2023-2024學年高一數(shù)學2019單元復習試題單元復習11解三角形基礎題

單元復習11解三角形01正弦定理、余弦定理一、單選題1．在中，內角所對應的邊分別是，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用正弦定理直接求解即可.【解析】因為，，所以由正弦定理得：.故選：B.2．在中，若，則（

）A．25 B．5 C．4 D．【答案】B【分析】利用余弦定理直接求解.【解析】在中，若，，，由余弦定理得.故選：B3．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則必為（

）A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．等腰三角形【答案】A【分析】由正弦定理得到，得出，進而，即可求解.【解析】因為，由正弦定理可得，即，又因為，所以，即，因為，所以，所以，所以為鈍角三角形.故選：A.4．如果銳角的外接圓圓心為，則點到三邊的距離之比為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】設外接圓半徑，連接，設點到三邊的距離分別為，,再結合正弦定理可求得.【解析】如圖，設外接圓半徑，連接，在三角形中，的對角分別為，設點到三邊的距離分別為，由銳角知均為正數(shù)，由外接圓知，所以，同理:，，所以，由正弦定理得，所以，又，所以，所以.故選：B.5．的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，，則的值是（

）A．6 B．8 C．4 D．2【答案】A【分析】根據(jù)正弦定理結合題干條件可得到，再由余弦定理得，代入已知條件可得到最終結果.【解析】因為，根據(jù)正弦定理得到：故得到再由余弦定理得到：代入，，得到.故選：A.6．在中，角A、、所對的邊分別為、、，且若，則的形狀是（

）A．等腰且非等邊三角形 B．直角三角形C．等邊三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【分析】由余弦定理求得，由正弦定理化邊為角得，代入另一已知得，從而得三角形形狀．【解析】∵，所以，又，∴，∵，∴，，，∴，從而，為等邊三角形，故選：C．7．已知A、B、C為△ABC的三內角，且其對邊分別為，若，且，則A=（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由誘導公式根據(jù)正弦定理可得，從而可得，由余弦定理可得，從而可得結果.【解析】由得，由正弦定理得，，則，由余弦定理得，，由得，故選：A.8．已知銳角中，內角、、的對邊分別為、、，，若存在最大值，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用余弦定理結合正弦定理化簡可得出，根據(jù)為銳角三角形可求得角的取值范圍，利用二倍角公式以及誘導公式化簡得出，求出的取值范圍，根據(jù)二次函數(shù)的基本性質可得出關于實數(shù)的不等式，解之即可.【解析】由余弦定理可得，則，由正弦定理可得，因為為銳角三角形，則，，所以，，又因為函數(shù)在內單調遞增，所以，，可得，由于為銳角三角形，則，即，解得，，因為，則，因為存在最大值，則，解得.故選：C.【點睛】方法點睛：三角函數(shù)最值的不同求法：①利用和的最值直接求；②把形如的三角函數(shù)化為的形式求最值；③利用和的關系轉換成二次函數(shù)求最值；④形如或轉換成二次函數(shù)求最值.二、多選題9．的內角??的對邊分別為??，，，則可以為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】AB【分析】根據(jù)正弦定理可得，再根據(jù)正弦的范圍選擇即可【解析】在中，，，由正弦定理可得，即，所以，因為，所以，所以可以為7，8故選：AB10．三角形中，角的對邊分別為，下列條件能判斷是鈍角三角形的有（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】利用正余弦定理逐一判斷即可【解析】A：由可知，且，所以是銳角，故A不能判斷；B：由,得，則為鈍角，故B能判斷；C：由正弦定理，得，則，，故C能判斷；D：由正弦定理，條件等價于=，則，即，故，則，故D不能判斷.故選：BC11．不解三角形，則下列對三角形解的個數(shù)的判斷中正確的是（

）A．，有一解 B．，有兩解C．，有兩解 D．，無解【答案】AD【分析】應用正弦定理結合各選項的條件求，由三角形內角的性質即可判斷各選項的正誤.【解析】A：由正弦定理，又，故只有一個解，正確；B：由正弦定理，又，顯然只有一個解，錯誤；C：由正弦定理，顯然無解，錯誤；D：由正弦定理，顯然無解，正確；故選：AD12．在銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，則下列結論正確的有（

）A． B．C．的取值范圍為 D．的取值范圍為【答案】ABD【分析】利用正弦定理邊化角結合兩角和差的正弦公式化簡，可判斷A;結合銳角，可判斷B;利用正弦定理邊化角結合三角函數(shù)性質判斷C;將化簡為，結合A的范圍，利用對勾函數(shù)單調性，可判斷D.【解析】由題意得在銳角中，，∴由正弦定理可得，又，故，即，，為銳角，，即，故選項A正確；在銳角中，，，故B正確；由，故C錯誤；,又，，令，則，由對勾函數(shù)性質可知，在時單調遞增，，，故，故D正確．故選：．三、填空題13．已知在中，，則等于________.【答案】【分析】由正弦定理可得，令，然后利用余弦定理可求出【解析】因為在中，，所以正弦定理可得，則令（），由余弦定理得，故答案為：14．設的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，則角的大小為_________．【答案】##【分析】由正弦定理得，化簡得到，進而求得的值，即可求解.【解析】因為，可得的，由正弦定理得，因為，化簡得，又因為，可得，所以，又由，可得.故答案為：.15．在中，設、、分別是三個內角、、所對的邊，，，面積，則內角的大小為__．【答案】或【分析】由三角形面積公式進行求解即可.【解析】∵的面積，∴，∵，∴或．故答案為：或.16．已知的面積為1，角的對邊分別為，若，，則___________【答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理角化邊，并利用余弦定理求出，再借助和角的余弦及三角形的面積公式求解作答.【解析】在中，由已知及正弦定理，得，即.由余弦定理，得，又，，因此，又，所以，由正弦定理，得，因為的面積為1，所以，解得，又，所以.故答案為：.四、解答題17．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若，，，求：(1)角B；(2)的面積S.【答案】(1)(2).【分析】(1)正弦定理求解；(2)根據(jù)面積公式求解.【解析】（1）由正弦定理，得，因為在中，且，所以.（2）因為，所以.所以.18．已知角所對的邊分別為,的周長為,且.(1)求邊的長;(2)若的面積為,求角的度數(shù).【答案】(1)2；(2).【分析】(1)根據(jù)正弦定理可將化簡為,再根據(jù)的周長即可求得;(2)根據(jù)三角形面積公式可得,根據(jù)(1)中的結論可得,再根據(jù)余弦定理即可求得角.【解析】（1）由題意得:，在中,將正弦定理代入可得，又,即，所以；（2）由(1)知,,所以，因為，所以,又有，所以，因為，所以.19．的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)求的值；(2)若b＝3，當角A最大時，求的面積．【答案】(1)0(2)【分析】（1）已知等式由正弦定理邊化角，由，用兩角和的正弦公式展開后化簡，用商數(shù)關系弦化切即能得到結果；（2）由已知得C為鈍角，當角A最大時，最大，由且，利用基本不等式求得最大值，解得，可求，解得，由面積公式求的面積．【解析】（1），由正弦定理得，所以，即，有，所以.（2）因為，所以，即C為鈍角，所以，，當且僅當，即時等號成立，所以，，，20．記的內角的邊分別是,分別以為邊長的三個正三角形的面積依次為,已知,．(1)求的面積;(2)若,求邊的值．【答案】(1)(2)【分析】(1)根據(jù)正三角形的面積寫出,代入進行化簡可得,代入余弦定理中可得,即,根據(jù),求出代入,即可求得,根據(jù)面積公式即可求得;(2)由(1)知,對正弦定理變形可得到,將代入即可得.【解析】（1）由題意得,,,則,即,在中,由余弦定理,整理得,則,又,則,所以,則.（2）在中,由正弦定理得:,則,所以.21．在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，并解答問題．在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知______．(1)求角C的值；(2)若的面積，試判斷的形狀．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】(1)(2)鈍角三角形【分析】(1)方案一：選條選①，根據(jù)正弦定理和兩角和的正弦公式得到，再利用誘導公式和三角形內角和定理即可求解；方案二：選條選②，先利用正弦定理、誘導公式和三角形內角和定理得到，再利用兩角和的正弦公式即可求解；方案三：選條件③，利用正弦定理、誘導公式和兩角和的正弦公式得出，然后利用同角三角函數(shù)的基本關系即可求解；(2)結合（1）的結論利用余弦定理和三角形面積可得，然后代入即可求解.【解析】（1）方案一：選條選①．由，得，得，即．∵，∴，∴，又，∴．方案二：選條件②．由，得，即，于是，因此，∵，∴，∴，即，∵，∴，∴，故．方案三：選條件③．由正弦定理，得，即，∴，又，∴，∴，即，∴．（2）在中，，由余弦定理得，又，∴，整理得，得，此時，∴，∴B為鈍角，故是鈍角三角形．【點睛】方法點睛：判斷三角形形狀的方法：（1）角化邊，通過正、余弦定理化角為邊，通過因式分解、配方等方法得出邊與邊之間的關系，進行判斷；（2）邊化角，通過正、余弦定理化邊為角，利用三角恒等變換、三角形內角和定理及誘導公式等推出角與角之間的關系，進行判斷．無論使用哪種方法，都不要隨意約掉公因式，要移項、提取公因式，否則會有遺漏一種情況的可能．注意挖掘隱含條件，重視角的范圍對三角函數(shù)值的限制．22．已知在中，角，，的對邊分別為．(1)若邊的中線長為3，對，且，恒成立，試判斷“”是否成立？(2)若為非直角三角形，且，其中．（?。┳C明：；（ⅱ）是否存在函數(shù)，使得對于一切滿足條件的，代數(shù)式恒為定值？若存在，請給出一個滿足條件的，并證明之；若不存在，請給出一個理由．參考公式：【答案】(1)答案見解析(2)（?。┳C明見解析；（ⅱ）存在，證明見解析【分析】（1）依題意建立平面直角坐標系，由恒成立得，設出點的坐標，根據(jù)數(shù)量積的坐標運算計算可得；（2）（?。┯烧叶ɡ韺⑦吇?，利用和差化積、和差角公式及同角三角函數(shù)的基本關系計算可得；（ⅱ）由（?。┘埃纯傻玫秸砜傻?，從而得解；(1)解：法一：設P為邊AB上一點，則由對，且，恒成立得，建立平面直角坐標系，如下圖所示，設，（），，∴，，則由得，∴恒成立，∴恒成立，∴恒成立，即恒成立，∴若則恒成立，∴恒成立，若則恒成立，∴恒成立，∴，∴，又為中點，∴．法二：設P為邊AB上一點，則由對，且，恒成立得，令，則∴若，則由得P在BD上，即，這與矛盾∴不成立若，則由得P在AD上，即，這與矛盾∴不成立若，則由得P在AB上，即，這與符合∴；(2)解：（?。┯杉罢叶ɡ淼茫?，因為，所以，有，由兩角和、差的余弦公式可得，整理得，故．（ⅱ）∵又∵∴，展開整理得，∴，即，即，∴與作比較可知存在且．02解三角形的應用一、單選題1．如圖，兩點在河的兩岸，在同側的河岸邊選取點，測得的距離，則兩點間的距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)正弦定理求解即可【解析】因為，故，由正弦定理，，故m故選：D2．如圖所示，兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站南偏西方向上，燈塔B在觀察站南偏東方向上，則燈塔A在燈塔B的（

）A．北偏東方向上 B．北偏西方向上 C．南偏東方向上 D．南偏西方向上【答案】D【分析】根據(jù)題意求出各角的度數(shù)，確定，故燈塔A在燈塔B的南偏西方向上.【解析】由條件及題圖可知，為等腰三角形，所以，又，所以，所以，因此燈塔A在燈塔B的南偏西方向上．故選：D．3．小明在學完《解直角三角形》一章后，利用測角儀和校園旗桿的拉繩測量校園旗桿的高度，如圖，旗桿PA的高度與拉繩PB的長度相等，小明先將PB拉到的位置，測得（為水平線），測角儀的高度為1米，則旗桿的高度為（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】C【分析】由題設可得，即可得結果.【解析】由題設，，而，所以，可得米.故選：C4．魏晉時期劉徽撰寫的《海島算經》是關于測量的數(shù)學著作，其中第一題是測量海島的高.如圖，點E，H，G在水平線上，和是兩個垂直于水平面且等高的測量標桿的高度，若，，，，則海島的高（

）A．20 B．16 C．27 D．9【答案】A【分析】利用平面相似的有關知識即可解出．【解析】由平面相似知識可知，，，所以，解得，從而．故選：A．5．一艘海輪從海島A出發(fā)，沿北偏東的方向航行nmile后到達海島B，然后從海島B出發(fā)，沿北偏東方向航行60nmile后到達海島C，則海島A與海島C之間的距離為（

）A．150nmile B．140nmile C．130nmile D．120nmile【答案】B【分析】利用余弦定理即得.【解析】由題意知，在中，，，，根據(jù)余弦定理，得，所以(nmile)．故選：B.6．如圖，某城市有一條公路從正西方通過市中心后轉向東北方，為了緩解城市交通壓力，現(xiàn)準備修建一條繞城高速公路，并在上分別設置兩個出口，若部分為直線段，且要求市中心與AB的距離為20千米，則AB的最短距離為（

）A．千米 B．千米C．千米 D．千米【答案】D【分析】使用余弦定理及基本不等式，得到，使用正弦定理及三角恒等變換得到，進而求得AB的最短距離.【解析】在中，，設，則，當且僅當時取等號，設，則，又到的距離為20千米，所以，，故（時取等號），所以，得，故選：D二、多選題7．為了測量B，C之間的距離，在河的南岸A，C處測量（測量工具：量角器、卷尺），如圖所示.下面是四位同學所測得的數(shù)據(jù)記錄，你認為不合理的有（

）A．與 B．與 C．，與 D．，與【答案】ABC【分析】由A，C在河的同一側，故可以測量，與，由此即可得答案【解析】因為A，C在河的同一側，所以可以測量，與，故選：ABC8．某同學為測量數(shù)學樓的高度，先在地面選擇一點C，測量出對教學樓AB的仰角，再分別執(zhí)行如下四種測量方案，則利用測量數(shù)據(jù)可表示出教學樓高度的方案有（

）A．從點C向教學樓前進a米到達點D，測量出角；B．在地面上另選點D，測量出角，，米；C．在地面上另選點D，測量出角，米；D．從過點C的直線上（不過點B）另選點D、E，測量出米，，．【答案】ABD【分析】在中用正弦定理求出邊AC，再在中計算判斷A，B；由解三角形的條件判斷C；用AB長表示BC，BD，BE，再利用余弦定理推理判斷D作答.【解析】對于A，在中，，由正弦定理得，在中，，A滿足；對于B，在中，，由正弦定理得，在中，，B滿足；對于C，在中，已知一邊無法解三角形，在中，已知一邊一角也無法解三角形，不能求出BC，AC，C不滿足；對于D，設，則有，在與中，由余弦定理得：，即，因此，，即，解此方程即得h，D滿足.故選：ABD【點睛】思路點睛：涉及仰角、俯角問題，構造仰角、俯角的直角三角形，轉化為解直角三角形作答.三、填空題9．如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于2km，燈塔A在觀察站C的北偏東20°，燈塔B在觀察站C的南偏東40°，則燈塔A與燈塔B的距離為_______km.【答案】6【分析】由題意，根據(jù)余弦定理即可求解.【解析】解：由題意，，，由余弦定理可得，所以燈塔A與燈塔B的距離為6km.故答案為：6.10．甲、乙兩艘漁船從點A處同時出海去捕魚，乙漁船往正東方向航行，速度為15公里每小時，甲漁船往北偏東30°方向航行，速度為20公里每小時，兩小時后，甲漁船出現(xiàn)故障停在了B處，乙漁船接到消息后，立刻從所在地C處開往B處進行救援，則乙漁船到達甲漁船所在位置至少需要______小時.（參考數(shù)據(jù)：取）【答案】2.4【分析】根據(jù)余弦定理進行求解即可.【解析】由題可知AB＝40，AC＝30，∠BAC＝60°由余弦定理，得，得，乙漁船到達甲漁船所在位置需要的時間為小時.故答案為：2.4四、解答題11．如圖，一條東西流向的筆直河流，現(xiàn)利用監(jiān)控船D監(jiān)控河流南岸的A、B兩處（A在B的正西側）.監(jiān)控中心C在河流北岸，測得，，，監(jiān)控過程中，保證監(jiān)控船D觀測A和監(jiān)控中心C的視角為.A，B，C，D視為在同一個平面上，記的面積為S，.（1）求的長度；（2）試用表示S，并求S的最大值.【答案】（1）240m；（2），.【分析】（1）在中，利用正弦定理解三角形即可得.（2）由（1）知的長度，利用正弦定理求的長度，結合，利用面積公式即可.【解析】（1）在中，，，所以.因為，所以，由正弦定理得，所以；（2）在中，設，則，由正弦定理得.所以.所以.因為.所以當時，S取到最大值.答：的長度為，，S取到最大值.【點睛】本題主要考查了正弦定理解三角形，三角形的面積公式，屬于基礎題.12．為了迎接亞運會，濱江區(qū)決定改造一個公園，準備在道路AB的一側建一個四邊形花圃種薰衣草（如圖）.已知道路AB長為4km，四邊形的另外兩個頂點C，D設計在以AB為直徑的半圓上.記.(1)為了觀賞效果，需要保證，若薰衣草的種植面積不能少于km2，則應設計在什么范圍內?(2)若BC=AD，求當為何值時，四邊形的周長最大，并求出此最大值.【答案】(1)(2)，10km【分析】（1）由，利用三角形面積公式得到求解；（2）由BC=AD得到，進而得到，利用二次函數(shù)的性質求解.【解析】（1）解：，，由題意，，，因為，所以，解得；（2）由BC=AD可知，，故，，從而四邊形ABCD周長最大值是10km，當且僅當，即時取到.03平面向量與解三角形一、解答題1．的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，.(1)求A；(2)若的面積為，，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)余弦定理及向量數(shù)量積的定義列出方程即可求解；（2）由三角形的面積公式及余弦定理求解.【解析】（1）∵，∴，∴，由，∴.（2）由（1）及已知可得，解得，由余弦定理得，∴.2．已知的三個內角A、B、C的對邊分別是a、b、c，且滿足．(1)求角C的值；(2)若，，且，求的長度．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理與余弦定理即可得，從而可得角C的值；（2）根據(jù)向量共線定理可得，利用向量的模長運算即可得的長度．【解析】（1）解：由正弦定理得：，因為，所以，即又由余弦定理得，則化簡得，又，所以.（2）解：由可得所以，∴，即的長度為.3．中，D為邊AC上一點，，.若，(1)求線段BD的長；(2)求的面積.【答案】(1)；(2).【分析】（1）由向量基本定理得到，從而利用向量數(shù)量積運算法則和題干條件得到，得到；（2）在（1）基礎上求出，記，，則，由求出及，得到，求出的面積，相加得到答案.【解析】（1）因為，，所以，因為，，所以，解得，即.（2）由（1）可知，則，故，不妨記，，則，因為，所以，解得，則，因為，所以，所以..4．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足.(1)求角A；(2)已知，M點為BC的中點，N點在線段AC上且，點P為AM與BN的交點，求的余弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理進行邊化角并化簡得，根據(jù)角的范圍，則可求出其大??；（2）由向量運算得，展開代入數(shù)據(jù)即可得到其值，再分別計算出和，利用向量夾角公式即可.【解析】（1）則由正弦定理得化簡得：，,，則，，，即.（2），點為BC的中點，，，，.即的余弦值為.5．已知兩個不共線的向量滿足.(1)若與垂直，求的值；(2)當時，若存在兩個不同的，使得成立，求正數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)求出，再展開求解.(2)根據(jù)，平方后化簡，整理成，數(shù)形結合求解.【解析】（1）由條件