24.2.1 點(diǎn)和圓的位置關(guān)系 教學(xué)設(shè)計(jì)

24.2.1點(diǎn)和圓的位置關(guān)系教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容解析教學(xué)流程圖地位與作用圓作為一個(gè)圖形，在掌握了它的基本性質(zhì)之后，需要研究它與其它圖形的關(guān)系．而點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是最為基本的關(guān)系，在此基礎(chǔ)上可以研究直線與圓、多邊形與圓的位置關(guān)系．另外，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的研究方法可復(fù)制可遷移，后續(xù)直線與圓的位置關(guān)系以及圓與圓的位置關(guān)系的研究方法與此一脈相承，都是采用類比點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的研究方式進(jìn)行的．對(duì)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的研究主要借助于點(diǎn)與圓心的“位置差”來進(jìn)行判斷，再用幾何特征（點(diǎn)和圓的不同的位置關(guān)系）與代數(shù)特征（圓心與點(diǎn)的距離d和半徑r的數(shù)量關(guān)系）去刻畫所獲得的研究對(duì)象的性質(zhì)與判定方法，為后續(xù)聚焦直線與圓的位置關(guān)系做好準(zhǔn)備，為進(jìn)一步理解切線的判定與性質(zhì)提供證據(jù)．本節(jié)課還研究平面上確定一個(gè)圓的條件，研究的原理依舊是點(diǎn)與圓心的“位置差”，但是當(dāng)過一個(gè)點(diǎn)作圓時(shí)，角度和距離都無法確定，因此無法作圓；過兩個(gè)點(diǎn)作圓時(shí)，角度不限制，距離部分限制，因此，盡管圓不確定，但是這些圓的圓心在同一條直線上；過不共線的三個(gè)點(diǎn)作圓時(shí)，角度一定等于兩條直線的夾角，因此角度確定，又由于距離也是限制的，因此可以作唯一的圓．得出結(jié)論：不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓．這為作三角形的外接圓提供了理論依據(jù)，也為后續(xù)圓內(nèi)接三角形、四邊形等多邊形的概念的建立提供了依據(jù)．概念解析本節(jié)課的主要概念是點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，點(diǎn)和圓有三種位置關(guān)系：點(diǎn)在圓外、點(diǎn)在圓上、點(diǎn)在圓內(nèi)．對(duì)于點(diǎn)和圓的位置關(guān)系的刻畫，主要是依據(jù)圓心和點(diǎn)的距離（d）與半徑（r）的大小的關(guān)系，即點(diǎn)P在圓內(nèi)?d<r；點(diǎn)P在圓上?d=r；點(diǎn)P在圓內(nèi)?d>r．利用位置關(guān)系反映數(shù)量關(guān)系（性質(zhì)），或者用數(shù)量關(guān)系反映位置關(guān)系（判定）.定理：“不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓”，對(duì)這條定理的理解需要從以下角度展開：①三個(gè)點(diǎn)不共線；②“確定”即“有且僅有”．思想方法教材借助幾何直觀，利用圓心和點(diǎn)的距離（d）與半徑（r）的大小的關(guān)系反映點(diǎn)與圓與直線的位置，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化思想；對(duì)點(diǎn)和圓的不同位置的討論體現(xiàn)分類思想；從平面上確定圓的點(diǎn)的最少個(gè)數(shù)展開研究，用到了歸納的思想．知識(shí)類型點(diǎn)與圓位置關(guān)系的判定是屬于原理與規(guī)則的知識(shí)．教學(xué)目標(biāo)解析教學(xué)目標(biāo)：1．會(huì)用點(diǎn)到圓心的距離與半徑的數(shù)量關(guān)系判斷點(diǎn)與圓位置關(guān)系．2．會(huì)根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系確定點(diǎn)到圓心的距離與半徑的數(shù)量關(guān)系．3．經(jīng)歷“過一個(gè)點(diǎn)、兩個(gè)點(diǎn)、不共線的三個(gè)點(diǎn)”作圓的探究過程，得出結(jié)論：過不共線的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓．4．知道三角形外接圓、三角形的外心的概念，知道三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)．5．能利用尺規(guī)作圖確定三角形的外心，并作出三角形的外接圓．目標(biāo)解析：達(dá)成目標(biāo)1和2的標(biāo)志是：能寫出點(diǎn)P在圓內(nèi)?d<r；點(diǎn)P在圓上?d=r；點(diǎn)P在圓外?d>r．同時(shí)知道，它們既可以作為各種位置關(guān)系的判定，也可以作為位置關(guān)系的性質(zhì)．達(dá)成目標(biāo)3的標(biāo)志是：知道過平面上一個(gè)點(diǎn)或兩個(gè)點(diǎn)，都無法確定一個(gè)圓，知道平面上確定一個(gè)圓，至少需要三個(gè)不共線的點(diǎn)，這一結(jié)論的本質(zhì)是確定一個(gè)圓需要圓心和半徑這兩個(gè)基本要素．達(dá)成目標(biāo)4和5的標(biāo)志是：知道不共線的三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成三角形，因此問題轉(zhuǎn)化為三角形的外接圓問題，知道三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)．教學(xué)問題診斷分析具備的基礎(chǔ)本章第一單元已經(jīng)學(xué)習(xí)了圓的概念和性質(zhì)，知道圓的基本研究要素是圓心和半徑．知道線段中垂線定理的逆定理（到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上）．學(xué)生已經(jīng)基本具備了幾何問題研究能力，能夠從研究對(duì)象的基本要素出發(fā)，研究變化過程中的不變關(guān)系，這些都為本節(jié)課的研究提供了可能性．與本課目標(biāo)的差距分析能準(zhǔn)確利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷出圓心與點(diǎn)的距離（d）與半徑（r）的大小（即利用位置關(guān)系判斷數(shù)量關(guān)系），反之利用圓心與點(diǎn)的距離（d）與半徑（r）的大小判斷出點(diǎn)與圓的位置關(guān)系（即利用數(shù)量關(guān)系判斷位置關(guān)系），經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)不共線的三個(gè)點(diǎn)才能確定一個(gè)圓．需要學(xué)生利用轉(zhuǎn)化思想實(shí)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化．同時(shí)利用線段垂直平分線定理的逆定理找出三角形的外心．存在的問題：（1）依據(jù)d與r之間的大小關(guān)系來判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，對(duì)一部分學(xué)生而言存在理解上的困難．（2）從生活實(shí)例中抽象概括出點(diǎn)與圓的位置關(guān)系對(duì)一部分學(xué)生而言存在理解上的困難．（3）經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)不共線的三個(gè)點(diǎn)才能確定一個(gè)圓，利用線段垂直平分線定理的逆定理找出三角形的外心，對(duì)一部分學(xué)生而言存在理解上的困難．應(yīng)對(duì)策略：針對(duì)問題（1），教師需要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題意構(gòu)建草圖，利用圖形直觀理解問題；針對(duì)問題（2），要借助生活實(shí)際，幫助學(xué)生積累足夠的體驗(yàn)和認(rèn)知，合理歸納遷移；針對(duì)問題（3），教師需要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷充分的探究過程，合理轉(zhuǎn)化問題．教學(xué)難點(diǎn)本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)：從生活實(shí)例中抽象概括出點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的過程；探究發(fā)現(xiàn)不共線的三個(gè)點(diǎn)才能確定一個(gè)圓的過程．教學(xué)支持條件分析在研究點(diǎn)與圓的位置關(guān)系時(shí)，可抓住點(diǎn)與圓的位置“遠(yuǎn)近”這個(gè)概念，利用幾何畫板中測(cè)量工具，測(cè)量點(diǎn)到圓心的距離，通過動(dòng)態(tài)接拖動(dòng)點(diǎn)，觀察數(shù)量與位置之間的關(guān)系，幫助學(xué)生理解數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系的相互關(guān)系．教學(xué)過程設(shè)計(jì)課前檢測(cè)1．一張圓形紙片，下列操作不能找到紙片圓心的辦法是（）A．對(duì)折兩次，找到直徑的交點(diǎn)B．利用三角尺的直角找到直徑，再對(duì)折找圓心C．作任意一條弦的中垂線找到直徑，再對(duì)折找圓心D．用尺子測(cè)量出最長(zhǎng)的弦，再對(duì)折找圓心2．下列方法能作出一個(gè)圓的是（）A．在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA旋轉(zhuǎn)一周形成圓B．在一個(gè)平面內(nèi)，到定點(diǎn)O的距離等于定長(zhǎng)r的點(diǎn)的集合C．確定圓心即可D．確定半徑即可設(shè)計(jì)意圖：本組檢測(cè)題主要檢測(cè)學(xué)生對(duì)于圓的概念的掌握情況。如果學(xué)生對(duì)于圓的概念掌握不夠理想，教師在新課前需對(duì)圓的概念作復(fù)習(xí)，特別是要強(qiáng)調(diào)圓的圓心和半徑兩個(gè)要素。新課學(xué)習(xí)實(shí)際生活中點(diǎn)和圓的位置關(guān)系我國(guó)射擊運(yùn)動(dòng)員在奧運(yùn)會(huì)上屢獲金牌，為祖國(guó)贏得榮譽(yù)．問題：如圖24.2-1是射擊靶的示意圖，它是由許多同心圓（圓心相同、半徑不等的圓）構(gòu)成的，你知道擊中靶上不同位置的成績(jī)是如何計(jì)算的嗎？師生互動(dòng)設(shè)計(jì)：讀懂射擊靶的含義．（1）如下圖1和2，在射擊靶上取出8環(huán)線，并取擊中點(diǎn)A，B，C，由射擊常識(shí)可知點(diǎn)A代表的分?jǐn)?shù)最高，點(diǎn)C其次，點(diǎn)B代表的分?jǐn)?shù)最低．（2）將射擊靶抽象成圖3，容易發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)A在圓O內(nèi)，點(diǎn)C在圓O上，點(diǎn)B在圓O外．設(shè)圓O的半徑為r，容易看出OA<r，OB>r，OC=r．反之，設(shè)圓O的半徑為r，容易看出如果OA<r，點(diǎn)A在圓O內(nèi)，如果OC=r，點(diǎn)C在圓O上，如果OB>r，點(diǎn)B在圓O外．設(shè)計(jì)意圖：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的研究來源于生活需要，這一環(huán)節(jié)的意圖是以常見的生活實(shí)例入手，從實(shí)際生活中抽象研究對(duì)象．抽象出點(diǎn)和圓的位置關(guān)系分析：實(shí)際上，由圓的定義可知，圓上的點(diǎn)（位置關(guān)系）到圓心的距離都等于圓的半徑（數(shù)量關(guān)系）．因此容易得到：圓內(nèi)的點(diǎn)（位置關(guān)系）到圓心的距離小于半徑（數(shù)量關(guān)系），圓的內(nèi)部可以看成是到圓心的距離小于半徑的點(diǎn)的集合；圓外的點(diǎn)（位置關(guān)系）到圓心的距離大于半徑（數(shù)量關(guān)系），圓的外部可以看成是到圓心的距離大于半徑的點(diǎn)的集合．反過來，到圓心的距離等于半徑（數(shù)量關(guān)系）的點(diǎn)都在圓上（位置關(guān)系），到圓心的距離小于半徑（數(shù)量關(guān)系）的點(diǎn)都在圓內(nèi)（位置關(guān)系），到圓心的距離大于半徑（數(shù)量關(guān)系）的點(diǎn)都在圓外（位置關(guān)系）．這樣一個(gè)圓把平面上的點(diǎn)分成三類，即圓上的點(diǎn)、圓內(nèi)的點(diǎn)和圓外的點(diǎn)．將以上分析中圓的半徑設(shè)為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP=d，則有：點(diǎn)P在圓內(nèi)?d<r；點(diǎn)P在圓上?d=r；點(diǎn)P在圓外?d>r．說明：1.符號(hào)“?”讀作“等價(jià)于”，表示從符號(hào)“?”的左端可以推出右端，從右端也可以推出左端．2.“?”由位置關(guān)系確定數(shù)量關(guān)系，這個(gè)過程可以視作點(diǎn)和圓的位置關(guān)系的性質(zhì)；“?”由數(shù)量關(guān)系確定位置關(guān)系，這個(gè)過程可以視作點(diǎn)和圓的位置關(guān)系的判定．設(shè)計(jì)意圖：從實(shí)際生活中抽象出研究對(duì)象，再用幾何特征（點(diǎn)和圓的不同的位置關(guān)系）與代數(shù)特征（圓心與點(diǎn)的距離d和半徑r的數(shù)量關(guān)系）去刻畫所獲得的研究對(duì)象的性質(zhì)與判定方法．本質(zhì)上看，對(duì)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的研究主要借助于點(diǎn)與圓心的“位置差”來進(jìn)行判斷和描述．即時(shí)評(píng)價(jià)11.如圖是射擊靶的示意圖，請(qǐng)說出擊中靶上點(diǎn)A，B，C的得分．答：擊中點(diǎn)A可以得9分，擊中點(diǎn)B可以得7分，擊中點(diǎn)C可以得8分．設(shè)計(jì)意圖：課前問題的解決過程，這一過程體現(xiàn)以下意圖：能準(zhǔn)確利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷出圓心與點(diǎn)的距離（d）與半徑（r）的大?。蠢梦恢藐P(guān)系判斷數(shù)量關(guān)系），需要學(xué)生利用轉(zhuǎn)化思想實(shí)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化．2.畫出由所有到已知點(diǎn)O的距離大于或等于2cm，并且小于或等于3cm的點(diǎn)組成的圖形．3.體育課上，小明和小麗的鉛球成績(jī)分別是6.4m和5.1m，她們投出的鉛球分別落在圖中哪個(gè)區(qū)域內(nèi)？設(shè)計(jì)意圖：課前問題的解決過程，這一過程體現(xiàn)以下意圖：能準(zhǔn)確利用圓心與點(diǎn)的距離（d）與半徑（r）的大小判斷出點(diǎn)與圓的位置關(guān)系（即利用數(shù)量關(guān)系判斷位置關(guān)系），需要學(xué)生利用轉(zhuǎn)化思想實(shí)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化．對(duì)“不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓”的研究在研究線性圖形的時(shí)候，我們知道，一條直線的確定需要兩個(gè)點(diǎn)：兩點(diǎn)確定一條直線．類似的，在對(duì)圓的研究過程中，需要知道幾個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)圓？探究：我們知道，已知圓心和半徑，可以作一個(gè)圓．經(jīng)過一個(gè)已知點(diǎn)A能不能作圓，這樣的圓你能作出多少個(gè)？經(jīng)過兩個(gè)已知點(diǎn)A，B能不能作圓？如果能，圓心分布有什么特點(diǎn)？1．經(jīng)過一個(gè)已知點(diǎn)A作圓的研究．問題1．確定一個(gè)圓的關(guān)鍵要素是什么？師生互動(dòng)設(shè)計(jì)：圓心和半徑．追問：經(jīng)過一個(gè)已知點(diǎn)A作圓，圓心和半徑能確定嗎？師生互動(dòng)設(shè)計(jì)：經(jīng)過一個(gè)已知點(diǎn)A作圓，只要以點(diǎn)A以外任意一點(diǎn)為圓心，以這一點(diǎn)與點(diǎn)A的距離為半徑就可以，因此圓心和半徑都無法確定．即：這樣的圓有無數(shù)個(gè)，無法確定一個(gè)圓．如下圖所示．設(shè)計(jì)意圖：研究平面上確定一個(gè)圓的條件，研究的原理依舊是點(diǎn)與圓心的“位置差”，但是當(dāng)過一個(gè)點(diǎn)作圓時(shí)，角度和距離都無法確定，因此無法作圓．2．經(jīng)過兩個(gè)已知點(diǎn)A，B作圓研究．問題2．經(jīng)過兩個(gè)已知點(diǎn)A，B作圓，圓心和半徑能確定嗎？師生互動(dòng)設(shè)計(jì)：由于圓心無法確定，因此半徑也無法確定，因此這樣的圓有無數(shù)個(gè)，仍舊無法確定一個(gè)圓．追問：這些圓的圓心分布有什么特點(diǎn)？師生互動(dòng)設(shè)計(jì)：由于兩個(gè)點(diǎn)A和B都在圓上，由圓的定義可知，圓心到兩個(gè)點(diǎn)A和B的距離相等，因此所作的圓的圓心在線段AB的垂直平分線上．如下圖所示．設(shè)計(jì)意圖：過兩個(gè)點(diǎn)作圓時(shí)，“位置差”的關(guān)系中，角度不限制，距離部分限制，因此，盡管圓不確定，但是這些圓的圓心在同一條直線上．思考：經(jīng)過不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C能不能作圓？如果能，如何確定所作圓的圓心？問題3．經(jīng)過三個(gè)已知點(diǎn)A，B，C能不能作圓？如果能，如何確定圓心？師生互動(dòng)設(shè)計(jì)：如果三個(gè)點(diǎn)A，B，C在同一個(gè)圓上，由圓的定義可知，圓心到三個(gè)點(diǎn)A，B，C的距離相等，因此所作的圓的圓心既在線段AB的垂直平分線上，又在線段BC的垂直平分線上．確定圓心的方法如下：1．作線段AB的垂直平分線l1，2．作線段BC的垂直平分線l2，3．l1與l2的交點(diǎn)即為圓心O，即OA=OB=OC．4．以點(diǎn)O為圓心，OA（或OB或OC）為半徑，即可作出經(jīng)過點(diǎn)A，B，C的圓．由于圓心確定，半徑確定，因此經(jīng)過三個(gè)已知點(diǎn)A，B，C能作出唯一的一個(gè)圓．如下圖所示．歸納：不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓．理解：①三個(gè)點(diǎn)不共線；②“確定”即“有且僅有”．由上圖可知，經(jīng)過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)可以作一個(gè)圓，這個(gè)圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形的三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，叫做這個(gè)三角形的外心．即：⊙O是△ABC的外接圓，點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心．設(shè)計(jì)意圖：（1）過不共線的三個(gè)點(diǎn)作圓時(shí)，角度一定等于兩條直線的夾角，因此角度確定，又由于距離也是限制的，因此可以作唯一的圓．（2）經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)不共線的三個(gè)點(diǎn)才能確定一個(gè)圓，利用線段垂直平分線定理的逆定理找出三角形的外心，同時(shí)為后續(xù)留出分類討論的接口．即時(shí)評(píng)價(jià)21.如圖，CD所在的直線垂直平分線段AB，怎樣用這樣的工具找到圓形工件的圓心？設(shè)計(jì)意圖：體驗(yàn)三角形外接圓圓心作圖的原理．課堂小結(jié)1.點(diǎn)和圓的位置關(guān)系有何性質(zhì)？如何判定？2.平面上確定一個(gè)圓的條件是什么？目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)1．三角形的外心是三角形的三條（）A.角平分線的交點(diǎn)B.中線的交點(diǎn)C.高的交點(diǎn)D.中垂線的交點(diǎn)2．經(jīng)過M，N兩點(diǎn)的圓有_________個(gè)，它的圓心在_________.3．已知⊙O的直徑為4，點(diǎn)P到圓心O的長(zhǎng)度OP為4，則點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系為（）A.點(diǎn)P在⊙O上B.點(diǎn)P在⊙O內(nèi)C.點(diǎn)P在⊙O外D.不確定4．到