人教版A 高中數學必修第一冊453函數模型的應用教學設計

人教版A高中數學必修第一冊4.5.3函數模型的應用教學設計（1）

第五章函數的應用（二）

函數模型的應用

本節(jié)課選自《一般高中課程標準實驗教科書數學必修1本（A版）》的第五章的

4.5.3函數模型的應用。函數模型及其應用是中學重要內容之一，又是數學與生活實

踐互相連接的樞紐，特別在應企圖識日趨加深的今日，函數模型的應用實質是揭露了

客觀世界中量的互相依存有互有限制的關系，因此函數模型的應用舉例有著不行代

替的重要地點又有重要的現實意義。

本節(jié)課要修業(yè)生利用給定的函數模型或成立函數模型解決實質問題,并對給定的函

數模型進行

簡單的剖析評論,發(fā)展學生數學建模、數學直觀、數學抽象、邏輯推理的核心修養(yǎng)。

課程目標學科修養(yǎng)

1.能成立函數模型解決實質問題、a.數學抽象：由實質問題成立函數模型；

b.邏輯推理:選擇適合的函數模型；

2.認識擬合函數模型并解決實質問題、

c.數學運算:運用函數模型解決實質問題；

3.經過本節(jié)內容的學習,使學生認識函數模型

d.直觀想象:運用函數圖像剖析問題；

的作用，提升學生數學建模，數據剖析的能力、

e.數學建模住實質問題成立函模型；

f.數據剖析:經過數據剖析對應的函數模型；

教課重點:利用給定的函數模型或成立確立性函數模型解決實質問題、

教課難點：利用給定的函數模型或成立確立性函數模型解決實質問題,并對給定的

函數模型進行簡單的剖析評論、

多媒體

教課過程設計企圖

核心教課修養(yǎng)目

標

（一）創(chuàng)建問題情境

1、常有函數模型經過對常有函

（1）一次函數數模型的回首，

y=kx+b（k,b為常數,kH0]

模型提出新的問題，

常（2）二次函數提出運用函數模

y=ax2+bx+c（a,b,c為常數,a/0）

用模擬型剖析解決實質

函（3）指數函數問題培育和發(fā)

y=bax+c（a,b,c為常數,bH0,a>0且aHl）

數模型展數據剖析、數模（4）對數函數學建模和數學抽

型

y=mlogax+n（m,a,n為常數,mH0,a>0且aH1）

模型象、直觀想象的

（5）塞函數模核心修養(yǎng)。

y=axn+b（a,b為常數,a*0]

型

2.成立函數模型解決問題的基本過程

（二）問題研究

我們知道,函數是描繪客觀世界變化規(guī)律的數學模型,不一樣的變化規(guī)律需要用不一

樣的函數模型來刻畫、面對一個實質問題，該怎樣選擇恰當的函數模型來刻畫它呢？

典例分析

例3.人口問題是現在世界各國廣泛關注的問題、認識人口數目的變化規(guī)律，能夠為

擬訂一系列有關政策供給依照、早在1978年,英國經濟學家馬爾薩斯

（T.R.Malthas,1766—1834）就提出了自然狀態(tài)下的

人口增添模型？?=??????

0??，此中t表示經過的時間,??0表示t=0時

的人口數，r表示人口的年均勻增添率、下表是1950?1959年我國的

人口數據資料經過對詳細

問題的剖析建

模，解模的過程，

發(fā)展學生數學建

模、數據剖析、(1)假如以各年人口增添率的均勻值作為我國這一時期的人口增

添率邏輯推理，直觀(精準到0.0001),想象、數學抽象、用馬爾薩斯人口增添模

型成立我國在這一時期的詳細人口增添模型,并數學運算等核心

查驗所得模型與實修養(yǎng)；

際人口數據能否符合；

(2)假如按上表的增添趨向，那么大概在哪一年我國的人口數達到

13億？

剖析：用馬爾薩斯人口增添模型成立詳細人口增添模型,就是要確立

此中的初始量

??0和年均勻增添率r、

解(:1)設1951?1959年我國各年的人口增添率分別為??1,??,2,??9、

由55196(1+??1)=56300,

可得1951年的人口增添率?？

1-0,0200,

同理可得，？？

2?0.0210,??3?0,0229,??4?0.0250,??5?0,0197,

???0,0223,??-0.0276,??-0.0222,??-0.0154s

6789

于是，1951、1959年時期，我國人口的年均勻增添率為:??=(??

1+??+

2

???)+970.0221令？?

1950~1959年時期的人口增

9,0=55196,則我國在

長模型為？?=55196??0.0221??,tGN、

依據表中的數據畫出散點圖,并畫出函數？?=55196??0.0221??(t

GN)

的圖象由圖能夠看出，所得模型與1950?1959年的實質人口數據基

本符合、

事實上，我國1989年的人口數為11.27億，直到2005年才打破13

億、對由

函數模型所得的結果與實質狀況不符

，你有何見解？

因為人口基數較大

，人口增添過快，與我國經濟發(fā)展水平產生了

較大矛盾，所以我國從20世紀70年月逐漸實行了計劃生育政策、所以這一

階段的人口增添條件其實不切合馬爾薩斯人口增添模型的條件，自然就出現了依模

型獲得的結果與實質不符的狀況

、

例4.2010年，考古學家對良渚古城水利系統(tǒng)中一條水壩的建筑資料上提

經過對詳細取的草莖遺存進行碳14年月學檢測，檢測出碳14的殘留量約為初始量

問題的剖析建的55.2%,可否以此推測此水壩大體是什么年月建成的？

模，解模的過程，

剖析：因為死亡生物機體內碳

14的初始量按確立的衰減率衰減

>

發(fā)展學生數學建

屬于指數衰減，所以應選擇函數y=??

??>0,

k??（keR,且kw0；

模、數據剖析、且？?）成立數學模型、

邏輯推理，直觀

解：設樣本中碳14

的初始量為k,衰減率為p（0<??<1）,經

想象、數學抽象、過？?年后，剩余量為？?、依據問題的實質意義

/

數學運算等核心

可選擇以下模型：y=k（1-

??

eR,且kH0；0<p

<1;

??）（k

修養(yǎng)；

??>0）、由碳

5730年，得k（l-

5730

1

14的半衰期為？?）

=2k,于是

57301

，所以？?=

5730

1

??(

V)

??

2

2

由樣本中碳14的剩余量約為初始量的

55.2%可知，即0.552k=5730

1

，解得

??=??????57300.552

??會4912、

??(的

??

1、由計算工具得

2

V2

因為2010年以前的4912年是公元前2902年，

所以推測此水壩大體是公元前2902年建成的、

概括總結

［規(guī)律方法］已知函數模型解決實質問題，常常給出的函數分析式含有參

數，需要將題中的數據代入函數模型，求得函數模型中的參數，再將問題轉變?yōu)?/p>

已知函數分析式求函數值或自變量的值

典例分析

例5.假定你有一筆資本用于投資,現有三種投資方案供你選擇,這三種方案的回報以

下：

方案一：每日回報40元；

方案二：第一天回報10元，此后每日比前一天多回報10元；

方案三：第一天回報0.4元，此后每日的回報比前一天翻一番、

請問，你會選擇哪一種投資方案？

①問題中波及哪些數目關系？

投資天數、回報金額

②怎樣用函數描繪這些數目關系？

剖析：我們能夠先成立三種投資方案所對應的函數模型,再經過比較

它們的增添狀況，為選擇投資方案供給依照

解：設第x天所得回報是V元，則方案一能夠用函數V=40(??€??

?)進行描繪；

方案二能夠用函數y=10x(??e???)進行描繪

方案三能夠用函數y=0.4x2??-1[??￡???)

進行描繪、三個模型中，第一個是常數函數，后兩個都是增函數、要對三個方案作出

選擇,就要對它們的增添狀況進行剖析、

我們先用信息技術計算一下三種方案所得回報的增添狀況

三種方案每日回報表

方案一的函數是常數函

數，方案二、方案三的函數都是增函數，但方案三的函數與

方案二的函數的增添狀況很不同樣、能夠看到，只管方案一、方案二在第1天所得

回報分別是方案三的100倍和25

倍，但它們的增添量固定不變,而方案三是“指數增添"，

其“增添量”是成倍增添的，從第7天開始,方案三比其余兩個方案增添得快得多,這

類增添速度是方案一、方案二所沒法企及的、從每日所得回報看，

在第1~3天，方案一最多；

在第4天，方案一和方案二同樣多,方案三最少；

在第5?8天，方案二最多;第9天開始，方案三比其余兩個方

案所得回報多得多，到第30天，所得回報已超出2億元、

下邊再看累計的回報數、經過信息技術列表以下

投資投資投資投資

1?6天，應選擇方案一；

7天，應選擇方案一或方案二；

8?10天，應選擇方案二；

11天（含11天）以上，應選擇方案三。

若是某企業(yè)每日給你投資1萬元，共投資30天。企業(yè)要求你給他的回

報是:第一天給企業(yè)1分錢，次日給企業(yè)2分錢，此后每日給的錢都是前一天的2倍,

共30天，你認為這樣的交易對你有益嗎？

解答以下:企業(yè)30天內為你的總投資為:30萬元

你30天內給企業(yè)的回報

229

為:0.01+0,01x2+0,01x2++0.01x2=10737418.23~1074（萬元）

上述例子不過一種設想狀況，但從中能夠看到,不一樣的函數增添模

型，增添變化存在很大差別

例6.某企業(yè)為了實現1000萬元收益的目標，準備擬訂一個激勵銷售人

員的獎賞方案:在銷售收益達到10萬元時，按銷售收益進行獎賞，且獎金y

（單位:萬元）隨銷售收益x（單位:萬元）的增添而增添，但獎金總數不超出

5萬元，同時獎金不超出收益的25%o現有三個獎賞模型:y=0.25x,

X

y=logx+1,y=1.002,

7

此中哪個模型能切合企業(yè)的要求？

①例6波及了哪幾類函數模型？

一次函數，對數型函數，指數函數。

②你能用數學語言描繪切合企業(yè)獎賞方案的條件嗎？

剖析:本例供給了三個不一樣增添方式的獎賞模型,按要求選擇此中一

個函數作為刻畫

獎金總數與銷售收益的關系、因為企業(yè)總的收益目標為1000萬元,所以銷售人員

的銷售收益一般不會超出企業(yè)總的收益、于是，只要在區(qū)間［10,1000］上，找尋

并考證所選函數能否知足兩條要求:第一,獎金總數不超出5萬元,即最大值不大于

5；

第二，獎金不超出收益的25%,即YV0.25X、不如先畫出函數圖

象，經過察看函數圖象獲得初步的結論,再經過詳細計算,確認結果、

解：借助信息技術畫出函數y=5,y=0.25x,y=log

x

x+1,y=1.002的7

圖象、察看圖象發(fā)現，在區(qū)間［10,1000］上，模型y=0.25x,

X

y=5的上方，只有模型

y=1.002的圖象都有一部分在直線

y=logx+l的圖象一直在y=5的下方，這說明只有按模型y=logx+l

77

進行獎賞時才切合企業(yè)的要求、

下邊經過計算確認上述判斷、

先計算哪個模型的獎金總數不超出5萬元、

對于模型y=0.25x,它在區(qū)間［10,1000］上單一遞加,并且當x=20時，y=5,

所以，當x>20時，y>5，所以該模型不切合要求；

x

對于模型，y=1.002,由函數圖象，

并利用信息技術,可知在區(qū)間(805,806)

內有一個點??0知足1.002??0=5,因為它在區(qū)間

［10,1000］上單

調遞加，

所以當x>??時，y>5，所以該模型也不切合要求；

對于模型y=logx+l,它在區(qū)間［10,1000］上單一遞加,并且當x=7

1000時,y=log1000+174.55<5,所以它切合獎金總數不超出5萬

7

元的要求、

再計算按模型y=logx+l獎賞時，獎金能否不超出收益的25%,

7

即當xe:10,1000］時，能否有y《0.25x,

即y=logx+l<0,25x成立、

7

令f(x)=y=logx+l-0.25x,xe［10,1000］，利用信息技術畫出它

7

的圖象

由圖象可知函數f(x)在區(qū)間［10,1000］上單一遞減，

所以f(x)<f(10)-0.3167?<0,

即y=logx+l<0,25x、所以，當xe［10,10001時，

7

yv0.25x,說明按模型y=logx+l獎賞,獎金不會超出收益的25%、綜

7

上所述，模型y=logx+l的確能切合企業(yè)要求、

7

［規(guī)律方法］

自建模型時主要抓住四個重點:“求什么，設什么，列什么，限制什么”.

求什么就是弄清楚要解決什么問題，達成什么任務.

設什么就是弄清楚這個問題有哪些要素,誰是核心要素，往常設核心要素

為自變量.

列什么就是把問題已知條件用所設變量表示出來，能夠是方程、函數、不

等式等.

限制什么主若是指自變量所應知足的限制條件，在實質問題中,除了要使函數式存心

義外，還要考慮變量的實質含義，如人不可以是半個等.

三、當堂達標

1.一輛汽車在某段行程中的行駛行程S對于時間t變化的圖象以下圖，那么圖象所

對應的函數模型是0

A、分段函數B、二次函數C、指數函數D、對數函數

【答案】A［由圖可知，該圖象所對應的函數模型是分段函數模型、］2、若鐳經過

100年后剩留本來質量的95.76%,設質量為1的鐳經過x年后剩留量為y,則x,y的

函數關系是0經過練習穩(wěn)固本節(jié)所學知識，鞏固對函數模型的運用，加強學生的數學

建模、直觀想象、數學抽象、數學運算、邏輯推理的核心修養(yǎng)。

100

A、y=0.9576

x

0.9576

C、y=

100

【答案】A［由題意可知

B、y=(0.9576)100x

x

D、y=1-0,0424

100

xxy=(95.76%)

100100

，即y=0.9576.］

3.若一根蠟燭長20cm,點燃后每小時焚燒5cm,則焚燒剩下的高度h(cm)與焚燒

時間t(h)的函數關系用圖象表示為0

【答案】B［由題意h=20—5t(0張4)淇圖象為BJ

4、某工廠生產某種產品固定成本為2000萬元，并且每生產一單位產品,

成本增添10萬元、又知總收入K是單位產品數Q的函數,K(Q)=40Q-

120

Q2,則總收益L(Q)的最大值是萬元.

【答案】2500「?每生產一單位產品，成本增添10萬元，.?.單位產品數Q時的總成本

為2000+10Q萬元、

???K(Q)=40Q-201

Q2,

???收益L(Q)=40Q-1

Q2-10Q-200020

1

Q2+30Q-2000=-

1

(Q-300J2+2500,2020

■?.Q=300時，收益L(Q)的最大值是2500萬元、］

5、已知A,B兩地相距150km,某人開汽車以60km/h的速度從A地抵達B

地，在B地逗留1小時后再以50km/h的速度返回A(1)把汽車走開A地的距離s

表示為時間t的函數(地、

從A地出發(fā)時開始)，

并畫出函數的圖象；

(2)把車速v(km/h)表示為時間t(h)的函數，并畫出函數的圖象、

【答案】(1)①汽車由A