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云南省大理新世紀(jì)中學(xué)2024年高三六校第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě),字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效;在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.三國(guó)時(shí)代吳國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽所注《周髀算經(jīng)》中給出了勾股定理的絕妙證明.下面是趙爽的弦圖及注文,弦圖是一個(gè)以勾股形之弦為邊的正方形,其面積稱(chēng)為弦實(shí).圖中包含四個(gè)全等的勾股形及一個(gè)小正方形,分別涂成紅(朱)色及黃色,其面積稱(chēng)為朱實(shí)、黃實(shí),利用,化簡(jiǎn),得.設(shè)勾股形中勾股比為,若向弦圖內(nèi)隨機(jī)拋擲顆圖釘(大小忽略不計(jì)),則落在黃色圖形內(nèi)的圖釘數(shù)大約為()A. B. C. D.2.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的值為()A. B. C. D.3.函數(shù)的圖象大致為()A. B.C. D.4.已知拋物線,F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)且MN為過(guò)焦點(diǎn)的弦,若,,則的面積為()A. B. C. D.5.函數(shù)的圖象可能為()A. B.C. D.6.已知函數(shù)的圖像與一條平行于軸的直線有兩個(gè)交點(diǎn),其橫坐標(biāo)分別為,則()A. B. C. D.7.已知單位向量,的夾角為,若向量,,且,則()A.2 B.2 C.4 D.68.若的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為-12,則實(shí)數(shù)的值為()A.-2 B.-3 C.2 D.39.設(shè)為虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限10.定義,已知函數(shù),,則函數(shù)的最小值為()A. B. C. D.11.秦九韶是我國(guó)南寧時(shí)期的數(shù)學(xué)家,普州(現(xiàn)四川省安岳縣)人,他在所著的《數(shù)書(shū)九章》中提出的多項(xiàng)式求值的秦九韶算法,至今仍是比較先進(jìn)的算法.如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項(xiàng)式值的一個(gè)實(shí)例.若輸入、的值分別為、,則輸出的值為()A. B. C. D.12.給出下列四個(gè)命題:①若“且”為假命題,則﹑均為假命題;②三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角;③若命題,,則命題,;④設(shè)集合,,則“”是“”的必要條件;其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.《九章算術(shù)》是中國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著,其中《方田》一章給出了弧田面積的計(jì)算公式.如圖所示,弧田是由圓弧AB和其所對(duì)弦AB圍成的圖形,若弧田的弧AB長(zhǎng)為4π,弧所在的圓的半徑為6,則弧田的弦AB長(zhǎng)是__________,弧田的面積是__________.14.已知點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)的一條直線與圓相交于兩點(diǎn),若存在點(diǎn),使得,則橢圓的離心率取值范圍為_(kāi)________.15.已知實(shí)數(shù),滿足約束條件則的最大值為_(kāi)_______.16.《易經(jīng)》是中國(guó)傳統(tǒng)文化中的精髓,如圖是易經(jīng)八卦(含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦),每一卦由三根線組成(""表示一根陽(yáng)線,""表示一根陰線),從八卦中任取兩卦,這兩卦的六根線中恰有兩根陽(yáng)線,四根陰線的概率為_(kāi)______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)2019年是五四運(yùn)動(dòng)100周年.五四運(yùn)動(dòng)以來(lái)的100年,是中國(guó)青年一代又一代接續(xù)奮斗、凱歌前行的100年,是中口青年用青春之我創(chuàng)造青春之中國(guó)、青春之民族的100年.為繼承和發(fā)揚(yáng)五四精神在青年節(jié)到來(lái)之際,學(xué)校組織“五四運(yùn)動(dòng)100周年”知識(shí)競(jìng)賽,競(jìng)賽的一個(gè)環(huán)節(jié)由10道題目組成,其中6道A類(lèi)題、4道B類(lèi)題,參賽者需從10道題目中隨機(jī)抽取3道作答,現(xiàn)有甲同學(xué)參加該環(huán)節(jié)的比賽.(1)求甲同學(xué)至少抽到2道B類(lèi)題的概率;(2)若甲同學(xué)答對(duì)每道A類(lèi)題的概率都是,答對(duì)每道B類(lèi)題的概率都是,且各題答對(duì)與否相互獨(dú)立.現(xiàn)已知甲同學(xué)恰好抽中2道A類(lèi)題和1道B類(lèi)題,用X表示甲同學(xué)答對(duì)題目的個(gè)數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.18.(12分)某中學(xué)為研究學(xué)生的身體素質(zhì)與體育鍛煉時(shí)間的關(guān)系,對(duì)該校名高三學(xué)生平均每天體育鍛煉時(shí)間進(jìn)行調(diào)查,如表:(平均每天鍛煉的時(shí)間單位:分鐘)將學(xué)生日均體育鍛煉時(shí)間在的學(xué)生評(píng)價(jià)為“鍛煉達(dá)標(biāo)”.(1)請(qǐng)根據(jù)上述表格中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫(xiě)下面列聯(lián)表:并通過(guò)計(jì)算判斷,是否能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下認(rèn)為“鍛煉達(dá)標(biāo)”與性別有關(guān)?(2)在“鍛煉達(dá)標(biāo)”的學(xué)生中,按男女用分層抽樣方法抽出人,進(jìn)行體育鍛煉體會(huì)交流.(i)求這人中,男生、女生各有多少人?(ii)從參加體會(huì)交流的人中,隨機(jī)選出人發(fā)言,記這人中女生的人數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考公式:,其中.臨界值表:0.100.050.0250.01002.7063.8415.0246.63519.(12分)已知函數(shù).(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在上最小值.20.(12分)如圖,在三棱錐中,平面平面,,.點(diǎn),,分別為線段,,的中點(diǎn),點(diǎn)是線段的中點(diǎn).(1)求證:平面.(2)判斷與平面的位置關(guān)系,并證明.21.(12分)為了解網(wǎng)絡(luò)外賣(mài)的發(fā)展情況,某調(diào)查機(jī)構(gòu)從全國(guó)各城市中抽取了100個(gè)相同等級(jí)地城市,分別調(diào)查了甲乙兩家網(wǎng)絡(luò)外賣(mài)平臺(tái)(以下簡(jiǎn)稱(chēng)外賣(mài)甲、外賣(mài)乙)在今年3月的訂單情況,得到外賣(mài)甲該月訂單的頻率分布直方圖,外賣(mài)乙該月訂單的頻數(shù)分布表,如下圖表所示.訂單:(單位:萬(wàn)件)頻數(shù)1223訂單:(單位:萬(wàn)件)頻數(shù)402020102(1)現(xiàn)規(guī)定,月訂單不低于13萬(wàn)件的城市為“業(yè)績(jī)突出城市”,填寫(xiě)下面的列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有90%的把握認(rèn)為“是否為業(yè)績(jī)突出城市”與“選擇網(wǎng)絡(luò)外賣(mài)平臺(tái)”有關(guān).業(yè)績(jī)突出城市業(yè)績(jī)不突出城市總計(jì)外賣(mài)甲外賣(mài)乙總計(jì)(2)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為,外賣(mài)甲今年3月在全國(guó)各城市的訂單數(shù)(單位:萬(wàn)件)近似地服從正態(tài)分布,其中近似為樣本平均數(shù)(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表),的值已求出,約為3.64,現(xiàn)把頻率視為概率,解決下列問(wèn)題:①?gòu)娜珖?guó)各城市中隨機(jī)抽取6個(gè)城市,記為外賣(mài)甲在今年3月訂單數(shù)位于區(qū)間的城市個(gè)數(shù),求的數(shù)學(xué)期望;②外賣(mài)甲決定在今年3月訂單數(shù)低于7萬(wàn)件的城市開(kāi)展“訂外賣(mài),搶紅包”的營(yíng)銷(xiāo)活動(dòng)來(lái)提升業(yè)績(jī),據(jù)統(tǒng)計(jì),開(kāi)展此活動(dòng)后城市每月外賣(mài)訂單數(shù)將提高到平均每月9萬(wàn)件的水平,現(xiàn)從全國(guó)各月訂單數(shù)不超過(guò)7萬(wàn)件的城市中采用分層抽樣的方法選出100個(gè)城市不開(kāi)展?fàn)I銷(xiāo)活動(dòng),若每按一件外賣(mài)訂單平均可獲純利潤(rùn)5元,但每件外賣(mài)平均需送出紅包2元,則外賣(mài)甲在這100個(gè)城市中開(kāi)展?fàn)I銷(xiāo)活動(dòng)將比不開(kāi)展?fàn)I銷(xiāo)活動(dòng)每月多盈利多少萬(wàn)元?附:①參考公式:,其中.參考數(shù)據(jù):0.150.100.050.0250.0100.0012.7022.7063.8415.0246.63510.828②若,則,.22.(10分)已知橢圓的離心率為,直線過(guò)橢圓的右焦點(diǎn),過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn)(均異于左、右頂點(diǎn)).(1)求橢圓的方程;(2)已知直線,為橢圓的右頂點(diǎn).若直線交于點(diǎn),直線交于點(diǎn),試判斷是否為定值,若是,求出定值;若不是,說(shuō)明理由.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】分析:設(shè)三角形的直角邊分別為1,,利用幾何概型得出圖釘落在小正方形內(nèi)的概率即可得出結(jié)論.解析:設(shè)三角形的直角邊分別為1,,則弦為2,故而大正方形的面積為4,小正方形的面積為.圖釘落在黃色圖形內(nèi)的概率為.落在黃色圖形內(nèi)的圖釘數(shù)大約為.故選:A.點(diǎn)睛:應(yīng)用幾何概型求概率的方法建立相應(yīng)的幾何概型,將試驗(yàn)構(gòu)成的總區(qū)域和所求事件構(gòu)成的區(qū)域轉(zhuǎn)化為幾何圖形,并加以度量.(1)一般地,一個(gè)連續(xù)變量可建立與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型,只需把這個(gè)變量放在數(shù)軸上即可;(2)若一個(gè)隨機(jī)事件需要用兩個(gè)變量來(lái)描述,則可用這兩個(gè)變量的有序?qū)崝?shù)對(duì)來(lái)表示它的基本事件,然后利用平面直角坐標(biāo)系就能順利地建立與面積有關(guān)的幾何概型;(3)若一個(gè)隨機(jī)事件需要用三個(gè)連續(xù)變量來(lái)描述,則可用這三個(gè)變量組成的有序數(shù)組來(lái)表示基本事件,利用空間直角坐標(biāo)系即可建立與體積有關(guān)的幾何概型.2、B【解析】
列出每一次循環(huán),直到計(jì)數(shù)變量滿足退出循環(huán).【詳解】第一次循環(huán):;第二次循環(huán):;第三次循環(huán):,退出循環(huán),輸出的為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查由程序框圖求輸出的結(jié)果,要注意在哪一步退出循環(huán),是一道容易題.3、A【解析】
根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性,排除錯(cuò)誤選項(xiàng),從而得出正確選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?,所以是偶函?shù),排除C和D.當(dāng)時(shí),,,令,得,即在上遞減;令,得,即在上遞增.所以在處取得極小值,排除B.故選:A【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)圖像的識(shí)別,考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值,屬于中檔題.4、A【解析】
根據(jù)可知,再利用拋物線的焦半徑公式以及三角形面積公式求解即可.【詳解】由題意可知拋物線方程為,設(shè)點(diǎn)點(diǎn),則由拋物線定義知,,則.由得,則.又MN為過(guò)焦點(diǎn)的弦,所以,則,所以.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的方程應(yīng)用,同時(shí)也考查了焦半徑公式等.屬于中檔題.5、C【解析】
先根據(jù)是奇函數(shù),排除A,B,再取特殊值驗(yàn)證求解.【詳解】因?yàn)?,所以是奇函?shù),故排除A,B,又,故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的圖象,還考查了理解辨析的能力,屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】
畫(huà)出函數(shù)的圖像,函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸方程為,由圖可得與關(guān)于對(duì)稱(chēng),即得解.【詳解】函數(shù)的圖像如圖,對(duì)稱(chēng)軸方程為,,又,由圖可得與關(guān)于對(duì)稱(chēng),故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了正弦型函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性,考查了學(xué)生綜合分析,數(shù)形結(jié)合,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.7、C【解析】
根據(jù)列方程,由此求得的值,進(jìn)而求得.【詳解】由于,所以,即,解得.所以所以.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查向量垂直的表示,考查向量數(shù)量積的運(yùn)算,考查向量模的求法,屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】
先研究的展開(kāi)式的通項(xiàng),再分中,取和兩種情況求解.【詳解】因?yàn)榈恼归_(kāi)式的通項(xiàng)為,所以的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為:,解得,故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】
利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn),求得對(duì)應(yīng)的坐標(biāo),由此判斷對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在象限.【詳解】,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為,位于第一象限.故選:A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)除法運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在象限,屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】
根據(jù)分段函數(shù)的定義得,,則,再根據(jù)基本不等式構(gòu)造出相應(yīng)的所需的形式,可求得函數(shù)的最小值.【詳解】依題意得,,則,(當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)“”成立.此時(shí),,,的最小值為,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查求分段函數(shù)的最值,關(guān)鍵在于根據(jù)分段函數(shù)的定義得出,再由基本不等式求得最值,屬于中檔題.11、B【解析】
列出循環(huán)的每一步,由此可得出輸出的值.【詳解】由題意可得:輸入,,,;第一次循環(huán),,,,繼續(xù)循環(huán);第二次循環(huán),,,,繼續(xù)循環(huán);第三次循環(huán),,,,跳出循環(huán);輸出.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)算法框圖計(jì)算輸出值,一般要列舉出算法的每一步,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】
①利用真假表來(lái)判斷,②考慮內(nèi)角為,③利用特稱(chēng)命題的否定是全稱(chēng)命題判斷,④利用集合間的包含關(guān)系判斷.【詳解】若“且”為假命題,則﹑中至少有一個(gè)是假命題,故①錯(cuò)誤;當(dāng)內(nèi)角為時(shí),不是象限角,故②錯(cuò)誤;由特稱(chēng)命題的否定是全稱(chēng)命題知③正確;因?yàn)?,所以,所以“”是“”的必要條件,故④正確.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的問(wèn)題,涉及到“且”命題、特稱(chēng)命題的否定、象限角、必要條件等知識(shí),是一道基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、612π﹣9【解析】
過(guò)作,交于,先求得圓心角的弧度數(shù),然后解解三角形求得的長(zhǎng).利用扇形面積減去三角形的面積,求得弧田的面積.【詳解】∵如圖,弧田的弧AB長(zhǎng)為4π,弧所在的圓的半徑為6,過(guò)作,交于,根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可知,垂直平分.∴α=∠AOB==,可得∠AOD=,OA=6,∴AB=2AD=2OAsin=2×=6,∴弧田的面積S=S扇形OAB﹣S△OAB=4π×6﹣=12π﹣9.故答案為:6,12π﹣9.【點(diǎn)睛】本小題主要考查弓形弦長(zhǎng)和弓形面積的計(jì)算,考查中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化,屬于中檔題.14、【解析】
設(shè),設(shè)出直線AB的參數(shù)方程,利用參數(shù)的幾何意義可得,由題意得到,據(jù)此求得離心率的取值范圍.【詳解】設(shè),直線AB的參數(shù)方程為,(為參數(shù))代入圓,化簡(jiǎn)得:,,,,存在點(diǎn),使得,,即,,,,故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓離心率取值范圍的求解,考查直線、圓與橢圓的綜合運(yùn)用,考查直線參數(shù)方程的運(yùn)用,屬于中檔題.15、1【解析】
作出約束條件表示的可行域,轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)為,當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí),直線的截距最大,取得最大值,即得解.【詳解】作出約束條件表示的可行域是以為頂點(diǎn)的三角形及其內(nèi)部,轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)為當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí),直線的截距最大此時(shí)取得最大值1.故答案為:1【點(diǎn)睛】本題考查了線性規(guī)劃問(wèn)題,考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)形結(jié)合,數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】
觀察八卦中陰線和陽(yáng)線的情況為3線全為陽(yáng)線或全為陰線各一個(gè),還有6個(gè)是1陰2陽(yáng)和1陽(yáng)2陰各3個(gè)。抽取的兩卦中共2陽(yáng)4陰的所有可能情況是一卦全陰、另一卦2陽(yáng)1陰,或兩卦全是1陽(yáng)2陰?!驹斀狻堪素灾嘘幘€和陽(yáng)線的情況為3線全為陽(yáng)線的一個(gè),全為陰線的一個(gè),1陰2陽(yáng)的3個(gè),1陽(yáng)2陰的3個(gè)。抽取的兩卦中共2陽(yáng)4陰的所有可能情況是一卦全陰、另一卦2陽(yáng)1陰,或兩卦全是1陽(yáng)2陰?!鄰?個(gè)卦中任取2卦,共有種可能,兩卦中共2陽(yáng)4陰的情況有,所求概率為。故答案為:。【點(diǎn)睛】本題考查古典概型,解題關(guān)鍵是確定基本事件的個(gè)數(shù)。本題不能受八卦影響,我們關(guān)心的是八卦中陰線和陽(yáng)線的條數(shù),這樣才能正確地確定基本事件的個(gè)數(shù)。三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2)分布列見(jiàn)解析,期望為.【解析】
(1)甲同學(xué)至少抽到2道B類(lèi)題包含兩個(gè)事件:一個(gè)抽到2道B類(lèi)題,一個(gè)是抽到3個(gè)B類(lèi)題,計(jì)算出抽法數(shù)后可求得概率;(2)的所有可能值分別為,依次計(jì)算概率得分布列,再由期望公式計(jì)算期望.【詳解】(1)令“甲同學(xué)至少抽到2道B類(lèi)題”為事件,則抽到2道類(lèi)題有種取法,抽到3道類(lèi)題有種取法,∴;(2)的所有可能值分別為,,,,,∴的分布列為:0123【點(diǎn)睛】本題考查古典概型,考查隨機(jī)變量的概率分布列和數(shù)學(xué)期望.解題關(guān)鍵是掌握相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式.18、(1)能;(2)(i)男生有人,女生有人;(ii),分布列見(jiàn)解析.【解析】
(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)可完成列聯(lián)表.由總?cè)藬?shù)及女生人數(shù)得男生人數(shù),由表格得達(dá)標(biāo)人數(shù),從而得男生中達(dá)標(biāo)人數(shù),這樣不達(dá)標(biāo)人數(shù)隨之而得,然后計(jì)算可得結(jié)論;(2)由達(dá)標(biāo)人數(shù)中男女生人數(shù)比為可得抽取的人數(shù),總共選2人,女生有4人,的可能值為0,1,2,分別計(jì)算概率得分布列,再由期望公式可計(jì)算出期望.【詳解】(1)列出列聯(lián)表,,所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下能判斷“課外體育達(dá)標(biāo)”與性別有關(guān).(2)(i)在“鍛煉達(dá)標(biāo)”的學(xué)生中,男女生人數(shù)比為,用分層抽樣方法抽出人,男生有人,女生有人.(ii)從參加體會(huì)交流的人中,隨機(jī)選出人發(fā)言,人中女生的人數(shù)為,則的可能值為,,,則,,,可得的分布列為:可得數(shù)學(xué)期望.【點(diǎn)睛】本題考查列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn),考查分層抽樣,隨機(jī)變量的概率分布列和期望.主要考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力,運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.19、(Ⅰ)見(jiàn)解析;(Ⅱ)當(dāng)時(shí),函數(shù)的最小值是;當(dāng)時(shí),函數(shù)的最小值是【解析】
(1)求出導(dǎo)函數(shù),并且解出它的零點(diǎn)x=,再分區(qū)間討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù),即可得到函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)分三種情況加以討論,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)值的大小比較,即可得到當(dāng)0<a<ln2時(shí),函數(shù)f(x)的最小值是-a;當(dāng)a≥ln2時(shí),函數(shù)f(x)的最小值是ln2-2a.【詳解】函數(shù)的定義域
為.
因?yàn)?,令,可得?/p>
當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,綜上所述:可知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為當(dāng),即時(shí),函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù),
的最小值是當(dāng),即時(shí),函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),的最小值是當(dāng),即時(shí),函數(shù)在上是增函數(shù),在上是減函數(shù).
又,
當(dāng)時(shí),的最小值是;
當(dāng)時(shí),的最小值為綜上所述,結(jié)論為當(dāng)時(shí),函數(shù)的最小值是;
當(dāng)時(shí),函數(shù)的最小值是.【點(diǎn)睛】求函數(shù)極值與最值的步驟:(1)確定函數(shù)的定義域;(2)求導(dǎo)數(shù);(3)解方程求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根;(4)列表檢查在的根左右兩側(cè)值的符號(hào),如果左正右負(fù)(左增右減),那么在處取極大值,如果左負(fù)右正(左減右增),那么在處取極小值.(5)如果只有一個(gè)極值點(diǎn),則在該處即是極值也是最值;(6)如果求閉區(qū)間上的最值還需要比較端點(diǎn)值的函數(shù)值與極值的大小20、(1)見(jiàn)解析(2)平面.見(jiàn)解析【解析】
(1)要證平面,只需證明,,即可求得答案;(2)連接交于點(diǎn),連接,根據(jù)已知條件求證,即可判斷與平面的位置關(guān)系,進(jìn)而求得答案.【詳解】(1),為邊的中點(diǎn),,平面平面,平面平面,平面,平面,,在內(nèi),,為所在邊的中點(diǎn),,又,,平面.(2)判斷可知,平面,證明如下:連接交于點(diǎn),連接.、、分別為邊、、的中點(diǎn),.又是的重心,,,平面,平面,平面.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求證線面垂直和線面平行,解題關(guān)鍵是掌握線面垂直判定定理和線面平行判斷定理,考查了分析能力和空間想象能力,屬于中檔題.21、(1)見(jiàn)解析,有9
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