2024屆高考數(shù)學(xué)立體幾何專項(xiàng)練-（2）空間幾何體的表面積和體積

2024屆高考數(shù)學(xué)立體幾何專項(xiàng)練——（2）空間幾何體的表面積和體積1.在三棱錐中，是邊長為2的等邊三角形，，，則該棱錐的體積為()A.1 B. C.2 D.32.如圖，已知直四棱柱的底面ABCD為直角梯形，，，且，，P，O，E分別為，AD，PC的中點(diǎn)，為正三角形，則三棱錐的體積為()A.4 B.3 C.2 D.13.在底面為正三角形的三棱柱中，，，該三棱柱的體積的最大值為()A.3 B. C.6 D.4.如果一個(gè)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，三個(gè)側(cè)面的面積分別為2，4，4，那么該三棱錐外接球的表面積是()A. B. C. D.5.已知四棱錐的體積是，底面ABCD是正方形，是等邊三角形，平面平面ABCD，則四棱錐的外接球的體積為()A. B. C. D.6.甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為，側(cè)面積分別為和，體積分別為和.若，則()A. B. C. D.7.已知某圓錐的軸截面為等邊三角形，且該圓錐內(nèi)切球的表面積為，則該圓錐的體積為()A. B. C. D.8.已知是面積為的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球O的球面上.若球O的表面積為，則O到平面ABC的距離為()A. B. C.1 D.9.已知正四棱錐的側(cè)棱長為l，其各頂點(diǎn)都在同一球面上，若該球的體積為36π，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是()A. B. C. D.10.（多選）已知一個(gè)圓柱和一個(gè)圓雉的底面直徑和它們的高都與一個(gè)球的直徑2R相等，則下列結(jié)論正確的是().A.圓柱的側(cè)面積為 B.圓錐的側(cè)面積為C.圓柱的側(cè)面積與球的表面積相等 D.圓錐的表面積最小11.（多選）攢尖是我國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，宋代稱為最尖，清代稱為攢尖，通常有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、八角攢尖，也有單檐和重檐之分，多見于亭閣式建筑、園林建筑.下面以四角攢尖為例，如圖，它的屋頂部分的輪廓可近似看作一個(gè)正四棱錐.已知此正四棱錐的側(cè)棱與底面所成角的正切值近似為，側(cè)棱長近似為米，則下列結(jié)論正確的是().A.正四棱錐的底面邊長近似為3米 B.正四棱錐的高近似為米C.正四棱錐的側(cè)面積近似為平方米 D.正四棱錐的體積近似為立方米12.（多選）已知甲烷的化學(xué)式為，其結(jié)構(gòu)式可看成一個(gè)正四面體，其中四個(gè)氫原子位于正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)處，而碳原子恰好在這個(gè)正四面體的中心，碳原子與每個(gè)氫原子之間均有化學(xué)鍵相連，若我們把每個(gè)原子看成一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，兩個(gè)氫原子之間的距離為1，則()A.碳原子與氫原子之間的距離為B.正四面體外接球的體積為C.正四面體的體積為D.任意兩個(gè)碳?xì)浠瘜W(xué)鍵的夾角的余弦值為13.若三棱錐中PA，PB，PC兩兩互相垂直，，，則其體積的最大值為___________.14.已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為___________.15.如圖，三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球O的表面上，平面平面BCD，，，，則球O的表面積為_______________.16.如圖，球O的半徑為R，有一圓柱內(nèi)接于球O，且，分別為該圓柱上、下底面的圓心.已知當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時(shí)，它的體積，則球O的表面積為___________.17.在正四棱臺(tái)中，，，，則該棱臺(tái)的體積為________.

答案以及解析1.答案：A解析：如圖，取AB的中點(diǎn)D，連接PD，CD，因?yàn)槭沁呴L為2的等邊三角形，，所以，，所以，又，所以，所以，又，，平面ABC，所以平面ABC，所以，故選A.2.答案：C解析：因?yàn)镻，O分別為，AD的中點(diǎn)，所以由直棱柱的性質(zhì)知平面ABCD，又為正三角形，，所以，連接CO，在直角梯形ABCD中，易知，因?yàn)镋為PC的中點(diǎn)，所以，故選C.3.答案：D解析：設(shè)三棱柱的高為h，當(dāng)三棱柱為直三棱柱時(shí)，其體積最大，則h的最大值為3，所以該三棱柱的體積的最大值.故選D.4.答案：C解析：由題意可知三條側(cè)棱兩兩垂直，設(shè)三條側(cè)棱長分別為a，b，c，則，解得，，，，設(shè)該三棱錐外接球的半徑為R，則，所以.故選C.5.答案：A解析：由已知可得，則，設(shè)球心為O，O到平面ABCD的距離為x，球O的半徑為R，則由，得，解得，所以，.故選A.6.答案：C解析：解法一：因?yàn)榧?、乙兩個(gè)圓錐的母線長相等，所以結(jié)合可知，甲、乙兩個(gè)圓錐側(cè)面展開圖的圓心角之比是2:1.不妨設(shè)兩個(gè)圓錐的母線長為，甲、乙兩個(gè)圓錐的底面半徑分別為，，高分別為，，則由題意知，兩個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖剛好可以拼成一個(gè)周長為6π的圓，所以，，得，.由勾股定理得，，，所以.故選C.解法二：設(shè)兩圓錐的母線長為l，甲、乙兩圓錐的底面半徑分別為，，高分別為，，側(cè)面展開圖的圓心角分別為，，則由，得.由題意知，所以，，所以，，得，.由勾股定理得，，，所以.故選C.7.答案：C解析：設(shè)圓錐的內(nèi)切球的半徑為r，則，所以.又圓錐的軸截面為等邊三角形，所以圓錐的高為，圓錐的底面半徑為，則圓錐的體積.故選C.8.答案：C解析：設(shè)等邊三角形ABC的邊長為a，因?yàn)槠涿娣e為，所以，解得.故的外接圓半徑.設(shè)球O的半徑為R，因?yàn)榍騉的表面積為，所以，得.所以O(shè)到平面ABC的距離.故選C.9.答案：C解析：通解：如圖，設(shè)該球的球心為O，半徑為R，正四棱錐的底邊長為a，高為h，依題意，得，解得.由題意及圖可得，解得，所以正四棱錐的體積，所以，令，得，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以該正四棱錐的體積的取值范圍是.故選C.光速解：如圖，設(shè)該球的球心為O，半徑為R，正四棱錐的底邊長為a，高為h，依題意，得，解得.由題意及圖可得，解得，又，所以該正四棱錐的體積（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），所以正四棱錐的體積的最大值為，排除A,B,D，故選C.優(yōu)美解：如圖，設(shè)該球的半徑為R，球心為O，正四棱錐的底邊長為a，高為h，正四棱錐的側(cè)棱與高所成的角為，依題意，得，解得，所以正四棱錐的底邊長，高.在中，作，垂足為E，則可得，所以，（另解：也可以利用余弦定理，得）所以正四校維的體積，設(shè)，易得，則，則，令，得，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.又當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以，所以.所以該正四棱維的體積的取值范圍是，故選C.10.答案：CD解析：對(duì)于A，圓柱的底面直徑和高都與一個(gè)球的直徑2R相等，圓柱的側(cè)面積，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，圓錐的底面直徑和高都與一個(gè)球的直徑2R相等，圓雉的側(cè)面積，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由A知圓柱的側(cè)面積為，球的表面積，圓柱的側(cè)面積與球的表面積相等，故C正確；對(duì)于D，圓柱的表面積，圓錐的表面積，球的表面積，圓錐的表面積最小，故D正確.故選CD.11.答案：BD解析：如圖，在正四棱錐中，O為正方形ABCD的中心，則平面ABCD，則為側(cè)棱與底面所成的角，且.設(shè)底面邊長為2a，則，.在中，，所以米，則正四棱雉的底面邊長為6米，高為米，的高為(米)，所以側(cè)面積(平方米)，體積(立方米)，故選BD.12.答案：ACD解析：如圖所示，正四面體ABCD中，點(diǎn)O是正四面體的中心，連接OA，OB，OC，OD，于是.設(shè)點(diǎn)O在平面BCD內(nèi)的射影為，連接，正四面體的棱長為1，則，所以，，則碳原子與氫原子之間的距離為，選項(xiàng)A正確；由A可知，OA為正四面體外接球的半徑，則正四面體外接球的體積為，B錯(cuò)誤；正四面體的體積，C正確；設(shè)，其中，在中，由余弦定理得，故任意兩個(gè)碳?xì)浠瘜W(xué)鍵的夾角的余弦值為，D正確.故選ACD.13.答案：2解析：依題意得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以.14.答案：解析：易知半徑最大的球即為該圓錐的內(nèi)切球.圓錐及其內(nèi)切球O如圖所示，設(shè)內(nèi)切球的半徑為R，則，所以，所以，所以，所以內(nèi)切球的體積，即該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為.15.答案：解析：如圖，取AB中點(diǎn)O，連接OC，OD，在中，由，，，得，則，又平面平面BCD，且平面平面，平面BCD，則，在中，，，，則，，平面ACD，得，則O為三棱錐的外接球的球心，則外接球的半徑，球O的表面積為.16.答案：解析：設(shè)圓柱的底面半徑為r，圓柱的高為h，則圓柱的側(cè)面積為.如圖，作出球O及其內(nèi)接圓柱的軸截面，得到四邊形ABCD，所以，于是，則.令，得，即當(dāng)時(shí)，圓柱的側(cè)面積最大.所以.又圓柱的側(cè)面積最大時(shí)，它的體積，解得.所以，所以球O的表面積.17.答案：解析：解法一：如圖所示，設(shè)點(diǎn)，O分別為正四棱