任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)教師

課題：任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)【知識(shí)點(diǎn)一、象限角及終邊相同的角】1．任意角、角的分類：①按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負(fù)角、零角．②按終邊位置不同分為象限角和軸線角．③終邊相同的角：終邊與角α相同的角可寫成α＋k·360°（k∈Z）．2．弧度制：①1弧度的角：把長度等于半徑長的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角．②規(guī)定：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為零，|α|＝eq\f(l,r)，l是以角α作為圓心角時(shí)所對(duì)圓弧的長，r為半徑．③用“弧度”做單位來度量角的制度叫做弧度制．比值eq\f(l,r)與所取的r的大小無關(guān)，僅與角的大小有關(guān)．3．弧度與角度的換算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．【典型例題】【例1】下列與eq\f(9π,4)的終邊相同的角的表達(dá)式中正確的是（）A．2kπ＋45°（k∈Z） B．k·360°＋eq\f(9,4)π（k∈Z）C．k·360°－315°（k∈Z） D．kπ＋eq\f(5π,4)（k∈Z）【答案】C．【解析】與eq\f(9π,4)的終邊相同的角可以寫成2kπ＋eq\f(9π,4)（k∈Z），但是角度制與弧度制不能混用，所以只有C正確．【例2】已知角α＝45°，（1）在－720°～0°范圍內(nèi)找出所有與角α終邊相同的角β；（2）設(shè)集合，判斷兩集合的關(guān)系．【答案】（1）β＝－675°或β＝－315°．（2）．【解析】（1）所有與角α有相同終邊的角可表示為：β＝45°＋k×360°（k∈Z），則令－720°≤45°＋k×360°<0°，得－765°≤k×360°<－45°，解得－eq\f(765,360)≤k<－eq\f(45,360)，從而k＝－2或k＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°．（2）因?yàn)镸＝{x|x＝（2k＋1）×45°，k∈Z}表示的是終邊落在四個(gè)象限的平分線上的角的集合；而集合N＝{x|x＝（k＋1）×45°，k∈Z}表示終邊落在坐標(biāo)軸或四個(gè)象限平分線上的角的集合，從而．【例3】若且，則角θ的終邊所在象限是（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinθ>0,sin2θ>0))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinθ>0，,cosθ>0))，故θ終邊在第一象限．【舉一反三】1．終邊在直線y＝eq\r(3)x上的角的集合為________．【答案】{α|α＝kπ＋eq\f(π,3)，k∈Z}【解析】終邊在直線y＝eq\r(3)x上的角的集合為{α|α＝kπ＋eq\f(π,3)，k∈Z}．2．若角是第二象限角，試確定，的終邊所在位置．【答案】角的終邊在第三象限或第四象限或軸的負(fù)半軸上,的終邊在第一象限或第三象限．【解析】∵角是第二象限角，∴，（1），∴角的終邊在第三象限或第四象限或軸的負(fù)半軸上．【識(shí)點(diǎn)二、三角函數(shù)的定義】1．任意角的三角函數(shù)定義：設(shè)α是一個(gè)任意角，角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P（x，y），那么角α的正弦、余弦、正切分別是：sinα＝y(tǒng)，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x)，它們都是以角為自變量，以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)．2．三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號(hào)口訣是：一全正、二正弦、三正切、四余弦3．三角函數(shù)線設(shè)角α的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓相交于點(diǎn)P，過P作PM垂直于x軸于M．由三角函數(shù)的定義知，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（cos_α，sin_α），即P（cos_α，sin_α），其中cosα＝OM，sinα＝MP，單位圓與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，單位圓在A點(diǎn)的切線與α的終邊或其反向延長線相交于點(diǎn)T，則tanα＝AT．我們把有向線段OM、MP、AT叫做α的余弦線、正弦線、正切線．三角函數(shù)線有向線段MP為正弦線有向線段OM為余弦線有向線段AT為正切線4．扇形的弧長及面積公式弧長公式：l＝|α|r，扇形面積公式：S扇形＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2．【典型例題】【例1】已知角終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由于，所以由三角函數(shù)的定義可得，應(yīng)選答案B．【例1】已知一扇形的圓心角為α，半徑為R，弧長為l．（1）若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧長l；（2）已知扇形的周長為10cm，面積是4cm2，求扇形的圓心角；（3）若扇形周長為20cm，當(dāng)扇形的圓心角α為多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大？【答案】（1）eq\f(10π,3)（cm）．（2）圓心角為eq\f(1,2)．（3）l＝10，α＝2．【例3】已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（m，－3），且cosα＝－eq\f(4,5)，則m等于（）A．－eq\f(11,4) B．eq\f(11,4)C．－4 D．4【答案】C【解析】由題意可知，cosα＝eq\f(m,\r(m2＋9))＝－eq\f(4,5)，又m<0，解得m＝－4．【例4】已知角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)P，則tanα＝（）eq\r(3) B．±eq\r(3)C．eq\f(\r(3),3) D．±eq\f(\r(3),3)【答案】B【解析】由|OP|2＝x2＋eq\f(3,4)＝1，得x＝±eq\f(1,2)，tanα＝±eq\r(3)．【例5】若扇形的圓心角，弦長，則弧長__________．【答案】【解析】畫出圖形，如圖所示．設(shè)扇形的半徑為rcm，由sin60°=，得r=4cm，∴l(xiāng)==×4=cm．【舉一反三】1．已知角α的終邊上有一點(diǎn)P（t，t2＋1）（t>0），則tanα的最小值為（）A．1 B．2C．eq\f(1,2) D．eq\r(2)【答案】B【解析】根據(jù)已知條件得tanα＝eq\f(t2＋1,t)＝t＋eq\f(1,t)≥2，當(dāng)且僅當(dāng)t＝1時(shí)，tanα取得最小值2．2．已知角α的終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則角α的最小正值為（）eq\f(5π,6) B．eq\f(2π,3)C．eq\f(5π,3) D．eq\f(11π,6)【答案】D【解析】由題意知點(diǎn)P在第四象限，根據(jù)三角函數(shù)的定義得cosα＝sineq\f(2π,3)＝eq\f(\r(3),2)，故α＝2kπ－eq\f(π,6)（k∈Z），所以α的最小正值為eq\f(11π,6)．3．已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)（3a－9，a＋2），且cosα≤0，sinα>0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．（－2,3] B．（－2,3）C．[－2,3） D．[－2,3]【答案】A【解析】∵cosα≤0，sinα>0，∴角α的終邊落在第二象限或y軸的正半軸上．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－9≤0，,a＋2>0，))∴－2<a≤3．故選A．4．已知角α的終邊在直線y＝－3x上，求10sinα＋eq\f(3,cosα)的值．【答案】0【解析】設(shè)α終邊上任一點(diǎn)為P（k，－3k），則r＝eq\r(k2＋－3k2)＝eq\r(10)|k|．當(dāng)k>0時(shí)，r＝eq\r(10)k，∴sinα＝eq\f(－3k,\r(10)k)＝－eq\f(3,\r(10))，eq\f(1,cosα)＝eq\f(\r(10)k,k)＝eq\r(10)，∴10sinα＋eq\f(3,cosα)＝－3eq\r(10)＋3eq\r(10)＝0；當(dāng)k<0時(shí)，r＝－eq\r(10)k，∴sinα＝eq\f(－3k,－\r(10)k)＝eq\f(3,\r(10))，eq\f(1,cosα)＝eq\f(－\r(10)k,k)＝－eq\r(10)，∴10sinα＋eq\f(3,cosα)＝3eq\r(10)－3eq\r(10)＝0．綜上，10sinα＋eq\f(3,cosα)＝0．【課堂測評(píng)】1．一段圓弧的長度等于其圓內(nèi)接正三角形的邊長，則其圓心角的弧度數(shù)為（）A．eq\f(π,3)B．eq\f(2π,3)C．eq\r(3) D．eq\r(2)【答案】C【解析】設(shè)圓的半徑為R，則其內(nèi)接正三角形的邊長為eq\r(3)R，即該圓弧的弧長為eq\r(3)R，于是其圓心角的弧度數(shù)為eq\r(3)．故選C．2．下列三角函數(shù)值的符號(hào)判斷錯(cuò)誤的是（）A．sin165°＞0B．cos280°＞0C．tan170°＞0 D．tan310°＜0【答案】C【解析】165°是第二象限角，因此sin165°＞0正確；280°是第四象限角，因此cos280°＞0正確；170°是第二象限角，因此tan170°＜0，故C錯(cuò)誤；310°是第四象限角，因此tan310°＜0正確．3．設(shè)θ是第三象限角，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(θ,2)))＝－coseq\f(θ,2)，則eq\f(θ,2)是（）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【答案】B4．已知扇形的周長是4cm，則扇形面積最大時(shí)，扇形的中心角的弧度數(shù)是（）A．2B．1C．eq\f(1,2)D．3【答案】A【解析】設(shè)此扇形的半徑為r，弧長為l，則2r＋l＝4，則面積S＝eq\f(1,2)rl＝eq\f(1,2)r（4－2r）＝－r2＋2r＝－（r－1）2＋1，∴當(dāng)r＝1時(shí)S最大，這時(shí)l＝4－2r＝2，從而α＝eq\f(l,r)＝eq\f(2,1)＝2．5．已知點(diǎn)在第二象限，則的一個(gè)變化區(qū)間是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】點(diǎn)在第二象限，則，由于，排除，則選C6．一扇形的圓心角為120°，則此扇形的面積與其內(nèi)切圓的面積之比為________．【答案】（7＋4eq\r(3)）∶9【解析】設(shè)扇形半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r．則（R－r）sin60°＝r，即R＝1＋eq\f(2\r(3),3)r．又S扇＝eq\f(1,2)|α|R2＝eq\f(1,2)×eq\f(2π,3)×R2＝eq\f(π,3)R2＝eq\f(7＋4\r(3),9)πr2，∴eq\f(S扇,πr2)＝eq\f(7＋4\r(3),9)．7．已知角的終邊過點(diǎn),,求角的的正弦值、余弦值．易錯(cuò)分析：學(xué)生在做題時(shí)容易遺忘的情況．正確解析：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，8．滿足cosα≤－eq\f(1,2)的角α的集合為________【答案】eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|2kπ＋\f(2,3)π≤α≤2kπ＋\f(4,3)π，k∈Z))【課后練習(xí)】1．將表的分針撥快10分鐘，則分針旋轉(zhuǎn)過程中形成的角的弧度數(shù)是（）A．eq\f(π,3)B．eq\f(π,6)C．－eq\f(π,3) D．－eq\f(π,6)【答案】C【解析】將表的分針撥快應(yīng)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，為負(fù)角．故A、B不正確，又因?yàn)閾芸?0分鐘，故應(yīng)轉(zhuǎn)過的角為圓周的eq\f(1,6)．即為－eq\f(1,6)×2π＝－eq\f(π,3)．2．已知銳角α的終邊上一點(diǎn)P（sin40°，1＋cos40°），則α等于（）．A．10°B．20°C．70°D．80°【答案】C【解析】由已知分析可知，由二倍角的正余弦公式整理可得故α等于70°．3．已知角α和角β的終邊關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，且β＝－eq\f(π,3)，則sinα＝（）A．－eq\f(\r(3),2) B．eq\f(\r(3),2)C．－eq\f(1,2) D．eq\f(1,2)【答案】D【解析】因?yàn)榻铅梁徒铅碌慕K邊關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，所以α＋β＝2kπ＋eq\f(π,2)（k∈Z），又β＝－eq\f(π,3)，所以α＝2kπ＋eq\f(5π,6)（k∈Z），即得sinα＝eq\f(1,2)．4．若α的終邊過點(diǎn)P（2sin30°，－2cos30°），則sinα的值為（）A．eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(3),2) D．－eq\f(\r(3),3)[來源Com]【答案】C【解析】P（2sin30°，－2cos30°）即P（1，－eq\r(3)），∴r＝2，故sinα＝－eq\f(\r(3),2)，故選C．5．三角形ABC是銳角三角形，若角θ終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為（sinA－cosB，cosA－sinC），則eq\f(sinθ,|sinθ|)＋eq\f(cosθ,|cosθ|)＋eq\f(tanθ,|tanθ|)的值是（）A．1 B．－1C．3 D．4【答案】B【解析】因?yàn)槿切蜛BC是銳角三角形，所以A＋B>90°，即A>90°－B，則sinA>sin（90°－B）＝cosB，sinA－cosB>0，同理cosA－sinC<0，所以點(diǎn)P在第四象限，eq\f(sinθ,|sinθ|)＋eq\f(cosθ,|cosθ|)＋eq\f(tanθ,|tanθ|)＝－1＋1－1＝－1．6．已知點(diǎn)在角的終邊上，且，則的值為）A．B．C．D．【答案】C【解析】因?yàn)辄c(diǎn)在角的終邊上，由三角函數(shù)的定義可知，且點(diǎn)在第四象限，所以．7．若角滿足，則的終邊一定在（）A．第一象限或第二象限或第三象限B．第一象限或第二象限或第四象限C．第一象限或第二象限或軸非正半軸上D．第一象限或第二象限或軸非正半軸上【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，，終邊位于第一象限，當(dāng)時(shí)，，終邊位于第二象限，當(dāng)時(shí)，，終邊位于軸的非正半軸上，當(dāng)時(shí)，，終邊位于第一象限，綜上可知，則的終邊一定在第一象限或第二象限或軸非正半軸上．故選D．8．若eq\f(3π,2)<α<2π，則直線eq\f(x,c