2022-2023學(xué)年楊村第一中學(xué)數(shù)學(xué)高三上期末綜合測(cè)試模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．木匠師傅對(duì)一個(gè)圓錐形木件進(jìn)行加工后得到一個(gè)三視圖如圖所示的新木件，則該木件的體積（）A． B． C． D．2．已知是函數(shù)的極大值點(diǎn)，則的取值范圍是A． B．C． D．3．已知向量滿足,且與的夾角為,則()A． B． C． D．4．已知命題p：若，，則；命題q：，使得”，則以下命題為真命題的是（）A． B． C． D．5．《易經(jīng)》包含著很多哲理，在信息學(xué)、天文學(xué)中都有廣泛的應(yīng)用，《易經(jīng)》的博大精深，對(duì)今天的幾何學(xué)和其它學(xué)科仍有深刻的影響．下圖就是易經(jīng)中記載的幾何圖形——八卦田，圖中正八邊形代表八卦，中間的圓代表陰陽太極圖，八塊面積相等的曲邊梯形代表八卦田．已知正八邊形的邊長為，陰陽太極圖的半徑為，則每塊八卦田的面積約為（）A． B．C． D．6．南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項(xiàng)之差并不相等，但是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列對(duì)這類高階等差數(shù)列的研究，在楊輝之后一般稱為“垛積術(shù)”.現(xiàn)有高階等差數(shù)列，其前7項(xiàng)分別為1，4，8，14，23，36，54，則該數(shù)列的第19項(xiàng)為（）（注：）A．1624 B．1024 C．1198 D．15607．a(chǎn)為正實(shí)數(shù)，i為虛數(shù)單位，，則a=（）A．2 B． C． D．18．已知函數(shù)，則（）A． B．1 C．-1 D．09．如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是（）A． B． C． D．810．為研究某咖啡店每日的熱咖啡銷售量和氣溫之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系，統(tǒng)計(jì)該店2017年每周六的銷售量及當(dāng)天氣溫得到如圖所示的散點(diǎn)圖（軸表示氣溫，軸表示銷售量），由散點(diǎn)圖可知與的相關(guān)關(guān)系為（）A．正相關(guān)，相關(guān)系數(shù)的值為B．負(fù)相關(guān)，相關(guān)系數(shù)的值為C．負(fù)相關(guān)，相關(guān)系數(shù)的值為D．正相關(guān)，相關(guān)負(fù)數(shù)的值為11．過拋物線的焦點(diǎn)且與的對(duì)稱軸垂直的直線與交于，兩點(diǎn)，，為的準(zhǔn)線上的一點(diǎn)，則的面積為（）A．1 B．2 C．4 D．812．已知集合，，則等于()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)、，則的取值范圍為_________.14．甲、乙、丙、丁四人參加冬季滑雪比賽，有兩人獲獎(jiǎng).在比賽結(jié)果揭曉之前，四人的猜測(cè)如下表，其中“√”表示猜測(cè)某人獲獎(jiǎng)，“×”表示猜測(cè)某人未獲獎(jiǎng)，而“○”則表示對(duì)某人是否獲獎(jiǎng)未發(fā)表意見.已知四個(gè)人中有且只有兩個(gè)人的猜測(cè)是正確的，那么兩名獲獎(jiǎng)?wù)呤莀______.甲獲獎(jiǎng)乙獲獎(jiǎng)丙獲獎(jiǎng)丁獲獎(jiǎng)甲的猜測(cè)√××√乙的猜測(cè)×○○√丙的猜測(cè)×√×√丁的猜測(cè)○○√×15．已知，那么______.16．設(shè),滿足約束條件,若目標(biāo)函數(shù)的最大值為,則的最小值為______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知，，求證：（1）；（2）.18．（12分）已知函數(shù)f(x)=ex-x2-kx（其中e為自然對(duì)數(shù)的底，k為常數(shù)）有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)．（1）求實(shí)數(shù)k的取值范圍；（2）證明：f(x)的極大值不小于1．19．（12分）已知函數(shù).（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）設(shè)其中為常數(shù).若方程在上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（12分）橢圓的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)且與軸垂直的直線被橢圓截得的弦長為.（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)且斜率不為0的直線與橢圓交于，兩點(diǎn).為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓的右頂點(diǎn)，求四邊形面積的最大值.21．（12分）某省新課改后某校為預(yù)測(cè)2020屆高三畢業(yè)班的本科上線情況，從該校上一屆高三（1）班到高三（5）班隨機(jī)抽取50人，得到各班抽取的人數(shù)和其中本科上線人數(shù)，并將抽取數(shù)據(jù)制成下面的條形統(tǒng)計(jì)圖.（1）根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖，估計(jì)本屆高三學(xué)生本科上線率.（2）已知該省甲市2020屆高考考生人數(shù)為4萬，假設(shè)以（1）中的本科上線率作為甲市每個(gè)考生本科上線的概率.（i）若從甲市隨機(jī)抽取10名高三學(xué)生，求恰有8名學(xué)生達(dá)到本科線的概率（結(jié)果精確到0.01）；（ii）已知該省乙市2020屆高考考生人數(shù)為3.6萬，假設(shè)該市每個(gè)考生本科上線率均為，若2020屆高考本科上線人數(shù)乙市的均值不低于甲市，求p的取值范圍.可能用到的參考數(shù)據(jù)：取，.22．（10分）[選修4-4：極坐標(biāo)與參數(shù)方程]在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（是參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）若射線與曲線交于，兩點(diǎn)，與曲線交于，兩點(diǎn)，求取最大值時(shí)的值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

由三視圖知幾何體是一個(gè)從圓錐中截出來的錐體,圓錐底面半徑為,圓錐的高,截去的底面劣弧的圓心角為，底面剩余部分的面積為,利用錐體的體積公式即可求得.【詳解】由已知中的三視圖知圓錐底面半徑為，圓錐的高，圓錐母線，截去的底面弧的圓心角為120°，底面剩余部分的面積為，故幾何體的體積為：.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了三視圖還原幾何體及體積求解問題,考查了學(xué)生空間想象,數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,難度一般.2、B【解析】

方法一：令，則，，當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞減，∴時(shí)，，，且，∴，即在上單調(diào)遞增，時(shí)，，，且，∴，即在上單調(diào)遞減，∴是函數(shù)的極大值點(diǎn)，∴滿足題意；當(dāng)時(shí)，存在使得，即，又在上單調(diào)遞減，∴時(shí)，，所以，這與是函數(shù)的極大值點(diǎn)矛盾．綜上，．故選B．方法二：依據(jù)極值的定義，要使是函數(shù)的極大值點(diǎn)，須在的左側(cè)附近，，即；在的右側(cè)附近，，即．易知，時(shí)，與相切于原點(diǎn)，所以根據(jù)與的圖象關(guān)系，可得，故選B．3、A【解析】

根據(jù)向量的運(yùn)算法則展開后利用數(shù)量積的性質(zhì)即可.【詳解】.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)量積的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】

先判斷命題的真假,進(jìn)而根據(jù)復(fù)合命題真假的真值表,即可得答案.【詳解】，，因?yàn)?，，所以，所以，即命題p為真命題；畫出函數(shù)和圖象，知命題q為假命題,所以為真.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查真假命題的概念,以及真值表的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是判斷出命題的真假,難度較易.5、B【解析】

由圖利用三角形的面積公式可得正八邊形中每個(gè)三角形的面積，再計(jì)算出圓面積的，兩面積作差即可求解.【詳解】由圖，正八邊形分割成個(gè)等腰三角形，頂角為，設(shè)三角形的腰為，由正弦定理可得，解得，所以三角形的面積為：，所以每塊八卦田的面積約為：.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理解三角形、三角形的面積公式，需熟記定理與面積公式，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】

根據(jù)高階等差數(shù)列的定義，求得等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和，利用累加法求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求得.【詳解】依題意：1，4，8，14，23，36，54，……兩兩作差得：3，4，6，9，13，18，……兩兩作差得：1，2，3，4，5，……設(shè)該數(shù)列為，令，設(shè)的前項(xiàng)和為，又令，設(shè)的前項(xiàng)和為.易，，進(jìn)而得，所以，則，所以，所以.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查新定義數(shù)列的理解和運(yùn)用，考查累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.7、B【解析】

，選B.8、A【解析】

由函數(shù)，求得，進(jìn)而求得的值，得到答案.【詳解】由題意函數(shù)，則，所以，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了分段函數(shù)的求值問題，其中解答中根據(jù)分段函數(shù)的解析式，代入求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】

由三視圖還原出原幾何體，得出幾何體的結(jié)構(gòu)特征，然后計(jì)算體積．【詳解】由三視圖知原幾何體是一個(gè)四棱錐，四棱錐底面是邊長為2的正方形，高為2，直觀圖如圖所示，．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查三視圖，考查棱錐的體積公式，掌握基本幾何體的三視圖是解題關(guān)鍵．10、C【解析】

根據(jù)正負(fù)相關(guān)的概念判斷．【詳解】由散點(diǎn)圖知隨著的增大而減小，因此是負(fù)相關(guān)．相關(guān)系數(shù)為負(fù)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查變量的相關(guān)關(guān)系，考查正相關(guān)和負(fù)相關(guān)的區(qū)別．掌握正負(fù)相關(guān)的定義是解題基礎(chǔ)．11、C【解析】

設(shè)拋物線的解析式，得焦點(diǎn)為，對(duì)稱軸為軸，準(zhǔn)線為，這樣可設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，代入拋物線方程可求得，而到直線的距離為，從而可求得三角形面積．【詳解】設(shè)拋物線的解析式，則焦點(diǎn)為，對(duì)稱軸為軸，準(zhǔn)線為，∵直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，，是與的交點(diǎn)，又軸，∴可設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，代入，解得，又∵點(diǎn)在準(zhǔn)線上，設(shè)過點(diǎn)的的垂線與交于點(diǎn)，，∴.故應(yīng)選C.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的性質(zhì)，解題時(shí)只要設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，就能得出點(diǎn)坐標(biāo)，從而求得參數(shù)的值．本題難度一般．12、B【解析】

解不等式確定集合，然后由補(bǔ)集、并集定義求解．【詳解】由題意或，∴，．故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查集合的綜合運(yùn)算，以及一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題型．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)函數(shù)，利用極值的定義，建立方程，結(jié)合韋達(dá)定理，即可求的取值范圍．【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，，依題意，方程有兩個(gè)不等的正根、（其中），則，由韋達(dá)定理得，，所以，令，則，，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，.因此，的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)極值點(diǎn)問題，考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值，將的取值范圍轉(zhuǎn)化為以為自變量的函數(shù)的值域問題是解答的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于中等題.14、乙、丁【解析】

本題首先可根據(jù)題意中的“四個(gè)人中有且只有兩個(gè)人的猜測(cè)是正確的”將題目分為四種情況，然后對(duì)四種情況依次進(jìn)行分析，觀察四人所猜測(cè)的結(jié)果是否沖突，最后即可得出結(jié)果.【詳解】從表中可知，若甲猜測(cè)正確，則乙，丙，丁猜測(cè)錯(cuò)誤，與題意不符，故甲猜測(cè)錯(cuò)誤；若乙猜測(cè)正確，則依題意丙猜測(cè)無法確定正誤，丁猜測(cè)錯(cuò)誤；若丙猜測(cè)正確，則丁猜測(cè)錯(cuò)誤；綜上只有乙，丙猜測(cè)不矛盾，依題意乙，丙猜測(cè)是正確的，從而得出乙，丁獲獎(jiǎng).所以本題答案為乙、丁.【點(diǎn)睛】本題是一個(gè)簡(jiǎn)單的合情推理題，能否根據(jù)“四個(gè)人中有且只有兩個(gè)人的猜測(cè)是正確的”將題目所給條件分為四種情況并通過推理判斷出每一種情況的正誤是解決本題的關(guān)鍵，考查推理能力，是簡(jiǎn)單題.15、【解析】

由已知利用誘導(dǎo)公式可求，進(jìn)而根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系即可求解.【詳解】∵，∴，，∴.故答案為：.【點(diǎn)睛】本小題主要考查誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

先根據(jù)條件畫出可行域,設(shè),再利用幾何意義求最值,將最大值轉(zhuǎn)化為軸上的截距,只需求出直線,過可行域內(nèi)的點(diǎn)時(shí)取得最大值,從而得到一個(gè)關(guān)于,的等式,最后利用基本不等式求最小值即可．【詳解】解：不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分,當(dāng)直線過直線與直線的交點(diǎn)時(shí),目標(biāo)函數(shù)取得最大,即,即,而．故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應(yīng)用、簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃,以及利用幾何意義求最值,屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）見解析．【解析】

（1）結(jié)合基本不等式可證明；（2）利用基本不等式得，即，同理得其他兩個(gè)式子，三式相加可證結(jié)論．【詳解】（1）∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c等號(hào)成立，∴；（2）由基本不等式，∴，同理，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c等號(hào)成立∴．【點(diǎn)睛】本題考查不等式的證明，考查用基本不等式證明不等式成立．解題關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)基本不等式的形式，方法是綜合法．18、（1）；（2）見解析【解析】

（1）求出，記，問題轉(zhuǎn)化為方程有兩個(gè)不同解，求導(dǎo)，研究極值即可得結(jié)果；（2）由（1）知，在區(qū)間上存在極大值點(diǎn)，且，則可求出極大值，記，求導(dǎo)，求單調(diào)性，求出極值即可.【詳解】（1），由，記，，由，且時(shí)，，單調(diào)遞減，，時(shí)，，單調(diào)遞增，，由題意，方程有兩個(gè)不同解，所以；（2）解法一：由（1）知，在區(qū)間上存在極大值點(diǎn)，且，所以的極大值為，記，則，因?yàn)?，所以，所以時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，即函數(shù)的極大值不小于1.解法二：由（1）知，在區(qū)間上存在極大值點(diǎn)，且，所以的極大值為，因?yàn)椋?，所?即函數(shù)的極大值不小于1.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值，考查學(xué)生綜合分析能力與轉(zhuǎn)化能力，是一道中檔題.19、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（I）零點(diǎn)分段法，分，，討論即可；（II），分，，三種情況討論.【詳解】原不等式即.當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)得.解得；當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)得.此時(shí)無解；當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)得.解得.綜上，原不等式的解集為由題意，設(shè)方程兩根為.當(dāng)時(shí)，方程等價(jià)于方程.易知當(dāng)，方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.此時(shí)方程在上無解.滿足條件.當(dāng)時(shí)，方程等價(jià)于方程，此時(shí)方程在上顯然沒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.當(dāng)時(shí)，易知當(dāng)，方程在上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.此時(shí)方程在上也有一個(gè)實(shí)數(shù)根.滿足條件.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查解絕對(duì)值不等式以及方程根的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，是一道中檔題.20、（1）（2）最大值.【解析】

（1）根據(jù)通徑和即可求（2）設(shè)直線方程為，聯(lián)立橢圓，利用，用含的式子表示出，用換元，可得，最后用均值不等式求解.【詳解】解：（1）依題意有，，，所以橢圓的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得.所以，.所以.令，則，所以，因，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)，即四邊形面積的最大值.【點(diǎn)睛】考查橢圓方程的求法和橢圓中四邊形面積最大值的求法，是難題.21、(1)60%；(2)（i）0.12（ii）【解析】

（1）利用