山東省日照市2024屆高三下學(xué)期校際聯(lián)考（三模）數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省日照市2024屆高三下學(xué)期校際聯(lián)考（三模）數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.若復(fù)數(shù)z滿足（為虛數(shù)單位），則（）A.－2 B.－1 C.1 D.2〖答案〗D〖解析〗因?yàn)椋?，，所以故選：D.2.設(shè)拋物線上一點(diǎn)到軸的距離是4，則點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離是（）A.6 B.8 C.9 D.10〖答案〗A〖解析〗拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，到軸的距離是4，故到準(zhǔn)線的距離是，故點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離是.故選：A.3.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）A. B.36 C. D.18〖答案〗B〖解析〗，故選：B.4.已知和是兩個(gè)單位向量，若，則向量與向量的夾角為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)楹褪菃挝幌蛄?，所以又因?yàn)?，所以，所以，所以，又，所以向量與向量的夾角為.故選：B.5.已知，，，則，，的大小順序?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?；，根?jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性知：，故選：A.6.從標(biāo)有1，2，3，4，5的5張卡片中有放回地抽取三次，每次抽取一張，則出現(xiàn)重復(fù)編號(hào)卡片的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗5張卡片中有放回地抽取三次，每次抽取一張，共有種取法，三次都不重復(fù)的取法有種，由加法原理和乘法原理，出現(xiàn)重復(fù)編號(hào)卡片的概率.故選：B.7.某全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國航天事業(yè)的重要成果.在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為h（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離）.將地球看作是一個(gè)球心為O，半徑r為的球，其上點(diǎn)A的緯度是指OA與赤道平面所成角的度數(shù).地球表面上能直接觀測到一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點(diǎn)的緯度最大值為，記衛(wèi)星信號(hào)覆蓋地球表面的表面積為（單位：），若，則S占地球表面積的百分比約為（）A26% B.34% C.42% D.50%〖答案〗C〖解析〗設(shè)表示衛(wèi)星，過作截面，截地球得大圓，過作圓的切線，線段交圓于，如圖，則，，，，則，又，所以設(shè)地球表面積為，則所以．故選：C．8.在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，且，則的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗中，由余弦定理可得：，整理可得，又，則，，，則，可得，則，即，故選：C.二、選擇題9.數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，其中，滿足關(guān)系式，則（）A.B.若數(shù)據(jù)，則C.數(shù)據(jù)，的平均數(shù)為D.若，數(shù)據(jù)不全相等，則這組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為1〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A中，由，所以A正確；對(duì)于B中，由，因?yàn)?，故，所以B正確；對(duì)于C中，由，其平均數(shù)為，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，若，數(shù)據(jù)不全相等，則這組數(shù)據(jù)都分布在直線上，根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)的概念，可得相關(guān)系數(shù)為1，所以D正確.故選：ABD.10.在平面直角坐標(biāo)系中，如圖放置的邊長為2的正方形沿軸滾動(dòng)（無滑動(dòng)滾動(dòng)），點(diǎn)恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)頂點(diǎn)的軌跡方程是，則（）A.方程在上有三個(gè)根B.C.在上單調(diào)遞增D.對(duì)任意，都有〖答案〗AC〖解析〗分析正方形頂點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可知，當(dāng)時(shí)，的軌跡是以為圓心，半徑為2的圓；當(dāng)時(shí)，的軌跡是以為圓心，半徑為的圓；當(dāng)時(shí)，的軌跡是以為圓心，半徑為2的圓；當(dāng)時(shí)，的軌跡是以為圓心，半徑為2的圓，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖知：函數(shù)的圖象與直線在上有三個(gè)交點(diǎn)，即方程在上有三個(gè)根，A正確；函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，所以函數(shù)是偶函數(shù)，B錯(cuò)誤；函數(shù)在上單調(diào)遞增，C正確；由圖象知：，，，D錯(cuò)誤.故選：AC.11.已知函數(shù)部分圖象如圖1所示，，分別為圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，過，作軸的垂線，分別交軸于，，點(diǎn)為該部分圖象與軸的交點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)為，此時(shí).將繪有該圖象的紙片沿軸折成的二面角，如圖2所示，折疊后，則（）A.B.在上單調(diào)遞增C.在圖2中，上存在唯一一點(diǎn)，使得平面D.在圖2中，若是上兩個(gè)不同的點(diǎn)，且滿足，，則的最小值為〖答案〗BD〖解析〗設(shè)函數(shù)的最小正周期為，則，又，平方得，即，所以，即，因?yàn)椋獾?，故，即，所以，則，可得，又因?yàn)楹瘮?shù)在附近單調(diào)遞減，且，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，B符合題意；對(duì)于C選項(xiàng)，在平面內(nèi)，過點(diǎn)作交軸于，交于，在平面上，過作平行于的直線交于，此時(shí)，面，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，若，均在上，由可知，平行于軸，此時(shí)，若，均在上，作于點(diǎn)，則，又，又，從而面，面，故，而，因此，在圖1中作直線，則為與的交點(diǎn)，不妨設(shè)，為與在軸右側(cè)最近的兩個(gè)交點(diǎn)，則此時(shí)最小值為，若，不在同一個(gè)面上，此時(shí)，故D正確.故選：BD.三、填空題12.已知扇形的圓心角為，且弧長為，則該扇形的面積為__________.〖答案〗〖解析〗由題意設(shè)圓心角、弧長、半徑分別為，則，解得，所以該扇形的面積為.故〖答案〗為：.13.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，設(shè)P，Q是E上位于x軸上方的兩點(diǎn)，且直線．若則E的離心率為________．〖答案〗〖解析〗設(shè)，則，又由橢圓定義，得，所以又因?yàn)?，所以，所以．故〖答案〗為?14.在同一平面直角坐標(biāo)系中，分別是函數(shù)和函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn)，若對(duì)任意，有恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為__________.〖答案〗〖解析〗由，整理得，即在圓心，半徑為1的半圓上.，令，則，又，所以，當(dāng)時(shí)，，則為單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則為單調(diào)遞減，綜上可知，在處取得極大值，也是最大值，即，于是，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以曲線的一條切線為，數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)分別為對(duì)應(yīng)切點(diǎn)，且與兩切線垂直時(shí)取得最小值，即的最小值為圓心到直線的距離減去半徑，即的最小值為.過圓心與垂直的直線方程，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取到最小值.綜上所述，，而恒成立，所以，則的最大值為.故〖答案〗為：.四、解答題15.在五面體中，，.（1）求證：；（2）若，，，點(diǎn)到平面的距離為，求二面角的余弦值.（1）證明：因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，所?（2）解：由于平面，，所以，平面，故，又因?yàn)槠矫妫?，平面，所以，又，，，平面，所以平面由于，則，故，故為等腰直角三角形，所以，，如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在的直線分別為，，軸建系，則，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，平面的法向量為，因?yàn)?，，所以，即令，則，設(shè)成的角為，由圖可知為銳角，所以二面角的余弦值為16.電信詐騙是指通過電話、網(wǎng)絡(luò)和短信等方式，編造虛假信息，設(shè)置騙局，對(duì)受害人實(shí)施遠(yuǎn)程詐騙的犯罪行為.隨著5G時(shí)代的全面來臨，借助手機(jī)、網(wǎng)銀等實(shí)施的非接觸式電信詐騙迅速發(fā)展蔓延，不法分子甚至將“魔爪”伸向了學(xué)生.為了增強(qiáng)同學(xué)們的防范意識(shí)，某校舉辦了主題為“防電信詐騙，做反詐達(dá)人”的知識(shí)競賽.（1）已知該校參加本次競賽的學(xué)生分?jǐn)?shù)近似服從正態(tài)分布，若某同學(xué)成績滿足，則該同學(xué)被評(píng)為“反詐標(biāo)兵”；若，則該同學(xué)被評(píng)為“反詐達(dá)人”.（i）試判斷分?jǐn)?shù)為88分的同學(xué)能否被評(píng)為“反詐標(biāo)兵”；（ii）若全校共有40名同學(xué)被評(píng)為“反詐達(dá)人”，試估計(jì)參與本次知識(shí)競賽的學(xué)生人數(shù)（四舍五入后取整）.（2）已知該學(xué)校有男生1000人，女生1200人，經(jīng)調(diào)查有750名男生和600名女生了解“反詐”知識(shí)，用樣本估計(jì)總體，現(xiàn)從全校隨機(jī)抽出2名男生和3名女生，這5人中了解“反詐”知識(shí)的人數(shù)記為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù)：若，則，，（1）解：（i）由題意知，該校參加本次競賽的學(xué)生分?jǐn)?shù)近似服從正態(tài)分布可得，，因?yàn)?，則該同學(xué)能被評(píng)為“反詐標(biāo)兵”.（ii）設(shè)全校參與本次競賽的人數(shù)為，“反詐達(dá)人”的概率為：則，解得，所以參與本次知識(shí)競賽的學(xué)生人數(shù)約為人.（2）解：由題意知，男生了解“反詐”知識(shí)的概率為，女生了解“反詐”知識(shí)的概率為，隨機(jī)變量的所有可能取值為，可得所以隨機(jī)變量的分布列為012345所以，期望為.17.已知函數(shù)，，.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，對(duì)，，求正整數(shù)的最大值.解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，①當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.（2）當(dāng)，時(shí)，恒成立，等價(jià)于恒成立，設(shè)，，則，當(dāng)時(shí)，有，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，，則存在唯一的，使得，即，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，設(shè)，則當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，又因?yàn)椋?所以正整數(shù)的最大值是3.18.已知雙曲線的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，右頂點(diǎn)為，離心率為.（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)的直線交雙曲線右支于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，且，.（i）求證：為定值；（ii）記，，的面積分別為，，，若，當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的范圍.（1）解：設(shè)雙曲線C：由題意得，，則，，所以雙曲線的方程為.（2）（i）證明：如圖：設(shè)，，，由與，得，即，將代入的方程得：，整理得：①，同理由可得②.由①②知，，是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)不等實(shí)根.顯然，由韋達(dá)定理知，所以為定值.（ii）解：由，即，整理得：，又，不妨設(shè)，則，整理得，又，故，而由（2）知，，故，代入，令，得，由雙勾函數(shù)性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞增，所以的取值范圍是，所以的取值范圍為.19.對(duì)于數(shù)列，把作為新數(shù)列的第一項(xiàng)，把或（）作為新數(shù)列的第項(xiàng)，數(shù)列稱為數(shù)列的一個(gè)生成數(shù)列．例如，數(shù)列的一個(gè)生成數(shù)列是．已知數(shù)列為數(shù)列的生成數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和．（1）寫出的所有可能值；（2）若生成數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）證明：對(duì)于給定的，的所有可能值組成的集合為．（1）解：由已知，，，∴，由于，∴可能值為．（2