高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)第1節(jié)　直線的傾斜角與斜率、直線的方程（講義）

第八章平面解析幾何(選擇性必修第一冊(cè))第1節(jié)直線的傾斜角與斜率、直線的方程[課程標(biāo)準(zhǔn)要求]1.理解直線的傾斜角和斜率的概念,掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式.2.掌握確定直線位置的幾何要素,掌握直線方程的幾種形式(點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式),了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系.1.直線的傾斜角(1)定義:當(dāng)直線l與x軸相交時(shí),我們以x軸為基準(zhǔn),x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角.當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí),我們規(guī)定它的傾斜角為0°.(2)范圍:直線的傾斜角α的取值范圍是[0°,180°).2.斜率公式(1)直線l的傾斜角為α(α≠90°),則斜率k=tanα.

(2)P1(x1,y1),P2(x2,y2)在直線l上,且x1≠x2,則直線l的斜率k=y2經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直線,其方向向量為P1P2→=(x2-x1,y2-y1)=(x2-x1)3.直線方程的五種形式名稱方程適用范圍點(diǎn)斜式y(tǒng)-y0=k(x-x0)不含直線x=x0斜截式y(tǒng)=kx+b不含垂直于x軸的直線兩點(diǎn)式y(tǒng)-y不含直線x=x1(x1=x2)和直線y=y1(y1=y2)截距式xa+y不含垂直于坐標(biāo)軸和過(guò)原點(diǎn)的直線一般式Ax+By+C=0,A2+B2≠0平面內(nèi)所有直線都適用(1)“截距”是直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)值,不是距離,它可正,可負(fù),也可以是零,而“距離”是一個(gè)非負(fù)數(shù).在使用截距式時(shí),應(yīng)先判斷,截距是否為0,若不確定,則需分類討論.(2)求直線方程時(shí)要注意判斷直線斜率是否存在,當(dāng)直線與x軸不垂直時(shí),可設(shè)直線的方程為y=kx+b;當(dāng)不確定直線的斜率是否存在時(shí),可設(shè)直線的方程為x=ty+b.1.(選擇性必修第一冊(cè)P58T7改編)若直線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A(5,-m),B(-m,2m-1),且傾斜角為π4A.2 B.3 C.-1 D.-3解析:由題意可知kAB=2m-1+2.過(guò)點(diǎn)(1,0)且與直線y=12A.y=12x-12 B.y=1C.y=-2x+2 D.y=-12x+解析:依題意所求直線方程的斜率為k=12,因此所求的直線方程為y-0=1即y=12x-13.直線x3-yA.1 B.-1 C.7 D.-7解析:直線在x軸上截距為3,在y軸上截距為-4,因此截距之和為-1.4.若直線ax+by+c=0同時(shí)要經(jīng)過(guò)第一、第二、第四象限,試寫出滿足條件的a,b,c一組有序數(shù)對(duì)(a,b,c).(只寫出一組即可,不必考慮所有情況)

解析:易知直線的斜率存在,則直線方程可化為y=-abx-c由題意知-a因此答案可以為(1,1,-1).答案:(1,1,-1)(答案不唯一)直線的傾斜角與斜率1.若A(-2,3),B(3,-2),C(12A.23 B.12 C.-12解析:因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)在同一條直線上,所以kAB=kAC,所以-2-33+2=2.直線2xcosα-y-3=0(α∈π6A.π6,πC.π4,π解析:直線2xcosα-y-3=0的斜率k=2cosα.由于α∈π6所以12≤cosα≤3因此k=2cosα∈[1,3].設(shè)直線的傾斜角為θ,則有tanθ∈[1,3].由于θ∈[0,π),所以θ∈π4即傾斜角的變化范圍是π43.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中有三條直線l1,l2,l3,其對(duì)應(yīng)的斜率分別為k1,k2,k3,則下列選項(xiàng)正確的是(C)A.k3>k1>k2 B.k1-k2>0C.k3>k2>k1 D.k1·k2<0解析:由題圖可知,k1<0,k2<0,k3>0,且k1<k2.4.過(guò)點(diǎn)A(2,1),B(m,3)的直線l的傾斜角α的取值范圍是(π4,3πA.(0,2] B.(0,4)C.[2,4) D.(0,2)∪(2,4)解析:由直線的傾斜角α的取值范圍是(π4,3π當(dāng)m≠2時(shí),k=3-1m所以2m-2解得0<m<2或2<m<4.當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),m=2符合題意.綜上,實(shí)數(shù)m的取值范圍是(0,4).(1)在分析直線的傾斜角和斜率的關(guān)系時(shí),要注意正切函數(shù)k=tanα的單調(diào)性,當(dāng)α取值由0增大到π2(α≠π2)時(shí),k由0增大到+∞,當(dāng)α取值由π2(2)已知三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)求解三點(diǎn)共線問題,只需要利用三點(diǎn)中任意兩點(diǎn)確定的斜率相等(斜率存在)即可.(3)斜率的兩種求法①定義法:若已知直線的傾斜角α或α的某種三角函數(shù)值,一般根據(jù)k=tanα求斜率.②公式法:若已知直線上兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),一般根據(jù)斜率公式k=y2-y1x直線方程[例1]求下列直線的一般式方程:(1)已知直線l過(guò)點(diǎn)A(-2,5)且直線的一個(gè)方向向量為n=(-3,4);(2)過(guò)點(diǎn)P(-2,3)且與x軸、y軸分別交于A,B兩點(diǎn),且P恰為線段AB的中點(diǎn);(3)傾斜角為直線y=-3x+5的傾斜角的一半,在y軸上的截距為-2;(4)直線過(guò)點(diǎn)(-3,4),且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為12.解:(1)由直線l的一個(gè)方向向量為n=(-3,4)可知k=-43,由點(diǎn)斜式可知直線的方程為y-5=-4(2)設(shè)A(x,0),B(0,y),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得x+02=-2,解得x=-4,y=6,因此直線l過(guò)點(diǎn)(-2,3),(-4,0).因此直線l的方程為y-30整理可得3x-2y+12=0.(3)因?yàn)橹本€y=-3x+5的斜率為-3,所以其傾斜角為2π3故所求直線的傾斜角為π3,其斜率為k=tanπ3=3,又截距b=-2,所以直線方程為y=即3x-y-2=0.(4)由題設(shè)知直線的橫、縱截距均不為0,故可設(shè)直線方程為xa+y因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)(-3,4),所以-3a+解得a=-4或9.故所求直線方程為4x-y+16=0或x+3y-9=0.在求直線方程時(shí),應(yīng)根據(jù)各種形式方程的適用條件,選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程的形式,并注意以下兩點(diǎn):(1)若采用截距式,應(yīng)先考慮截距是否為零.(2)若采用點(diǎn)斜式,應(yīng)先考慮斜率不存在的情況.[針對(duì)訓(xùn)練]根據(jù)所給條件求直線的方程:(1)過(guò)點(diǎn)(2,1)和(-2,3);(2)直線過(guò)點(diǎn)(-4,0),傾斜角的正弦值為1010(3)傾斜角為π4(4)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,6),在x軸上的截距為3.解:(1)由兩點(diǎn)式得直線方程為y-13即x+2y-4=0.(2)由題設(shè)知,該直線的斜率存在,故可采用點(diǎn)斜式.設(shè)傾斜角為α(0≤α<π,且α≠π2則sinα=1010從而cosα=±310則k=tanα=±13故所求直線方程為y=±13即x+3y+4=0或x-3y+4=0.(3)因?yàn)橹本€的傾斜角為π4,所以其斜率k=tanπ(4)法一易知直線的斜率存在,設(shè)直線方程為y=k(x-3),因?yàn)辄c(diǎn)A(2,6)在直線上,所以k=-6,所以y=-6×(x-3)=18-6x,所以所求直線方程為y=-6x+18.法二由于直線過(guò)點(diǎn)A(2,6)和點(diǎn)(3,0),則直線的斜率k=6-由直線的點(diǎn)斜式方程得y-0=-6×(x-3)=18-6x,所以所求直線方程為y=-6x+18.直線方程的綜合應(yīng)用[例2](1)已知過(guò)定點(diǎn)的直線kx-y+4-k=0在兩坐標(biāo)軸上的截距都是正值,且截距之和最小,則直線的方程為()A.x-2y-7=0 B.x-2y+7=0C.2x+y-6=0 D.x+2y-6=0(2)已知直線l:kx-y+1+2k=0(k∈R)過(guò)定點(diǎn)A,求A的坐標(biāo)并求當(dāng)直線l不經(jīng)過(guò)第四象限時(shí),k的取值范圍.(1)解析:直線kx-y+4-k=0可變?yōu)閗(x-1)-y+4=0,所以過(guò)定點(diǎn)P(1,4),又因?yàn)橹本€kx-y+4-k=0在兩坐標(biāo)軸上的截距都是正值,可知k<0,令x=0,得y=4-k,所以直線與y軸的交點(diǎn)為A(0,4-k),令y=0,得x=1-4k所以直線與x軸的交點(diǎn)為B(1-4k所以4-k+1-4k=5+(-k)+(-4k)≥5+2(-k所以此時(shí)直線的方程為2x+y-6=0.故選C.(2)解:直線l的方程可化為k(x+2)+1-y=0,令x+2=0,所以無(wú)論k取何值,直線總經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A(-2,1).又由方程知,當(dāng)k≠0時(shí),直線在x軸上的截距為-1+2kk解得k>0.當(dāng)k=0時(shí),直線為y=1,符合題意.故k的取值范圍是[0,+∞).(1)求解含有參數(shù)的直線過(guò)定點(diǎn)問題的方法是分項(xiàng)整理,將含參數(shù)的并為一項(xiàng),不含參數(shù)的并為一項(xiàng),整理成等號(hào)右邊為零的形式,然后令含參數(shù)的項(xiàng)和不含參數(shù)的項(xiàng)分別為零,解方程組所得的解即為所求定點(diǎn).(2)涉及直線在坐標(biāo)軸上的截距問題(或與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)構(gòu)成的圖形面積、周長(zhǎng)等問題),常用直線的截距式方程求解.[針對(duì)訓(xùn)練]1.若直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3,2)且與x軸、y軸正半軸分別交于A,B兩點(diǎn),當(dāng)△OAB面積最小時(shí)求直線l的方程(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).解:設(shè)直線l的方程為xa+yb=1(a>0,b>0),則3a因?yàn)閍>0,b>0,所以1=3a+2b≥2得ab≥24,當(dāng)且僅當(dāng)3a=2b=即a=6,b=4時(shí),等號(hào)成立.此時(shí)△OAB的面積S=12所以所求直線方程為x6+y即2x+3y-12=0.2.設(shè)直線l的方程為(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).(1)若l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等,求直線l的方程;(2)若l經(jīng)過(guò)第二象限,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解:(1)若2-a=0,解得a=2,因此直線的方程為3x+y=0,此時(shí)l在兩坐標(biāo)軸上的截距同為0,符合題意.若a+1=0,解得a=-1,原方程化為y+3=0,舍去.若a≠-1,2,化為xa-2令a-解得a=0,可得直線l的方程為x+y+2=0,l在兩坐標(biāo)軸上的截距同為-2.綜上所述,直線l的方程為x+y+2=0或3x+y=0.(2)當(dāng)y=-(a+1)x+a-2不經(jīng)過(guò)第二象限時(shí),-(解得a≤-1,所以l經(jīng)過(guò)第二象限時(shí),實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-1,+∞).[例1]已知直線a1x+b1y+1=0和直線a2x+b2y+1=0都過(guò)點(diǎn)A(3,2),則過(guò)點(diǎn)P1(a1,b1)和點(diǎn)P2(a2,b2)的直線方程是()A.3x+2y-1=0 B.2x+3y+1=0C.3x-2y+1=0 D.3x+2y+1=0解析:法一因?yàn)橹本€a1x+b1y+1=0和直線a2x+b2y+1=0都過(guò)點(diǎn)A(3,2),所以3a1+2b1+1=0,且3a2+2b2+1=0,所以過(guò)點(diǎn)P1(a1,b1)和點(diǎn)P2(a2,b2)的直線方程是3x+2y+1=0.故選D.法二3a1+2b1+1=0,且3a2+2b2+1=0兩式相減可得3(a1-a2)+2(b1-b2)=0,由題意a1≠a2,因此k=b1-b所以直線的方程為y-b1=-32(x-a1即2y+3x-(3a1+2b1)=0,結(jié)合3a1+2b1+1=0可知過(guò)點(diǎn)P1(a1,b1)和點(diǎn)P2(a2,b2)的直線方程是3x+2y+1=0.故選D.[例2]把直線2x-3y+1=0向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后,再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度,所得的直線方程為()A.2x-3y+4=0 B.2x-3y-12=0C.2x-3y-4=0 D.2x-3y+6=0解析:將直線向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度可得2(x+2)-3y+1=2x-3y+5=0,再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度可得2x-3(y+3)+5=2x-3y-4=0,因此所求直線方程為2x-3y-4=0.故選C.[例3]已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(1,1),B(3,1),C(2,3),若點(diǎn)P(x,y)在△ABC的內(nèi)部及其邊界上運(yùn)動(dòng),則y+1x+1解析:如圖,由Q(-1,-1)及已知條件可知kQA=1-(-kQC=3-(-1)kQB=1-(-1)由y+1x+1表示點(diǎn)P(x,y)與點(diǎn)Q(-1,-1)兩點(diǎn)連線的斜率可知12≤所以y+1x+1的取值范圍是[1答案:[12,4[例4]設(shè)直線l的方程為(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6,根據(jù)下列條件分別確定m的值.(1)直線l在x軸上的截距為-3;(2)直線l的傾斜角為π4解:(1)由題意得m解m2-2m-3≠0,得m≠3,且m≠-1,解2m-6所以m=-53故當(dāng)m=-53(2)由題意得2解2m2+m-1≠0,得m≠12解-m2-2所以m=43.故當(dāng)m=43時(shí),直線l的傾斜角為[選題明細(xì)表]知識(shí)點(diǎn)、方法題號(hào)直線的傾斜角與斜率1,5,9,12,14直線方程2,6,7,8,11,12直線方程的綜合應(yīng)用3,4,10,141.直線x+3y+1=0的傾斜角是(D)A.π6B.π3C.2π解析:由直線的方程得直線的斜率為k=-33設(shè)傾斜角為α,則tanα=-33又α∈[0,π),所以α=5π62.已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1),其傾斜角與直線x-4y+1=0的傾斜角互補(bǔ),則直線l的方程為(A)A.x+4y-4=0 B.4x+y-1=0C.x+4y+4=0 D.4x+y+1=0解析:因?yàn)橹本€x-4y+1=0的斜率為14,所以直線l的斜率為-14.又直線l過(guò)點(diǎn)(0,1),所以直線l的方程為y-1=-3.在同一平面直角坐標(biāo)系中,直線l1:ax+y+b=0和直線l2:bx+y+a=0的圖象有可能是(B)解析:由題意l1:y=-ax-b,l2:y=-bx-a,當(dāng)a>0,b>0時(shí),-a<0,-b<0,選項(xiàng)B符合.4.若點(diǎn)P(a+b,ab)在第二象限內(nèi),則直線bx+ay-ab=0不經(jīng)過(guò)的象限是(A)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析:由題意可得a+b<0,ab>0,因此a,b均為負(fù)數(shù),由直線的方程bx+ay-ab=0可得直線的斜率k=-ba<0,在y軸上的截距為--5.直線l經(jīng)過(guò)A(2,1),B(1,m2)(m∈R)兩點(diǎn),那么直線l的傾斜角的取值范圍為(B)A.(-∞,π4] B.[0,π4]∪(C.[0,π4] D.[0,π4]∪[解析:直線l的斜率為k=1-m2因?yàn)閙∈R,所以k∈(-∞,1],所以直線的傾斜角的取值范圍是[0,π4]∪(π6.過(guò)點(diǎn)A(1,2)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零,則該直線的方程為(D)A.x-y+1=0B.x+y-3=0C.2x-y=0或x+y-3=0D.2x-y=0或x-y+1=0解析:當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí),可得斜率為2-01-0=2,則直線方程為2x-y=0;當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí),設(shè)方程為xa+7.直線l在x軸上的截距比在y軸上的截距大1,且過(guò)定點(diǎn)A(6,-2),則直線l的方程為.

解析:設(shè)直線在x軸上的截距為a,則在y軸上的截距為a-1.由題意知a,a-1均不為0,由截距式可得直線方程為xa+y解得a=2或3.因此所求直線方程為x+2y-2=0或2x+3y-6=0.答案:x+2y-2=0或2x+3y-6=08.已知直線l的斜率是直線2x-3y+12=0的斜率的12,l在y軸上的截距是直線2x-3y+12=0在y軸上的截距的2倍,則直線l的方程為解析:由2x-3y+12=0的斜率為23,在y軸上的截距為4可知,所求直線l的斜率為13,在y軸上的截距為8,所以直線l的方程為y=即x-3y+24=0.答案:x-3y+24=0直線l的斜率k的取值范圍是,直線l的傾斜角α的取值范圍是.

解析:如圖所示,由題意可知kPA=4-kPB=2-要使l與線段AB有公共點(diǎn),則直線l的斜率k的取值范圍是k≥kPB或k≤kPA,即k≥1或k≤-1.所以直線l的斜率k的取值范圍是(-∞,-1]∪[1,+∞).由題意可知直線l的傾斜角介于直線PB與PA的傾斜角之間,又PB的傾斜角是π4,PA的傾斜角是3π所以傾斜角α的取值范圍是π4答案:(-∞,-1]∪[1,+∞)[π4,3π10.(多選題)直線l:xa+yA.(3,8)B.(1,9)C.(7,4)D.(5,3)解析:因?yàn)閍>0,b>0,所以直線l與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為S=12ab,于是1題意.11.已知直線l1,l2的方程分別為l1:x+ay+b=0,l2:x+cy+d=0,它們?cè)谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中的位置如圖所示,則(C)A.b>0,d<0,a<c B.b>0,d<0,a>cC.b<0,d>0,a>c D.b<0,d>0,a<c解析:由題圖,可知直線l1的斜率大于0,其在y軸上的截距小于0,所以-1a直線l2的斜率大于0