2025高考幫備考教案數(shù)學(xué)第一章　集合、常用邏輯用語(yǔ)與不等式第1講　集　合含答案

2025高考幫備考教案數(shù)學(xué)第一章集合、常用邏輯用語(yǔ)與不等式第一章集合、常用邏輯用語(yǔ)與不等式第1講集合課標(biāo)要求命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)測(cè)1.（1）了解集合的含義，理解元素與集合的屬于關(guān)系.（2）能在自然語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言的基礎(chǔ)上，用符號(hào)語(yǔ)言刻畫集合.（3）了解全集與空集的含義.2.理解集合之間包含與相等的含義，能識(shí)別給定集合的子集.3.（1）理解兩個(gè)集合的并集與交集的含義，能求兩個(gè)集合的并集與交集.（2）理解在給定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義，能求給定子集的補(bǔ)集.（3）能使用Venn圖表達(dá)集合的基本關(guān)系與基本運(yùn)算，體會(huì)圖形對(duì)理解抽象概念的作用.集合的概念2022全國(guó)卷乙T1；2020全國(guó)卷ⅢT1本講是高考必考內(nèi)容.命題熱點(diǎn)有集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算，集合的含義及集合間的基本關(guān)系，常與不等式、函數(shù)等相結(jié)合命題，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理素養(yǎng).題型以選擇題為主，屬于送分題，解題時(shí)常借助數(shù)軸和Venn圖.預(yù)計(jì)2025年高考命題點(diǎn)變化不大，但應(yīng)加強(qiáng)對(duì)集合中創(chuàng)新問(wèn)題的重視.集合間的基本關(guān)系2023新高考卷ⅡT2；2021全國(guó)卷乙T2集合的基本運(yùn)算2023新高考卷ⅠT1；2023全國(guó)卷乙T2；2023全國(guó)卷甲T1；2022新高考卷ⅠT1；2022新高考卷ⅡT1；2022全國(guó)卷乙T1；2022全國(guó)卷甲T3；2021新高考卷ⅠT1；2021新高考卷ⅡT2；2021全國(guó)卷甲T1；2021全國(guó)卷乙T2；2020新高考卷ⅠT1；2020全國(guó)卷ⅠT2；2020全國(guó)卷ⅡT1；2020全國(guó)卷ⅢT1；2019全國(guó)卷ⅠT1；2019全國(guó)卷ⅡT1；2019全國(guó)卷ⅢT1集合中的計(jì)數(shù)問(wèn)題2019全國(guó)卷ⅢT3集合的新定義問(wèn)題學(xué)生用書P0011.集合的概念集合中元素的特征①確定性、②互異性、無(wú)序性集合的表示方法③列舉法、④描述法、圖示法常見數(shù)集的記法自然數(shù)集（非負(fù)整數(shù)集），記作⑤N；正整數(shù)集，記作⑥N*或⑦N＋；整數(shù)集，記作⑧Z；有理數(shù)集，記作⑨Q；實(shí)數(shù)集，記作⑩R元素與集合之間的關(guān)系“屬于”或“不屬于”，分別記為“?∈”或“??”2.集合間的基本關(guān)系關(guān)系定義符號(hào)語(yǔ)言子集一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A，B，如果集合A中?任意一個(gè)元素都是集合B中的元素，就稱集合A為集合B的子集A?B（或B?A）真子集如果集合A?B，但存在元素x∈B，且?x?A，就稱集合A是集合B的真子集?A?B（或B?A）相等若A?B，且?B?A，則A＝BA＝B空集：不含任何元素的集合叫做空集，記為?.規(guī)律總結(jié)（1）A?B（子集）A（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，即??A，??B（B≠?）.（3）任何一個(gè)集合是它本身的子集，即A?A.空集只有一個(gè)子集，即它本身.（4）含有n個(gè)元素的集合的子集個(gè)數(shù)是2n，非空子集的個(gè)數(shù)是2n－1，真子集的個(gè)數(shù)是2n－1，非空真子集的個(gè)數(shù)是2n－2.（5）對(duì)于集合A，B，C，如果A?B，且B?C，那么A?C.3.集合的基本運(yùn)算運(yùn)算集合語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言并集{x｜x∈A，或x∈B}?A∪B交集{x｜x∈A，且x∈B}?A∩B補(bǔ)集{x｜x∈U，且x?A}??UA常用結(jié)論集合的運(yùn)算性質(zhì)（1）A?B?A∩B＝A?A∪B＝B??UA??UB.（2）?U（A∩B）＝（?UA）∪（?UB），?U（A∪B）＝（?UA）∩（?UB）.1.下列說(shuō)法正確的是（D）A.{x｜y＝x2}＝{y｜y＝x2}＝{（x，y）｜y＝x2}B.方程x－2024＋（y＋2025）2＝0的解集為{2024C.若{x2，1}＝{0，1}，則x＝0或1D.對(duì)任意兩個(gè)集合A，B，（A∩B）?（A∪B）恒成立2.若集合P＝{x∈N｜x≤2025}，a＝22，則（DA.a∈P B.{a}∈P C.{a}?P D.a?P3.集合{a，b}的真子集的個(gè)數(shù)為3.解析解法一集合{a，b}的真子集為?，{a}，，有3個(gè).解法二集合{a，b}有2個(gè)元素，則集合{a，b}的真子集的個(gè)數(shù)為22－1＝3.4.設(shè)a，b∈R，P＝{2，a}，Q＝{－1，－b}，若P＝Q，則a－b＝1.解析∵P＝Q，∴a＝－1，－b=2，∴a－b＝－5.已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，4，5}，B＝{1，3，5，7}，則A∩（?UB）＝{2，4}，（?UA）∩（?UB）＝{6}.解析∵?UA＝{1，3，6，7}，?UB＝{2，4，6}，∴A∩（?UB）＝{2，4，5}∩{2，4，6}＝{2，4}，（?UA）∩（?UB）＝{1，3，6，7}∩{2，4，6}＝{6}.學(xué)生用書P002命題點(diǎn)1集合的概念例1（1）[2022全國(guó)卷乙]設(shè)全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M滿足?UM＝{1，3}，則（A）A.2∈M B.3∈MC.4?M D.5?M解析由題意知M＝{2，4，5}，故選A.（2）[全國(guó)卷Ⅲ]已知集合A＝{（x，y）｜x，y∈N*，y≥x}，B＝{（x，y）｜x＋y＝8}，則A∩B中元素的個(gè)數(shù)為（C）A.2 B.3C.4 D.6解析由題意得，A∩B＝{（1，7），（2，6），（3，5），（4，4）}，所以A∩B中元素的個(gè)數(shù)為4，故選C.方法技巧1.解決集合含義問(wèn)題的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：一是確定構(gòu)成集合的元素；二是分析元素的限制條件；三是根據(jù)元素的特征（滿足的條件）構(gòu)造關(guān)系式解決相應(yīng)問(wèn)題.2.常見集合的含義集合{x｜f（x）＝0}{x｜f（x）＞0}{x｜y＝f（x）}{y｜y＝f（x）}{（x，y）｜y＝f（x）}代表元素方程f（x）＝0的根不等式f（x）＞0的解函數(shù)y＝f（x）的自變量的取值函數(shù)y＝f（x）的函數(shù)值函數(shù)y＝f（x）圖象上的點(diǎn)訓(xùn)練1（1）[多選/2024黑龍江模擬]已知集合A＝{x｜4ax2－4（a＋2）x＋9＝0}中只有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)a的可能取值為（ABD）A.0 B.1 C.2 D.4解析當(dāng)a＝0時(shí)，－8x＋9＝0，解得x＝98，所以A＝{98}，符合題意；當(dāng)a≠0時(shí)，由題意，得Δ＝[4（a＋2）]2－4×4a×9＝0，解得a＝1或a＝4.（2）[多選/2023江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)模擬]已知集合A＝{y｜y＝x2＋2}，集合B＝{（x，y）｜y＝x2＋2}，下列關(guān)系正確的是（AB）A.（1，3）∈B B.（0，0）?BC.0∈A D.A＝B解析∵集合A＝{y｜y≥2}＝[2，＋∞），集合B＝{（x，y）｜y＝x2＋2}是由拋物線y＝x2＋2上的點(diǎn)組成的集合，∴AB正確，CD錯(cuò)誤，故選AB.（3）已知集合A＝{0，m，m2－5m＋6}，且2∈A，則實(shí)數(shù)m的值為1或4.解析因?yàn)锳＝{0，m，m2－5m＋6}，2∈A，所以m＝2或m2－5m＋6＝2.當(dāng)m＝2時(shí)，m2－5m＋6＝0，不滿足集合中元素互異性，所以m＝2不符合題意.當(dāng)m2－5m＋6＝2時(shí)，m＝1或m＝4，若m＝1，A＝{0，1，2}符合題意；若m＝4，A＝{0，4，2}符合題意.所以實(shí)數(shù)m的值為1或4.命題點(diǎn)2集合間的基本關(guān)系例2（1）[2023新高考卷Ⅱ]設(shè)集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A?B，則a＝（B）A.2 B.1 C.23 D.－解析依題意，有a－2＝0或2a－2＝0.當(dāng)a－2＝0時(shí)，解得a＝2，此時(shí)A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不滿足A?B；當(dāng)2a－2＝0時(shí)，解得a＝1，此時(shí)A＝{0，－1}，B＝{－1，0，1}，滿足A?B.所以a＝1，故選B.（2）[2024山西太原模擬]滿足條件{1，2}?A?{1，2，3，4，5}的集合A的個(gè)數(shù)是（C）A.5 B.6 C.7 D.8解析解法一因?yàn)榧蟵1，2}?A?{1，2，3，4，5}，所以集合A可以是{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，共7個(gè).故選C.解法二問(wèn)題等價(jià)于求集合{3，4，5}的真子集的個(gè)數(shù)，則共有23－1＝7個(gè).故選C.方法技巧1.求集合的子集個(gè)數(shù)，常借助列舉法和公式法求解.2.根據(jù)兩集合間的關(guān)系求參數(shù)，常根據(jù)集合間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程（組）或不等式（組）求解，求解時(shí)注意集合中元素的互異性和端點(diǎn)值能否取到.注意在涉及集合之間的關(guān)系時(shí)，若未指明集合非空，則要考慮空集的情況，如已知集合A、非空集合B滿足A?B或A?B，則有A＝?和A≠?兩種情況.訓(xùn)練2（1）設(shè)集合P＝{y｜y＝x2＋1}，M＝{x｜y＝x2＋1}，則集合M與集合P的關(guān)系是（D）A.M＝P B.P∈MC.M?P D.P?M解析∵P＝{y｜y＝x2＋1}＝{y｜y≥1}，M＝{x｜y＝x2＋1}＝R，∴P?M.故選D.（2）已知集合A＝{x｜－2≤x≤5}，B＝{x｜m＋1≤x≤2m－1}，若B?A，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（－∞，3].解析因?yàn)锽?A，所以分以下兩種情況：①若B＝?，則2m－1＜m＋1，此時(shí)m＜2；②若B≠?，則2m－1≥m+1，由①②可得，符合題意的實(shí)數(shù)m的取值范圍為（－∞，3].命題點(diǎn)3集合的基本運(yùn)算角度1集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算例3（1）[2023新高考卷Ⅰ]已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x｜x2－x－6≥0}，則M∩N＝（C）A.{－2，－1，0，1} B.{0，1，2}C.{－2} D.{2}解析解法一 因?yàn)镹＝{x｜x2－x－6≥0}＝{x｜x≥3或x≤－2}，所以M∩N＝{－2}，故選C.解法二因?yàn)??N，所以1?M∩N，排除A，B；因?yàn)??N，所以2?M∩N，排除D.故選C.（2）[2023全國(guó)卷甲]設(shè)全集U＝Z，集合M＝{x｜x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x｜x＝3k＋2，k∈Z}，則?U（M∪N）＝（A）A.{x｜x＝3k，k∈Z} B.{x｜x＝3k－1，k∈Z}C.{x｜x＝3k－2，k∈Z} D.?解析解法一M＝{…，－2，1，4，7，10，…}，N＝{…，－1，2，5，8，11，…}，所以M∪N＝{…，－2，－1，1，2，4，5，7，8，10，11，…}，所以?U（M∪N）＝{…，－3，0，3，6，9，…}，其元素都是3的倍數(shù)，即?U（M∪N）＝{x｜x＝3k，k∈Z}，故選A.解法二集合M∪N表示被3除余1或2的整數(shù)集，則它在整數(shù)集中的補(bǔ)集是恰好能被3整除的整數(shù)集，故選A.角度2已知集合運(yùn)算結(jié)果求參數(shù)例4（1）[全國(guó)卷Ⅰ]設(shè)集合A＝{x｜x2－4≤0}，B＝{x｜2x＋a≤0}，且A∩B＝{x｜－2≤x≤1}，則a＝（B）A.－4 B.－2 C.2 D.4解析易知A＝{x｜－2≤x≤2}，B＝{x｜x≤－a2}，因?yàn)锳∩B＝{x｜－2≤x≤1}，所以－a2＝1，解得a＝－2.（2）已知集合A＝{x｜y＝ln（1－x2）}，B＝{x｜x≤a}，若（?RA）∪B＝R，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（B）A.（1，＋∞） B.[1，＋∞）C.（－∞，1） D.（－∞，1]解析由題可知A＝{x｜y＝ln（1－x2）}＝{x｜－1＜x＜1}，?RA＝{x｜x≤－1或x≥1}，所以由（?RA）∪B＝R，B＝{x｜x≤a}，得a≥1.方法技巧1.處理集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算時(shí)，一是要明確集合中的元素是什么，二是要能夠化簡(jiǎn)集合，得出元素滿足的最簡(jiǎn)條件.2.對(duì)于集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算，如果集合中的元素是離散的，可借助Venn圖求解；如果集合中的元素是連續(xù)的，可借助數(shù)軸求解，此時(shí)要注意端點(diǎn)的情況.訓(xùn)練3（1）[2023全國(guó)卷乙]設(shè)集合U＝R，集合M＝{x｜x＜1}，N＝{x｜－1＜x＜2}，則{x｜x≥2}＝（A）A.?U（M∪N） B.N∪?UMC.?U（M∩N） D.M∪?UN解析由題意知M∪N＝{x｜x＜2}，所以?U（M∪N）＝{x｜x≥2}，故選A.（2）[2023江西省聯(lián)考]已知集合A＝{（x，y）｜（x－1）2＋y2＝1}，B＝{（x，y）｜kx－y－2＜0}.若A∩B＝A，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（A）A.（－∞，34） B.（34，C.（34，＋∞） D.（－∞，3解析因?yàn)锳∩B＝A，所以A?B，則圓（x－1）2＋y2＝1在直線y＝kx－2的上方，則k×1－2<0，命題點(diǎn)4集合中的計(jì)數(shù)問(wèn)題例5[全國(guó)卷Ⅲ]《西游記》《三國(guó)演義》《水滸傳》和《紅樓夢(mèng)》是中國(guó)古典文學(xué)瑰寶，并稱為中國(guó)古典小說(shuō)四大名著.某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況，隨機(jī)調(diào)查了100位學(xué)生，其中閱讀過(guò)《西游記》或《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有90位，閱讀過(guò)《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有80位，閱讀過(guò)《西游記》且閱讀過(guò)《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有60位，則該校閱讀過(guò)《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值為（C）A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8解析解法一由題意得，閱讀過(guò)《西游記》的學(xué)生人數(shù)為90－80＋60＝70，則該校閱讀過(guò)《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值為70÷100＝0.7.故選C.解法二用Venn圖表示調(diào)查的100位學(xué)生中閱讀過(guò)《西游記》和《紅樓夢(mèng)》的人數(shù)之間的關(guān)系，如圖，易知調(diào)查的100位學(xué)生中閱讀過(guò)《西游記》的學(xué)生人數(shù)為70，所以該校閱讀過(guò)《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值為70100＝0.7.故選方法技巧集合中元素的個(gè)數(shù)問(wèn)題的求解策略關(guān)于集合中元素的個(gè)數(shù)問(wèn)題，常借助Venn圖或用公式card（A∪B）＝card（A）＋card（B）－card（A∩B），card（A∪B∪C）＝card（A）＋card（B）＋card（C）－card（A∩B）－card（A∩C）－card（B∩C）＋card（A∩B∩C）（card（A）表示有限集合A中元素的個(gè)數(shù)）求解.訓(xùn)練4向50名學(xué)生調(diào)查對(duì)A，B兩種觀點(diǎn)的態(tài)度，結(jié)果如下：贊成觀點(diǎn)A的學(xué)生人數(shù)是全體人數(shù)的35，其余的不贊成；贊成觀點(diǎn)B的學(xué)生人數(shù)比贊成觀點(diǎn)A的多3人，其余的不贊成；另外，對(duì)觀點(diǎn)A，B都不贊成的學(xué)生人數(shù)比對(duì)觀點(diǎn)A，B都贊成的學(xué)生人數(shù)的13多1人，則對(duì)觀點(diǎn)A，B都贊成的學(xué)生有21解析贊成觀點(diǎn)A的學(xué)生人數(shù)為50×35＝30，贊成觀點(diǎn)B的學(xué)生人數(shù)為30＋3＝33.如圖，記50名學(xué)生組成的集合為U，贊成觀點(diǎn)A的學(xué)生全體為集合A，贊成觀點(diǎn)B的學(xué)生全體為集合B.設(shè)對(duì)觀點(diǎn)A，B都贊成的學(xué)生人數(shù)為x，則對(duì)觀點(diǎn)A，B都不贊成的學(xué)生人數(shù)為x3＋1，贊成觀點(diǎn)A或贊成觀點(diǎn)B的學(xué)生人數(shù)為30＋33－x.依題意30＋33－x＋x3＋1＝50，解得x＝21.故對(duì)觀點(diǎn)A，B都贊成的學(xué)生有21命題點(diǎn)5集合的新定義問(wèn)題例6（1）[2024上海市晉元高級(jí)中學(xué)模擬]已知集合M＝{1，2，3，4，5，6}，集合A?M，定義M（A）為A中元素的最小值，當(dāng)A取遍M的所有非空子集時(shí)，對(duì)應(yīng)的M（A）的和記為S，則S＝120.解析由M＝{1，2，3，4，5，6}得，M的非空子集A共有26－1個(gè)，其中最小值為1的有25個(gè)，最小值為2的有24個(gè)，最小值為3的有23個(gè)，最小值為4的有22個(gè)，最小值為5的有21個(gè)，最小值為6的有20個(gè)，故S＝25×1＋24×2＋23×3＋22×4＋2×5＋1×6＝120.（2）若一個(gè)集合是另一個(gè)集合的子集，則稱這兩個(gè)集合構(gòu)成“全食”；若兩個(gè)集合有公共元素但不互為對(duì)方的子集，則稱兩個(gè)集合構(gòu)成“偏食”.已知集合A＝{x｜－t＜x＜t，t＞0}和集合B＝{x｜x2－x－2＜0}，若集合A，B構(gòu)成“偏食”，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為（1，2）.解析由題意，可知集合A＝{x｜－t＜x＜t，t＞0}，集合B＝{x｜－1＜x＜2}，因?yàn)榧螦，B構(gòu)成“偏食”，所以t>0，－t＜－1<t<2，解得1＜t方法技巧解決集合新定義問(wèn)題的關(guān)鍵緊扣新定義，分析新定義的特點(diǎn)，把新定義所敘述的問(wèn)題的本質(zhì)弄清楚，結(jié)合題目所給定義和要求進(jìn)行恰當(dāng)轉(zhuǎn)化，切忌同已有概念或定義混淆.訓(xùn)練5[多選/2023山東省淄博一中月考]在整數(shù)集Z中，被5除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成一個(gè)“類”，記為[k]，即[k]＝{5n＋k｜n∈Z}（k＝0，1，2，3，4），給出如下四個(gè)結(jié)論，正確結(jié)論為（ACD）A.2023∈[3]B.－2∈[2]C.Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]D.整數(shù)a，b屬于同一“類”的充要條件是a－b∈[0]解析由2023÷5＝404……3，得2023∈[3]，故A正確；－2＝5×（－1）＋3，所以－2∈[3]，故B錯(cuò)誤；因?yàn)檎麛?shù)集中的被5除的數(shù)可以且只可以分成五類，所以Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，故C正確；因?yàn)檎麛?shù)a，b屬于同一“類”，所以整數(shù)a，b被5除的余數(shù)相同，從而a－b被5除的余數(shù)為0，反之也成立，故整數(shù)a，b屬于同一“類”的充要條件是a－b∈[0]，故D正確.故選ACD.1.[命題點(diǎn)1]設(shè)a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{0，ba，b}，則a2024＋b2025＝2解析由題意知a≠0，因?yàn)閧1，a＋b，a}＝{0，ba，b}，所以a＋b＝0，則ba＝－1，所以a＝－1，b＝1.故a2024＋b2025＝1＋12.[命題點(diǎn)2]已知集合A＝{x｜x2－2x－3≤0}，集合B＝{x｜｜x－1｜≤3}，集合C＝{x｜x－4x+5≤0}，則集合A，B，C的關(guān)系為（A.B?A B.A＝B C.C?B D.A?C解析因?yàn)閤2－2x－3≤0，即（x－3）（x＋1）≤0，所以－1≤x≤3，則A＝[－1，3].因?yàn)椋黿－1｜≤3，即－3≤x－1≤3，所以－2≤x≤4，則B＝[－2，4].因?yàn)閤－4x+5所以－5＜x≤4，則C＝（－5，4]，所以A?B，A?C，B?C.故選D.3.[命題點(diǎn)2，3/2024四川省綿陽(yáng)中學(xué)模擬]設(shè)集合A＝{（x，y）｜x＋y＝2}，B＝{（x，y）｜y＝x2}，則A∩B的子集個(gè)數(shù)是 （B）A.2 B.4 C.8 D.16解析由x＋y=2，y＝x2，解得x=1，y=1或x＝－2，y=4，故A∩B＝{（14.[命題點(diǎn)3角度1/2023南京六校聯(lián)考]若集合M＝{x｜y＝x＋lg（4－x）}，N＝{x｜x2≤1}，則M∪N＝ （C）A.{x｜0≤x＜4} B.{x｜0≤x≤1}C.{x｜－1≤x＜4} D.{x｜1≤x＜4}解析M＝{x｜y＝x＋lg（4－x）}＝{x｜0≤x＜4}，N＝{x｜x2≤1}＝{x｜－1≤x≤1}，所以M∪N＝{x｜－1≤x＜4}，故選C.5.[命題點(diǎn)5/2024寧夏銀川一中月考]已知集合A＝{x｜－1＜x≤1，x∈Z}，B＝{x｜2≤｜x｜≤3，x∈N}，定義集合A⊕B＝{（x1＋x2，y1＋y2）｜x1，y1∈A，x2，y2∈B}，則A⊕B中元素個(gè)數(shù)為 （D）A.6 B.7 C.8 D.9解析A＝{x｜－1＜x≤1，x∈Z}＝{0，1}，B＝{x｜2≤｜x｜≤3，x∈N}＝{2，3}，由A⊕B＝{（x1＋x2，y1＋y2）｜x1，y1∈A，x2，y2∈B}，得x1＋x2可取2，3，4，y1＋y2可取2，3，4，所以A⊕B＝{（2，2），（2，3），（2，4），（3，2），（3，3），（3，4），（4，2），（4，3），（4，4）}，有9個(gè)元素.故選D.學(xué)生用書·練習(xí)幫P2591.[2024武漢部分學(xué)校調(diào)考]已知集合A＝{x｜x2－2x－8＜0}，B＝{－2，－1，0，1，2}，則A∩B＝（B）A.{－2，－1，0，1，2} B.{－1，0，1，2}C.{－1，0，1} D.{－2，－1，0，1}解析因?yàn)锳＝{x｜x2－2x－8＜0}＝{x｜－2＜x＜4}，B＝{－2，－1，0，1，2}，所以A∩B＝{－1，0，1，2}，故選B.2.[2024南昌市模擬]已知集合P＝{x｜y＝x}，Q＝{y｜y＝2x}，則（A）A.Q?P B.P?QC.P＝Q D.Q??RP解析由已知，得P＝[0，＋∞），Q＝（0，＋∞），所以Q?P，故選A.3.[2024遼寧聯(lián)考]設(shè)全集U＝{1，2，m2}，集合A＝{2，m－1}，?UA＝{4}，則m＝（D）A.3 B.－2 C.4 D.2解析因?yàn)?UA＝{4}?U，且A?U，所以4∈U，m－1∈U，則m2=4，m－1=14.[2024江西南昌模擬]已知集合A＝{x｜2x≤8，x∈N}，B＝{x｜－2＜x＜5}，則A∩B中元素的個(gè)數(shù)為 （B）A.3 B.4 C.5 D.6解析因?yàn)锳＝{x｜2x≤8，x∈N}＝{0，1，2，3}，所以A∩B＝{0，1，2，3}，則A∩B中元素的個(gè)數(shù)為4.故選B.5.[2023全國(guó)卷乙]設(shè)全集U＝{0，1，2，4，6，8}，集合M＝{0，4，6}，N＝{0，1，6}，則M∪?UN＝（A）A.{0，2，4，6，8} B.{0，1，4，6，8}C.{1，2，4，6，8} D.U解析由題意知，?UN＝{2，4，8}，所以M∪?UN＝{0，2，4，6，8}.故選A.6.[2024山東模擬]已知集合M＝{x｜x2－2x≤0}，N＝{x｜log2（x－1）＜1}，則M∩N＝（B）A.[0，2] B.（1，2] C.（0，3） D.[2，3）解析解法一因?yàn)镸＝{x｜x2－2x≤0}＝{x｜0≤x≤2}，N＝{x｜log2（x－1）＜1}＝{x｜0＜x－1＜2}＝{x｜1＜x＜3}，所以M∩N＝（1，2]，故選B.解法二因?yàn)??N，所以1?（M∩N），故排除A，C；又52?M，所以52?（M∩N），故排除D.7.[2024重慶渝北模擬]設(shè)集合A＝{x｜x2－8x＋15＝0}，集合B＝{x｜ax－1＝0}，若B?A，則實(shí)數(shù)a取值集合的真子集的個(gè)數(shù)為（C）A.2 B.3 C.7 D.8解析由x2－8x＋15＝0，得（x－3）（x－5）＝0，解得x＝3或x＝5，所以A＝{3，5}.當(dāng)a＝0時(shí)，B＝?，滿足B?A.當(dāng)a≠0時(shí)，B＝{1a}，因?yàn)锽?A，所以1a＝3或1a＝5，故a＝13或a＝15.綜上，實(shí)數(shù)a取值的集合為{0，13，15}，所以實(shí)數(shù)a取值集合的真子集的個(gè)數(shù)為28.[2023遼寧名校聯(lián)考]設(shè)集合A＝{x｜x＞a}，集合B＝{0，1}，若A∩B≠?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（C）A.（－∞，1] B.（－∞，0] C.（－∞，1） D.（－∞，0）解析因?yàn)榧螦＝{x｜x＞a}，集合B＝{0，1}，若A∩B＝?，則a≥1，故當(dāng)A∩B≠?時(shí)，a＜1.故選C.9.[2024江西吉安模擬]若全集U＝{3，4，5，6，7，8}，M＝{4，5}，N＝{3，6}，則集合{7，8}＝（D）A.M∪N B.M∩NC.（?UM）∪（?UN） D.（?UM）∩（?UN）解析因?yàn)镸＝{4，5}，N＝{3，6}，所以M∪N＝{3，4，5，6}，M∩N＝?，所以選項(xiàng)A，B不符合題意；又因?yàn)閁＝{3，4，5，6，7，8}，所以（?UM）∪（?UN）＝{3，6，7，8}∪{4，5，7，8}＝{3，4，5，6，7，8}，（?UM）∩（?UN）＝{3，6，7，8}∩{4，5，7，8}＝{7，8}，因此選項(xiàng)C不符合題意，選項(xiàng)D符合題意，故選D.10.[全國(guó)卷Ⅱ]已知集合A＝{（x，y）｜x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，則A中元素的個(gè)數(shù)為（A）A.9 B.8 C.5 D.4解析解法一由x2＋y2≤3，知－3≤x≤3，－3≤y≤3.又x∈Z，y∈Z，所以x∈{－1，0，1}，y∈{－1，0，1}，當(dāng)x＝－1時(shí)，y＝－1，0，1；當(dāng)x＝0時(shí)，y＝－1，0，1；當(dāng)x＝1時(shí)，y＝－1，0，1.所以A中元素的個(gè)數(shù)為9，故選A.解法二根據(jù)集合A中的元素特征及圓的方程x2＋y2＝3在平面直角坐標(biāo)系中作出圖形，如圖，易知在圓x2＋y2＝3中有9個(gè)整點(diǎn)，即集合A中元素的個(gè)數(shù)為9，故選A.11.[2023廣東六校聯(lián)考]已知全集U＝R，集合A＝{x｜x－3x+1＞0}，B＝{x｜y＝ln（3－x）}，則圖中陰影部分表示的集合為（A.[－1，3] B.（3，＋∞）C.（－∞，3] D.[－1，3）解析集合A＝{x｜x－3x+1＞0}＝{x｜x＜－1或x＞3}，B＝{x｜y＝ln（3－x）}＝{x｜x＜3}，所以題圖中陰影部分表示的集合為（?UA）∩B＝{x｜－1≤x≤3}∩{x｜x＜3}－1≤x＜3}.故選D.12.[2023江西五校聯(lián)考]設(shè)集合A＝{x｜m－3＜x＜2m＋6}，B＝{x｜log2x＜2}，若A∪B＝A，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（D）A.? B.[－3，－1]C.（－1，3） D.[－1，3]解析由題意可知，B＝{x｜log2x＜2}＝{x｜0＜x＜4}，由A∪B＝A，可得B?A，所以m－3≤0，2m+6≥4，m13.[2021全國(guó)卷乙]已知集合S＝{s｜s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t｜t＝4n＋1，n∈Z}，則S∩T＝（C）A.? B.SC.T D.Z解析解法一在集合T中，令n＝k（k∈Z），則t＝4n＋1＝2（2k）＋1（k∈Z），而集合S中，s＝2n＋1（n∈Z），所以必有T?S，所以T∩S＝T，故選C.解法二S＝{…，－3，－1，1，3，5，…}，T＝{…，－3，1，5，…}，觀察可知，T?S，所以T∩S＝T，故選C.14.[2023河南安陽(yáng)名校聯(lián)考]已知非空集合A，B，C滿足（A∩B）?C，（A∩C）?B.則（D）A.B＝C B.A?（B∪C）C.（B∩C）?A D.A∩B＝A∩C解析解法一由非空集合A，B，C滿足（A∩B）?C，（A∩C）?B，作出符合題意的三個(gè)集合之間關(guān)系的Venn圖，如圖所示，故排除A，B，C，選D.解法二根據(jù)題意，取A＝{1，2}，B＝{2，3}，C＝{2，3，4}，則A∩B＝{2}，A∩C＝{2}，B∪C＝{2，3，4}，B∩C＝{2，3}，所以B≠C，A?（B∪C），（B∩C）?A，故排除A，B，C，選D.15.某校舉辦運(yùn)動(dòng)會(huì)，某班的甲、乙、丙三名運(yùn)動(dòng)員共報(bào)名參加了13個(gè)項(xiàng)目，其中甲和丙都報(bào)名參加了7個(gè)項(xiàng)目，乙報(bào)名參加了6個(gè)項(xiàng)目，甲、乙報(bào)名參加的項(xiàng)目中有2個(gè)相同，甲、丙報(bào)名參加的項(xiàng)目中有3個(gè)相同，同一個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)班級(jí)最多只能有2名運(yùn)動(dòng)員報(bào)名參加，則乙、丙報(bào)名參加的項(xiàng)目中，相同的個(gè)數(shù)為（C）A.0 B.1 C.2 D.3解析三人各自報(bào)名參加的項(xiàng)目個(gè)數(shù)之和為7＋7＋6＝20，重復(fù)報(bào)名參加的項(xiàng)目個(gè)數(shù)為20－13＝7，又甲、乙報(bào)名參加的項(xiàng)目有2個(gè)相同，甲、丙報(bào)名參加的項(xiàng)目有3個(gè)相同，所以乙、丙報(bào)名參加的項(xiàng)目中，相同的個(gè)數(shù)為7－2－3＝2.故選C.16.[多選/2024遼寧朝陽(yáng)模擬]設(shè)S為實(shí)數(shù)集R的非空子集.若對(duì)任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，則稱S為封閉集.下列說(shuō)法正確的是（BCD）A.自然數(shù)集N為封閉集B.整數(shù)集Z為封閉集C.集合S＝{a＋2b｜a，b為整數(shù)}為封閉集D.若S為封閉集，且1∈S，則S一定為無(wú)限集解析對(duì)于A，取1，2∈N，則1＋2∈N，1－2＝－1?N，故自然數(shù)集N不是封閉集，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，任意兩個(gè)整數(shù)的和、差、積仍是整數(shù)，故整數(shù)集Z為封閉集，B正確；對(duì)于C，設(shè)x＝a1＋2b1，y＝a2＋2b2，a1，b1，a2，b2都是整數(shù)，則a1＋a2∈Z，b1＋b2∈Z，故x＋y＝a1＋a2＋2（b1＋b2）∈S，同理x－y＝a1－a2＋2（b1－b2）∈S，xy＝（a1＋2b1）（a2＋2b2）＝（a1a2＋2b1b2）＋2（a1b2＋a2b1）∈S，故集合S＝{a＋2b｜a，b為整數(shù)}為封閉集，C正確；對(duì)于D，若S為封閉集，且1∈S，則1＋1＝2∈S，1－1＝0∈S，則0－1∈S，1＋2＝3∈S，以此類推可得所有整數(shù)都屬于S，則S一定為無(wú)限集，D正確，故選BCD.17.[條件創(chuàng)新]已知集合A＝{x｜x＝2n，n∈N}，B＝{x｜x2－ax＜0}，若集合A∩B中只有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（A）A.（2，4] B.（2，4） C.（2，3] D.[2，4]解析由題意得A＝{x｜x＝2n，n∈N}＝{0，2，4，6，8，…}，B＝{x｜x2－ax＜0}＝{x｜x（x－a）＜0}，因?yàn)榧螦∩B中只有一個(gè)元素，所以a＞0，故B＝（0，a），因此A∩B＝{2}，所以2＜a≤4，故選A.第2講常用邏輯用語(yǔ)課標(biāo)要求命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)測(cè)1.理解必要條件的意義，理解性質(zhì)定理與必要條件的關(guān)系.2.理解充分條件的意義，理解判定定理與充分條件的關(guān)系.3.理解充要條件的意義，理解數(shù)學(xué)定義與充要條件的關(guān)系.4.理解全稱量詞與存在量詞的意義.5.能正確使用存在量詞對(duì)全稱量詞命題進(jìn)行否定，能正確使用全稱量詞對(duì)存在量詞命題進(jìn)行否定.充分條件與必要條件2023新高考卷ⅠT7；2023全國(guó)卷甲T7；2022北京T6；2022浙江T4；2022天津T2；2021全國(guó)卷甲T7；2021北京T3；2021浙江T3；2021天津T2；2020北京T9；2020浙江T6；2020天津T2；2019北京T7；2019浙江T5；2019天津T3本講主要以其他知識(shí)為情境考查充分條件、必要條件的判斷及簡(jiǎn)單應(yīng)用，全稱量詞命題與存在量詞命題的真假判斷及含有一個(gè)量詞的命題的否定，對(duì)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)要求較高.題型以選擇題為主，難度中等偏易.預(yù)計(jì)2025年高考命題點(diǎn)變化不大，平時(shí)訓(xùn)練中應(yīng)注重不同知識(shí)之間的綜合.全稱量詞與存在量詞2021全國(guó)卷乙T3學(xué)生用書P0041.充分條件、必要條件與充要條件若p?q，則p是q的①充分條件，q是p的②必要條件p是q的③充分不必要條件p?q且p?qp是q的④必要不充分條件p?q且p?qp是q的⑤充要條件p?qp是q的⑥既不充分也不必要條件p?q且q?p常用結(jié)論充分、必要條件與對(duì)應(yīng)集合之間的關(guān)系設(shè)A＝{x｜p（x）}，B＝{x｜q（x）}.（1）若p是q的充分條件，則A?B；若p是q的必要條件，則A?B.（2）若p是q的充分不必要條件，則A?B；若p是q的必要不充分條件，則A?B.（3）若p是q的充要條件，則A＝B.2.全稱量詞與存在量詞（1）全稱量詞與存在量詞量詞名稱常見的量詞表示符號(hào)全稱量詞所有的、一切、任意一個(gè)、每一個(gè)、任給等⑦?存在量詞存在一個(gè)、至少有一個(gè)、有一個(gè)、有的、有些、對(duì)某些等⑧?（2）全稱量詞命題與存在量詞命題名稱全稱量詞命題存在量詞命題結(jié)構(gòu)對(duì)M中任意一個(gè)x，p（x）成立存在M中的元素x，p（x）成立簡(jiǎn)記⑨?x∈M，p（x）⑩?x∈M，p（x）否定?x∈M，?p（x）??x∈M，?p（x）注意1.?p（x）表示p（x）不成立.2.含有一個(gè)量詞的命題的否定規(guī)律是：改寫量詞，否定結(jié)論.對(duì)于省略了量詞的命題，則需要根據(jù)命題的含義加上量詞，再改寫.3.命題p與?p（p的否定）真假相反.1.下列說(shuō)法不正確的是（D）A.p是q的充分不必要條件等價(jià)于q是p的必要不充分條件B.“三角形的內(nèi)角和為180°”是全稱量詞命題C.已知集合A，B，A∪B＝A∩B的充要條件是A＝BD.命題“?x∈R，sin2x2＋cos2x2＝2.“x是整數(shù)”是“2x＋1是整數(shù)”的（A）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析若x是整數(shù)，則2x＋1是整數(shù)；當(dāng)x＝12時(shí)，2x＋1是整數(shù)，但x不是整數(shù)，所以“x是整數(shù)”是“2x＋1是整數(shù)”的充分不必要條件.故選3.已知命題p：所有的三角函數(shù)都是周期函數(shù)，則?p為有些三角函數(shù)不是周期函數(shù).學(xué)生用書P005命題點(diǎn)1充分條件與必要條件角度1充分條件與必要條件的判斷例1（1）[2023天津高考]“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的（B）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件解析因?yàn)椤癮2＝b2”?“a＝－b或a＝b”，“a2＋b2＝2ab”?“a＝b”，所以本題可以轉(zhuǎn)化為判斷“a＝－b或a＝b”與“a＝b”的關(guān)系，又“a＝－b或a＝b”是“a＝b”的必要不充分條件，所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分條件.故選B.（2）[2023全國(guó)卷甲]設(shè)甲：sin2α＋sin2β＝1，乙：sinα＋cosβ＝0，則（B）A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件解析甲等價(jià)于sin2α＝1－sin2β＝cos2β，等價(jià)于sinα＝±cosβ，所以由甲不能推導(dǎo)出sinα＋cosβ＝0，所以甲不是乙的充分條件；由sinα＋cosβ＝0，得sinα＝－cosβ，兩邊同時(shí)平方可得sin2α＝cos2β＝1－sin2β，即sin2α＋sin2β＝1，所以由乙可以推導(dǎo)出甲，則甲是乙的必要條件.綜上，選B.角度2充分條件、必要條件中的含參問(wèn)題例2（1）若x＞0，則x＋2025x≥a恒成立的一個(gè)充分條件是（A.a＞80 B.a＜80 C.a＞100 D.a＜100解析當(dāng)x＞0時(shí)，x＋2025x≥22025，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2025時(shí)，“＝”成立，因?yàn)閤＋2025x≥a（x＞0）恒成立，所以a≤22025，80＜22025＜100，結(jié)合各選項(xiàng)知x＋2故選B.（2）已知p：｜1－x－13｜≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0（m＞0），且q是p的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為[解析由｜1－x－13｜≤2，得－2≤x≤10，故p對(duì)應(yīng)的集合為N＝{x｜－2≤x≤10}.由x2－2x＋1－m2≤0（m＞0），得1－m≤x≤1＋m，故q對(duì)應(yīng)的集合為M＝{x｜1－m≤x≤1＋m，m＞因?yàn)閝是p的必要不充分條件，所以N?M，所以m>0，1－m≤－2，1+m≥10，（1－解得m≥9，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為[9，＋∞）.方法技巧1.充分條件與必要條件的判斷方法（1）定義法：根據(jù)“若p，則q”及“若q，則p”的真假進(jìn)行判斷，適用于定義、定理等判斷性問(wèn)題.（2）集合法：根據(jù)p，q對(duì)應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷.2.已知充分、必要條件求參數(shù)取值范圍的方法把充分、必要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出有關(guān)參數(shù)的不等式（組）求解.注意（1）條件的等價(jià)變形；（2）區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn).訓(xùn)練1（1）[2024湖北部分重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考]設(shè)m∈R，a＝（m，1），b＝（4，m），c＝（1，－2），則b⊥c是a∥b的（A）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析若b⊥c，則4－2m＝0，得m＝2，即b⊥c?m＝2；若a∥b，則m2＝4，得m＝±2，即a∥b?m＝±2.因?yàn)閙＝2是m＝±2的充分不必要條件，所以b⊥c是a∥b的充分不必要條件，故選A.（2）[多選/2023沈陽(yáng)市三檢]已知空間中的兩條直線m，n和兩個(gè)平面α，β，則α⊥β的充分條件是（ACD）A.m⊥α，m∥β B.m?α，n?β，m⊥nC.m?α，m∥n，n⊥β D.m⊥n，m⊥α，n⊥β解析對(duì)A，因?yàn)閙∥β，所以在平面β內(nèi)存在直線l，使得m∥l，又m⊥α，所以l⊥α，又l?β，所以α⊥β，所以選項(xiàng)A符合題意；對(duì)B，若m?α，n?β，m⊥n，則平面α，β不一定垂直，例如在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AB?平面ABCD，B1C1?平面A1B1C1D1，且AB⊥B1C1，但平面ABCD與平面A1B1C1D1不垂直，所以選項(xiàng)B不符合題意；對(duì)C，因?yàn)閙∥n，n⊥β，所以m⊥β，又m?α，所以α⊥β，所以選項(xiàng)C符合題意；對(duì)D，因?yàn)閙⊥α，n⊥β，所以直線m，n對(duì)應(yīng)的方向向量分別為平面α，β的法向量，又m⊥n，所以平面α，β的法向量垂直，所以α⊥β，所以選項(xiàng)D符合題意.綜上，選ACD.命題點(diǎn)2全稱量詞與存在量詞角度1全稱量詞命題和存在量詞命題的否定及真假判斷例3（1）[2023遼寧名校聯(lián)考]已知命題p：?x＜－1，2x－x－1＜0，則?p為（B）A.?x≥－1，2x－x－1≥0 B.?x＜－1，2x－x－1≥0C.?x＜－1，2x－x－1≥0 D.?x≥－1，2x－x－1≥0解析因?yàn)槊}p：?x＜－1，2x－x－1＜0，則?p：?x＜－1，2x－x－1≥0.故選B.（2）[2023湖北模擬]下列命題為真命題的是（C）A.?x∈R，x2－｜x｜＋1≤0 B.?x∈R，－1≤1cosC.?x∈R，（lnx）2≤0 D.?x∈R，sinx＝3解析因?yàn)閤2－｜x｜＋1＝（｜x｜－12）2＋34＞0恒成立，所以?x∈R，x2－｜x｜＋1≤0是假命題；當(dāng)x＝π3時(shí)，1cosx＝2，所以?x∈R，－1≤1cosx≤1是假命題；當(dāng)x＝1時(shí)，lnx＝0，所以?x∈R，（lnx）2≤0是真命題；因?yàn)椋?≤sinx≤1，所以?x∈R，sin角度2已知全稱（存在）量詞命題的真假求參數(shù)的取值范圍例4（1）若命題“?x＞0，lnx－12x2－a＜0”為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（DA.（－∞，e] B.（－∞，1]C.（－∞，12] D.（－∞，－1解析命題“?x＞0，lnx－12x2－a＜0”為假命題，則命題“?x＞0，lnx－12x2－a≥0”為真命題.由lnx－12x2－a≥0，得a≤lnx－12x2.設(shè)g（x）＝lnx－12x2，則原問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為a≤g（x）max，g'（x）＝1x－x＝1－x2x.令g'（x）＞0，得0＜x＜1，令g'（x）＜0，得x＞1，則g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，＋∞）上單調(diào)遞減，從而g（x）≤g（1（2）[2024江蘇南通學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)]設(shè)命題p：?x∈R，ax2－x＋1≤0.寫出一個(gè)實(shí)數(shù)a＝0（答案不唯一），使得p為真命題.解析當(dāng)a＝0時(shí)，－x＋1≤0有解；當(dāng)a≠0時(shí)，a>0，Δ≥0或a＜0，所以a∈（0，（－∞，0）.綜上，a≤14，即a≤14方法技巧1.判定全稱量詞命題是真命題，需證明所有對(duì)象使命題成立；判定存在量詞命題是真命題，只要找到一個(gè)對(duì)象使命題成立即可.當(dāng)一個(gè)命題的真假不易判定時(shí)，可以先判斷其否定的真假.2.由命題真假求參數(shù)的范圍，一般先利用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想將條件合理轉(zhuǎn)化，得到關(guān)于參數(shù)的方程或不等式（組），再通過(guò)解方程或不等式（組）求解.訓(xùn)練2（1）[2023河北省鹽山中學(xué)三模]已知命題p：?x≥0，ln（x＋1）≥0且tanx＜1，則?p為（C）A.?x＜0，ln（x＋1）＜0且tanx≥1B.?x＜0，ln（x＋1）＜0或tanx≥1C.?x≥0，ln（x＋1）＜0或tanx≥1D.?x≥0，ln（x＋1）＜0且tanx≥1解析由含有一個(gè)量詞的命題的否定規(guī)律易知C正確.（2）若命題“?a∈[－1，3]，ax2－（2a－1）x＋3－a＜0”為假命題，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為（C）A.[－1，4] B.[0，53C.[－1，0]∪[53，4] D.[－1，0）∪（53，解析命題“?a∈[－1，3]，ax2－（2a－1）x＋3－a＜0”為假命題，則其否定為真命題，（命題與命題的否定真假相反）即“?a∈[－1，3]，ax2－（2a－1）x＋3－a≥0”為真命題.令g（a）＝ax2－（2a－1）x＋3－a＝（x2－2x－1）a＋x＋3，a∈[－1，3]，則g（a）≥0恒成立，所以g（－1）≥0，g（3）≥0，即－x2+3x+4≥0，3（3）[多選/2024重慶市合川區(qū)模擬]已知命題p：?x∈R，x2＋1＜2x；命題q：若mx2－mx－1≠0恒成立，則－4＜m＜0.則（BC）A.p的否定是假命題 B.q的否定是真命題C.p與q都是假命題 D.p與q都是真命題解析對(duì)于命題p：因?yàn)閤2－2x＋1＝（x－1）2≥0，所以x2＋1≥2x，即不存在x，使x2＋1＜2x，故命題p是假命題，則命題p的否定是真命題.對(duì)于命題q：若mx2－mx－1≠0恒成立，則當(dāng)m＝0時(shí)，－1≠0，原不等式恒成立；當(dāng)m≠0時(shí)，Δ＝m2＋4m＜0，得－4＜m＜0.綜合得－4＜m≤0，故命題q是假命題，則命題q的否定是真命題.綜上所述，選項(xiàng)A錯(cuò)誤、B正確、C正確、D錯(cuò)誤.故選BC.學(xué)生用書P007突破雙變量“存在性”或“任意性”問(wèn)題角度1雙變量“存在性”或“任意性”的等式問(wèn)題例5[2023江蘇省宿遷市模擬]定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）滿足f（－x）＝f（x），[f（x）]4－（4＋x2)[f（x)]2＋4x2＝0對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都成立，且值域?yàn)閇0，2].設(shè)函數(shù)g（x）＝2x－m－2，x≤2，－m+2，x>2，若對(duì)任意的x1∈（－4，－1），都存在x2＞－A.[－5，0] B.[－2，0]C.（－1，0） D.（0，1]解析由[f（x）]4－（4＋x2）[f（x）]2＋4x2＝0，得{[f（x）]2－4}{[f（x）]2－x2}＝0，解得f（x）＝±x或f（x）＝±2.因?yàn)閒（x）為偶函數(shù)，且值域?yàn)閇0，2]，所以f（x）＝2若對(duì)任意x1∈（－4，－1），都存在x2＞－1，使g（x2）＝f（x1）成立，則f（x）在（－4，－1）上的值域是g（x）在（－1，＋∞）上的值域的子集.易知當(dāng)x∈（－4，－1）時(shí)，f（x）∈（1，2]；當(dāng)x∈（－1，＋∞）時(shí)，g（x）∈（－4－m，2－m]，所以－4－m≤1，2－m≥2，所以m例6[2023黑龍江省哈爾濱市第一中學(xué)模擬]已知函數(shù)f（x）＝lg1－xx+1，函數(shù)g（x）＝2－ax（a＞0，a≠1），若存在x1，x2∈（0，1），使得f（x1）＝g（x2）成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為解析函數(shù)g（x）＝2－ax（a＞0，a≠1），若存在x1，x2∈（0，1），使得f（x1）＝g（x2）成立，則f（x）和g（x）在x∈（0，1）上的值域的交集不為空集.當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f（x）＝lg1－xx+1＝lg（－1＋2x+1）顯然單調(diào)遞減，所以其值域?yàn)椋ǎ蓿?）g（x）＝2－ax在（0，1）上單調(diào)遞減，所以g（x）的值域?yàn)椋?－a，1），此時(shí)只需2－a＜0，即a＞2，所以a＞2；若0＜a＜1，則g（x）＝2－ax在（0，1）上單調(diào)遞增，可得g（x）的值域?yàn)椋?，2－a），此時(shí)（1，2－a）與（－∞，0）的交集顯然為空集，不滿足題意.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（2，＋∞）.方法技巧1.解決雙變量“存在性”或“任意性”的等式問(wèn)題的關(guān)鍵：一是理解量詞的含義，“脫去”量詞，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的值域之間的問(wèn)題；二是會(huì)利用函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的值域.2.常見的轉(zhuǎn)化形式（1）?x1∈M，?x2∈N，f（x1）＝g（x2）?f（x）的值域?yàn)間（x）的值域的子集；（2）?x1∈M，x2∈N，f（x1）＝g（x2）?f（x）的值域與g（x）的值域的交集不為空集.訓(xùn)練3[2023上海市華東師范大學(xué)松江實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)模擬]已知函數(shù)f（x）＝3×2x＋2，對(duì)于任意的x1∈[0，1]，都存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＋32f（x2＋m）＝20成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為[log243，1]解析x1∈[0，1]，故f（x1）∈[3＋2，3×2＋2]＝[5，8]，由f（x1）＋32f（x2＋m）＝20f（x1）＝20－32f（x2＋m），因?yàn)閤2∈[0，1]，所以20－32f（x2＋m）∈[17－9×217－9×2m－1]，若對(duì)于任意的x1∈[0，1]，都存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＋32f（x2＋m）＝20成立，則[5，8]?[17－9×2m，17－9×2m－1]，所以17－9×2m≤5，17－9×2角度2雙變量“存在性”或“任意性”的不等式問(wèn)題例7[2024四川仁壽第一中學(xué)模擬]已知函數(shù)f（x）＝x＋4x，g（x）＝2x＋a，若?x1∈[12，1]，?x2∈[2，3]，使得f（x1）≤g（x2），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[12解析依題意知f（x）max（x∈[12，1]）≤g（x）max（x∈[2，3]）.因?yàn)閒（x）在[12，1]上是減函數(shù)，所以當(dāng)x∈[12，1]時(shí)f（x）max＝f（12）＝172.又g（x）在[2，3]上是增函數(shù)，所以當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，g（x）max＝g（3）＝8＋a.因此172≤8＋a，即a≥＋∞）.方法技巧（1）?x1∈M，x2∈N，f（x1）＞g（x2）?f（x）min＞g（x）max；（2）?x1∈M，x2∈N，f（x1）＞g（x2）?f（x）max＞g（x）min；（3）?x1∈M，?x2∈N，f（x1）＞g（x2）?f（x）min＞g（x）min；（4）?x1∈M，?x2∈N，f（x1）＞g（x2）?f（x）max＞g（x）max.訓(xùn)練4[2024河北省唐縣第一中學(xué)模擬]已知函數(shù)f（x）＝x2－2x－1，g（x）＝logax（a＞0且a≠1），若對(duì)任意的x1∈[－1，2]，都存在x2∈[2，4]，使得f（x1）＜g（x2）成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1，2）.解析f（x）＝（x－1）2－2，當(dāng)x∈[－1，2]時(shí)，f（x）max＝f（－1）＝2.因?yàn)閷?duì)任意的x1∈[－1，2]，都存在x2∈[2，4]，使得f（x1）＜g（x2）成立，因此函數(shù)f（x）在[－1，2]上的最大值小于函數(shù)g（x）在[2，4]上的最大值，而當(dāng)0＜a＜1，x∈[2，4]時(shí)，logax＜0，不符合題意，于是a＞1，函數(shù)g（x）＝logax在[2，4]上單調(diào)遞增，則loga4＞2，即1＜a2＜4，解得1＜a＜2，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1，2）.1.[命題點(diǎn)1角度1/2024四川省成都市川大附中模擬]直線y＝kx＋1與圓x2＋y2＝1相交于A，B兩點(diǎn)，則“｜AB｜＝2”是“k＝－1”的（B）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析易得圓心到直線y＝kx＋1的距離d＝11+k2，且圓的半徑為1.若｜AB｜＝2，則1－d2＝（｜AB｜2）2，即1－11+k2＝12，可得k＝±1，所以“｜AB｜2.[命題點(diǎn)1角度2/2024四川省閬中中學(xué)質(zhì)量檢測(cè)]設(shè)α：x≤－5或x＞2，β：x≤－2m－7或x≥4－3m，m∈R，若α是β的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是[－1，23）解析∵α是β的必要不充分條件，∴β對(duì)應(yīng)的集合是α對(duì)應(yīng)的集合的真子集，∴－2m－7≤－5，4－3.[命題點(diǎn)2角度1/2023貴陽(yáng)摸底]已知命題p：?x∈N，ex≤sinx＋1，則命題p的否定是（D）A.?x?N，ex＞sinx＋1B.?x∈N，ex＞sinx＋1C.?x?N，ex≤sinx＋1D.?x∈N，ex＞sinx＋1解析由存在量詞命題的否定為全稱量詞命題，得命題p的否定為?x∈N，ex＞sinx＋1，故選D.4.[命題點(diǎn)2/多選/2024江蘇省高郵一中模擬]若“?x∈M，｜x｜＞x”為真命題，“?x∈M，x＞3”為假命題，則集合M可以是（AB）A.（－∞，－5） B.（－3，－1）C.（3，＋∞） D.[0，3]解析“?x∈M，｜x｜＞x”為真命題，則x＜0，“?x∈M，x＞3”為假命題，則“?x∈M，x≤3”為真命題.因此集合M的元素均為負(fù)數(shù)，故選AB.學(xué)生用書·練習(xí)幫P2601.[2024福建南平模擬]若命題p：?x＞0，x2－3x＋2＞0，則命題p的否定為（C）A.?x＞0，x2－3x＋2≤0 B.?x≤0，x2－3x＋2≤0C.?x＞0，x2－3x＋2≤0 D.?x≤0，x2－3x＋2≤0解析命題p：?x＞0，x2－3x＋2＞0是存在量詞命題，其否定是全稱量詞命題，所以命題p的否定為?x＞0，x2－3x＋2≤0.故選C.2.[2023遼寧名校聯(lián)考]“點(diǎn)A的坐標(biāo)是（kπ2，0），k∈Z”是“f（x）＝tanx的圖象關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱”的（CA.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析若f（x）＝tanx的圖象關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱，可得點(diǎn)A的坐標(biāo)是（kπ2，0），k∈Z，若點(diǎn)A的坐標(biāo)是（kπ2，0），k∈Z，可得f（x）＝tanx3.[2024河南名校聯(lián)考]若直線l：Ax＋By＋C＝0的傾斜角為α，則“α不是鈍角”是“A·B＜0”的（B）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析若A·B＜0，則l的斜率－AB＞0，則α不是鈍角.若α＝0°或α＝90°，則A·B＝0.故“α不是鈍角”是“A·B＜0”的必要不充分條件.故選4.[2024長(zhǎng)春市質(zhì)量監(jiān)測(cè)（一）]“a＞b＞1”是“l(fā)oga2＜logb2”的（A）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析若a＞b＞1，則有l(wèi)og2a＞log2b＞0，由不等式的性質(zhì)得，1log2a＜1log2b，即loga2＜logb2，充分性成立.若loga2＜logb2，則當(dāng)loga2和logb2異號(hào)時(shí)，loga2＜0，logb2＞0，所以0＜a＜1＜b；當(dāng)loga2和logb2同號(hào)時(shí)，a＞b＞1或0＜b＜a＜1.顯然必要性不成立.所以“a＞b＞1”是“l(fā)oga2＜log5.[2024江蘇鎮(zhèn)江模擬]命題“?x∈[0，3]，x2－2x－a≤0”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是（A）A.a≥4 B.a≥3 C.a≥2 D.a≥1解析