變化率與導(dǎo)數(shù)學(xué)案

§1.1變化率與導(dǎo)數(shù)學(xué)案§1.1.1變化率問(wèn)題學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解平均變化率的概念;2.了解平均變化率的幾何意義;3.會(huì)求函數(shù)在某點(diǎn)處附近的平均變化率.教學(xué)重點(diǎn)：平均變化率的概念、函數(shù)在某點(diǎn)處附近的平均變化率.教學(xué)難點(diǎn)：平均變化率的概念.教學(xué)過(guò)程：(一)問(wèn)題提出問(wèn)題1氣球膨脹率我們都吹過(guò)氣球回憶一下吹氣球的過(guò)程,可以發(fā)現(xiàn),隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加,氣球的半徑增加越來(lái)越慢.從數(shù)學(xué)角度,如何描述這種現(xiàn)象呢?hto分析：(1)當(dāng)SKIPIF1<0從SKIPIF1<0增加到SKIPIF1<0時(shí),氣球半徑增加了hto氣球的平均膨脹率為(2)當(dāng)SKIPIF1<0從SKIPIF1<0增加到SKIPIF1<0時(shí),氣球半徑增加了氣球的平均膨脹率為可以看出：思考:當(dāng)空氣容量從V1增加到V2時(shí),氣球的平均膨脹率是多少?問(wèn)題2高臺(tái)跳水在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中,運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度SKIPIF1<0(單位:SKIPIF1<0)與起跳后的時(shí)間SKIPIF1<0(單位:SKIPIF1<0)存在函數(shù)關(guān)系SKIPIF1<0.如何用運(yùn)動(dòng)員在某些時(shí)間段內(nèi)的平均速SKIPIF1<0度粗略地描述其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)?思考計(jì)算:SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的平均速度SKIPIF1<0探究:計(jì)算運(yùn)動(dòng)員在SKIPIF1<0這段時(shí)間里的平均速度,并思考以下問(wèn)題:(1)運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間內(nèi)使靜止的嗎？(2)你認(rèn)為用平均速度描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么問(wèn)題嗎？(二)平均變化率概念1.上述問(wèn)題中的變化率可用式子SKIPIF1<0表示,稱(chēng)為函數(shù)SKIPIF1<0從SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的平均變化率.2.若設(shè)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0(這里SKIPIF1<0看作是對(duì)于SKIPIF1<0的一個(gè)“增量”可用SKIPIF1<0代替SKIPIF1<0,同樣SKIPIF1<0)則平均變化率為SKIPIF1<0SKIPIF1<0思考:觀察函數(shù)SKIPIF1<0的圖象平均變化率SKIPIF1<0SKIPIF1<0表示什么?三、典例分析例1已知函數(shù)SKIPIF1<0的圖象上的一點(diǎn)SKIPIF1<0及臨近一點(diǎn)SKIPIF1<0則SKIPIF1<0.解:例2求SKIPIF1<0在SKIPIF1<0附近的平均變化率.解:四、課堂練習(xí)1.質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律為SKIPIF1<0,則在時(shí)間SKIPIF1<0中相應(yīng)的平均速度為.2.物體按照SKIPIF1<0的規(guī)律作直線運(yùn)動(dòng),求在SKIPIF1<0附近的平均變化率.3.過(guò)曲線SKIPIF1<0上兩點(diǎn)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0作曲線的割線,求出當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)割線的斜率.五、課堂反饋設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0，當(dāng)自變量SKIPIF1<0由SKIPIF1<0改變到SKIPIF1<0時(shí)，函數(shù)的改變量SKIPIF1<0為（）ASKIPIF1<0BSKIPIF1<0CSKIPIF1<0DSKIPIF1<0一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的方程為SKIPIF1<0，則在一段時(shí)間SKIPIF1<0內(nèi)的平均速度為（）A－4B－8C6D－6將半徑為R的球加熱，若球的半徑增加SKIPIF1<0，則球的表面積增加SKIPIF1<0等于（）ASKIPIF1<0BSKIPIF1<0CSKIPIF1<0DSKIPIF1<0在曲線SKIPIF1<0的圖象上取一點(diǎn)（1,2）及附近一點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為（）ASKIPIF1<0BSKIPIF1<0CSKIPIF1<0DSKIPIF1<0在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中，若運(yùn)動(dòng)員離水面的高度h（單位：m）與起跳后時(shí)間t（單位：s）的函數(shù)關(guān)系是SKIPIF1<0，則下列說(shuō)法不正確的是（）A在SKIPIF1<0這段時(shí)間里，平均速度是SKIPIF1<0B在SKIPIF1<0這段時(shí)間里，平均速度是SKIPIF1<0C運(yùn)動(dòng)員在SKIPIF1<0時(shí)間段內(nèi)，上升的速度越來(lái)越慢D運(yùn)動(dòng)員在SKIPIF1<0內(nèi)的平均速度比在SKIPIF1<0的平均速度小§1.1.2學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.了解瞬時(shí)速度、瞬時(shí)變化率的概念;2.理解導(dǎo)數(shù)的概念,知道瞬時(shí)變化率就是導(dǎo)數(shù),體會(huì)導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵;3.會(huì)求函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù).教學(xué)重點(diǎn)：瞬時(shí)速度、瞬時(shí)變化率的概念、導(dǎo)數(shù)的概念.教學(xué)難點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的概念.學(xué)習(xí)過(guò)程：一、創(chuàng)設(shè)情景htohto(二)探究探究:計(jì)算運(yùn)動(dòng)員在SKIPIF1<0這段時(shí)間里的平均速度,并思考以下問(wèn)題:(1)運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間內(nèi)使靜止的嗎？(2)你認(rèn)為用平均速度描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么問(wèn)題嗎？探究過(guò)程:二、學(xué)習(xí)新知1.瞬時(shí)速度我們把物體在某一時(shí)刻的速度稱(chēng)為瞬時(shí)速度.運(yùn)動(dòng)員的平均速度不能反映他在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度,那么,如何求運(yùn)動(dòng)員的瞬時(shí)速度呢？比如,SKIPIF1<0時(shí)的瞬時(shí)速度是多少？考察SKIPIF1<0附近的情況:思考:當(dāng)SKIPIF1<0趨近于SKIPIF1<0時(shí),平均速度SKIPIF1<0有什么樣的變化趨勢(shì)？結(jié)論:小結(jié):2.導(dǎo)數(shù)的概念從函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處的瞬時(shí)變化率是:SKIPIF1<0我們稱(chēng)它為函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0出的導(dǎo)數(shù),記作SKIPIF1<0或SKIPIF1<0即SKIPIF1<0說(shuō)明:(1)導(dǎo)數(shù)即為函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處的瞬時(shí)變化率;(2)SKIPIF1<0,當(dāng)SKIPIF1<0時(shí),SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.三、典例分析例1(1)求函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處的導(dǎo)數(shù).(2)求函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0附近的平均變化率,并求出該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).分析:先求SKIPIF1<0,再求SKIPIF1<0,最后求SKIPIF1<0.解:(1)(2)例2將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品,需要對(duì)原油進(jìn)行冷卻和加熱,如果第SKIPIF1<0時(shí),原油的溫度(單位:SKIPIF1<0)為SKIPIF1<0,計(jì)算第SKIPIF1<0時(shí)和第SKIPIF1<0時(shí),原油溫度的瞬時(shí)變化率,并說(shuō)明它們的意義.解:注:一般地,SKIPIF1<0反映了原油溫度在時(shí)刻SKIPIF1<0附近的變化情況.四、課堂練習(xí)1.質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律為SKIPIF1<0,求質(zhì)點(diǎn)在SKIPIF1<0的瞬時(shí)速度為.2.求曲線SKIPIF1<0在SKIPIF1<0時(shí)的導(dǎo)數(shù).3.例2中,計(jì)算第SKIPIF1<0時(shí)和第SKIPIF1<0時(shí),原油溫度的瞬時(shí)變化率,并說(shuō)明它們的意義.五、課堂反饋1．自變量由SKIPIF1<0變到SKIPIF1<0時(shí)，函數(shù)值的增量與相應(yīng)自變量的增量之比是函數(shù)（）A在區(qū)間SKIPIF1<0上的平均變化率 B在SKIPIF1<0處的變化率C在SKIPIF1<0處的變化率 D在區(qū)間SKIPIF1<0上的導(dǎo)數(shù)2．下列各式中正確的是（）ASKIPIF1<0BSKIPIF1<0CSKIPIF1<0DSKIPIF1<03．設(shè)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值（）A2 B.－2 C3 D－34．任一做直線運(yùn)動(dòng)的物體，其位移SKIPIF1<0與時(shí)間SKIPIF1<0的關(guān)系是SKIPIF1<0，則物體的初速度是（）A0 B3 C－2 DSKIPIF1<05．函數(shù)SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0處的導(dǎo)數(shù)是6．SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<07．設(shè)圓的面積為A，半徑為SKIPIF1<0，求面積A關(guān)于半徑SKIPIF1<0的變化率。8．（1）已知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處的導(dǎo)數(shù)為SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0及SKIPIF1<0的值。（2）若SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0的值.9．槍彈在槍筒中運(yùn)動(dòng)可以看作勻速運(yùn)動(dòng)，如果它的加速度是SKIPIF1<0，槍彈從槍口，射出的時(shí)間為SKIPIF1<0，求槍彈射出槍口時(shí)的瞬時(shí)速度?！?.1.3學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.了解平均變化率與割線斜率之間的關(guān)系;2.理解曲線的切線的概念;3.通過(guò)函數(shù)的圖像直觀地理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義,并會(huì)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題.教學(xué)重點(diǎn)：曲線的切線的概念、切線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義.教學(xué)難點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義.學(xué)習(xí)過(guò)程：一、創(chuàng)設(shè)情景(一)平均變化率、割線的斜率(二)瞬時(shí)速度、導(dǎo)數(shù)我們知道,導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處的瞬時(shí)變化率,反映了函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0附近的變化情況,導(dǎo)數(shù)SKIPIF1<0的幾何意義是什么呢？二、學(xué)習(xí)新知(一)曲線的切線及切線的斜率如圖,當(dāng)SKIPIF1<0沿著曲線SKIPIF1<0趨近于點(diǎn)SKIPIF1<0時(shí),割線SKIPIF1<0的變化趨勢(shì)是什么？我們發(fā)現(xiàn):問(wèn)題:(1)割線SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0與切線SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0有什么關(guān)系？(2)切線SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0為多少？說(shuō)明:(1)設(shè)切線的傾斜角為SKIPIF1<0,那么當(dāng)SKIPIF1<0時(shí),割線SKIPIF1<0的斜率,稱(chēng)為曲線在點(diǎn)SKIPIF1<0處的切線的斜率.這個(gè)概念:①提供了求曲線上某點(diǎn)切線的斜率的一種方法;②切線斜率的本質(zhì)—函數(shù)在SKIPIF1<0處的導(dǎo)數(shù).(2)曲線在某點(diǎn)處的切線:1)與該點(diǎn)的位置有關(guān);2)要根據(jù)割線是否有極限位置來(lái)判斷與求解.如有極限,則在此點(diǎn)有切線,且切線是唯一的;如不存在,則在此點(diǎn)處無(wú)切線;3)曲線切線,并不一定與曲線只有一個(gè)交點(diǎn),可以有多個(gè),甚至可以無(wú)窮多.(二)導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處的導(dǎo)數(shù)等于在該點(diǎn)SKIPIF1<0處的切線的斜率,即SKIPIF1<0說(shuō)明:求曲線在某點(diǎn)處的切線方程的基本步驟:①求出SKIPIF1<0點(diǎn)的坐標(biāo);②求出函數(shù)在點(diǎn)SKIPIF1<0處的變化率SKIPIF1<0得到曲線在點(diǎn)SKIPIF1<0的切線的斜率;③利用點(diǎn)斜式求切線方程.(三)導(dǎo)函數(shù)由函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處求導(dǎo)數(shù)的過(guò)程可以看到,當(dāng)SKIPIF1<0時(shí),SKIPIF1<0是一個(gè)確定的數(shù),那么,當(dāng)SKIPIF1<0變化時(shí),便是SKIPIF1<0的一個(gè)函數(shù),我們叫它為SKIPIF1<0的導(dǎo)函數(shù).記作:SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0.注:在不致發(fā)生混淆時(shí),導(dǎo)函數(shù)也簡(jiǎn)稱(chēng)導(dǎo)數(shù).(四)函數(shù)SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0處的導(dǎo)數(shù)SKIPIF1<0、導(dǎo)函數(shù)SKIPIF1<0、導(dǎo)數(shù)之間的區(qū)別與聯(lián)系(1)函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)SKIPIF1<0,就是在該點(diǎn)的函數(shù)的改變量與自變量的改變量之比的極限,它是一個(gè)常數(shù),不是變數(shù).(2)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),是指某一區(qū)間內(nèi)任意點(diǎn)SKIPIF1<0而言的,就是函數(shù)SKIPIF1<0的導(dǎo)函數(shù).(3)函數(shù)SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0處的導(dǎo)數(shù)SKIPIF1<0就是導(dǎo)函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處的函數(shù)值,這也是求函數(shù)在點(diǎn)SKIPIF1<0處的導(dǎo)數(shù)的方法之一.三、典例分析例1(1)求曲線SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0處的切線方程.(2)求函數(shù)SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0處的導(dǎo)數(shù).解:例2如圖3.1-3,它表示跳水運(yùn)動(dòng)中高度隨時(shí)間變化的函數(shù)SKIPIF1<0,根據(jù)圖像,請(qǐng)描述、比較曲線SKIPIF1<0在SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0附近的變化情況.解:例3如圖3.1-4,它表示人體血管中藥物濃度SKIPIF1<0(單位:SKIPIF1<0)隨時(shí)間SKIPIF1<0(單位:SKIPIF1<0)變化的圖象.根據(jù)圖像,估計(jì)SKIPIF1<0時(shí),血管中藥物濃度的瞬時(shí)變化率(精確到SKIPIF1<0).解:下表給出了藥物濃度瞬時(shí)變化率的估計(jì)值:SKIPIF1<00.20.40.60.8藥物濃度瞬時(shí)變化率SKIPIF1<00.40-0.7-1.4四、課堂練習(xí)1.求曲線SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0處的切線.2.求曲線SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0處的切線.五、課堂反饋1．曲線SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處的（）A切線斜率為1B切線方程為SKIPIF1<0C沒(méi)有切線D切線方程為SKIPIF1<02．已知曲線SKIPIF1<0上的一點(diǎn)A（2，8），則點(diǎn)A處的切線斜率為（）A4B16C8D23．函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處的導(dǎo)數(shù)SKIPIF1<0的幾何意義是（）A在點(diǎn)SKIPIF1<0處的函數(shù)值B在點(diǎn)SKIPIF1<0處的切線與SKIPIF1<0軸所夾銳角