2025高考幫備考教案數(shù)學第一章　集合、常用邏輯用語與不等式第1講　集　合含答案

2025高考幫備考教案數(shù)學第一章集合、常用邏輯用語與不等式第一章集合、常用邏輯用語與不等式第1講集合課標要求命題點五年考情命題分析預測1.（1）了解集合的含義，理解元素與集合的屬于關系.（2）能在自然語言和圖形語言的基礎上，用符號語言刻畫集合.（3）了解全集與空集的含義.2.理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集.3.（1）理解兩個集合的并集與交集的含義，能求兩個集合的并集與交集.（2）理解在給定集合中一個子集的補集的含義，能求給定子集的補集.（3）能使用Venn圖表達集合的基本關系與基本運算，體會圖形對理解抽象概念的作用.集合的概念2022全國卷乙T1；2020全國卷ⅢT1本講是高考必考內(nèi)容.命題熱點有集合的交、并、補運算，集合的含義及集合間的基本關系，常與不等式、函數(shù)等相結(jié)合命題，考查學生的數(shù)學運算和邏輯推理素養(yǎng).題型以選擇題為主，屬于送分題，解題時常借助數(shù)軸和Venn圖.預計2025年高考命題點變化不大，但應加強對集合中創(chuàng)新問題的重視.集合間的基本關系2023新高考卷ⅡT2；2021全國卷乙T2集合的基本運算2023新高考卷ⅠT1；2023全國卷乙T2；2023全國卷甲T1；2022新高考卷ⅠT1；2022新高考卷ⅡT1；2022全國卷乙T1；2022全國卷甲T3；2021新高考卷ⅠT1；2021新高考卷ⅡT2；2021全國卷甲T1；2021全國卷乙T2；2020新高考卷ⅠT1；2020全國卷ⅠT2；2020全國卷ⅡT1；2020全國卷ⅢT1；2019全國卷ⅠT1；2019全國卷ⅡT1；2019全國卷ⅢT1集合中的計數(shù)問題2019全國卷ⅢT3集合的新定義問題學生用書P0011.集合的概念集合中元素的特征①確定性、②互異性、無序性集合的表示方法③列舉法、④描述法、圖示法常見數(shù)集的記法自然數(shù)集（非負整數(shù)集），記作⑤N；正整數(shù)集，記作⑥N*或⑦N＋；整數(shù)集，記作⑧Z；有理數(shù)集，記作⑨Q；實數(shù)集，記作⑩R元素與集合之間的關系“屬于”或“不屬于”，分別記為“?∈”或“??”2.集合間的基本關系關系定義符號語言子集一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中?任意一個元素都是集合B中的元素，就稱集合A為集合B的子集A?B（或B?A）真子集如果集合A?B，但存在元素x∈B，且?x?A，就稱集合A是集合B的真子集?A?B（或B?A）相等若A?B，且?B?A，則A＝BA＝B空集：不含任何元素的集合叫做空集，記為?.規(guī)律總結(jié)（1）A?B（子集）A（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，即??A，??B（B≠?）.（3）任何一個集合是它本身的子集，即A?A.空集只有一個子集，即它本身.（4）含有n個元素的集合的子集個數(shù)是2n，非空子集的個數(shù)是2n－1，真子集的個數(shù)是2n－1，非空真子集的個數(shù)是2n－2.（5）對于集合A，B，C，如果A?B，且B?C，那么A?C.3.集合的基本運算運算集合語言圖形語言符號語言并集{x｜x∈A，或x∈B}?A∪B交集{x｜x∈A，且x∈B}?A∩B補集{x｜x∈U，且x?A}??UA常用結(jié)論集合的運算性質(zhì)（1）A?B?A∩B＝A?A∪B＝B??UA??UB.（2）?U（A∩B）＝（?UA）∪（?UB），?U（A∪B）＝（?UA）∩（?UB）.1.下列說法正確的是（D）A.{x｜y＝x2}＝{y｜y＝x2}＝{（x，y）｜y＝x2}B.方程x－2024＋（y＋2025）2＝0的解集為{2024C.若{x2，1}＝{0，1}，則x＝0或1D.對任意兩個集合A，B，（A∩B）?（A∪B）恒成立2.若集合P＝{x∈N｜x≤2025}，a＝22，則（DA.a∈P B.{a}∈P C.{a}?P D.a?P3.集合{a，b}的真子集的個數(shù)為3.解析解法一集合{a，b}的真子集為?，{a}，，有3個.解法二集合{a，b}有2個元素，則集合{a，b}的真子集的個數(shù)為22－1＝3.4.設a，b∈R，P＝{2，a}，Q＝{－1，－b}，若P＝Q，則a－b＝1.解析∵P＝Q，∴a＝－1，－b=2，∴a－b＝－5.已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，4，5}，B＝{1，3，5，7}，則A∩（?UB）＝{2，4}，（?UA）∩（?UB）＝{6}.解析∵?UA＝{1，3，6，7}，?UB＝{2，4，6}，∴A∩（?UB）＝{2，4，5}∩{2，4，6}＝{2，4}，（?UA）∩（?UB）＝{1，3，6，7}∩{2，4，6}＝{6}.學生用書P002命題點1集合的概念例1（1）[2022全國卷乙]設全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M滿足?UM＝{1，3}，則（A）A.2∈M B.3∈MC.4?M D.5?M解析由題意知M＝{2，4，5}，故選A.（2）[全國卷Ⅲ]已知集合A＝{（x，y）｜x，y∈N*，y≥x}，B＝{（x，y）｜x＋y＝8}，則A∩B中元素的個數(shù)為（C）A.2 B.3C.4 D.6解析由題意得，A∩B＝{（1，7），（2，6），（3，5），（4，4）}，所以A∩B中元素的個數(shù)為4，故選C.方法技巧1.解決集合含義問題的三個關鍵點：一是確定構(gòu)成集合的元素；二是分析元素的限制條件；三是根據(jù)元素的特征（滿足的條件）構(gòu)造關系式解決相應問題.2.常見集合的含義集合{x｜f（x）＝0}{x｜f（x）＞0}{x｜y＝f（x）}{y｜y＝f（x）}{（x，y）｜y＝f（x）}代表元素方程f（x）＝0的根不等式f（x）＞0的解函數(shù)y＝f（x）的自變量的取值函數(shù)y＝f（x）的函數(shù)值函數(shù)y＝f（x）圖象上的點訓練1（1）[多選/2024黑龍江模擬]已知集合A＝{x｜4ax2－4（a＋2）x＋9＝0}中只有一個元素，則實數(shù)a的可能取值為（ABD）A.0 B.1 C.2 D.4解析當a＝0時，－8x＋9＝0，解得x＝98，所以A＝{98}，符合題意；當a≠0時，由題意，得Δ＝[4（a＋2）]2－4×4a×9＝0，解得a＝1或a＝4.（2）[多選/2023江蘇省鎮(zhèn)江中學模擬]已知集合A＝{y｜y＝x2＋2}，集合B＝{（x，y）｜y＝x2＋2}，下列關系正確的是（AB）A.（1，3）∈B B.（0，0）?BC.0∈A D.A＝B解析∵集合A＝{y｜y≥2}＝[2，＋∞），集合B＝{（x，y）｜y＝x2＋2}是由拋物線y＝x2＋2上的點組成的集合，∴AB正確，CD錯誤，故選AB.（3）已知集合A＝{0，m，m2－5m＋6}，且2∈A，則實數(shù)m的值為1或4.解析因為A＝{0，m，m2－5m＋6}，2∈A，所以m＝2或m2－5m＋6＝2.當m＝2時，m2－5m＋6＝0，不滿足集合中元素互異性，所以m＝2不符合題意.當m2－5m＋6＝2時，m＝1或m＝4，若m＝1，A＝{0，1，2}符合題意；若m＝4，A＝{0，4，2}符合題意.所以實數(shù)m的值為1或4.命題點2集合間的基本關系例2（1）[2023新高考卷Ⅱ]設集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A?B，則a＝（B）A.2 B.1 C.23 D.－解析依題意，有a－2＝0或2a－2＝0.當a－2＝0時，解得a＝2，此時A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不滿足A?B；當2a－2＝0時，解得a＝1，此時A＝{0，－1}，B＝{－1，0，1}，滿足A?B.所以a＝1，故選B.（2）[2024山西太原模擬]滿足條件{1，2}?A?{1，2，3，4，5}的集合A的個數(shù)是（C）A.5 B.6 C.7 D.8解析解法一因為集合{1，2}?A?{1，2，3，4，5}，所以集合A可以是{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，共7個.故選C.解法二問題等價于求集合{3，4，5}的真子集的個數(shù)，則共有23－1＝7個.故選C.方法技巧1.求集合的子集個數(shù)，常借助列舉法和公式法求解.2.根據(jù)兩集合間的關系求參數(shù)，常根據(jù)集合間的關系轉(zhuǎn)化為方程（組）或不等式（組）求解，求解時注意集合中元素的互異性和端點值能否取到.注意在涉及集合之間的關系時，若未指明集合非空，則要考慮空集的情況，如已知集合A、非空集合B滿足A?B或A?B，則有A＝?和A≠?兩種情況.訓練2（1）設集合P＝{y｜y＝x2＋1}，M＝{x｜y＝x2＋1}，則集合M與集合P的關系是（D）A.M＝P B.P∈MC.M?P D.P?M解析∵P＝{y｜y＝x2＋1}＝{y｜y≥1}，M＝{x｜y＝x2＋1}＝R，∴P?M.故選D.（2）已知集合A＝{x｜－2≤x≤5}，B＝{x｜m＋1≤x≤2m－1}，若B?A，則實數(shù)m的取值范圍為（－∞，3].解析因為B?A，所以分以下兩種情況：①若B＝?，則2m－1＜m＋1，此時m＜2；②若B≠?，則2m－1≥m+1，由①②可得，符合題意的實數(shù)m的取值范圍為（－∞，3].命題點3集合的基本運算角度1集合的交、并、補運算例3（1）[2023新高考卷Ⅰ]已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x｜x2－x－6≥0}，則M∩N＝（C）A.{－2，－1，0，1} B.{0，1，2}C.{－2} D.{2}解析解法一 因為N＝{x｜x2－x－6≥0}＝{x｜x≥3或x≤－2}，所以M∩N＝{－2}，故選C.解法二因為1?N，所以1?M∩N，排除A，B；因為2?N，所以2?M∩N，排除D.故選C.（2）[2023全國卷甲]設全集U＝Z，集合M＝{x｜x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x｜x＝3k＋2，k∈Z}，則?U（M∪N）＝（A）A.{x｜x＝3k，k∈Z} B.{x｜x＝3k－1，k∈Z}C.{x｜x＝3k－2，k∈Z} D.?解析解法一M＝{…，－2，1，4，7，10，…}，N＝{…，－1，2，5，8，11，…}，所以M∪N＝{…，－2，－1，1，2，4，5，7，8，10，11，…}，所以?U（M∪N）＝{…，－3，0，3，6，9，…}，其元素都是3的倍數(shù)，即?U（M∪N）＝{x｜x＝3k，k∈Z}，故選A.解法二集合M∪N表示被3除余1或2的整數(shù)集，則它在整數(shù)集中的補集是恰好能被3整除的整數(shù)集，故選A.角度2已知集合運算結(jié)果求參數(shù)例4（1）[全國卷Ⅰ]設集合A＝{x｜x2－4≤0}，B＝{x｜2x＋a≤0}，且A∩B＝{x｜－2≤x≤1}，則a＝（B）A.－4 B.－2 C.2 D.4解析易知A＝{x｜－2≤x≤2}，B＝{x｜x≤－a2}，因為A∩B＝{x｜－2≤x≤1}，所以－a2＝1，解得a＝－2.（2）已知集合A＝{x｜y＝ln（1－x2）}，B＝{x｜x≤a}，若（?RA）∪B＝R，則實數(shù)a的取值范圍為（B）A.（1，＋∞） B.[1，＋∞）C.（－∞，1） D.（－∞，1]解析由題可知A＝{x｜y＝ln（1－x2）}＝{x｜－1＜x＜1}，?RA＝{x｜x≤－1或x≥1}，所以由（?RA）∪B＝R，B＝{x｜x≤a}，得a≥1.方法技巧1.處理集合的交、并、補運算時，一是要明確集合中的元素是什么，二是要能夠化簡集合，得出元素滿足的最簡條件.2.對于集合的交、并、補運算，如果集合中的元素是離散的，可借助Venn圖求解；如果集合中的元素是連續(xù)的，可借助數(shù)軸求解，此時要注意端點的情況.訓練3（1）[2023全國卷乙]設集合U＝R，集合M＝{x｜x＜1}，N＝{x｜－1＜x＜2}，則{x｜x≥2}＝（A）A.?U（M∪N） B.N∪?UMC.?U（M∩N） D.M∪?UN解析由題意知M∪N＝{x｜x＜2}，所以?U（M∪N）＝{x｜x≥2}，故選A.（2）[2023江西省聯(lián)考]已知集合A＝{（x，y）｜（x－1）2＋y2＝1}，B＝{（x，y）｜kx－y－2＜0}.若A∩B＝A，則實數(shù)k的取值范圍是（A）A.（－∞，34） B.（34，C.（34，＋∞） D.（－∞，3解析因為A∩B＝A，所以A?B，則圓（x－1）2＋y2＝1在直線y＝kx－2的上方，則k×1－2<0，命題點4集合中的計數(shù)問題例5[全國卷Ⅲ]《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學瑰寶，并稱為中國古典小說四大名著.某中學為了解本校學生閱讀四大名著的情況，隨機調(diào)查了100位學生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學生共有90位，閱讀過《紅樓夢》的學生共有80位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學生共有60位，則該校閱讀過《西游記》的學生人數(shù)與該校學生總數(shù)比值的估計值為（C）A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8解析解法一由題意得，閱讀過《西游記》的學生人數(shù)為90－80＋60＝70，則該校閱讀過《西游記》的學生人數(shù)與該校學生總數(shù)比值的估計值為70÷100＝0.7.故選C.解法二用Venn圖表示調(diào)查的100位學生中閱讀過《西游記》和《紅樓夢》的人數(shù)之間的關系，如圖，易知調(diào)查的100位學生中閱讀過《西游記》的學生人數(shù)為70，所以該校閱讀過《西游記》的學生人數(shù)與該校學生總數(shù)比值的估計值為70100＝0.7.故選方法技巧集合中元素的個數(shù)問題的求解策略關于集合中元素的個數(shù)問題，常借助Venn圖或用公式card（A∪B）＝card（A）＋card（B）－card（A∩B），card（A∪B∪C）＝card（A）＋card（B）＋card（C）－card（A∩B）－card（A∩C）－card（B∩C）＋card（A∩B∩C）（card（A）表示有限集合A中元素的個數(shù)）求解.訓練4向50名學生調(diào)查對A，B兩種觀點的態(tài)度，結(jié)果如下：贊成觀點A的學生人數(shù)是全體人數(shù)的35，其余的不贊成；贊成觀點B的學生人數(shù)比贊成觀點A的多3人，其余的不贊成；另外，對觀點A，B都不贊成的學生人數(shù)比對觀點A，B都贊成的學生人數(shù)的13多1人，則對觀點A，B都贊成的學生有21解析贊成觀點A的學生人數(shù)為50×35＝30，贊成觀點B的學生人數(shù)為30＋3＝33.如圖，記50名學生組成的集合為U，贊成觀點A的學生全體為集合A，贊成觀點B的學生全體為集合B.設對觀點A，B都贊成的學生人數(shù)為x，則對觀點A，B都不贊成的學生人數(shù)為x3＋1，贊成觀點A或贊成觀點B的學生人數(shù)為30＋33－x.依題意30＋33－x＋x3＋1＝50，解得x＝21.故對觀點A，B都贊成的學生有21命題點5集合的新定義問題例6（1）[2024上海市晉元高級中學模擬]已知集合M＝{1，2，3，4，5，6}，集合A?M，定義M（A）為A中元素的最小值，當A取遍M的所有非空子集時，對應的M（A）的和記為S，則S＝120.解析由M＝{1，2，3，4，5，6}得，M的非空子集A共有26－1個，其中最小值為1的有25個，最小值為2的有24個，最小值為3的有23個，最小值為4的有22個，最小值為5的有21個，最小值為6的有20個，故S＝25×1＋24×2＋23×3＋22×4＋2×5＋1×6＝120.（2）若一個集合是另一個集合的子集，則稱這兩個集合構(gòu)成“全食”；若兩個集合有公共元素但不互為對方的子集，則稱兩個集合構(gòu)成“偏食”.已知集合A＝{x｜－t＜x＜t，t＞0}和集合B＝{x｜x2－x－2＜0}，若集合A，B構(gòu)成“偏食”，則實數(shù)t的取值范圍為（1，2）.解析由題意，可知集合A＝{x｜－t＜x＜t，t＞0}，集合B＝{x｜－1＜x＜2}，因為集合A，B構(gòu)成“偏食”，所以t>0，－t＜－1<t<2，解得1＜t方法技巧解決集合新定義問題的關鍵緊扣新定義，分析新定義的特點，把新定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，結(jié)合題目所給定義和要求進行恰當轉(zhuǎn)化，切忌同已有概念或定義混淆.訓練5[多選/2023山東省淄博一中月考]在整數(shù)集Z中，被5除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成一個“類”，記為[k]，即[k]＝{5n＋k｜n∈Z}（k＝0，1，2，3，4），給出如下四個結(jié)論，正確結(jié)論為（ACD）A.2023∈[3]B.－2∈[2]C.Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]D.整數(shù)a，b屬于同一“類”的充要條件是a－b∈[0]解析由2023÷5＝404……3，得2023∈[3]，故A正確；－2＝5×（－1）＋3，所以－2∈[3]，故B錯誤；因為整數(shù)集中的被5除的數(shù)可以且只可以分成五類，所以Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，故C正確；因為整數(shù)a，b屬于同一“類”，所以整數(shù)a，b被5除的余數(shù)相同，從而a－b被5除的余數(shù)為0，反之也成立，故整數(shù)a，b屬于同一“類”的充要條件是a－b∈[0]，故D正確.故選ACD.1.[命題點1]設a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{0，ba，b}，則a2024＋b2025＝2解析由題意知a≠0，因為{1，a＋b，a}＝{0，ba，b}，所以a＋b＝0，則ba＝－1，所以a＝－1，b＝1.故a2024＋b2025＝1＋12.[命題點2]已知集合A＝{x｜x2－2x－3≤0}，集合B＝{x｜｜x－1｜≤3}，集合C＝{x｜x－4x+5≤0}，則集合A，B，C的關系為（A.B?A B.A＝B C.C?B D.A?C解析因為x2－2x－3≤0，即（x－3）（x＋1）≤0，所以－1≤x≤3，則A＝[－1，3].因為｜x－1｜≤3，即－3≤x－1≤3，所以－2≤x≤4，則B＝[－2，4].因為x－4x+5所以－5＜x≤4，則C＝（－5，4]，所以A?B，A?C，B?C.故選D.3.[命題點2，3/2024四川省綿陽中學模擬]設集合A＝{（x，y）｜x＋y＝2}，B＝{（x，y）｜y＝x2}，則A∩B的子集個數(shù)是 （B）A.2 B.4 C.8 D.16解析由x＋y=2，y＝x2，解得x=1，y=1或x＝－2，y=4，故A∩B＝{（14.[命題點3角度1/2023南京六校聯(lián)考]若集合M＝{x｜y＝x＋lg（4－x）}，N＝{x｜x2≤1}，則M∪N＝ （C）A.{x｜0≤x＜4} B.{x｜0≤x≤1}C.{x｜－1≤x＜4} D.{x｜1≤x＜4}解析M＝{x｜y＝x＋lg（4－x）}＝{x｜0≤x＜4}，N＝{x｜x2≤1}＝{x｜－1≤x≤1}，所以M∪N＝{x｜－1≤x＜4}，故選C.5.[命題點5/2024寧夏銀川一中月考]已知集合A＝{x｜－1＜x≤1，x∈Z}，B＝{x｜2≤｜x｜≤3，x∈N}，定義集合A⊕B＝{（x1＋x2，y1＋y2）｜x1，y1∈A，x2，y2∈B}，則A⊕B中元素個數(shù)為 （D）A.6 B.7 C.8 D.9解析A＝{x｜－1＜x≤1，x∈Z}＝{0，1}，B＝{x｜2≤｜x｜≤3，x∈N}＝{2，3}，由A⊕B＝{（x1＋x2，y1＋y2）｜x1，y1∈A，x2，y2∈B}，得x1＋x2可取2，3，4，y1＋y2可取2，3，4，所以A⊕B＝{（2，2），（2，3），（2，4），（3，2），（3，3），（3，4），（4，2），（4，3），（4，4）}，有9個元素.故選D.學生用書·練習幫P2591.[2024武漢部分學校調(diào)考]已知集合A＝{x｜x2－2x－8＜0}，B＝{－2，－1，0，1，2}，則A∩B＝（B）A.{－2，－1，0，1，2} B.{－1，0，1，2}C.{－1，0，1} D.{－2，－1，0，1}解析因為A＝{x｜x2－2x－8＜0}＝{x｜－2＜x＜4}，B＝{－2，－1，0，1，2}，所以A∩B＝{－1，0，1，2}，故選B.2.[2024南昌市模擬]已知集合P＝{x｜y＝x}，Q＝{y｜y＝2x}，則（A）A.Q?P B.P?QC.P＝Q D.Q??RP解析由已知，得P＝[0，＋∞），Q＝（0，＋∞），所以Q?P，故選A.3.[2024遼寧聯(lián)考]設全集U＝{1，2，m2}，集合A＝{2，m－1}，?UA＝{4}，則m＝（D）A.3 B.－2 C.4 D.2解析因為?UA＝{4}?U，且A?U，所以4∈U，m－1∈U，則m2=4，m－1=14.[2024江西南昌模擬]已知集合A＝{x｜2x≤8，x∈N}，B＝{x｜－2＜x＜5}，則A∩B中元素的個數(shù)為 （B）A.3 B.4 C.5 D.6解析因為A＝{x｜2x≤8，x∈N}＝{0，1，2，3}，所以A∩B＝{0，1，2，3}，則A∩B中元素的個數(shù)為4.故選B.5.[2023全國卷乙]設全集U＝{0，1，2，4，6，8}，集合M＝{0，4，6}，N＝{0，1，6}，則M∪?UN＝（A）A.{0，2，4，6，8} B.{0，1，4，6，8}C.{1，2，4，6，8} D.U解析由題意知，?UN＝{2，4，8}，所以M∪?UN＝{0，2，4，6，8}.故選A.6.[2024山東模擬]已知集合M＝{x｜x2－2x≤0}，N＝{x｜log2（x－1）＜1}，則M∩N＝（B）A.[0，2] B.（1，2] C.（0，3） D.[2，3）解析解法一因為M＝{x｜x2－2x≤0}＝{x｜0≤x≤2}，N＝{x｜log2（x－1）＜1}＝{x｜0＜x－1＜2}＝{x｜1＜x＜3}，所以M∩N＝（1，2]，故選B.解法二因為1?N，所以1?（M∩N），故排除A，C；又52?M，所以52?（M∩N），故排除D.7.[2024重慶渝北模擬]設集合A＝{x｜x2－8x＋15＝0}，集合B＝{x｜ax－1＝0}，若B?A，則實數(shù)a取值集合的真子集的個數(shù)為（C）A.2 B.3 C.7 D.8解析由x2－8x＋15＝0，得（x－3）（x－5）＝0，解得x＝3或x＝5，所以A＝{3，5}.當a＝0時，B＝?，滿足B?A.當a≠0時，B＝{1a}，因為B?A，所以1a＝3或1a＝5，故a＝13或a＝15.綜上，實數(shù)a取值的集合為{0，13，15}，所以實數(shù)a取值集合的真子集的個數(shù)為28.[2023遼寧名校聯(lián)考]設集合A＝{x｜x＞a}，集合B＝{0，1}，若A∩B≠?，則實數(shù)a的取值范圍是（C）A.（－∞，1] B.（－∞，0] C.（－∞，1） D.（－∞，0）解析因為集合A＝{x｜x＞a}，集合B＝{0，1}，若A∩B＝?，則a≥1，故當A∩B≠?時，a＜1.故選C.9.[2024江西吉安模擬]若全集U＝{3，4，5，6，7，8}，M＝{4，5}，N＝{3，6}，則集合{7，8}＝（D）A.M∪N B.M∩NC.（?UM）∪（?UN） D.（?UM）∩（?UN）解析因為M＝{4，5}，N＝{3，6}，所以M∪N＝{3，4，5，6}，M∩N＝?，所以選項A，B不符合題意；又因為U＝{3，4，5，6，7，8}，所以（?UM）∪（?UN）＝{3，6，7，8}∪{4，5，7，8}＝{3，4，5，6，7，8}，（?UM）∩（?UN）＝{3，6，7，8}∩{4，5，7，8}＝{7，8}，因此選項C不符合題意，選項D符合題意，故選D.10.[全國卷Ⅱ]已知集合A＝{（x，y）｜x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，則A中元素的個數(shù)為（A）A.9 B.8 C.5 D.4解析解法一由x2＋y2≤3，知－3≤x≤3，－3≤y≤3.又x∈Z，y∈Z，所以x∈{－1，0，1}，y∈{－1，0，1}，當x＝－1時，y＝－1，0，1；當x＝0時，y＝－1，0，1；當x＝1時，y＝－1，0，1.所以A中元素的個數(shù)為9，故選A.解法二根據(jù)集合A中的元素特征及圓的方程x2＋y2＝3在平面直角坐標系中作出圖形，如圖，易知在圓x2＋y2＝3中有9個整點，即集合A中元素的個數(shù)為9，故選A.11.[2023廣東六校聯(lián)考]已知全集U＝R，集合A＝{x｜x－3x+1＞0}，B＝{x｜y＝ln（3－x）}，則圖中陰影部分表示的集合為（A.[－1，3] B.（3，＋∞）C.（－∞，3] D.[－1，3）解析集合A＝{x｜x－3x+1＞0}＝{x｜x＜－1或x＞3}，B＝{x｜y＝ln（3－x）}＝{x｜x＜3}，所以題圖中陰影部分表示的集合為（?UA）∩B＝{x｜－1≤x≤3}∩{x｜x＜3}－1≤x＜3}.故選D.12.[2023江西五校聯(lián)考]設集合A＝{x｜m－3＜x＜2m＋6}，B＝{x｜log2x＜2}，若A∪B＝A，則實數(shù)m的取值范圍是（D）A.? B.[－3，－1]C.（－1，3） D.[－1，3]解析由題意可知，B＝{x｜log2x＜2}＝{x｜0＜x＜4}，由A∪B＝A，可得B?A，所以m－3≤0，2m+6≥4，m13.[2021全國卷乙]已知集合S＝{s｜s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t｜t＝4n＋1，n∈Z}，則S∩T＝（C）A.? B.SC.T D.Z解析解法一在集合T中，令n＝k（k∈Z），則t＝4n＋1＝2（2k）＋1（k∈Z），而集合S中，s＝2n＋1（n∈Z），所以必有T?S，所以T∩S＝T，故選C.解法二S＝{…，－3，－1，1，3，5，…}，T＝{…，－3，1，5，…}，觀察可知，T?S，所以T∩S＝T，故選C.14.[2023河南安陽名校聯(lián)考]已知非空集合A，B，C滿足（A∩B）?C，（A∩C）?B.則（D）A.B＝C B.A?（B∪C）C.（B∩C）?A D.A∩B＝A∩C解析解法一由非空集合A，B，C滿足（A∩B）?C，（A∩C）?B，作出符合題意的三個集合之間關系的Venn圖，如圖所示，故排除A，B，C，選D.解法二根據(jù)題意，取A＝{1，2}，B＝{2，3}，C＝{2，3，4}，則A∩B＝{2}，A∩C＝{2}，B∪C＝{2，3，4}，B∩C＝{2，3}，所以B≠C，A?（B∪C），（B∩C）?A，故排除A，B，C，選D.15.某校舉辦運動會，某班的甲、乙、丙三名運動員共報名參加了13個項目，其中甲和丙都報名參加了7個項目，乙報名參加了6個項目，甲、乙報名參加的項目中有2個相同，甲、丙報名參加的項目中有3個相同，同一個項目，每個班級最多只能有2名運動員報名參加，則乙、丙報名參加的項目中，相同的個數(shù)為（C）A.0 B.1 C.2 D.3解析三人各自報名參加的項目個數(shù)之和為7＋7＋6＝20，重復報名參加的項目個數(shù)為20－13＝7，又甲、乙報名參加的項目有2個相同，甲、丙報名參加的項目有3個相同，所以乙、丙報名參加的項目中，相同的個數(shù)為7－2－3＝2.故選C.16.[多選/2024遼寧朝陽模擬]設S為實數(shù)集R的非空子集.若對任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，則稱S為封閉集.下列說法正確的是（BCD）A.自然數(shù)集N為封閉集B.整數(shù)集Z為封閉集C.集合S＝{a＋2b｜a，b為整數(shù)}為封閉集D.若S為封閉集，且1∈S，則S一定為無限集解析對于A，取1，2∈N，則1＋2∈N，1－2＝－1?N，故自然數(shù)集N不是封閉集，A錯誤；對于B，任意兩個整數(shù)的和、差、積仍是整數(shù)，故整數(shù)集Z為封閉集，B正確；對于C，設x＝a1＋2b1，y＝a2＋2b2，a1，b1，a2，b2都是整數(shù)，則a1＋a2∈Z，b1＋b2∈Z，故x＋y＝a1＋a2＋2（b1＋b2）∈S，同理x－y＝a1－a2＋2（b1－b2）∈S，xy＝（a1＋2b1）（a2＋2b2）＝（a1a2＋2b1b2）＋2（a1b2＋a2b1）∈S，故集合S＝{a＋2b｜a，b為整數(shù)}為封閉集，C正確；對于D，若S為封閉集，且1∈S，則1＋1＝2∈S，1－1＝0∈S，則0－1∈S，1＋2＝3∈S，以此類推可得所有整數(shù)都屬于S，則S一定為無限集，D正確，故選BCD.17.[條件創(chuàng)新]已知集合A＝{x｜x＝2n，n∈N}，B＝{x｜x2－ax＜0}，若集合A∩B中只有一個元素，則實數(shù)a的取值范圍是（A）A.（2，4] B.（2，4） C.（2，3] D.[2，4]解析由題意得A＝{x｜x＝2n，n∈N}＝{0，2，4，6，8，…}，B＝{x｜x2－ax＜0}＝{x｜x（x－a）＜0}，因為集合A∩B中只有一個元素，所以a＞0，故B＝（0，a），因此A∩B＝{2}，所以2＜a≤4，故選A.第2講常用邏輯用語課標要求命題點五年考情命題分析預測1.理解必要條件的意義，理解性質(zhì)定理與必要條件的關系.2.理解充分條件的意義，理解判定定理與充分條件的關系.3.理解充要條件的意義，理解數(shù)學定義與充要條件的關系.4.理解全稱量詞與存在量詞的意義.5.能正確使用存在量詞對全稱量詞命題進行否定，能正確使用全稱量詞對存在量詞命題進行否定.充分條件與必要條件2023新高考卷ⅠT7；2023全國卷甲T7；2022北京T6；2022浙江T4；2022天津T2；2021全國卷甲T7；2021北京T3；2021浙江T3；2021天津T2；2020北京T9；2020浙江T6；2020天津T2；2019北京T7；2019浙江T5；2019天津T3本講主要以其他知識為情境考查充分條件、必要條件的判斷及簡單應用，全稱量詞命題與存在量詞命題的真假判斷及含有一個量詞的命題的否定，對學生的邏輯推理素養(yǎng)要求較高.題型以選擇題為主，難度中等偏易.預計2025年高考命題點變化不大，平時訓練中應注重不同知識之間的綜合.全稱量詞與存在量詞2021全國卷乙T3學生用書P0041.充分條件、必要條件與充要條件若p?q，則p是q的①充分條件，q是p的②必要條件p是q的③充分不必要條件p?q且p?qp是q的④必要不充分條件p?q且p?qp是q的⑤充要條件p?qp是q的⑥既不充分也不必要條件p?q且q?p常用結(jié)論充分、必要條件與對應集合之間的關系設A＝{x｜p（x）}，B＝{x｜q（x）}.（1）若p是q的充分條件，則A?B；若p是q的必要條件，則A?B.（2）若p是q的充分不必要條件，則A?B；若p是q的必要不充分條件，則A?B.（3）若p是q的充要條件，則A＝B.2.全稱量詞與存在量詞（1）全稱量詞與存在量詞量詞名稱常見的量詞表示符號全稱量詞所有的、一切、任意一個、每一個、任給等⑦?存在量詞存在一個、至少有一個、有一個、有的、有些、對某些等⑧?（2）全稱量詞命題與存在量詞命題名稱全稱量詞命題存在量詞命題結(jié)構(gòu)對M中任意一個x，p（x）成立存在M中的元素x，p（x）成立簡記⑨?x∈M，p（x）⑩?x∈M，p（x）否定?x∈M，?p（x）??x∈M，?p（x）注意1.?p（x）表示p（x）不成立.2.含有一個量詞的命題的否定規(guī)律是：改寫量詞，否定結(jié)論.對于省略了量詞的命題，則需要根據(jù)命題的含義加上量詞，再改寫.3.命題p與?p（p的否定）真假相反.1.下列說法不正確的是（D）A.p是q的充分不必要條件等價于q是p的必要不充分條件B.“三角形的內(nèi)角和為180°”是全稱量詞命題C.已知集合A，B，A∪B＝A∩B的充要條件是A＝BD.命題“?x∈R，sin2x2＋cos2x2＝2.“x是整數(shù)”是“2x＋1是整數(shù)”的（A）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析若x是整數(shù)，則2x＋1是整數(shù)；當x＝12時，2x＋1是整數(shù)，但x不是整數(shù)，所以“x是整數(shù)”是“2x＋1是整數(shù)”的充分不必要條件.故選3.已知命題p：所有的三角函數(shù)都是周期函數(shù)，則?p為有些三角函數(shù)不是周期函數(shù).學生用書P005命題點1充分條件與必要條件角度1充分條件與必要條件的判斷例1（1）[2023天津高考]“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的（B）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件解析因為“a2＝b2”?“a＝－b或a＝b”，“a2＋b2＝2ab”?“a＝b”，所以本題可以轉(zhuǎn)化為判斷“a＝－b或a＝b”與“a＝b”的關系，又“a＝－b或a＝b”是“a＝b”的必要不充分條件，所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分條件.故選B.（2）[2023全國卷甲]設甲：sin2α＋sin2β＝1，乙：sinα＋cosβ＝0，則（B）A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件解析甲等價于sin2α＝1－sin2β＝cos2β，等價于sinα＝±cosβ，所以由甲不能推導出sinα＋cosβ＝0，所以甲不是乙的充分條件；由sinα＋cosβ＝0，得sinα＝－cosβ，兩邊同時平方可得sin2α＝cos2β＝1－sin2β，即sin2α＋sin2β＝1，所以由乙可以推導出甲，則甲是乙的必要條件.綜上，選B.角度2充分條件、必要條件中的含參問題例2（1）若x＞0，則x＋2025x≥a恒成立的一個充分條件是（A.a＞80 B.a＜80 C.a＞100 D.a＜100解析當x＞0時，x＋2025x≥22025，當且僅當x＝2025時，“＝”成立，因為x＋2025x≥a（x＞0）恒成立，所以a≤22025，80＜22025＜100，結(jié)合各選項知x＋2故選B.（2）已知p：｜1－x－13｜≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0（m＞0），且q是p的必要不充分條件，則實數(shù)m的取值范圍為[解析由｜1－x－13｜≤2，得－2≤x≤10，故p對應的集合為N＝{x｜－2≤x≤10}.由x2－2x＋1－m2≤0（m＞0），得1－m≤x≤1＋m，故q對應的集合為M＝{x｜1－m≤x≤1＋m，m＞因為q是p的必要不充分條件，所以N?M，所以m>0，1－m≤－2，1+m≥10，（1－解得m≥9，所以實數(shù)m的取值范圍為[9，＋∞）.方法技巧1.充分條件與必要條件的判斷方法（1）定義法：根據(jù)“若p，則q”及“若q，則p”的真假進行判斷，適用于定義、定理等判斷性問題.（2）集合法：根據(jù)p，q對應的集合之間的包含關系進行判斷.2.已知充分、必要條件求參數(shù)取值范圍的方法把充分、必要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關系，然后根據(jù)集合之間的關系列出有關參數(shù)的不等式（組）求解.注意（1）條件的等價變形；（2）區(qū)間端點值的檢驗.訓練1（1）[2024湖北部分重點中學聯(lián)考]設m∈R，a＝（m，1），b＝（4，m），c＝（1，－2），則b⊥c是a∥b的（A）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析若b⊥c，則4－2m＝0，得m＝2，即b⊥c?m＝2；若a∥b，則m2＝4，得m＝±2，即a∥b?m＝±2.因為m＝2是m＝±2的充分不必要條件，所以b⊥c是a∥b的充分不必要條件，故選A.（2）[多選/2023沈陽市三檢]已知空間中的兩條直線m，n和兩個平面α，β，則α⊥β的充分條件是（ACD）A.m⊥α，m∥β B.m?α，n?β，m⊥nC.m?α，m∥n，n⊥β D.m⊥n，m⊥α，n⊥β解析對A，因為m∥β，所以在平面β內(nèi)存在直線l，使得m∥l，又m⊥α，所以l⊥α，又l?β，所以α⊥β，所以選項A符合題意；對B，若m?α，n?β，m⊥n，則平面α，β不一定垂直，例如在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AB?平面ABCD，B1C1?平面A1B1C1D1，且AB⊥B1C1，但平面ABCD與平面A1B1C1D1不垂直，所以選項B不符合題意；對C，因為m∥n，n⊥β，所以m⊥β，又m?α，所以α⊥β，所以選項C符合題意；對D，因為m⊥α，n⊥β，所以直線m，n對應的方向向量分別為平面α，β的法向量，又m⊥n，所以平面α，β的法向量垂直，所以α⊥β，所以選項D符合題意.綜上，選ACD.命題點2全稱量詞與存在量詞角度1全稱量詞命題和存在量詞命題的否定及真假判斷例3（1）[2023遼寧名校聯(lián)考]已知命題p：?x＜－1，2x－x－1＜0，則?p為（B）A.?x≥－1，2x－x－1≥0 B.?x＜－1，2x－x－1≥0C.?x＜－1，2x－x－1≥0 D.?x≥－1，2x－x－1≥0解析因為命題p：?x＜－1，2x－x－1＜0，則?p：?x＜－1，2x－x－1≥0.故選B.（2）[2023湖北模擬]下列命題為真命題的是（C）A.?x∈R，x2－｜x｜＋1≤0 B.?x∈R，－1≤1cosC.?x∈R，（lnx）2≤0 D.?x∈R，sinx＝3解析因為x2－｜x｜＋1＝（｜x｜－12）2＋34＞0恒成立，所以?x∈R，x2－｜x｜＋1≤0是假命題；當x＝π3時，1cosx＝2，所以?x∈R，－1≤1cosx≤1是假命題；當x＝1時，lnx＝0，所以?x∈R，（lnx）2≤0是真命題；因為－1≤sinx≤1，所以?x∈R，sin角度2已知全稱（存在）量詞命題的真假求參數(shù)的取值范圍例4（1）若命題“?x＞0，lnx－12x2－a＜0”為假命題，則實數(shù)a的取值范圍是（DA.（－∞，e] B.（－∞，1]C.（－∞，12] D.（－∞，－1解析命題“?x＞0，lnx－12x2－a＜0”為假命題，則命題“?x＞0，lnx－12x2－a≥0”為真命題.由lnx－12x2－a≥0，得a≤lnx－12x2.設g（x）＝lnx－12x2，則原問題可轉(zhuǎn)化為a≤g（x）max，g'（x）＝1x－x＝1－x2x.令g'（x）＞0，得0＜x＜1，令g'（x）＜0，得x＞1，則g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，＋∞）上單調(diào)遞減，從而g（x）≤g（1（2）[2024江蘇南通學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測]設命題p：?x∈R，ax2－x＋1≤0.寫出一個實數(shù)a＝0（答案不唯一），使得p為真命題.解析當a＝0時，－x＋1≤0有解；當a≠0時，a>0，Δ≥0或a＜0，所以a∈（0，（－∞，0）.綜上，a≤14，即a≤14方法技巧1.判定全稱量詞命題是真命題，需證明所有對象使命題成立；判定存在量詞命題是真命題，只要找到一個對象使命題成立即可.當一個命題的真假不易判定時，可以先判斷其否定的真假.2.由命題真假求參數(shù)的范圍，一般先利用等價轉(zhuǎn)化思想將條件合理轉(zhuǎn)化，得到關于參數(shù)的方程或不等式（組），再通過解方程或不等式（組）求解.訓練2（1）[2023河北省鹽山中學三模]已知命題p：?x≥0，ln（x＋1）≥0且tanx＜1，則?p為（C）A.?x＜0，ln（x＋1）＜0且tanx≥1B.?x＜0，ln（x＋1）＜0或tanx≥1C.?x≥0，ln（x＋1）＜0或tanx≥1D.?x≥0，ln（x＋1）＜0且tanx≥1解析由含有一個量詞的命題的否定規(guī)律易知C正確.（2）若命題“?a∈[－1，3]，ax2－（2a－1）x＋3－a＜0”為假命題，則實數(shù)x的取值范圍為（C）A.[－1，4] B.[0，53C.[－1，0]∪[53，4] D.[－1，0）∪（53，解析命題“?a∈[－1，3]，ax2－（2a－1）x＋3－a＜0”為假命題，則其否定為真命題，（命題與命題的否定真假相反）即“?a∈[－1，3]，ax2－（2a－1）x＋3－a≥0”為真命題.令g（a）＝ax2－（2a－1）x＋3－a＝（x2－2x－1）a＋x＋3，a∈[－1，3]，則g（a）≥0恒成立，所以g（－1）≥0，g（3）≥0，即－x2+3x+4≥0，3（3）[多選/2024重慶市合川區(qū)模擬]已知命題p：?x∈R，x2＋1＜2x；命題q：若mx2－mx－1≠0恒成立，則－4＜m＜0.則（BC）A.p的否定是假命題 B.q的否定是真命題C.p與q都是假命題 D.p與q都是真命題解析對于命題p：因為x2－2x＋1＝（x－1）2≥0，所以x2＋1≥2x，即不存在x，使x2＋1＜2x，故命題p是假命題，則命題p的否定是真命題.對于命題q：若mx2－mx－1≠0恒成立，則當m＝0時，－1≠0，原不等式恒成立；當m≠0時，Δ＝m2＋4m＜0，得－4＜m＜0.綜合得－4＜m≤0，故命題q是假命題，則命題q的否定是真命題.綜上所述，選項A錯誤、B正確、C正確、D錯誤.故選BC.學生用書P007突破雙變量“存在性”或“任意性”問題角度1雙變量“存在性”或“任意性”的等式問題例5[2023江蘇省宿遷市模擬]定義域為R的函數(shù)f（x）滿足f（－x）＝f（x），[f（x）]4－（4＋x2)[f（x)]2＋4x2＝0對任意的實數(shù)x都成立，且值域為[0，2].設函數(shù)g（x）＝2x－m－2，x≤2，－m+2，x>2，若對任意的x1∈（－4，－1），都存在x2＞－A.[－5，0] B.[－2，0]C.（－1，0） D.（0，1]解析由[f（x）]4－（4＋x2）[f（x）]2＋4x2＝0，得{[f（x）]2－4}{[f（x）]2－x2}＝0，解得f（x）＝±x或f（x）＝±2.因為f（x）為偶函數(shù)，且值域為[0，2]，所以f（x）＝2若對任意x1∈（－4，－1），都存在x2＞－1，使g（x2）＝f（x1）成立，則f（x）在（－4，－1）上的值域是g（x）在（－1，＋∞）上的值域的子集.易知當x∈（－4，－1）時，f（x）∈（1，2]；當x∈（－1，＋∞）時，g（x）∈（－4－m，2－m]，所以－4－m≤1，2－m≥2，所以m例6[2023黑龍江省哈爾濱市第一中學模擬]已知函數(shù)f（x）＝lg1－xx+1，函數(shù)g（x）＝2－ax（a＞0，a≠1），若存在x1，x2∈（0，1），使得f（x1）＝g（x2）成立，則實數(shù)a的取值范圍為解析函數(shù)g（x）＝2－ax（a＞0，a≠1），若存在x1，x2∈（0，1），使得f（x1）＝g（x2）成立，則f（x）和g（x）在x∈（0，1）上的值域的交集不為空集.當0＜x＜1時，f（x）＝lg1－xx+1＝lg（－1＋2x+1）顯然單調(diào)遞減，所以其值域為（－∞，0）g（x）＝2－ax在（0，1）上單調(diào)遞減，所以g（x）的值域為（2－a，1），此時只需2－a＜0，即a＞2，所以a＞2；若0＜a＜1，則g（x）＝2－ax在（0，1）上單調(diào)遞增，可得g（x）的值域為（1，2－a），此時（1，2－a）與（－∞，0）的交集顯然為空集，不滿足題意.綜上，實數(shù)a的取值范圍是（2，＋∞）.方法技巧1.解決雙變量“存在性”或“任意性”的等式問題的關鍵：一是理解量詞的含義，“脫去”量詞，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的值域之間的問題；二是會利用函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的值域.2.常見的轉(zhuǎn)化形式（1）?x1∈M，?x2∈N，f（x1）＝g（x2）?f（x）的值域為g（x）的值域的子集；（2）?x1∈M，x2∈N，f（x1）＝g（x2）?f（x）的值域與g（x）的值域的交集不為空集.訓練3[2023上海市華東師范大學松江實驗高級中學模擬]已知函數(shù)f（x）＝3×2x＋2，對于任意的x1∈[0，1]，都存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＋32f（x2＋m）＝20成立，則實數(shù)m的取值范圍為[log243，1]解析x1∈[0，1]，故f（x1）∈[3＋2，3×2＋2]＝[5，8]，由f（x1）＋32f（x2＋m）＝20f（x1）＝20－32f（x2＋m），因為x2∈[0，1]，所以20－32f（x2＋m）∈[17－9×217－9×2m－1]，若對于任意的x1∈[0，1]，都存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＋32f（x2＋m）＝20成立，則[5，8]?[17－9×2m，17－9×2m－1]，所以17－9×2m≤5，17－9×2角度2雙變量“存在性”或“任意性”的不等式問題例7[2024四川仁壽第一中學模擬]已知函數(shù)f（x）＝x＋4x，g（x）＝2x＋a，若?x1∈[12，1]，?x2∈[2，3]，使得f（x1）≤g（x2），則實數(shù)a的取值范圍是[12解析依題意知f（x）max（x∈[12，1]）≤g（x）max（x∈[2，3]）.因為f（x）在[12，1]上是減函數(shù)，所以當x∈[12，1]時f（x）max＝f（12）＝172.又g（x）在[2，3]上是增函數(shù)，所以當x∈[2，3]時，g（x）max＝g（3）＝8＋a.因此172≤8＋a，即a≥＋∞）.方法技巧（1）?x1∈M，x2∈N，f（x1）＞g（x2）?f（x）min＞g（x）max；（2）?x1∈M，x2∈N，f（x1）＞g（x2）?f（x）max＞g（x）min；（3）?x1∈M，?x2∈N，f（x1）＞g（x2）?f（x）min＞g（x）min；（4）?x1∈M，?x2∈N，f（x1）＞g（x2）?f（x）max＞g（x）max.訓練4[2024河北省唐縣第一中學模擬]已知函數(shù)f（x）＝x2－2x－1，g（x）＝logax（a＞0且a≠1），若對任意的x1∈[－1，2]，都存在x2∈[2，4]，使得f（x1）＜g（x2）成立，則實數(shù)a的取值范圍是（1，2）.解析f（x）＝（x－1）2－2，當x∈[－1，2]時，f（x）max＝f（－1）＝2.因為對任意的x1∈[－1，2]，都存在x2∈[2，4]，使得f（x1）＜g（x2）成立，因此函數(shù)f（x）在[－1，2]上的最大值小于函數(shù)g（x）在[2，4]上的最大值，而當0＜a＜1，x∈[2，4]時，logax＜0，不符合題意，于是a＞1，函數(shù)g（x）＝logax在[2，4]上單調(diào)遞增，則loga4＞2，即1＜a2＜4，解得1＜a＜2，所以實數(shù)a的取值范圍是（1，2）.1.[命題點1角度1/2024四川省成都市川大附中模擬]直線y＝kx＋1與圓x2＋y2＝1相交于A，B兩點，則“｜AB｜＝2”是“k＝－1”的（B）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析易得圓心到直線y＝kx＋1的距離d＝11+k2，且圓的半徑為1.若｜AB｜＝2，則1－d2＝（｜AB｜2）2，即1－11+k2＝12，可得k＝±1，所以“｜AB｜2.[命題點1角度2/2024四川省閬中中學質(zhì)量檢測]設α：x≤－5或x＞2，β：x≤－2m－7或x≥4－3m，m∈R，若α是β的必要不充分條件，則實數(shù)m的取值范圍是[－1，23）解析∵α是β的必要不充分條件，∴β對應的集合是α對應的集合的真子集，∴－2m－7≤－5，4－3.[命題點2角度1/2023貴陽摸底]已知命題p：?x∈N，ex≤sinx＋1，則命題p的否定是（D）A.?x?N，ex＞sinx＋1B.?x∈N，ex＞sinx＋1C.?x?N，ex≤sinx＋1D.?x∈N，ex＞sinx＋1解析由存在量詞命題的否定為全稱量詞命題，得命題p的否定為?x∈N，ex＞sinx＋1，故選D.4.[命題點2/多選/2024江蘇省高郵一中模擬]若“?x∈M，｜x｜＞x”為真命題，“?x∈M，x＞3”為假命題，則集合M可以是（AB）A.（－∞，－5） B.（－3，－1）C.（3，＋∞） D.[0，3]解析“?x∈M，｜x｜＞x”為真命題，則x＜0，“?x∈M，x＞3”為假命題，則“?x∈M，x≤3”為真命題.因此集合M的元素均為負數(shù)，故選AB.學生用書·練習幫P2601.[2024福建南平模擬]若命題p：?x＞0，x2－3x＋2＞0，則命題p的否定為（C）A.?x＞0，x2－3x＋2≤0 B.?x≤0，x2－3x＋2≤0C.?x＞0，x2－3x＋2≤0 D.?x≤0，x2－3x＋2≤0解析命題p：?x＞0，x2－3x＋2＞0是存在量詞命題，其否定是全稱量詞命題，所以命題p的否定為?x＞0，x2－3x＋2≤0.故選C.2.[2023遼寧名校聯(lián)考]“點A的坐標是（kπ2，0），k∈Z”是“f（x）＝tanx的圖象關于點A對稱”的（CA.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析若f（x）＝tanx的圖象關于點A對稱，可得點A的坐標是（kπ2，0），k∈Z，若點A的坐標是（kπ2，0），k∈Z，可得f（x）＝tanx3.[2024河南名校聯(lián)考]若直線l：Ax＋By＋C＝0的傾斜角為α，則“α不是鈍角”是“A·B＜0”的（B）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析若A·B＜0，則l的斜率－AB＞0，則α不是鈍角.若α＝0°或α＝90°，則A·B＝0.故“α不是鈍角”是“A·B＜0”的必要不充分條件.故選4.[2024長春市質(zhì)量監(jiān)測（一）]“a＞b＞1”是“l(fā)oga2＜logb2”的（A）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析若a＞b＞1，則有l(wèi)og2a＞log2b＞0，由不等式的性質(zhì)得，1log2a＜1log2b，即loga2＜logb2，充分性成立.若loga2＜logb2，則當loga2和logb2異號時，loga2＜0，logb2＞0，所以0＜a＜1＜b；當loga2和logb2同號時，a＞b＞1或0＜b＜a＜1.顯然必要性不成立.所以“a＞b＞1”是“l(fā)oga2＜log5.[2024江蘇鎮(zhèn)江模擬]命題“?x∈[0，3]，x2－2x－a≤0”為真命題的一個充分不必要條件是（A）A.a≥4 B.a≥3 C.a≥2 D.a≥1解析