得2kπ-π4<x<2kπ+3π4(k故f(x)在(2kπ-π4,2kπ+3π4)(k∈Z)上單調(diào)遞增,在(2kπ+3π4,2kπ+7π4)(【方法提煉】——自主完善,老師指導(dǎo)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟(1)確定函數(shù)f(x)的定義域.(2)求f'(x).(3)在定義域內(nèi)解不等式f'(x)>0,得單調(diào)遞增區(qū)間.(4)在定義域內(nèi)解不等式f'(x)<0,得單調(diào)遞減區(qū)間.提醒確定不含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性,應(yīng)注意一是不能漏掉求函數(shù)的定義域,二是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不能用并集,要用“逗號”或“和”隔開.【對點(diǎn)訓(xùn)練】1.函數(shù)y=4x2+1x的單調(diào)遞增區(qū)間為 (A.(0,+∞) B.(12C.(-∞,-1) D.(-∞,-12解析：選B.由y=4x2+1x(x≠0),得y'=8x-1令y'>0,即8x-1x2>0,解得x>所以函數(shù)y=4x2+1x的單調(diào)遞增區(qū)間為(122.若函數(shù)f(x)=lnx+1ex,則函數(shù)f(解析：f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),f'(x)=1x令φ(x)=1x-lnx-1(xφ'(x)=-1x2-φ(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,且φ(1)=0,所以當(dāng)x∈(0,1)時,φ(x)>0,當(dāng)x∈(1,+∞)時,φ(x)<0,所以f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減.答案:(1,+∞)3.(2021·新高考Ⅰ卷節(jié)選)已知函數(shù)f(x)=x(1-lnx).討論f(x)的單調(diào)性.解析：因?yàn)閒(x)=x(1-lnx),所以f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),f'(x)=1-lnx+x·(-1x)=-ln當(dāng)x∈(0,1)時,f'(x)>0;當(dāng)x∈(1,+∞)時,f'(x)<0.所以函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減.【加練備選】1.(2022·山師附中模擬)若冪函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)(22,12),則函數(shù)g(x)=f(x)A.(0,2) B.(-∞,0)∪(2,+∞)C.(-2,0) D.(-∞,-2)∪(0,+∞)解析：選A.設(shè)f(x)=xα,代入點(diǎn)(22,1則(22)α=12,解得所以g(x)=x2則g'(x)=2xex令g'(x)>0,解得0<x<2,所以函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,2).2.已知定義在區(qū)間(0,π)上的函數(shù)f(x)=x+2cosx,則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為.

解析：f'(x)=1-2sinx,x∈(0,π).令f'(x)=0,得x=π6或x=5π當(dāng)0<x<π6時,f'(x當(dāng)π6<x<5π6時,f'(當(dāng)5π6<x<π時,f'(x所以f(x)在(0,π6)和(5π6,π)上單調(diào)遞增,在(π6,答案:(0,π6),(5π題型二含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性[典例2](1)(2021·全國乙卷節(jié)選)已知函數(shù)f(x)=x3-x2+ax+1,討論f(x)的單調(diào)性.解析：由題意知f(x)的定義域?yàn)镽,f'(x)=3x2-2x+a,對于f'(x)=0,Δ=(-2)2-4×3a=4(1-3a).(ⅰ)當(dāng)a≥13時,f'(x)≥0,f(x(ⅱ)當(dāng)a<13時,令f'(x)=0,即3x2-2x+a解得x1=1-1-3a3令f'(x)>0,則x<x1或x>x2;令f'(x)<0,則x1<x<x2.所以f(x)在(-∞,x1)上單調(diào)遞增,在(x1,x2)上單調(diào)遞減,在(x2,+∞)上單調(diào)遞增.綜上,當(dāng)a≥13時,f(x當(dāng)a<13時,f(x)在(-∞,1在(1-1-在(1+1-(2)已知函數(shù)g(x)=lnx+ax2-(2a+1)x,若a>0,試討論函數(shù)g(x)的單調(diào)性.解析：函數(shù)g(x)的定義域?yàn)?0,+∞),g'(x)=1x+2ax-(2a+1)=2ax當(dāng)a>0時,令g'(x)=0,得x=1或x=12a(a①若12a<1,即a>則當(dāng)x∈(0,12a)∪(1,+∞)時,g'(當(dāng)x∈(12a,1)時,g'(x所以函數(shù)g(x)在(0,12a)上單調(diào)遞增,在(1②若12a=1,即a=12時,g'(x所以函數(shù)g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.③若12a>1,即0<a<則由g'(x)>0,得x>12a或0<由g'(x)<0,得1<x<12所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,12a)上單調(diào)遞減,在(1【方法提煉】——自主完善,老師指導(dǎo)函數(shù)在某區(qū)間上的單調(diào)性的討論(1)在區(qū)間內(nèi)f'(x)>0(或f'(x)<0)是函數(shù)f(x)在此區(qū)間上為增(或減)函數(shù)的充分不必要條件.(2)可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a,b)上是增(或減)函數(shù)的充要條件:?x∈(a,b),都有f'(x)≥0(或f'(x)≤0),且f'(x)在(a,b)的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒為零.(3)由函數(shù)f(x)在(a,b)上的單調(diào)性,求參數(shù)取值范圍的問題,可化為f'(x)≥0(或f'(x)≤0)恒成立的問題.要注意“=”能否取到.提醒研究含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時,需注意依據(jù)參數(shù)取值對不等式解集的影響進(jìn)行分類討論.【對點(diǎn)訓(xùn)練】1.已知函數(shù)f(x)=ax+lnx(a∈R),求f(x)的單調(diào)區(qū)間.解析：由已知得f'(x)=a+1x=ax+1x(①當(dāng)a≥0時,由于x>0,故ax+1>0,f'(x)>0,所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞).②當(dāng)a<0時,令f'(x)=0,得x=-1a.在區(qū)間(0,-1a)上,f'(在區(qū)間(-1a,+∞)上,f'(x所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,-1a),單調(diào)遞減區(qū)間為(-1a2.已知函數(shù)f(x)=x-2x+a(2-lnx),a>0,討論f(x)的單調(diào)性解析：由題知,f(x)的定義域是(0,+∞),f'(x)=1+2x2-ax設(shè)g(x)=x2-ax+2,則二次方程g(x)=0的判別式Δ=a2-8.①當(dāng)Δ<0,即0<a<22時,對一切x>0都有f'(x)>0.此時f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.②當(dāng)Δ=0,即a=22時,僅對x=2有f'(x)=0,對其余的x>0都有f'(x)>0.此時f(x)也在(0,+∞)上單調(diào)遞增.③當(dāng)Δ>0,即a>22時,方程g(x)=0有兩個不同的實(shí)根x1=a-a2-82,x2=a+則x,f(x),f'(x)的變化情況如下表:x(0,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+∞)f'(x)+0-0+f(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增此時f(x)在(0,a-a2-82)上單調(diào)遞增,在(a【加練備選】(2023·貴陽模擬)已知函數(shù)f(x)=x2+mx+1ex(m≥0),其中e為自然對數(shù)的底數(shù).解析：由題得f'(x)=-x2+(當(dāng)m=0,即1-m=1時,f'(x)=-(x-1)2當(dāng)m>0,即1-m<1時,令f'(x)<0得x<1-m或x>1,令f'(x)>0得1-m<x<1,所以f(x)在(-∞,1-m),(1,+∞)上單調(diào)遞減,在(1-m,1)上單調(diào)遞增.綜上,當(dāng)m=0時,f(x)在R上單調(diào)遞減;當(dāng)m>0時,f(x)在(-∞,1-m),(1,+∞)上單調(diào)遞減,在(1-m,1)上單調(diào)遞增.題型三函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用角度1比較大小或解不等式[典例3](1)已知函數(shù)f(x)=sinx+cosx-2x,a=f(-π),b=f(2e),c=f(ln2),則a,b,c的大小關(guān)系是 ()A.a>c>b B.a>b>cC.b>a>c D.c>b>a解析：選A.因?yàn)閒'(x)=cosx-sinx-2=2cos(x+π4)-2<0恒成立,所以f(x)在R上單調(diào)遞減,因?yàn)?π<ln2<2e所以f(-π)>f(ln2)>f(2e),即a>c>b.(2)已知a=12ln2+14,b=2e,c=lnπ+1π,則a,b,A.a<b<c B.a<c<bC.c<a<b D.b<c<a解析：選B.令f(x)=lnx+1x,則f'(x令f'(x)>0,解得0<x<1,所以f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,令f'(x)<0,解得x>1,所以f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減.a=12ln2+14=2ln2+14=ln4+14=f(4),b=2e=lne+1e=因?yàn)?<e<π<4,所以f(e)>f(π)>f(4),即b>c>a.(3)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(2)=20,且f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)滿足f'(x)>6x2+2,則不等式f(x)>2x3+2x的解集為 ()A.{x|x>-2} B.{x|x>2}C.{x|x<2} D.{x|x<-2或x>2}解析：選B.令g(x)=f(x)-2x3-2x,則g'(x)=f'(x)-6x2-2>0,所以g(x)在R上單調(diào)遞增.因?yàn)間(2)=f(2)-2×23-2×2=0,故原不等式等價于g(x)>g(2),所以x>2,所以不等式的解集為{x|x>2}.【方法提煉】1.比較函數(shù)值大小時,若自變量不在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi),則要利用函數(shù)的性質(zhì),將其轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間上,再進(jìn)行比較.2.利用單調(diào)性比較大小或解不等式,關(guān)鍵是根據(jù)題意構(gòu)造輔助函數(shù),利用構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性比較大小或解不等式.3.常構(gòu)造的輔助函數(shù):g(x)=xf(x),g(x)=f(x)x,g(x)=exf(x),g(x)=f(x)ex,g(x)=lnx·f(角度2根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍[典例4](1)已知函數(shù)f(x)=12x2+2ax-lnx,若f(x)在區(qū)間[13,2]上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為解析：由題意知f'(x)=x+2a-1x≥0在[13,2]上恒成立,即2a≥-x+1x在[1因?yàn)?-x+1x)max=8所以2a≥83,即a≥4答案:[43【一題多變】在本例中,把“f(x)在區(qū)間[13,2]上單調(diào)遞增”改為“f(x)在區(qū)間[13,2]上存在單調(diào)遞增區(qū)間”,求a解析：f'(x)=x+2a-1x若f(x)在[13,2]則當(dāng)x∈[13,2]時,f'(x即2a>-x+1x因?yàn)閤∈[13,2]所以(-x+1x)min=-2+12=-所以2a>-32,即a>-3故a的取值范圍是(-34,+∞)(2)已知a≥0,函數(shù)f(x)=(x2-2ax)ex,若f(x)在[-1,1]上是減函數(shù),則a的取值范圍是.

解析：f'(x)=[x2-2(a-1)x-2a]·ex,因?yàn)閒(x)在[-1,1]上是減函數(shù),所以f'(x)≤0對x∈[-1,1]恒成立,所以x2-2(a-1)x-2a≤0對x∈[-1,1]恒成立.設(shè)g(x)=x2-2(a-1)x-2a,所以g所以1+2解得a≥34答案:[34(3)金榜原創(chuàng)·易錯對對碰已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+1,a∈R.①討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;②若函數(shù)f(x)在區(qū)間(-23,0)上是減函數(shù),求a③若函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-23,0),求a的值解析：①對f(x)求導(dǎo)得f'(x)=3x2+2ax=3x(x+23a)ⅰ當(dāng)a=0時,f'(x)=3x2≥0恒成立.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,+∞).ⅱ當(dāng)a>0時,因?yàn)閒'(x)在(-∞,-23a所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,-23a),(0,+∞)因?yàn)閒'(x)在(-23a所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-23a,0)ⅲ當(dāng)a<0時,在(-∞,0)和(-23a,+∞)上均有f'(x所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,0),(-23a在(0,-23a)上,f'(x所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,-23a)②由①知,a>0且(-23,0)?(-23所以-23a≤-23,所以a即a的取值范圍為[1,+∞).③由①知a>0且(-23,0)=(-23a,0),所以a【方法提煉】1.f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增(減),只要f'(x)≥0(≤0)在區(qū)間D上恒成立即可,如果能夠分離參數(shù),則盡可能分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為參數(shù)值與函數(shù)最值之間的關(guān)系.2.二次函數(shù)在區(qū)間D上大于零恒成立,討論的標(biāo)準(zhǔn)是二次函數(shù)的圖象的對稱軸與區(qū)間D的相對位置,一般分對稱軸在區(qū)間左側(cè)、內(nèi)部、右側(cè)進(jìn)行討論.【對點(diǎn)訓(xùn)練】1.已知函數(shù)f(x)=xsinx,x∈R,則f(π5),f(1),f(-π3)的大小關(guān)系為 (A.f(-π3)>f(1)>f(πB.f(1)>f(-π3)>f(πC.f(π5)>f(1)>f(-πD.f(-π3)>f(π5)>解析：選A.因?yàn)閒(x)=xsinx,所以f(-x)=(-x)·sin(-x)=xsinx=f(x),所以函數(shù)f(x)是偶函數(shù),所以f(-π3)=f(π3又當(dāng)x∈(0,π2)時,f'(x)=sinx+xcosx所以函數(shù)f(x)在(0,π2所以f(π5)<f(1)<f(π即f(-π3)>f(1)>f(π52.(2022·益陽模擬)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x),其導(dǎo)函數(shù)為f'(x),當(dāng)x>0時,f(x)+xf'(x)>0,且f(1)=0,則不等式(x2-2x)f(x)<0的解集為 ()A.(-∞,-1)∪(1,2) B.(-1,1)C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-1,0)∪(0,1)解析：選A.因?yàn)?x2-2x)f(x)=x(x-2)f(x),所以記g(x)=xf(x),因?yàn)閒(x)是定義在R上的奇函數(shù),所以g(x)為定義在R上的偶函數(shù),又g'(x)=f(x)+xf'(x),因?yàn)楫?dāng)x>0時,f(x)+xf'(x)>0,所以當(dāng)x>0時,g'(x)>0,即g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以g(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,又f(1)=0,得g(1)=0,所以g(-1)=0,不等式(x2-2x)f(x)<0等價于(x-2)g(x)<0,所以x-2<0即x或x解得x<-1或1<x<2.3.若函數(shù)f(x)=ex(sinx+a)在區(qū)間(-π2,π2)上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 (A.(1,+∞) B.[2,+∞)C.[1,+∞) D.(-2,+∞)解析：選C.由題意得f'(x)=ex(sinx+a)+excosx=ex[2sin(x+π4)+a]因?yàn)閒(x)在(-π2,π所以f'(x)≥0在(-π2,π2)上恒成立,又e所以2sin(x+π4)+a≥0在(-π2,當(dāng)x∈(-π2,π2)時,x+π4∈(-π所以sin(x+π4)∈(-22,1所以2sin(x+π4)+a∈(-1+a,2+a所以-1+a≥0,解得a≥1,即a∈[1,+∞).【加練備選】(2023·株洲模擬)若函數(shù)f(x)=ax3+x恰有3個單調(diào)區(qū)間,則a的取值范圍為.

解析：由f(x)=ax3+x,得f'(x)=3ax2+1.若a≥0,則f'(x)>0恒成立,此時f(x)在(-∞,+∞)上為增函數(shù),不滿足題意;若a<0,由f'(x)>0得--13a<x由f'(x)<0,得x<--13a或x即當(dāng)a<0時,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(--13a單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,--13a),(答案:(-∞,0)【思維導(dǎo)圖·構(gòu)網(wǎng)絡(luò)】解題方法拓廣角度?具體函數(shù)與抽象函數(shù)的融合【特征形式】以抽象函數(shù)為背景、題設(shè)條件或所求結(jié)論中具有“f(x)±g(x),f(x)g(x),f(x【解題策略】解答這類問題的有效策略是將前述式子的外形結(jié)構(gòu)特征與導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則結(jié)合起來,合理構(gòu)造出相關(guān)的可導(dǎo)函數(shù),然后利用該函數(shù)的性質(zhì)解決問題.命題點(diǎn)1構(gòu)造y=f(x)±g(x)型可導(dǎo)函數(shù)[典例1]設(shè)f(x)為R上的奇函數(shù),當(dāng)x≥0時,f'(x)-cosx<0,則不等式f(x)<sinx的解集為.

解析：令φ(x)=f(x)-sinx,當(dāng)x≥0時,φ'(x)=f'(x)-cosx<0,所以φ(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞減,又f(x)為R上的奇函數(shù),所以φ(x)為R上的奇函數(shù),所以φ(x)在(-∞,0]上單調(diào)遞減,故φ(x)在R上單調(diào)遞減且φ(0)=0,不等式f(x)<sinx可化為f(x)-sinx<0,即φ(x)<0,即φ(x)<φ(0),故x>0,所以原不等式的解集為(0,+∞).答案:(0,+∞)命題點(diǎn)2利用f(x)與x構(gòu)造可導(dǎo)型函數(shù)[典例2](1)設(shè)f(x)為定義在R上的奇函數(shù),f(-3)=0.當(dāng)x>0時,xf'(x)+2f(x)>0,其中f'(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),則使得f(x)>0成立的x的取值范圍是 ()A.(-∞,-3)∪(0,3)B.(-3,0)∪(3,+∞)C.(-3,0)∪(0,3)D.(-∞,-3)∪(3,+∞)解析：選B.令g(x)=x2f(x),x∈R,當(dāng)x>0時,g'(x)=x2f'(x)+2xf(x)=x[xf'(x)+2f(x)]>0,即g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,因?yàn)閒(x)為R上的奇函數(shù),即f(-x)=-f(x),于是得g(-x)=(-x)2f(-x)=-g(x),則g(x)是奇函數(shù),g(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增,又f(-3)=0,則g(3)=-g(-3)=-[(-3)2f(-3)]=0,當(dāng)x>0時,f(x)>0?g(x)>0=g(3),得x>3,當(dāng)x<0時,f(x)>0?g(x)>0=g(-3),得-3<x<0,綜上,得-3<x<0或x>3,所以使f(x)>0成立的x的取值范圍是(-3,0)∪(3,+∞).(2)設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且f(1)=0,當(dāng)x<0時,有xf'(x)-f(x)>0恒成立,則不等式f(x)>0的解集為.

解析：構(gòu)造F(x)=f(則F'(x)=f'(當(dāng)x<0時,xf'(x)-f(x)>0,可以推出當(dāng)x<0時,F'(x)>0,F(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增.因?yàn)閒(x)為偶函數(shù),所以F(x)為奇函數(shù),所以F(x)在(0,+∞)上也單調(diào)遞增.根據(jù)f(1)=0可得F(1)=0,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性可得函數(shù)圖象(圖略),根據(jù)圖象可知f(x)>0的解集為(-∞,-1)∪(1,+∞).答案:(-∞,-1)∪(1,+∞)【方法提煉】(1)出現(xiàn)nf(x)+xf'(x)形式,構(gòu)造函數(shù)F(x)=xnf(x);(2)出現(xiàn)xf'(x)-nf(x)形式,構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(命題點(diǎn)3利用f(x)與ex構(gòu)造可導(dǎo)型函數(shù)[典例3](1)f(x)為定義在R上的可導(dǎo)函數(shù),且f'(x)>f(x),對任意正實(shí)數(shù)a,下列式子成立的是 ()A.f(a)<eaf(0) B.f(a)>eaf(0)C.f(a)<f(0)ea D解析：選B.令g(x)=f(所以g'(x)=f=f'(x所以g(x)在R上單調(diào)遞增.又a>0,所以g(a)>g(0),即f(a)即f(a)>eaf(0).(2)若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f'(x)+2f(x)>0,且f(0)=1,則不等式f(x)>1e2x解析：構(gòu)造F(x)=f(x)·e2x,所以F'(x)=f'(x)·e2x+f(x)·2e2x=e2x[f'(x)+2f(x)]>0,所以F(x)在R上單調(diào)遞增,且F(0)=f(0)·e0=1,不等式f(x)>1e2x可化為f(x)e即F(x)>F(0),所以x>0,所以原不等式的解集為(0,+∞).答案:(0,+∞)【方法提煉】(1)出現(xiàn)f'(x)+nf(x)形式,構(gòu)造函數(shù)F(x)=enxf(x);(2)出現(xiàn)f'(x)-nf(x)形式,構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(命題點(diǎn)4利用f(x)與sinx,cosx構(gòu)造可導(dǎo)型函數(shù)[典例4](1)已知函數(shù)y=f(x)對任意的x∈(0,π),滿足f'