2025年中考數(shù)學(xué)專(zhuān)題74 圓中的新定義問(wèn)題（解析版）

例題精講例題精講【例1】．如圖，△ABC是正三角形，曲線(xiàn)CDEF…叫做“正三角形的漸開(kāi)線(xiàn)”，其中弧CD、弧DE、弧EF的圓心依次按A、B、C…循環(huán)，它們依次相連接．若AB＝1，則曲線(xiàn)CDEF的長(zhǎng)是4π．解：∵△ABC是正三角形，∴∠CAD＝∠DBE＝∠ECF＝120°，又∵AB＝1，∴AC＝1，BD＝2，CE＝3，∴CD弧的長(zhǎng)度＝＝；DE弧的長(zhǎng)度＝＝；EF弧的長(zhǎng)度＝＝2π；所以曲線(xiàn)CDEF的長(zhǎng)為++2π＝4π．故答案為：4π．變式訓(xùn)練【變1-1】．對(duì)于平面圖形A，如果存在一個(gè)圓，使圖形A上的任意一點(diǎn)到圓心的距離都不大于這個(gè)圓的半徑，則稱(chēng)圓形A被這個(gè)圓“覆蓋”．例如圖中的三角形被一個(gè)圓“覆蓋”．如果邊長(zhǎng)為1的正六邊形被一個(gè)半徑長(zhǎng)為R的圓“覆蓋”，那么R的取值范圍為R≥1．解：∵正六邊形的邊長(zhǎng)等于它的外接圓半徑，∴邊長(zhǎng)為1的正六邊形被一個(gè)半徑長(zhǎng)為R的圓“覆蓋”，那么R的取值范圍為：R≥1．故答案為：R≥1．【變1-2】．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于點(diǎn)P（a，b）和正實(shí)數(shù)k，給出如下定義：當(dāng)ka2+b＞0時(shí)，以點(diǎn)P為圓心，ka2+b為半徑的圓，稱(chēng)為點(diǎn)P的“k倍雅圓”例如，在圖1中，點(diǎn)P（1，1）的“1倍雅圓”是以點(diǎn)P為圓心，2為半徑的圓．（1）在點(diǎn)P1（3，1），P2（1，﹣2）中，存在“1倍雅圓”的點(diǎn)是P1．該點(diǎn)的“1倍雅圓”的半徑為10．（2）如圖2，點(diǎn)M是y軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N在第一象限內(nèi)，且滿(mǎn)足∠MON＝30°，試判斷直線(xiàn)ON與點(diǎn)M的“2倍雅圓”的位置關(guān)系，并證明；（3）如圖3，已知點(diǎn)A（0，3），B（﹣1，0），將直線(xiàn)AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到直線(xiàn)l．①當(dāng)點(diǎn)C在直線(xiàn)l上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若始終存在點(diǎn)C的“k倍雅圓”，求k的取值范圍；②點(diǎn)D是直線(xiàn)AB上一點(diǎn)，點(diǎn)D的“倍雅圓”的半徑為R，是否存在以點(diǎn)D為圓心，為半徑的圓與直線(xiàn)l有且只有1個(gè)交點(diǎn)，若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）對(duì)于P1（3，1），圓的半徑為ka2+b＝1×32+1＝10＞0，故符合題意；對(duì)于P2（1，﹣2），圓的半徑為ka2+b＝1×12﹣2＝﹣1＜0，故不符合題意；故答案為P1，10；（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)M作MQ⊥ON于點(diǎn)Q，則點(diǎn)M（0，m）（m＞0），則圓的半徑r＝2×0+m＝m，則Rt△MQO中，∠MOQ＝∠MON＝30°，∴MQ＝OM＝m＜m，∴直線(xiàn)ON與點(diǎn)M的“2倍雅圓”的位置關(guān)系為相交；（3）①過(guò)點(diǎn)B作BE⊥直線(xiàn)l于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線(xiàn)交x軸于點(diǎn)G，交過(guò)點(diǎn)A與x軸的平行線(xiàn)于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)E（x，y），將直線(xiàn)AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到直線(xiàn)l，則∠EAB＝45°，故EA＝EB，∵∠FEA+∠FAE＝90°，∠GEB+∠FEA＝90°，∴∠FAE＝∠GEB，∵∠AFE＝∠EGB＝90°，EA＝EB，∴△AFE≌△EGB（AAS），∴EF＝BG，EG＝FA，即3﹣y＝﹣1﹣x，y＝﹣x，解得：x＝﹣2，y＝2，故點(diǎn)E（﹣2，2）；設(shè)直線(xiàn)l的表達(dá)式為y＝kx+b，則，解得，故直線(xiàn)l的表達(dá)式為y＝x+3，設(shè)點(diǎn)C（x，x+3），∵始終存在點(diǎn)C的“k倍雅圓”時(shí)，則圓的半徑r＝kx2+x+3＞0恒成立，∴k＞0且Δ＜0成立，即k＞0且△＝（）2﹣4×3k＜0，解得：k＞；②存在，理由：如圖2，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥l于點(diǎn)H，由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)同理可得，直線(xiàn)AB的表達(dá)式為y＝3x+3，設(shè)點(diǎn)D（x，3x+3），由點(diǎn)A、D的坐標(biāo)得，AD＝＝|x|，則HD＝AD＝|x|，則R＝ka2+b＝x2+3x+3＝（x+2）2，則＝|x+2|，假設(shè)存在以點(diǎn)D為圓心，為半徑的圓與直線(xiàn)l有且只有1個(gè)交點(diǎn)，則DH＝＝|x+2|＝|x|，解得：x＝﹣1，故點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（﹣1，0）．【例2】．我們把一個(gè)半圓與拋物線(xiàn)的一部分合成的封閉圖形稱(chēng)為“蛋圓”，如果一條直線(xiàn)與“蛋圓”只有一個(gè)交點(diǎn)，那么這條直線(xiàn)叫做“蛋圓”的切線(xiàn)．如圖，點(diǎn)A，B，C，D分別是“蛋圓”與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，已知點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，﹣3），AB為半圓的直徑，半圓圓心M的坐標(biāo)為（1，0），半圓半徑為2．開(kāi)動(dòng)腦筋想一想，經(jīng)過(guò)點(diǎn)D的“蛋圓”切線(xiàn)的解析式為_(kāi)__________解：因?yàn)榻?jīng)過(guò)點(diǎn)D的“蛋圓”切線(xiàn)過(guò)D（0，﹣3）點(diǎn)，所以設(shè)它的解析式為y＝kx﹣3，∵AB為半圓的直徑，半圓圓心M的坐標(biāo)為（1，0），半圓半徑為2，∴A（﹣1，0），B（3，0），∵拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A、B，∴設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y＝a（x+1）（x﹣3），又∵拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)D（0，﹣3），∴﹣3＝a?1?（﹣3），即a＝1，∴y＝x2﹣2x﹣3．又∵拋物線(xiàn)y＝x2﹣2x﹣3與直線(xiàn)y＝kx﹣3相切，∴x2﹣2x﹣3＝kx﹣3，即x2﹣（2+k）x＝0只有一個(gè)解，∴△＝（2+k）2﹣4×0＝0，∴k＝﹣2即經(jīng)過(guò)點(diǎn)D的“蛋圓”切線(xiàn)的解析式為y＝﹣2x﹣3．變式訓(xùn)練【變2-1】．已知定點(diǎn)P（a，b），且動(dòng)點(diǎn)Q（x，y）到點(diǎn)P的距離等于定長(zhǎng)r，根據(jù)平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式可得（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，這就是到定點(diǎn)P的距離等于定長(zhǎng)r圓的方程．已知一次函數(shù)的y＝﹣2x+10的圖象交y軸于點(diǎn)A，交x軸于點(diǎn)B，C是線(xiàn)段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)以O(shè)C為半徑的⊙C的面積最小時(shí)，⊙C的方程為（x﹣4）2+（y﹣2）2＝（2）2．解：∵一次函數(shù)的y＝﹣2x+10的圖象交y軸于點(diǎn)A，交x軸于點(diǎn)B，∴A（0，10），B（5，0），∴OA＝10，OB＝5，∴AB＝＝＝5，∵以O(shè)C為半徑的⊙C的面積最小，∴OC⊥AB，∵S△ABO＝AB?OC＝OA?OB，∴OC＝＝＝2，設(shè)C（t，﹣2t+10），則OC2＝t2+（﹣2t+10）2＝（2）2，解得：t1＝t2＝4，∴C（4，2），∴以O(shè)C為半徑的⊙C的⊙C的方程為（x﹣4）2+（y﹣2）2＝（2）2，故答案為：（x﹣4）2+（y﹣2）2＝（2）2．【變2-2】．【定義】從一個(gè)已知圖形的外一點(diǎn)引兩條射線(xiàn)分別經(jīng)過(guò)該已知圖形的兩點(diǎn)，則這兩條射線(xiàn)所成的最大角稱(chēng)為該點(diǎn)對(duì)已知圖形的視角，如圖①，∠APB是點(diǎn)P對(duì)線(xiàn)段AB的視角．【應(yīng)用】（1）如圖②，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（2，），B（2，2），C（3，），則原點(diǎn)O對(duì)三角形ABC的視角為30°；（2）如圖③，在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O，半徑為2畫(huà)圓O1，以原點(diǎn)O，半徑為4畫(huà)圓O2，證明：圓O2上任意一點(diǎn)P對(duì)圓O1的視角是定值；【拓展應(yīng)用】（3）很多攝影愛(ài)好者喜歡在天橋上對(duì)城市的標(biāo)志性建筑拍照，如圖④．現(xiàn)在有一條筆直的天橋，標(biāo)志性建筑外延呈正方形，攝影師想在天橋上找到對(duì)建筑視角為45°的位置拍攝．現(xiàn)以建筑的中心為原點(diǎn)建立如圖⑤的坐標(biāo)系，此時(shí)天橋所在的直線(xiàn)的表達(dá)式為x＝﹣5，正方形建筑的邊長(zhǎng)為4，請(qǐng)直接寫(xiě)出直線(xiàn)上滿(mǎn)足條件的位置坐標(biāo)．解：（1）延長(zhǎng)BA交x軸于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，∵點(diǎn)，，，∴AB∥y軸，，OE＝3，∴AB⊥x軸，∴，OD＝2，∴，，∴∠BOD＝60°，∠COE＝30°，∴∠BOC＝∠BOD﹣∠COE＝30°，即原點(diǎn)O對(duì)三角形ABC的視角為30°過(guò)答案為：30°（2）證明：如圖，過(guò)圓O2上任一點(diǎn)P作圓O1的兩條切線(xiàn)交圓O1于A(yíng)，B，連接OA，OB，OP，則有OA⊥PA，OB⊥PB，在中，OA＝2，OP＝4，∴，∴∠OPA＝30°，同理可求得：∠OPB＝30°，∴∠APB＝60°，即圓O2上任意一點(diǎn)P對(duì)圓O1的視角是60°，∴圓O2上任意一點(diǎn)P對(duì)圓O1的視角是定值．（3）當(dāng)在直線(xiàn)AB與直線(xiàn)CD之間時(shí)，視角是∠APD，此時(shí)以E（﹣4，0）為圓心，EA半徑畫(huà)圓，交直線(xiàn)于P3，P6，∵∠DP3B＞∠DP3A＝45°，∠AP6C＞∠DP6C＝45°，不符合視角的定義，P3，P6舍去．同理，當(dāng)在直線(xiàn)AB上方時(shí)，視角是∠BPD，此時(shí)以A（﹣2，2）為圓心，AB半徑畫(huà)圓，交直線(xiàn)于P1，P5，P5不滿(mǎn)足；過(guò)點(diǎn)P1作P1M⊥AD交DA延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)M，則AP1＝4，P1M＝5﹣2＝3，∴，∴當(dāng)在直線(xiàn)CD下方時(shí)，視角是∠APC，此時(shí)以D（﹣2，﹣2）為圓心，DC半徑畫(huà)圓，交直線(xiàn)于P2，P4，P4不滿(mǎn)足；同理得：；綜上所述，直線(xiàn)上滿(mǎn)足條件的位置坐標(biāo)或．1．如圖，六邊形ABCDEF是正六邊形，曲線(xiàn)FK1K2K3K4K5K6K7…叫做“正六邊形的漸開(kāi)線(xiàn)”，其中，，，，，，…的圓心依次按點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)循環(huán)，其弧長(zhǎng)分別記為l1，l2，l3，l4，l5，l6，…．當(dāng)AB＝1時(shí)，l2011等于（）A． B． C． D．解：l1＝＝l2＝＝l3＝＝l4＝＝按照這種規(guī)律可以得到：ln＝∴l(xiāng)2011＝．故選：B．2．已知線(xiàn)段AB，⊙M經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，若90°≤∠AMB≤120°，則稱(chēng)點(diǎn)M是線(xiàn)段AB的“好心”；⊙M上的點(diǎn)稱(chēng)作線(xiàn)段AB的“閃光點(diǎn)”．已知A（2，0），B（6，0）．①點(diǎn)M（4，2）是線(xiàn)段AB的“好心”；②若反比例函數(shù)y＝上存在線(xiàn)段AB的“好心”，則≤k≤8；③線(xiàn)段AB的“閃光點(diǎn)”組成的圖形既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，又是中心對(duì)稱(chēng)圖形；④若直線(xiàn)y＝x+b上存在線(xiàn)段AB的“閃光點(diǎn)”，則﹣10≤b≤2．上述說(shuō)法中正確的有（）A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．①②解：①如圖1，∵A（2，0），B（6，0），點(diǎn)M（4，2），∴AM＝BM，AC＝CM＝BC＝2，∠ACM＝90°，∴圓M經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，且∠AMB＝90°，∴點(diǎn)M（4，2）是線(xiàn)段AB的“好心”，故①正確；②若反比例函數(shù)y＝上存在線(xiàn)段AB的“好心”，∴90°≤∠AMB≤120°，i）點(diǎn)M在x軸上方時(shí)，當(dāng)∠AMB＝90°時(shí)，如圖1，此時(shí)點(diǎn)M（4，2），即M在反比例函數(shù)y＝圖象上，∴k＝2×4＝8；當(dāng)∠AMB＝120°時(shí)，如圖2，過(guò)點(diǎn)M作MC⊥AB于C，∵AM＝MB，∴∠BAM＝30°，∵AC＝2，∴CM＝＝，∴M（4，），∵M(jìn)在反比例函數(shù)y＝圖象上，∴k＝4×＝，∴≤k≤8；ii）點(diǎn)M在x軸的下方時(shí)，同理可得﹣8≤k≤﹣，故②不正確；③線(xiàn)段AB的閃光點(diǎn)組成的圖形如圖3所示：所以線(xiàn)段AB的“閃光點(diǎn)”組成的圖形既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，又是中心對(duì)稱(chēng)圖形；故③正確；④當(dāng)直線(xiàn)y＝x+b與上述兩個(gè)大圓相切時(shí)屬于臨界狀態(tài)，在兩條切線(xiàn)范圍內(nèi)存在“閃光點(diǎn)”，如圖4，設(shè)直線(xiàn)y＝kx+b與圓M相切于點(diǎn)P，則MP與之垂直，且線(xiàn)段BM是直徑，∵B（6，0），M（4，2），∴P（2，4），代入y＝x+b得，2+b＝4，∴b＝2；設(shè)直線(xiàn)y＝kx+b與圓M′相切于點(diǎn)H，則M′H與之垂直，且線(xiàn)段AH是直徑，∵A（2，0），M′（4，﹣2），∴P（6，﹣4），代入y＝x+b′得，6+b′＝﹣4，∴b′＝﹣10；綜上可知，b的取值范圍是﹣10≤b≤2，故④正確；所以上述說(shuō)法中正確的有①③④．故選：B．3．我們知道沿直線(xiàn)前進(jìn)的自行車(chē)車(chē)輪上的點(diǎn)既隨著自行車(chē)做向前的直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，又以車(chē)軸為圓心做圓周運(yùn)動(dòng)，如果我們仔細(xì)觀(guān)察這個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè)點(diǎn)在我們眼前劃出了一道道優(yōu)美的弧線(xiàn)．其實(shí)，很早以前人們就對(duì)沿直線(xiàn)前進(jìn)的馬車(chē)車(chē)輪上的點(diǎn)的軌跡產(chǎn)生了濃厚的研究興趣，有人認(rèn)為這個(gè)軌跡是一段段周而復(fù)始的圓弧，也有人認(rèn)為這個(gè)軌跡是一段段的拋物線(xiàn)．你認(rèn)為呢？擺線(xiàn)（Cycloid）：當(dāng)一個(gè)圓沿一條定直線(xiàn)做無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)時(shí)，動(dòng)圓圓周上一個(gè)定點(diǎn)的軌跡叫做擺線(xiàn)．定直線(xiàn)稱(chēng)為基線(xiàn)，動(dòng)圓稱(chēng)為母圓，該定點(diǎn)稱(chēng)為擺點(diǎn)：現(xiàn)做一個(gè)小實(shí)驗(yàn)，取兩枚相同的硬幣并排排列，如果我們讓右側(cè)的硬幣繞左側(cè)硬幣做無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)，那么：（1）當(dāng)右側(cè)硬幣上接觸點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)軌跡大致是什么形狀？（2）當(dāng)右側(cè)硬幣轉(zhuǎn)到左側(cè)時(shí)，硬幣面上的圖案向還是向下？（3）當(dāng)右側(cè)硬幣轉(zhuǎn)回原地時(shí)，硬幣自身轉(zhuǎn)動(dòng)了幾圈？（）A．一條圍繞于硬幣的封閉曲線(xiàn)；向上；1圈 B．一條擺線(xiàn)；向上；1圈 C．一條圍繞于硬幣的封閉曲線(xiàn)；向上；2圈 D．一條擺線(xiàn)；向下；2圈解：（1）根據(jù)題意中的表述，可知其運(yùn)動(dòng)軌跡是一條圍繞于硬幣的封閉曲線(xiàn)；（2）當(dāng)右側(cè)硬幣轉(zhuǎn)到左側(cè)時(shí)，硬幣自身轉(zhuǎn)動(dòng)了1圈，故硬幣面上的圖案向上；（3）分析可得：當(dāng)右側(cè)硬幣轉(zhuǎn)回原地時(shí)，硬幣自身轉(zhuǎn)動(dòng)2圈．故選：C．4．定義：如果P是圓O所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，Q是射線(xiàn)OP上一點(diǎn)，且線(xiàn)段OP、OQ的比例中項(xiàng)等于圓O的半徑，那么我們稱(chēng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q為這個(gè)圓的一對(duì)反演點(diǎn)．已知點(diǎn)M、N為圓O的一對(duì)反演點(diǎn)，且點(diǎn)M、N到圓心O的距離分別為4和9，那么圓O上任意一點(diǎn)到點(diǎn)M、N的距離之比＝．解：由題意⊙O的半徑r2＝4×9＝36，∵r＞0，∴r＝6，當(dāng)點(diǎn)A在NO的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，AM＝6+4＝10，AN＝6+9＝15，∴＝＝，當(dāng)點(diǎn)A″是ON與⊙O的交點(diǎn)時(shí)，A″M＝2，A″N＝3，∴＝，當(dāng)點(diǎn)A′是⊙O上異與A，A″兩點(diǎn)時(shí)，易證△OA′M∽△ONA′，∴＝＝＝，綜上所述，＝．故答案為：．5．如圖，在△ABC中，D，E分別是△ABC兩邊的中點(diǎn)，如果（可以是劣弧、優(yōu)弧或半圓）上的所有點(diǎn)都在△ABC的內(nèi)部或邊上，則稱(chēng)為△ABC的中內(nèi)弧，例如，圖中是△ABC其中的某一條中內(nèi)?。粼谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，已知點(diǎn)F（0，4），O（0，0），H（4，0），在△FOH中，M，N分別是FO，F(xiàn)H的中點(diǎn)，△FOH的中內(nèi)弧所在圓的圓心P的縱坐標(biāo)m的取值范圍是m≤1或m≥2．解：如圖，連接MN，由垂徑定理可知，圓心P一定在線(xiàn)段MN的垂直平分線(xiàn)上，作MN的垂直平分線(xiàn)QP，∵M(jìn)，N分別是FO，F(xiàn)H的中點(diǎn)，且F（0，4），O（0，0），H（4，0），∴M（0，2），N（2，2），Q（1，2），若圓心在線(xiàn)段MN上方時(shí)，設(shè)P（1，m）由三角形中內(nèi)弧定義可知，圓心P在線(xiàn)段MN上方射線(xiàn)QP上均可，∴m≥2，當(dāng)圓心在線(xiàn)段MN下方時(shí)，∵OF＝OH，∠FOH＝90°∴∠FHO＝45°，∵M(jìn)N∥OH，∴∠FNM＝∠FHO＝45°，作NG⊥FH交直線(xiàn)QP于G，QG＝NQ＝1，根據(jù)三角形中內(nèi)弧的定義可知，圓心在點(diǎn)G的下方（含點(diǎn)G）的直線(xiàn)QP上時(shí)也符合要求；∴m≤1，綜上所述，m≤1或m≥2，故答案為m≤1或m≥2．6．如圖（1），△ABC是正三角形，曲線(xiàn)DA1B1C1…叫做“正三角形ABC的漸開(kāi)線(xiàn)”，其中，…依次連接，它們的圓心依次按A，B，C循環(huán)．則曲線(xiàn)CA1B1C1叫做正△ABC的1重漸開(kāi)線(xiàn)，曲線(xiàn)CA1B1C1A2B2C2叫做正△ABC的2重漸開(kāi)線(xiàn)，…，曲線(xiàn)CA1B1C1A2…AnBn?n叫做正△ABC的n重漸開(kāi)線(xiàn)．如圖（2），四邊形ABCD是正方形，曲線(xiàn)CA1B1C1D1…叫做“正方形ABCD的漸開(kāi)線(xiàn)”，其中…依次連接，它們的圓心依次按A，B，C，D循環(huán)．則曲線(xiàn)DA1B1C1D1叫做正方形ABCD的1重漸開(kāi)線(xiàn)，…，曲線(xiàn)DA1B1C1D1A2…AnBn?nDn叫做正方形ABCD的n重漸開(kāi)線(xiàn)．依次下去，可得正n形的n重漸開(kāi)線(xiàn)（n≥3）．若AB＝1，則正方形的2重漸開(kāi)線(xiàn)的長(zhǎng)為18π；若正n邊形的邊長(zhǎng)為1，則該正n邊形的n重漸開(kāi)線(xiàn)的長(zhǎng)為n（n2+1）π．解：若正n邊形的邊長(zhǎng)為1，則該正n邊形的第一重漸開(kāi)線(xiàn)長(zhǎng)＝，二重＝+，第n重漸開(kāi)線(xiàn)的長(zhǎng)++…+，這是四邊形，如果是n邊形，則內(nèi)角和是（n﹣2）×180÷n，所以正n邊形的邊長(zhǎng)為1，則該正n邊形的n重漸開(kāi)線(xiàn)的長(zhǎng)為2π/n（1+2+…+n）+2π/n[（n+1）+（n+2）+…+（n+n）]+…+2π/n{[（n﹣1）n+1]+[（n﹣1）n+2]+…+[（n﹣1）n+n]＝n（n2+1）π．7．一個(gè)玻璃球體近似半圓O，AB為直徑．半圓O上點(diǎn)C處有個(gè)吊燈EF，EF∥AB，CO⊥AB，EF的中點(diǎn)為D，OA＝4．（1）如圖①，CM為一條拉線(xiàn)，M在OB上，OM＝1.6，DF＝0.8，求CD的長(zhǎng)度．（2）如圖②，一個(gè)玻璃鏡與圓O相切，H為切點(diǎn)，M為OB上一點(diǎn)，MH為入射光線(xiàn)，NH為反射光線(xiàn)，∠OHM＝∠OHN＝45°，tan∠COH＝，求ON的長(zhǎng)度．（3）如圖③，M是線(xiàn)段OB上的動(dòng)點(diǎn)，MH為入射光線(xiàn)，∠HOM＝50°，HN為反射光線(xiàn)交圓O于點(diǎn)N，在M從O運(yùn)動(dòng)到B的過(guò)程中，求N點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)．解：（1）∵OM＝1.6，DF＝0.8，EF∥AB，∴DF是△COM的中位線(xiàn)，∴點(diǎn)D是OC的中點(diǎn)，∵OC＝OA＝4，∴CD＝2；（2）如圖②，過(guò)點(diǎn)N作ND⊥OH于點(diǎn)D，∵∠OHN＝45°，∴△NHD是等腰直角三角形，∴ND＝HD，∵tan∠COH＝，∠NDO＝90°，∴＝，設(shè)ND＝3x＝HD，則OD＝4x，∵OH＝OA＝4，∴OH＝3x+4x＝4，∴x＝，∴ND＝×3＝，OD＝×4＝，∴ON＝＝；（3）如圖，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)O重合時(shí)，點(diǎn)N也與點(diǎn)O重合，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)T，故點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為OA+的長(zhǎng)，∵∠HOM＝50°，OH＝OB，∴∠OHB＝∠OBH＝65°，∵∠OHM＝∠OHT，OH＝OT，∴∠OTH＝∠OHT＝65°，∴∠TOH＝50°，∴∠AOT＝180°﹣50°﹣50°＝80°，∴的長(zhǎng)＝＝π，∴點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)＝4+π．8．我們不妨定義：有兩邊之比為1：的三角形叫敬“勤業(yè)三角形”．（1）下列各三角形中，一定是“勤業(yè)三角形”的是③④；（填序號(hào)）①等邊三角形；②等腰直角三角形；③含30°角的直角三角形；④含120°角的等腰三角形．（2）如圖1，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AC為直徑，D為AB上一點(diǎn)，且BD＝2AD，作DE⊥OA，交線(xiàn)段OA于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)E，連接BE交AC于點(diǎn)G．試判斷△AED和△ABE是否是“勤業(yè)三角形”？如果是，請(qǐng)給出證明，并求出的值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖2，在（2）的條件下，當(dāng)AF：FG＝2：3時(shí)，求∠BED的余弦值．解：①等邊三角形各邊的比值為1，故等邊三角形不是“勤業(yè)三角形“；②等腰直角三角形兩直角邊的比值為1，直角邊與斜邊的比為1：，故等腰直角三角形不是“勤業(yè)三角形”；③設(shè)含30角的直角三角形的最短邊長(zhǎng)為a，則斜邊長(zhǎng)為2a，另一條直角邊長(zhǎng)為a，a：a＝1：，故含30°角的直角三角形是“勤業(yè)三角形“；④如圖：△ABC中，AB＝AC，∠a＝120°，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，∴∠B＝∠C＝30°，設(shè)AD＝a，則AB＝AC＝2a，BD＝DC＝a，∴BC＝2a，∴AB：BC＝AC：BC＝1：，∴含120°角的等腰三角形是“勤業(yè)三角形”，故答案為：③④；（2）解：△AED和△ABE都是“勤業(yè)三角形”，證明如下：如圖：連接OE，設(shè)∠ABE＝α，∴∠AOE＝2∠ABE＝2α，∵OA＝OE，∴∠OAE＝（180°﹣∠AOE）＝（180°﹣2a）＝90°﹣α，又∵DE⊥AC，∴∠AED+∠OAE＝90°，即∠AED+90°﹣α＝90°，∴∠AED＝∠ABE＝α，又∵∠EAD＝∠BAE，∴△ADE∽△AEB，∴，AE2＝AD?AB，∵BD＝2AD，∴AD＝AB，∴，AE2＝3AD2，∴，，∴△AED和△ABE都是“勤業(yè)三角形“，∴；（3）解：如圖：過(guò)點(diǎn)G作GI∥AB交DE于點(diǎn)I，∴△FGI∽△FAD，△EIG∽△EDB，∴，，∴GI＝AD，∵BD＝2AD，∴，∴，設(shè)EG＝3a，EB＝4a，由（2）知，，∴ED＝a，∴E1＝ED＝a，DI＝ED﹣E1＝，∴IF＝，∴EF＝EI+IF＝a+＝，在Rt△EFG中，cos∠FEG＝，即cos∠BED＝．9．對(duì)于平面內(nèi)的兩點(diǎn)K、L，作出如下定義：若點(diǎn)Q是點(diǎn)L繞點(diǎn)K旋轉(zhuǎn)所得到的點(diǎn)，則稱(chēng)點(diǎn)Q是點(diǎn)L關(guān)于點(diǎn)K的旋轉(zhuǎn)點(diǎn)；若旋轉(zhuǎn)角小于90°，則稱(chēng)點(diǎn)Q是點(diǎn)L關(guān)于點(diǎn)K的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)．如圖1，點(diǎn)Q是點(diǎn)L關(guān)于點(diǎn)K的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)．（1）已知點(diǎn)A（4，0），在點(diǎn)Q1（0，4），Q2（2，），Q3（﹣2，），Q4（，﹣2）中，是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)O的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)的是Q2，Q4．（2）已知點(diǎn)B（5，0），點(diǎn)C在直線(xiàn)y＝2x+b上，若點(diǎn)C是點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)O的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．（3）點(diǎn)D是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，D（t，0），E（t﹣3，0），點(diǎn)F（m，n）是以D為圓心，3為半徑的圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足n≥0．若直線(xiàn)y＝2x+6上存在點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)E的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出t的取值范圍．解：（1）如圖，∵A（4，0），Q1（0，4），∴OA＝OQ1＝4，∠AOQ1＝90°，∴點(diǎn)Q1不是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)O的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)；∵Q2（2，），作Q2F⊥x軸于點(diǎn)F，∴OQ2＝＝＝4＝OA，∵tan∠Q2OF＝＝，∴∠Q2OF＝60°，∴點(diǎn)Q2是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)O的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)；∵Q3（﹣2，），作Q3G⊥x軸于點(diǎn)G，則tan∠Q3OG＝＝＝，∴∠Q3OG＝60°，∴OQ3＝＝＝4＝OA，∵∠AOQ3＝180°﹣60°＝120°，∴Q3不是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)O的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)；∵Q4（，﹣2），作Q4H⊥x軸于點(diǎn)H，則tan∠Q4OH＝＝＝1，∴∠Q4OH＝45°，∵OQ4＝＝＝4＝OA，∴Q4是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)O的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)；綜上所述，在點(diǎn)Q1，Q2，Q3，Q4中，是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)O的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)的是Q2，Q4，故答案為：Q2，Q4．（2）在y軸上取點(diǎn)P（0，5），當(dāng)直線(xiàn)y＝2x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)P時(shí)，可得b＝5，當(dāng)直線(xiàn)y＝2x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，則2×5+b＝0，解得：b＝﹣10，∴當(dāng)﹣10＜b＜5時(shí)，OB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)銳角時(shí)，點(diǎn)C一定可以落在某條直線(xiàn)y＝2x+b上，過(guò)點(diǎn)O作OG⊥直線(xiàn)y＝2x+b，垂足G在第四象限時(shí)，如圖，則OT＝﹣b，OS＝﹣b，∴ST＝＝＝﹣b，當(dāng)OG＝5時(shí)，b取得最小值，∵5×（﹣b）＝﹣b×（﹣b），∴b＝﹣5，∴﹣5≤b＜5．（3）根據(jù)題意，點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)E的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)在半圓E上，設(shè)點(diǎn)P在半圓S上，點(diǎn)Q在半圓T上（將半圓D繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)），如圖3（1），半圓掃過(guò)的區(qū)域?yàn)閳D3（1）中陰影部分，如圖3（2）中，陰影部分與直線(xiàn)y＝2x+6相切于點(diǎn)G，tan∠EMG＝2，SG＝3，過(guò)點(diǎn)G作GI⊥x軸于點(diǎn)I，過(guò)點(diǎn)S作SJ⊥GI于點(diǎn)J，∴∠SGJ＝∠EMG，∴tan∠SGJ＝tan∠EMG＝2，∴GJ＝，SJ＝，∴GI＝GJ+JI＝3+，∴MI＝GI＝+，∴OE＝IE+MI﹣OM＝﹣，即xE＝t﹣3＝﹣，解得t＝+，如圖3（3）中，陰影部分與HK相切于點(diǎn)G，tan∠OMK＝tan∠EMH＝2，EH＝6，則MH＝3，EM＝3，∴xE＝t﹣3＝﹣3﹣3，解得t＝﹣3，觀(guān)察圖象可知，﹣3≤t＜3++．10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形ABCD的頂點(diǎn)分別為A（0，1），B（﹣1，0），C（0，﹣1），D（1，0）．對(duì)于圖形M，給出如下定義：P為圖形M上任意一點(diǎn)，Q為正方形ABCD邊上任意一點(diǎn)，如果P，Q兩點(diǎn)間的距離有最大值，那么稱(chēng)這個(gè)最大值為圖形M的“正方距”，記作d（M）．已知點(diǎn)E（3，0）．①直接寫(xiě)出d（點(diǎn)E）的值；②過(guò)點(diǎn)E畫(huà)直線(xiàn)y＝kx﹣3k與y軸交于點(diǎn)F，當(dāng)d（線(xiàn)段EF）取最小值時(shí)，求k的取值范圍；③設(shè)T是直線(xiàn)y＝﹣x+3上的一點(diǎn)，以T為圓心，長(zhǎng)為半徑作⊙T．若d（⊙T）滿(mǎn)足d（⊙T）＞+，直接寫(xiě)出圓心T的橫坐標(biāo)x的取值范圍．解：①∵E（3，0），B（﹣1，0），∴d（點(diǎn)E）＝BE＝4；②∵d（線(xiàn)段EF）取最小值，∴d（線(xiàn)段EF）的最小值＝d（點(diǎn)E）＝4，∴d（點(diǎn)F）≤4，當(dāng)d（點(diǎn)F）＝4時(shí)，F(xiàn)（0，3）或（0，﹣3），當(dāng)F（0，3）時(shí)，k＝﹣1，當(dāng)F（0，﹣3）時(shí)，k＝1，∴﹣1≤k≤1；③由②可知，d（點(diǎn)E）＝d（點(diǎn)F）＝4＜，∴D點(diǎn)T在第二象限或第四象限，設(shè)T（x，﹣x+3），當(dāng)T點(diǎn)在第二象限時(shí)，TC＝時(shí)，x2+（﹣x+3+1）2＝，解得x＝2﹣或x＝2+（舍）；當(dāng)T點(diǎn)在第四象限時(shí)，TB＝時(shí)，（x+1）2+（﹣x+3）2＝，解得x＝1+或x＝1﹣（舍）；∵d（⊙T）＞+，∴x＞1+或x＜2﹣．11．【概念認(rèn)識(shí)】與矩形一邊相切（切點(diǎn)不是頂點(diǎn)）且經(jīng)過(guò)矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做矩形的第Ⅰ類(lèi)圓；與矩形兩邊相切（切點(diǎn)都不是頂點(diǎn)）且經(jīng)過(guò)矩形的一個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做矩形的第Ⅱ類(lèi)圓．【初步理解】（1）如圖①～③，四邊形ABCD是矩形，⊙O1和⊙O2都與邊AD相切，⊙O2與邊AB相切，⊙O1和⊙O3都經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，⊙O3經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，3個(gè)圓都經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．在這3個(gè)圓中，是矩形ABCD的第Ⅰ類(lèi)圓的是①，是矩形ABCD的第Ⅱ類(lèi)圓的是②．【計(jì)算求解】（2）已知一個(gè)矩形的相鄰兩邊的長(zhǎng)分別為4和6，直接寫(xiě)出它的第Ⅰ類(lèi)圓和第Ⅱ類(lèi)圓的半徑長(zhǎng)．【深入研究】（3）如圖④，已知矩形ABCD，用直尺和圓規(guī)作圖．（保留作圖痕跡，并寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明）①作它的1個(gè)第Ⅰ類(lèi)圓；②作它的1個(gè)第Ⅱ類(lèi)圓．解：（1）由定義可得，①的矩形有一條邊AD與⊙O1相切，點(diǎn)B、C在圓上，∴①是第Ⅰ類(lèi)圓；②的矩形有兩條邊AD、AB與⊙O2相切，點(diǎn)C在圓上，∴②是第Ⅱ類(lèi)圓；故答案為：①，②；（2）如圖1，設(shè)AD＝6，AB＝4，切點(diǎn)為E，過(guò)點(diǎn)O作EF⊥BC交BC于F，交AD于E，連接BO，設(shè)BO＝r，則OE＝r，OF＝4﹣r，由垂徑定理可得，BF＝CF＝3，在Rt△BOF中，r2＝（4﹣r）2+32，解得r＝；如圖2，設(shè)AD＝4，BC＝6，切點(diǎn)為E，過(guò)點(diǎn)O作EF⊥BC交BC于F，交AD于E，連接BO，設(shè)BO＝r，則OE＝r，OF＝6﹣r，由垂徑定理可得，BF＝CF＝2，在Rt△BOF中，r2＝（6﹣r）2+22，解得r＝；綜上所述：第Ⅰ類(lèi)圓的半徑是或；如圖3，AD＝6，AB＝4，過(guò)點(diǎn)O作MN⊥AD交于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，連接OC，設(shè)AB邊與⊙O的切點(diǎn)為G，連接OG，∴GO⊥AB，設(shè)OM＝r，則OC＝r，則ON＝4﹣r，∵OG＝r，∴BN＝r，∴NC＝6﹣r，在Rt△OCN中，r2＝（4﹣r）2+（6﹣r）2，解得r＝10﹣4，∴第Ⅱ類(lèi)圓的半徑是10﹣4；（3）①如圖4，第一步，作線(xiàn)段AD的垂直平分線(xiàn)交AD于點(diǎn)E，第二步，連接EC，第三步，作EC的垂直平分線(xiàn)交EF于點(diǎn)O，第四步，以O(shè)為圓心，EO為半徑作圓，∴⊙O即為所求第Ⅰ類(lèi)圓；②如圖5，第一步：作∠BAD的平分線(xiàn)；第二步：在角平分線(xiàn)上任取點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AD，垂足為點(diǎn)F；第三步：以點(diǎn)E為圓心，EF為半徑作圓E，交AC于點(diǎn)G，連接FG；第四步：過(guò)點(diǎn)C作CH∥FG，CH交AD于點(diǎn)H；第五步：過(guò)點(diǎn)H作AD的垂線(xiàn)，交∠BAD的平分線(xiàn)于點(diǎn)O；第六步：以點(diǎn)O為圓心，OH為半徑的圓，⊙O即為所求第Ⅱ類(lèi)圓．12．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑為1，已知點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作直線(xiàn)MN．對(duì)于點(diǎn)A和直線(xiàn)MN，給出如下定義：若將直線(xiàn)MN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，直線(xiàn)MN與⊙O有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，則稱(chēng)MN是⊙O的“雙關(guān)聯(lián)直線(xiàn)”，與⊙O有一個(gè)交點(diǎn)P時(shí)，則稱(chēng)MN是⊙O的“單關(guān)聯(lián)直線(xiàn)”，AP是⊙O的“單關(guān)聯(lián)線(xiàn)段”．（1）如圖1，A（0，4），當(dāng)MN與y軸重合時(shí)，設(shè)MN與⊙O交于C，D兩點(diǎn)．則MN是⊙O的“雙關(guān)聯(lián)直線(xiàn)”（填“雙”或“單”）；的值為或；（2）如圖2，點(diǎn)A為直線(xiàn)y＝﹣3x+4上一動(dòng)點(diǎn)，AP是⊙O的“單關(guān)聯(lián)線(xiàn)段”．①求OA的最小值；②直接寫(xiě)出△APO面積的最小值．解：（1）當(dāng)MN與y軸重合時(shí)，∵M(jìn)N與⊙O交于C，D兩點(diǎn)，∴根據(jù)⊙O的“雙關(guān)聯(lián)直線(xiàn)”的定義可知：MN是⊙O的“雙關(guān)聯(lián)直線(xiàn)”；當(dāng)點(diǎn)C在y軸的正半軸時(shí)，AC＝3，AD＝5，∴＝；當(dāng)點(diǎn)D在y軸的正半軸時(shí)，AD＝3，AC＝5，∴，綜上，的值為：或，故答案為：雙；或；（2）①過(guò)點(diǎn)O作OA垂直于直線(xiàn)y＝﹣3x+4于點(diǎn)A，如圖，因?yàn)榇咕€(xiàn)段最短，則此時(shí)OA最小，設(shè)直線(xiàn)y＝﹣3x+4與y軸交于點(diǎn)M，與x軸交于點(diǎn)N，令x＝0，則y＝4，∴M（0，4），∴OM＝4，令y＝0，則﹣3x+4＝0，∴x＝，∴N（，0），∴ON＝，∴MN＝＝．∵OM?ON＝OA?MN，∴4×＝×OA，∴OA＝．②△APO的面積最小值為．理由：∵AP是⊙O的“單關(guān)聯(lián)線(xiàn)段”，∴AP與⊙O相切于點(diǎn)P，則OP⊥OA，即△APO為直角三角形，由于△APO的一個(gè)直角邊為1，當(dāng)OA最小時(shí)，△APO的面積最小，∴當(dāng)OA垂直于直線(xiàn)y＝﹣3x+4于點(diǎn)A時(shí)，△APO的面積最?。B接OP，如圖，由題意：AP為⊙O的切線(xiàn)，∴AP⊥OP，∴AP＝＝，∴△APO的面積最小值為×1＝．13．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑為1，A為任意一點(diǎn)，B為⊙O上任意一點(diǎn)．給出如下定義：記A，B兩點(diǎn)間的距離的最小值為p（規(guī)定：點(diǎn)A在⊙O上時(shí)，p＝0），最大值為q，那么把的值稱(chēng)為點(diǎn)A與⊙O的“關(guān)聯(lián)距離”，記作d（A，⊙O）．（1）如圖，點(diǎn)D，E，F(xiàn)的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)．①d（D，⊙O）＝2；②若點(diǎn)M在線(xiàn)段EF上，求d（M，⊙O）的取值范圍；（2）若點(diǎn)N在直線(xiàn)y＝上，直接寫(xiě)出d（N，⊙O）的取值范圍；（3）正方形的邊長(zhǎng)為m，若點(diǎn)P在該正方形的邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿(mǎn)足d（P，⊙O）的最小值為1，最大值為，直接寫(xiě)出m的最小值和最大值．解：（1）①∵D（0，2）到⊙O的距離的最小值p＝1，最大值q＝3，∴d（D，⊙O）＝＝2，故答案為：2；②當(dāng)M在點(diǎn)E處，d（E，⊙O）＝2，當(dāng)M在點(diǎn)F處，d（F，⊙O）＝＝3，∴2≤d（M，⊙O）≤3；（2）設(shè)ON＝d，∴p＝d﹣r＝d﹣1，q＝d+r＝d+1，∴d（N，⊙O）＝＝＝d，∵點(diǎn)N在直線(xiàn)y＝上，設(shè)直線(xiàn)交x軸于點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)A，如圖1，則x＝0時(shí)，y＝2，y＝0時(shí)，x＝﹣2，∴A（0，2），B（﹣2，0），∴OA＝2，OB＝2，∴AB＝＝4，當(dāng)ON⊥AB時(shí)，d（N，⊙O）最小，∴S△AOB＝OA?OB＝AB?ON，即×2×2＝×4ON，∴ON＝，∵ON無(wú)最大值，∴d（N，⊙O）≥；（3）如圖2，∵d（P，⊙O）的最小值為1，最大值為，∴兩個(gè)同心圓中，小圓的半徑為1，大圓的半徑為，∵KL＝﹣1，∴m的最小值是＝﹣，在Rt△OMH中，OM＝，OH＝m﹣1，MH＝m，∴（m﹣1）2+（m）2＝（）2，解得：m＝﹣2（舍去）或m＝；∴m的最小值為﹣，最大值為．14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)分別是（1，0），（7，0）．（1）對(duì)于坐標(biāo)平面內(nèi)的一點(diǎn)P，給出如下定義：如果∠APB＝45°，那么稱(chēng)點(diǎn)P為線(xiàn)段AB的“完美點(diǎn)”．①設(shè)A、B、P三點(diǎn)所在圓的圓心為C，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是（4，3），⊙C的半徑是3；②y軸正半軸上是否有線(xiàn)段AB的“完美點(diǎn)”？如果有，求出“完美點(diǎn)”的坐標(biāo)；如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）若點(diǎn)P在y軸負(fù)半軸上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)∠APB的度數(shù)最大時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，﹣）．解：（1）①∵點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)分別是（1，0），（7，0），∴OA＝1，OB＝7．∴AB＝6．過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，如圖，則AD＝BD＝AB＝3．∴OD＝AO+AD＝4．∵∠APB＝45°，∴∠ACB＝2∠APB＝90°，．∵CD⊥AB，CA＝CB，∴CD＝AB＝3．∴C（4，3）．∴AC＝，∴⊙C的半徑是3．故答案為：（4，3）；3；②y軸正半軸上有線(xiàn)段AB的“完美點(diǎn)”，理由：設(shè)⊙C交y軸于點(diǎn)D，E，連接CD，CE，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥CD于點(diǎn)G，CF⊥AB于點(diǎn)F，如圖，則∠AEB＝∠ADB＝∠APB＝45°．∴D，E為y軸正半軸上線(xiàn)段AB的“完美點(diǎn)”．則EG＝DG＝DE，CD＝CE＝3．∵CG⊥DE，CF⊥AB，∠O＝90°，∴四邊形OFCG為矩形．∴CG＝OF＝4，OG＝CF＝3．在Rt△CGE中，∵EG2＝CE2﹣CG2，∴EG＝＝．∴GE＝DG＝．∴OE＝OG﹣GE＝3﹣，OD＝OG+DG＝3+．∴E（0，3﹣），D（0，3+）．∴y軸正半軸上有線(xiàn)段AB的“完美點(diǎn)”，“完美點(diǎn)”的坐標(biāo)為（0，3+）或（0，3﹣）；（2）設(shè)⊙C與y軸負(fù)半軸切于點(diǎn)P，在y軸負(fù)半軸上任取一點(diǎn)Q（與點(diǎn)P不重合），連接BQ，AQ，BQ與⊙C交于點(diǎn)D，連接AD，如圖，則∠APB＝∠ADB，∵∠ADB＞∠AQB，∴∠APB＞∠AQB．∴當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到⊙C與y軸相切時(shí)，∠APB的度數(shù)最大．連接PC并延長(zhǎng)交⊙C于點(diǎn)E，連接AE，如圖，∵OP是⊙C的切線(xiàn)，∴CP⊥OP，∴∠OPA+∠ABE＝90°．∵PE為⊙C的直徑，∴∠PAE＝90°，∴∠APE+∠E＝90°，∴∠OPA＝∠E，∴∠E＝∠OBP，∴∠OPA＝∠OPB，∵∠AOP＝∠POB＝90°，∴△OAP∽△OPB，∴，∴OP2＝OA?OB．∴OP＝．∴P（0，﹣）．故答案為（0，﹣）．15．定義：圓心在三角形的一條邊上，并與三角形的其中一邊所在直線(xiàn)相切的圓稱(chēng)為這個(gè)三角形的切圓，相切的邊稱(chēng)為這個(gè)圓的切邊．（1）如圖1，△ABC中，AB＝CB，∠A＝30°，點(diǎn)O在A(yíng)C邊上，以O(shè)C為半徑的⊙O恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，求證：⊙O是△ABC的切圓．（2）如圖2，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，⊙O是△ABC的切圓，且另外兩條邊都是⊙O的切邊，求⊙O的半徑．（3）如圖3，△ABC中，以AB為直徑的⊙O恰好是△ABC的切圓，AC是⊙O的切邊，⊙O與BC交于點(diǎn)F，取弧BF的中點(diǎn)D，連接AD交BC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AB于點(diǎn)H，若CF＝8，BF＝10，求AC和EH的長(zhǎng)．（1）證明：連接OB，如圖，∵AB＝AC，∠A＝30°，∴∠A＝∠C＝30°．∴∠CAB＝180°﹣∠A﹣∠C＝120°．∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠C＝30°．∴∠OBA＝∠CBA﹣∠OBC＝90°．即OB⊥BA．∵OB是圓的半徑，∴AB與⊙O相切．∵圓心O在A(yíng)C邊上，∴⊙O是△ABC的切圓；（2）解：①當(dāng)圓心O在BC邊上，⊙O與AB，AC邊相切于點(diǎn)M，N時(shí)，連接OA，OM，ON，如圖，∵AB，AC是⊙O的切線(xiàn)，∴OM⊥AB，ON⊥AC，AO平分∠BAC．∵AB＝AC，∴AO⊥BC，OB＝OC＝BC＝3．∵AO⊥BO，OM⊥AB，∴△BOM∽△BAO．∴．∴．∴BM＝．∴OM＝＝；②當(dāng)圓心O在A(yíng)C邊上，⊙O與AB，BC邊相切于點(diǎn)M，N時(shí)，連接OM，ON，BO，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，如圖，設(shè)OM＝ON＝r，∵AB，BC是⊙O的切線(xiàn)，∴OM⊥AB，ON⊥BC．∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝CH＝BC＝3，∴AH＝＝4．∴×BC?AH＝×6×4＝12．∵S△ABC＝S△ABO+S△CBO，∴×AB?r+×BC?r＝12．∴＝12．∴r＝．綜上，⊙O的半徑為或；（3）解：連接AF，如圖，∵AB為⊙O的直徑，∴AF⊥BC．∵⊙O是△ABC的切圓，AC是⊙O的切邊，∴AB⊥AC．∴△ACF∽△BAF．∴．∴．∴AF＝4．∴AC＝＝12，AB＝＝6．∵D是弧BF的中點(diǎn)，∴∠FAD＝∠BAD．∴＝．設(shè)FE＝2k，則BE＝3k，∵BF＝FE+BE＝10，∴2k+3k＝10．∴k＝2．∴EF＝4，BE＝6．∵EH⊥AB，AC⊥AB，∴EH∥AC．∴．∴．∴EH＝4．16．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于直線(xiàn)l：y＝kx+b，給出如下定義：若直線(xiàn)l與某個(gè)圓相交，則兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離稱(chēng)為直線(xiàn)l關(guān)于該圓的“圓截距”．（1）如圖1，⊙O的半徑為1，當(dāng)k＝1，b＝1時(shí)，直接寫(xiě)出直線(xiàn)l關(guān)于⊙O的“圓截距”；（2）點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，0），①如圖2，若⊙M的半徑為1，當(dāng)b＝1時(shí)，直線(xiàn)l關(guān)于⊙M的“圓截距”小于，求k的取值范圍；②如圖3，若⊙M的半徑為2，當(dāng)k的取值在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)變化時(shí)，直線(xiàn)l關(guān)于⊙M的“圓截距”的最小值2，直接寫(xiě)出b的值．解：（1）∵k＝1，b＝1，∴直線(xiàn)l的解析式為y＝x+1，設(shè)直線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，則A（﹣1，0），B（0，1），∴AB＝＝，即直線(xiàn)l關(guān)于⊙O的“圓截距”為；（2）①如圖2，設(shè)直線(xiàn)與y正半軸交點(diǎn)為P，且P（0，1），∵點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，0），⊙M的半徑為1，∴圓與x軸正半軸交點(diǎn)為Q（2，0），當(dāng)b＝1時(shí)，直線(xiàn)l的解析式為y＝kx+1，當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q時(shí)，2k+1＝0，解得k＝﹣；過(guò)點(diǎn)M作MF⊥PQ，垂足為F，∵OP＝1，OQ＝2，∴PQ＝，∴sin∠PQO＝，∵M(jìn)Q＝1，sin∠PQO＝，∴MF＝，QF＝，設(shè)直線(xiàn)PQ與圓M的另一個(gè)交點(diǎn)為C，則QC＝2QF＝，∵關(guān)于⊙M的“圓截距”小于，∴k的取值范圍是﹣＜k＜0；設(shè)直線(xiàn)PM與圓的交點(diǎn)為N，∵點(diǎn)P（0，1），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，0），∴OP＝OM，∴∠PMO＝45°，∴∠QMN＝45°，根據(jù)圓的對(duì)稱(chēng)性，直線(xiàn)PQ和直線(xiàn)PD關(guān)于直線(xiàn)PN對(duì)稱(chēng)，此時(shí)ED＝CB，∴∠DMN＝45°，∴∠DMQ＝90°，∴D的坐標(biāo)為（1，﹣1），∴k+1＝﹣1，解得k＝﹣2，∴直線(xiàn)PD的解析式為y＝﹣2x+1，關(guān)于⊙M的“圓截距”小于，k的取值范圍是k＜﹣2；綜上，k的取值范圍是k＜﹣2或﹣＜k＜0．②當(dāng)k的取值在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)變化時(shí)，直線(xiàn)l關(guān)于⊙M的“圓截距”的最小值2，設(shè)直線(xiàn)與y軸交點(diǎn)為Q（0，m），則過(guò)Q點(diǎn)的“圓截距”的最小值2，如下圖，即RT＝2，MQ⊥RT，由題知，△RMT為等邊三角形，∴∠MRQ＝60°，∴QM＝2×sin60°＝，由勾股定理得，OQ＝＝，根據(jù)圖形的對(duì)稱(chēng)性可知，b的值為．17．對(duì)于⊙C與⊙C上一點(diǎn)A，若平面內(nèi)的點(diǎn)P滿(mǎn)足：射線(xiàn)AP與⊙C交于點(diǎn)Q，且PA＝2QA，則稱(chēng)點(diǎn)P為點(diǎn)A關(guān)于⊙C的“倍距點(diǎn)”．已知平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（﹣，0）．（1）如圖1，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，⊙O的半徑是，點(diǎn)P是點(diǎn)A關(guān)于⊙O的“倍距點(diǎn)”．①若點(diǎn)P在x軸正半軸上，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)是（3，0）；②若點(diǎn)P在第一象限，且∠PAO＝30°，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）設(shè)點(diǎn)T（t，0），以點(diǎn)T為圓心，TA長(zhǎng)為半徑作⊙T，一次函數(shù)y＝x+4的圖象分別與x軸、y軸交于D、E，若一次函數(shù)y＝x+4的圖象上存在唯一一點(diǎn)P，使點(diǎn)P是點(diǎn)A關(guān)于⊙T的“倍距點(diǎn)”，求t的值．解：（1）①P在x軸正半軸時(shí)，如圖1，設(shè)點(diǎn)Q為⊙O與x軸正半軸的交點(diǎn)，∵點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，⊙O的半徑是，點(diǎn)P是點(diǎn)A關(guān)于⊙O的“倍距點(diǎn)”，∴AQ＝2，PA＝2QA＝4，∴點(diǎn)P離開(kāi)原點(diǎn)O的距離＝4＝3，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（3，0），故答案為：（3，0）；②若∠PAO＝30°時(shí)，如圖2，作QM⊥x軸于M，PN⊥x軸于N，連接OQ，∴∠QMA＝∠PNA＝90°，∵∠PAO＝∠PAO，∴△AQM∽△APN，∴，∵點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，⊙O的半徑是，點(diǎn)P是點(diǎn)A關(guān)于⊙O的“倍距點(diǎn)”，PA＝2QA，∴OA＝OQ＝，，∴∠AQO＝∠PAO＝30°，∴∠QOM＝60°，∴∠OQM＝30°，在Rt△OQM中，OQ＝，∠OQM＝30°，∴QM＝OQ?cos∠OQM＝?cos30°＝，OM＝OQ?sin∠OQM＝?sin30°＝，∴AM＝OA+OM＝，∴由比例式得：AN＝3，PN＝3，∴ON＝AN﹣AO＝3﹣＝2，∴P（2，3）；（2）存在符合條件的點(diǎn)P．如圖3，∵一次函數(shù)y＝x+4的圖象分別與x軸、y軸交于D、E，∴令y＝0，則x+4＝0，令x＝0，則y＝4，解得x＝﹣4，∴D（﹣4，0），E（0，4），∴OD＝4，OE＝4，∵y軸⊥x軸，∴∠EOD＝90°，∴tan∠EDO＝＝＝，∴∠EDO＝30°，取AD的中點(diǎn)G（，0），過(guò)點(diǎn)G作GH∥DE交y軸于點(diǎn)H，則直線(xiàn)GH的解析式為y＝x+，當(dāng)⊙T與直線(xiàn)GH相切時(shí)，一次函數(shù)y＝x+4的圖象上存在唯一一點(diǎn)P，使點(diǎn)P是點(diǎn)A關(guān)于⊙T的“倍距點(diǎn)”，設(shè)切點(diǎn)為L(zhǎng)1或L2，連接T1L1，T2L2，則∠GL1T1＝∠GL2T2＝90°，∵GH∥DE，∴∠OGH＝∠EDO＝30°，∴AT1＝L1T1＝GT1，L2T2＝GT2，AT2＝L2T2，∵AT1＝﹣﹣t，AT2＝t+，GT1＝t+，GT2＝t+，∴﹣﹣t＝×（t+）或t+＝×（t+），解得：t＝﹣或．18．類(lèi)比學(xué)習(xí)：我們已經(jīng)知道，頂點(diǎn)在圓上，且角的兩邊都和圓相交的角叫做圓周角，如圖1，∠APB就是圓周角，弧AB是∠APB所夾的?。?lèi)似的，我們可以把頂點(diǎn)在圓外，且角的兩邊都和圓相交的角叫做圓外角，如圖2，∠APB就是圓外角，弧AB和弧CD是∠APB所夾的弧，新知探索：圖（2）中，弧AB和弧CD度數(shù)分別為80°和30°，∠APB＝25°，歸納總結(jié)：（1）圓周角的度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半；（2）圓外角的度數(shù)等于所夾兩弧的度數(shù)差的一半．新知應(yīng)用：直線(xiàn)y＝﹣x+m與直線(xiàn)y＝x+2相交于y軸上的點(diǎn)C，與x軸分別交于點(diǎn)A、B．經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)作⊙E，點(diǎn)P是第一象限內(nèi)⊙E外的一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P與圓心E在直線(xiàn)AC的同一側(cè)，直線(xiàn)PA、PC分別交⊙E于點(diǎn)M、N，設(shè)∠APC＝θ．①求A點(diǎn)坐標(biāo)；②求⊙E的直徑；③連接MN，求線(xiàn)段MN的長(zhǎng)度（可用含θ的三角函數(shù)式表示）．解：新知探索：∵弧AB和弧CD度數(shù)分別為80°和30°，∴∠BDA＝40°，∠DAC＝15°，∴∠APB＝∠BDA﹣∠DAC＝15°，故答案為：25；歸納總結(jié)：（2）根據(jù)上面所求可以得出：圓外角的度數(shù)等于所夾兩弧的度數(shù)差的一半，故答案為：所夾兩弧的度數(shù)差的一半；新知應(yīng)用：①直線(xiàn)y＝﹣x+2中令x＝0，解得y＝2，因而C點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，2），把（0，2）代入直線(xiàn)y＝﹣x+m，解得m＝2，∴解析式是y＝﹣x+2，令y＝0，解得x＝2，則A點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，0），②在y＝﹣x+2中令y＝0，解得x＝2，則B的坐標(biāo)是（2，0）；根據(jù)A、B、C的坐標(biāo)得到OC＝2，OA＝2，OB＝2，根據(jù)三角函數(shù)得到：tan∠CBO＝＝，故∠ABC＝30°．如答圖1，連接AE，CE，則∠AEC＝60°，∵EC＝AE，∴△ACE是等邊三角形，邊長(zhǎng)是2，∴EC＝2，即半徑是2，故⊙E的直徑為4，③如圖2所示：MN為⊙E中任一弦，它對(duì)的圓周角為∠B，當(dāng)AM為直徑，則∠ANM為直角，則sinB＝sinA＝，即MN＝AM?sinA①（其實(shí)就是正弦定理），根據(jù)點(diǎn)P在⊙E外，如圖3，連接AN，則∠MAN＝∠ANC﹣∠P＝∠ABC﹣∠P＝30°﹣θ，由①得：MN＝4sin（30°﹣θ）．19．（1）【基礎(chǔ)鞏固】如圖1，△ABC內(nèi)接于⊙O，若∠C＝60°，弦AB＝2，則半徑r＝2；（2）【問(wèn)題探究】如圖2，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若∠ADC＝60°，AD＝DC，點(diǎn)B為弧AC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，點(diǎn)C重合）．求證：AB+BC＝BD；（3）【解決問(wèn)題】如圖3，一塊空地由三條直路（線(xiàn)段AD、AB、BC）和一條道路劣弧圍成，已知CM＝DM＝千米，∠DMC＝60°，的半徑為1千米，市政府準(zhǔn)備將這塊空地規(guī)劃為一個(gè)公園，主入口在點(diǎn)M處，另外三個(gè)入口分別在點(diǎn)C、D、P處，其中點(diǎn)P在上，并在公園中修四條慢跑道，即圖中的線(xiàn)段DM、MC、CP、PD，是否存在一種規(guī)劃方案，使得四條慢跑道總長(zhǎng)度（即四邊形DMCP的周長(zhǎng)）最大？若存在，求其最大值；若不存在，說(shuō)明理由．（1）解：連接AO，BO，作OH⊥AB，∵∠C＝60°，∴∠AOB＝120°，∴∠OAB＝30°，∵OH⊥AB，∴AH＝BH＝，∴OH＝AH?tan30°＝＝1，∴AO＝2OH＝2，故答案為：2；（2）證明：在BD上取點(diǎn)E，使BE＝BC，連接EC，AC，∵AD＝CD，∠ADC＝60°，∴△ADC為等邊三角形，