黑龍江省安達(dá)市七中2025屆高一下數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考試題含解析

黑龍江省安達(dá)市七中2025屆高一下數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．《九章算術(shù)》卷第六《均輸》中，提到如下問題：“今有竹九節(jié)，下三節(jié)容量四升，上四節(jié)容量三升．問中間二節(jié)欲均容，各多少？”其大致意思是說，若九節(jié)竹每節(jié)的容量依次成等差數(shù)列，下三節(jié)容量四升，上四節(jié)容量三升，則中間兩節(jié)的容量各是（）A．升、升 B．升、升C．升、升 D．升、升2．將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)沿軸向右平移個(gè)單位長度，所得函數(shù)圖象的一個(gè)對稱中心為（）A． B． C． D．3．盒中裝有除顏色以外，形狀大小完全相同的3個(gè)紅球、2個(gè)白球、1個(gè)黑球，從中任取2個(gè)球，則互斥而不對立的兩個(gè)事件是（）A．至少有一個(gè)白球；至少有一個(gè)紅球 B．至少有一個(gè)白球；紅、黑球各一個(gè)C．恰有一個(gè)白球：一個(gè)白球一個(gè)黑球 D．至少有一個(gè)白球；都是白球4．設(shè)變量滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最小值為（）A． B． C． D．25．已知滿足：，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為（）A．6 B．8 C．16 D．46．已知兩條不重合的直線和，兩個(gè)不重合的平面和，下列四個(gè)說法：①若，，，則；②若，，則；③若，，，，則；④若，，，，則．其中所有正確的序號(hào)為（）A．②④ B．③④ C．④ D．①③7．已知,當(dāng)取得最小值時(shí)（）A． B． C． D．8．菱形ABCD，E是AB邊靠近A的一個(gè)三等分點(diǎn)，DE=4，則菱形ABCD面積最大值為（）A．36 B．18 C．12 D．99．直線經(jīng)過點(diǎn)和，則直線的傾斜角為（）A． B． C． D．10．若數(shù)列，若，則在下列數(shù)列中，可取遍數(shù)列前項(xiàng)值的數(shù)列為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，，的面積等于，則外接圓的面積為______．12．從分別寫有1，2，3，4，5的五張卡片中，任取兩張，這兩張卡片上的數(shù)字之差的絕對值等于1的概率為________．13．的值為________.14．若數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式______．15．用列舉法表示集合__________．16．已知無窮等比數(shù)列的前項(xiàng)和，其中為常數(shù)，則________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．求經(jīng)過直線：與直線：的交點(diǎn)，且分別滿足下列條件的直線方程.（Ⅰ）與直線平行；（Ⅱ）與直線垂直.18．在四棱錐中，，．（1）若點(diǎn)為的中點(diǎn)，求證：平面；（2）當(dāng)平面平面時(shí)，求二面角的余弦值．19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：x2⑴若圓E的半徑為2，圓E與x軸相切且與圓C外切，求圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；⑵若過原點(diǎn)O的直線l與圓C相交于A,B兩點(diǎn)，且OA=AB，求直線l的方程．20．如圖，在中，點(diǎn)在邊上，為的平分線，．（1）求；（2）若,,求．21．已知向量垂直于向量，向量垂直于向量.（1）求向量與的夾角；（2）設(shè)，且向量滿足，求的最小值；（3）在（2）的條件下，隨機(jī)選取一個(gè)向量，求的概率.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】

由題意知九節(jié)竹的容量成等差數(shù)列，至下而上各節(jié)的容量分別為a1，a2，…，an，公差為d，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式和通項(xiàng)公式列出方程組，求出首項(xiàng)和公差，由此能求出中間一節(jié)的容量．【詳解】由題意知九節(jié)竹的容量成等差數(shù)列,至下而上各節(jié)的容量分別為a1，a2，…，a9，公差為d，即=4，=3，∴=4，=3，解得,，∴中間兩節(jié)的容量,，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程組，解出首項(xiàng)與公差即可，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】

先求得圖象變換后的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)對稱中心，求出正確選項(xiàng).【詳解】向右平移的單位長度，得到，由解得，當(dāng)時(shí)，對稱中心為，故選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)圖象變換，考查三角函數(shù)對稱中心的求法，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】

根據(jù)對立事件和互斥事件的定義，對每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可.【詳解】從6個(gè)小球中任取2個(gè)小球，共有15個(gè)基本事件，因?yàn)榇嬖谑录喝〕龅膬蓚€(gè)球?yàn)?個(gè)白球和1個(gè)紅球，故至少有一個(gè)白球；至少有一個(gè)紅球，這兩個(gè)事件不互斥，故A錯(cuò)誤；因?yàn)榇嬖谑录喝〕龅膬蓚€(gè)球?yàn)?個(gè)白球和1個(gè)黑球，故恰有一個(gè)白球：一個(gè)白球一個(gè)黑球，這兩個(gè)事件不互斥，故C錯(cuò)誤；因?yàn)榇嬖谑录喝〕龅膬蓚€(gè)球都是白球，故至少有一個(gè)白球；都是白球，這兩個(gè)事件不互斥，故D錯(cuò)誤；因?yàn)橹辽儆幸粋€(gè)白球，包括：1個(gè)白球和1個(gè)紅球，1個(gè)白球和1個(gè)黑球，2個(gè)白球這3個(gè)基本事件；紅、黑球各一個(gè)只包括1個(gè)紅球1個(gè)白球這1個(gè)基本事件，故兩個(gè)事件互斥，因還有其它基本事件未包括，故不對立.故B正確.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查互斥事件和對立事件的辨析，屬基礎(chǔ)題.4、B【解析】

根據(jù)不等式組畫出可行域，數(shù)形結(jié)合解決問題.【詳解】不等式組確定的可行域如下圖所示：因?yàn)榭苫啚榕c直線平行，且其在軸的截距與成正比關(guān)系，故當(dāng)且僅當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過和的交點(diǎn)時(shí)，取得最小值，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)可得.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查常規(guī)線性規(guī)劃問題，屬基礎(chǔ)題，注意數(shù)形結(jié)合即可.5、D【解析】

作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，數(shù)形結(jié)合，利用z的幾何意義，即得?！驹斀狻坑深}得，不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖，中z表示函數(shù)在y軸的截距，由圖易得，當(dāng)函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)z取到最大值，A點(diǎn)坐標(biāo)為，因此目標(biāo)函數(shù)的最大值為4.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃，是基礎(chǔ)題。6、C【解析】

根據(jù)線面平行，面面平行，線面垂直，面面垂直的性質(zhì)定理，判定定理等有關(guān)結(jié)論，逐項(xiàng)判斷出各項(xiàng)的真假，即可求出．【詳解】對①，若，，，則或和相交，所以①錯(cuò)誤；對②，若，，則或，所以②錯(cuò)誤；對③，根據(jù)面面平行的判定定理可知，只有，，，，且和相交，則，所以③錯(cuò)誤；對④，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可知，④正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查有關(guān)線面平行，面面平行，線面垂直，面面垂直的命題的判斷，意在考查線面平行，面面平行，線面垂直，面面垂直的性質(zhì)定理，判定定理等有關(guān)結(jié)論的理解和應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．7、D【解析】

可用導(dǎo)函數(shù)解決最小值問題，即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意，令，則，而當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在處取得極小值，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的最值問題，意在考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)工具解決實(shí)際問題的能力，難度中等.8、B【解析】

設(shè)出菱形的邊長，在三角形ADE中，用余弦定理表示出cosA【詳解】設(shè)菱形的邊長為3a，在三角形ADE中，AD=3a,AE=a,DE=4，有余弦定理得cosA=10a2-166a故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查余弦定理解三角形，考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，考查菱形的面積公式，考查二次函數(shù)最值的求法，屬于中檔題.9、D【解析】

算出直線的斜率后可得其傾斜角.【詳解】設(shè)直線的斜率為，且傾斜角為，則，根據(jù)，而，故，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查直線傾斜角的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】

推導(dǎo)出是以6為周期的周期數(shù)列，從而是可取遍數(shù)列前6項(xiàng)值的數(shù)列．【詳解】數(shù)列，，，，，，，，，是以6為周期的周期數(shù)列，是可取遍數(shù)列前6項(xiàng)值的數(shù)列．故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的周期性與三角函數(shù)知識(shí)的交會(huì)，考查基本運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意函數(shù)與方程思想的應(yīng)用．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、4π【解析】

利用三角形面積公式求解,再利用余弦定理求得,進(jìn)而得到外接圓半徑,再求面積即可.【詳解】由，解得．．解得．，解得．∴△ABC外接圓的面積為4π．故答案為：4π．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解三角形中正余弦與面積公式的運(yùn)用,屬于基礎(chǔ)題型.12、【解析】

基本事件總數(shù)n，利用列舉法求出這兩張卡片上的數(shù)字之差的絕對值等于1包含的基本事件有4種情況，由此能求出這兩張卡片上的數(shù)字之差的絕對值等于1的概率．【詳解】從分別寫有1，2，3，4，5的五張卡片中，任取兩張，基本事件總數(shù)n，這兩張卡片上的數(shù)字之差的絕對值等于1包含的基本事件有：（1，2），（2，3），（3，4），（4，5），共4種情況，∴這兩張卡片上的數(shù)字之差的絕對值等于1的概率為p．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．13、【解析】

利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、二倍角公式，結(jié)合根式運(yùn)算，化簡求得表達(dá)式的值.【詳解】依題意，由于，所以故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、二倍角公式，考查根式運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

在等式兩邊取倒數(shù)，可得出，然后利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出的通項(xiàng)公式，即可求出.【詳解】，等式兩邊同時(shí)取倒數(shù)得，.所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，.因此，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用倒數(shù)法求數(shù)列通項(xiàng)，同時(shí)也考查了等差數(shù)列的定義，考查計(jì)算能力，屬于中等題.15、【解析】

先將的表示形式求解出來，然后根據(jù)范圍求出的可取值.【詳解】因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所以，此時(shí)或，則可得集合：.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)三角函數(shù)值求解給定區(qū)間中變量的值，難度較易.16、1【解析】

根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，求得，再結(jié)合極限的運(yùn)算，即可求解.【詳解】由題意，等比數(shù)列前項(xiàng)和公式，可得，又由，所以，所以，可得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式的應(yīng)用，以及熟練的極限的計(jì)算，其中解答中根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，求得的值，結(jié)合極限的運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）先求得直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo).根據(jù)平行直線的斜率關(guān)系得與平行直線的斜率,再由點(diǎn)斜式即可求得直線方程.（Ⅱ）根據(jù)垂直直線的斜率關(guān)系得與垂直的直線斜率,再由點(diǎn)斜式即可求得直線方程.【詳解】解方程組得,所以直線與直線的交點(diǎn)是（Ⅰ）直線,可化為由題意知與直線平行則直線的斜率為又因?yàn)檫^所以由點(diǎn)斜式方程可得化簡得所以與直線平行且過的直線方程為.（Ⅱ）直線的斜率為則由垂直時(shí)直線的斜率乘積為可知直線的斜率為由題意知該直線經(jīng)過點(diǎn),所以由點(diǎn)斜式方程可知化簡可得所以與直線垂直且過的直線方程為.【點(diǎn)睛】本題考查了直線平行與垂直時(shí)的斜率關(guān)系,由點(diǎn)斜式求方程的用法,屬于基礎(chǔ)題.18、（1）見解析；（2）.【解析】

(I)結(jié)合平面與平面平行判定,得到平面BEM平行平面PAD,結(jié)合平面與平面性質(zhì),證明結(jié)論.(II)建立空間坐標(biāo)系,分別計(jì)算平面PCD和平面PDB的法向量,結(jié)合向量數(shù)量積公式,計(jì)算余弦值,即可.【詳解】(Ⅰ)取的中點(diǎn)為，連結(jié)，.由已知得，為等邊三角形，.∵，，∴，∴，∴.又∵平面，平面，∴∥平面.∵為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，∴∥.又∵平面，平面，∴∥平面.∵，∴平面∥平面.∵平面，∴∥平面.(Ⅱ)連結(jié)，交于點(diǎn)，連結(jié)，由對稱性知，為的中點(diǎn)，且，.∵平面平面，，∴平面，，.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.則(0，，0)，(3，0，0)，(0，0，1).易知平面的一個(gè)法向量為.設(shè)平面的法向量為，則，，∴，∵，，∴.令，得，∴，∴.設(shè)二面角的大小為，則.【點(diǎn)睛】本道題考查了平面與平面平行判定和性質(zhì),考查了空間向量數(shù)量積公式,關(guān)鍵建立空間坐標(biāo)系,難度偏難.19、(1)(x+3)2+(y-2)2【解析】

（1）設(shè)出圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2，由圓E與x軸相切，可得b=r，由圓E與圓C外切，可得兩圓心距等于半徑之和，由此解出（2）法一：設(shè)出A點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0)，根據(jù)OA=AB，可得到點(diǎn)B坐標(biāo)，把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入圓法二：設(shè)AB的中點(diǎn)為M，連結(jié)CM，CA，設(shè)出直線l的方程，由題求出CM的長，利用點(diǎn)到直線的距離即可得求出k值，從而得到直線l的方程【詳解】⑴設(shè)圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2因?yàn)閳AE的半徑為2，與x軸相切，所以b=2因?yàn)閳AE與圓C外切所以EC=3，即a由①②解得a=±3,b=2故圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+3)2+⑵方法一;設(shè)A(因?yàn)镺A=AB，所以A為OB的中點(diǎn)，從而B(2因?yàn)锳，B都在圓C上所以x解得x0=-故直線l的方程為：y=±方法二：設(shè)AB的中點(diǎn)為M，連結(jié)CM，CA設(shè)AM=t，CM=d因?yàn)镺A=AB，所以O(shè)M=3t在RtΔACM中，d2在RtΔOCM中，d2由③④解得d=由題可知直線l的斜率一定存在，設(shè)直線l的方程為y=kx則d=2k故直線l的方程為y=±【點(diǎn)睛】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與直線方程，解題關(guān)鍵是設(shè)出方程，找出關(guān)系式，屬于中檔題。20、(1)(2)【解析】

（1）令，正弦定理，得，代入面積公式計(jì)算得到答案.（2）由題意得到，化