七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)專題01平行線中的拐點(diǎn)模型之豬蹄模型(M型)與鋸齒模型(原卷版+解析)

專題01平行線中的拐點(diǎn)模型之豬蹄模型（M型）與鋸齒模型平行線中的拐點(diǎn)模型在初中數(shù)學(xué)幾何模塊中屬于基礎(chǔ)工具類問題，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題就平行線中的拐點(diǎn)模型（豬蹄模型（M型）與鋸齒模型）進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。拐點(diǎn)（平行線）模型的核心是一組平行線與一個(gè)點(diǎn)，然后把點(diǎn)與兩條線分別連起來，就構(gòu)成了拐點(diǎn)模型，這個(gè)點(diǎn)叫做拐點(diǎn)，兩條線的夾角叫做拐角。通用解法：見拐點(diǎn)作平行線；基本思路：和差拆分與等角轉(zhuǎn)化。模型1：豬蹄模型（M型）與鋸齒模型【模型解讀】圖1圖2圖3如圖1，①已知：AM∥BN，結(jié)論：∠APB=∠A+∠B；②已知：∠APB=∠A+∠B，結(jié)論：AM∥BN.如圖2，已知：AM∥BN，結(jié)論：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2.如圖3，已知：AM∥BN，結(jié)論：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n.【模型證明】（1）∠APB＝∠A+∠B這個(gè)結(jié)論正確，理由如下：如圖1，過點(diǎn)P作PQ∥AM，∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ，∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B．（2）根據(jù)（1）中結(jié)論可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，故答案為：∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，（3）由（2）的規(guī)律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1故答案為：∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1例1．（2023上·湖南長沙·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，為等邊三角形，．若，則（）

A． B． C． D．例2．（2023下·河北石家莊·七年級(jí)統(tǒng)考期末）山上的一段觀光索道如圖所示，索道支撐架均為互相平行（），且每兩個(gè)支撐架之間的索道均是直的，若，，則（

）

A． B． C． D．例3．（2023下·河南駐馬店·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，，，則與滿足（

）

A．B．C．D．例4．（2023下·廣東佛山·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，直線，分別交、于E、F兩點(diǎn)，作、的平分線相交于點(diǎn)K；作、的平分線交于點(diǎn)；依此類推，作、的平分線相交于點(diǎn)，…，作、的平分線相交于點(diǎn)，則，．

例5．（2023下·江蘇泰州·七年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，已知和分別平分和，若，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．例6．（2023下·浙江溫州·七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，已知，點(diǎn)，分別在，上，點(diǎn)，在兩條平行線，之間，與的平分線交于點(diǎn)．若，，則的度數(shù)為（

）．A． B． C． D．例7．（2023下·四川涼山·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，，則．例8．（2023·浙江七年級(jí)期中）如圖（1）所示是一根木尺折斷后的情形，你可能注意過，木尺折斷后的斷口一般是參差不齊的，那么請(qǐng)你深入考慮一下其中所包含的一類數(shù)學(xué)問題，我們不妨取名叫“木尺斷口問題”．（1）如圖（2）所示，已知，請(qǐng)問，，有何關(guān)系并說明理由；（2）如圖（3）所示，已知，請(qǐng)問，，又有何關(guān)系并說明理由；（3）如圖（4）所示，已知，請(qǐng)問與有何關(guān)系并說明理由．例9．（2023下·陜西渭南·七年級(jí)統(tǒng)考期中）已知點(diǎn)在直線，之間，且．

(1)如圖1，過點(diǎn)作直線，求證：；(2)若平分，．①如圖2，平分，過點(diǎn)作，若，求的度數(shù)；②如圖3，過點(diǎn)作，若平分，試判斷與的數(shù)量關(guān)系并說明理由．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023·陜西西安·?？级＃┤鐖D，已知直線，與直線c分別交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在直線b上，點(diǎn)D在線段上，連接，若，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．2．（2023上·湖北孝感·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，，，，則的大小為（

）

A． B． C． D．3．（2023·湖南·中考真題）如圖，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，則∠BCE的度數(shù)為（）A．70° B．65° C．35° D．5°4．（2023下·吉林·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，直線，的直角頂點(diǎn)A落在直線a上，點(diǎn)B落在直線b上，若，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．5．（2023·河南信陽·?？既＃┮阎?，如圖，一個(gè)含30°角的直角三角尺放在兩條平行線間，已知，，，則（

）

A． B． C． D．6．（2023·哈爾濱·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，，平分，則等于（

）A． B． C． D．7．（2023下·湖北襄陽·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，點(diǎn)A為射線CF上一點(diǎn)，，，則的度數(shù)為．

8．（2023下·河北衡水·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知，，當(dāng)β增大時(shí)，（填“增大”或“減小”）度．9．（2023下·遼寧撫順·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，A地與B地，B地與C地之間均有一條筆直的公路連接，B地分別在A地的南偏東的方向，在C地的南偏西的方向，若公路長，公路長，則A地到公路的距離是．

10．（2023下·四川南充·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，，，則．

11．（2023下·重慶·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線，點(diǎn)E在直線上，點(diǎn)H在直線上，點(diǎn)F在直線之間，連接，．則的度數(shù)為度．

12．（2023下·河北邯鄲·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，直線，，，，則°．

13．（2023上·福建福州·八年級(jí)福州日升中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，直線、分別經(jīng)過等邊三角形的頂點(diǎn)、，且，，則．

13．（2023下·貴州黔東南·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，直線，、分別是、的平分線，那么與之間的關(guān)系是.

14．（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，，，，，，．15．（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，直線平分，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作平分交于，若，則度．

16．（2023下·四川德陽·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，，平分，，下列結(jié)論：①；②；③；④若，則，其中結(jié)論正確的是（填序號(hào)）17．（2023下·貴州黔東南·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）填空，并在后面的括號(hào)中填理由：如圖，已知，求證：．

證明：如圖，過點(diǎn)C作∴______（

），∵，即∴______∴____________（

）又∵（

）∴____________（

）18．（2023下·福建南平·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，直線與分別交于M，N，平分，平分．(1)當(dāng)時(shí)，求的大小；(2)設(shè)，用含α的式子表示．

19．（2023上·綿陽市·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖1，已知，點(diǎn)B為平面內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)B作于點(diǎn)D，于B．(1)若，則______；(2)求證：；(3)如圖2，G在射線上，當(dāng)平分時(shí)，求與的數(shù)量關(guān)系．

20．（2023下·廣東湛江·七年級(jí)校考期中）已知直角三角形．

(1)如圖1，直線，且平分，求的度數(shù)．(用含x的式子表示)(2)在（1）的條件下，直線平分交直線于點(diǎn)D，如圖2，在x取不同數(shù)值時(shí)，的大小是否發(fā)生變化？若不變，求其值；若變化，請(qǐng)求出變化的范圍．21．（2023下·廣東河源·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知，點(diǎn)，分別在，上，點(diǎn)在，之間，，，三點(diǎn)均在直線的同側(cè)．(1)如圖，試說明；(2)如圖，若，，分別平分和，求的度數(shù)；(3)如圖，若的度數(shù)為，平分交的延長線于點(diǎn)，平分交的延長線于點(diǎn)，請(qǐng)用含的代數(shù)式表示．

22．（2023下·陜西安康·七年級(jí)校考期末）問題提出（1）如圖1，，直接寫出，，之間的關(guān)系：________．（2）如圖2，，平分，平分，試探究，之間的關(guān)系，并說明理由．問題解決（3）如圖3，，，，，，求的度數(shù)．

23．（2023下·北京西城·七年級(jí)北京師大附中?？茧A段練習(xí)）請(qǐng)閱讀小明同學(xué)在學(xué)習(xí)平行線這章知識(shí)點(diǎn)時(shí)的一段筆記，然后解決問題．小明：老師說在解決有關(guān)平行線的問題時(shí)，如果無法直接得到角的關(guān)系，就需要借助輔助線來幫助解答，今天老師介紹了一個(gè)“美味”的模型“豬蹄模型”．即已知：如圖1，，E為AB、CD之間一點(diǎn)，連接AE，CE得到．求證：小明筆記上寫出的證明過程如下:證明：過點(diǎn)E作∵∵，∴∴∴∴請(qǐng)你利用“豬蹄模型”得到的結(jié)論或解題方法，完成下面的兩個(gè)問題．(1)如圖，若，，求；(2)如圖，，BE平分，CF平分，，求．24．（2023下·湖北鄂州·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖1，直線ABCD，點(diǎn)P在兩平行線之間，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)F在CD上，連接PE，PF．（1）若∠PEB=60°，∠PFD=50°，請(qǐng)求出∠EPF．（請(qǐng)寫出必要的步驟，并說明理由）（2）如圖2，若點(diǎn)P，Q在直線AB與CD之間時(shí)，∠1=30°，∠2=40°，∠3=70°，請(qǐng)求出∠4=．（不需說明理由，請(qǐng)直接寫出答案）（3）如圖3，在圖1的基礎(chǔ)上，作P1E平分∠PEB，P1F平分∠PFD，若設(shè)∠PEB＝x°，∠PFD＝y(tǒng)°，則∠P1=（用含x，y的式子表示）．若P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，可得∠P2；P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3…，依次平分下去，則∠Pn＝．（用含x，y的式子表示）

專題01平行線中的拐點(diǎn)模型之豬蹄模型（M型）與鋸齒模型平行線中的拐點(diǎn)模型在初中數(shù)學(xué)幾何模塊中屬于基礎(chǔ)工具類問題，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題就平行線中的拐點(diǎn)模型（豬蹄模型（M型）與鋸齒模型）進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。拐點(diǎn)（平行線）模型的核心是一組平行線與一個(gè)點(diǎn)，然后把點(diǎn)與兩條線分別連起來，就構(gòu)成了拐點(diǎn)模型，這個(gè)點(diǎn)叫做拐點(diǎn)，兩條線的夾角叫做拐角。通用解法：見拐點(diǎn)作平行線；基本思路：和差拆分與等角轉(zhuǎn)化。模型1：豬蹄模型（M型）與鋸齒模型【模型解讀】圖1圖2圖3如圖1，①已知：AM∥BN，結(jié)論：∠APB=∠A+∠B；②已知：∠APB=∠A+∠B，結(jié)論：AM∥BN.如圖2，已知：AM∥BN，結(jié)論：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2.如圖3，已知：AM∥BN，結(jié)論：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n.【模型證明】（1）∠APB＝∠A+∠B這個(gè)結(jié)論正確，理由如下：如圖1，過點(diǎn)P作PQ∥AM，∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ，∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B．（2）根據(jù)（1）中結(jié)論可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，故答案為：∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，（3）由（2）的規(guī)律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1故答案為：∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1例1．（2023上·湖南長沙·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，為等邊三角形，．若，則（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，等邊三角形性質(zhì)．得用平行線性質(zhì)“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”求解即可．【詳解】解：∵為等邊三角形，∴，∵，∴，即，∵，∴，故選：D．例2．（2023下·河北石家莊·七年級(jí)統(tǒng)考期末）山上的一段觀光索道如圖所示，索道支撐架均為互相平行（），且每兩個(gè)支撐架之間的索道均是直的，若，，則（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】過點(diǎn)B作，則，由平行線的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)B作，

∵，∴，∴，∴，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟知兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等是解題的關(guān)鍵．例3．（2023下·河南駐馬店·七年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，，，則與滿足（

）

A．B．C．D．【答案】B【分析】過C作，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，，于是得到結(jié)論．【詳解】解：過C作，

∵，∴，∴，，∵，∴，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，熟記平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例4．（2023下·廣東佛山·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，直線，分別交、于E、F兩點(diǎn)，作、的平分線相交于點(diǎn)K；作、的平分線交于點(diǎn)；依此類推，作、的平分線相交于點(diǎn)，…，作、的平分線相交于點(diǎn)，則，．

【答案】【分析】過作，可得，可得出兩對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，由與分別為角平平分線，利用角平分線定義得到兩對(duì)角相等，再由與平行，利用兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)得到兩對(duì)角互補(bǔ)，利用等式的性質(zhì)求出的度數(shù)，即可求出的度數(shù)；此類推即可確定出的度數(shù)．【詳解】解：如圖，過作，可得，，，

、分別為與的平分線，，，，，即，，則；、的平分線相交于點(diǎn)，，，，即，，即，，歸納總結(jié)得：．故答案為：，．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線定義，屬于探究型試題，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．例5．（2023下·江蘇泰州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知和分別平分和，若，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】過點(diǎn)E作，則，由平行線的性質(zhì)得，過點(diǎn)C作，則有，同理，結(jié)合角平分線的定義即可求得結(jié)果．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)E作，∵，∴，∴，∴，過點(diǎn)C作，則有，同理，∵和分別平分和，∴，∴，，即，解得：，故選：D．

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，解二元一次方程組，構(gòu)造平行線是解題的關(guān)鍵．例6．（2023下·浙江溫州·七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，已知，點(diǎn)，分別在，上，點(diǎn)，在兩條平行線，之間，與的平分線交于點(diǎn)．若，，則的度數(shù)為（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】過點(diǎn)，，作的平行線，容易得出，和是角平分線，所以，進(jìn)一步求即可．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)，，作，，，．，．，，，，，，，，和是角平分線，，，，，，，，即．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)以及平角的定義等知識(shí)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)，正確做出輔助線是解題的關(guān)鍵．例7．（2023下·四川涼山·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，，則．【答案】/度【分析】可過點(diǎn)，分別作，，進(jìn)而利用同旁內(nèi)角互補(bǔ)得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)，分別作，，

∵，∵，則，,,∴,∴,故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的判定與性質(zhì)，平行公理的推論，掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)是解決此題的關(guān)鍵．例8．（2023·浙江七年級(jí)期中）如圖（1）所示是一根木尺折斷后的情形，你可能注意過，木尺折斷后的斷口一般是參差不齊的，那么請(qǐng)你深入考慮一下其中所包含的一類數(shù)學(xué)問題，我們不妨取名叫“木尺斷口問題”．（1）如圖（2）所示，已知，請(qǐng)問，，有何關(guān)系并說明理由；（2）如圖（3）所示，已知，請(qǐng)問，，又有何關(guān)系并說明理由；（3）如圖（4）所示，已知，請(qǐng)問與有何關(guān)系并說明理由．【答案】見解析.【解析】解：（1）∠E=∠B+∠D，理由如下：過點(diǎn)E作直線a∥AB，則a∥AB∥CD，則∠B=∠1，∠D=∠2，∴∠BED=∠1+∠2=∠B+∠D.（2）∠E+∠B+∠D=360°，理由如下：過點(diǎn)E作直線b∥AB，則b∥AB∥CD∴∠B+∠3=180°，∠4+∠D=180°∴∠B+∠3+∠4+∠D=360°即∠E+∠B+∠D=360°.（3）∠B+∠F+∠D=∠E+∠G，理由如下：過點(diǎn)E，F(xiàn)，G作直線c∥AB，d∥AB，e∥AB，則c∥AB∥d∥e∥CD，則∠B=∠5，∠6=∠7，∠8=∠9，∠10=∠D∴∠B+∠EFG+∠D=∠5+∠7+∠8+∠10=∠5+∠6+∠9+∠10=∠BEF+∠FGD.例9．（2023下·陜西渭南·七年級(jí)統(tǒng)考期中）已知點(diǎn)在直線，之間，且．

(1)如圖1，過點(diǎn)作直線，求證：；(2)若平分，．①如圖2，平分，過點(diǎn)作，若，求的度數(shù)；②如圖3，過點(diǎn)作，若平分，試判斷與的數(shù)量關(guān)系并說明理由．【答案】(1)見解析(2)①，②，見解析【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可；（2）①根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的概念求解即可；②根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的概念求解即可．【詳解】（1）∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴；（2）①∵平分，∴，①由平分，可設(shè)，又∵，∴，又∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．②．理由：設(shè)，，∵平分，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，即，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)和角平分線的概念，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)，利用代數(shù)式表示各個(gè)角之間的關(guān)系．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023·陜西西安·校考二模）如圖，已知直線，與直線c分別交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在直線b上，點(diǎn)D在線段上，連接，若，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】由平行線的性質(zhì)得到，由三角形內(nèi)角和定理即可求出的度數(shù)．【詳解】解：∵，∴，∵，，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理是解題關(guān)鍵．2．（2023上·湖北孝感·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，，，，則的大小為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得，代入計(jì)算即可．【詳解】解：，，，，，．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．3．（2023·湖南·中考真題）如圖，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，則∠BCE的度數(shù)為（）A．70° B．65° C．35° D．5°【答案】B【分析】作CF∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)可以得到∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，從而可得∠BCE的度數(shù)，本題得以解決．【詳解】作CF∥AB，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴AB∥DE∥DE，∴∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，∵∠1＝30°，∠2＝35°，∴∠BCF＝30°，∠FCE＝35°，∴∠BCE＝65°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用平行線的性質(zhì)解答．4．（2023下·吉林·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，直線，的直角頂點(diǎn)A落在直線a上，點(diǎn)B落在直線b上，若，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵，∴，∵，，，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．5．（2023·河南信陽·?？既＃┮阎?，如圖，一個(gè)含30°角的直角三角尺放在兩條平行線間，已知，，，則（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】過點(diǎn)B作，由平行線的傳遞性可得，由平行線的性質(zhì)可得，，再根據(jù)角的和差關(guān)系即可求解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)B作，

∵，，∴．∴，∵，∴．∵在中，，∴，∴，又∵，∴，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查簡單的有拐點(diǎn)的平行線，涉及平行線的傳遞性，平行線的性質(zhì)及判定，直角三角形兩銳角互余的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)定理．6．（2023·哈爾濱·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，，平分，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，求出，再利用角平分線計(jì)算即可．【詳解】∵，∴，∴，∴，∵平分，∴,∴，故選：A．7．（2023下·湖北襄陽·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，點(diǎn)A為射線CF上一點(diǎn)，，，則的度數(shù)為．

【答案】40【分析】根據(jù)可得，作，得出，從而得出，，，由，得．【詳解】解：∵，∴，過C作，則，如圖：

∴，，∵，∴，∴．故答案為：40．【點(diǎn)睛】本題考查平行的性質(zhì)，含有平行線中的拐點(diǎn)模型，作出適當(dāng)?shù)妮o助線是解題關(guān)鍵．8．（2023下·河北衡水·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知，，當(dāng)β增大時(shí)，（填“增大”或“減小”）度．【答案】增大5【分析】作，推出，得到，，推出，即，據(jù)此即可求解．【詳解】解：作，如圖，∵，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴當(dāng)β增大時(shí)，增大5度．故答案為：增大，5．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，推出是解題的關(guān)鍵．9．（2023下·遼寧撫順·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，A地與B地，B地與C地之間均有一條筆直的公路連接，B地分別在A地的南偏東的方向，在C地的南偏西的方向，若公路長，公路長，則A地到公路的距離是．

【答案】8【分析】如圖，過B作，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖，過B作，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴A地到公路的距離是，故答案為：8．

【點(diǎn)睛】本題考查了方向角，平行線的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線．10．（2023下·四川南充·七年級(jí)校考期末）如圖，，，則．

【答案】/35度【分析】過點(diǎn)A作的平行線，根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：過點(diǎn)A作，則．

∴，，∴．∵，∴．∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查直線平行的性質(zhì)，關(guān)鍵在于過點(diǎn)A作平行線，將角進(jìn)行轉(zhuǎn)化，?？碱}型．11．（2023下·重慶·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線，點(diǎn)E在直線上，點(diǎn)H在直線上，點(diǎn)F在直線之間，連接，．則的度數(shù)為度．

【答案】150【分析】過點(diǎn)F作，則有，即，，解題即可求出．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)F作，∵∴，∴，，∴，即，解得：故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)和平行公理，掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．12．（2023下·河北邯鄲·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，直線，，，，則°．

【答案】75【分析】由可知，又由，由平行線的傳遞性可知，根據(jù)平行線的性質(zhì)可知，，再由計(jì)算即可．【詳解】解：，，，，，，．故答案為：75．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)和判定的綜合運(yùn)用，解題關(guān)鍵是據(jù)圖形合理利用平行線的性質(zhì)和判定定理．13．（2023上·福建福州·八年級(jí)福州日升中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，直線、分別經(jīng)過等邊三角形的頂點(diǎn)、，且，，則．

【答案】/106度【分析】由得，再由是等邊三角形，即可求出結(jié)果．【詳解】解：，，，是等邊三角形，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．（2023下·貴州黔東南·七年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，直線，、分別是、的平分線，那么與之間的關(guān)系是.

【答案】互余【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，再根據(jù)角平分線的定義得出結(jié)論．【詳解】解：∵，∴，∵、分別是、的平分線，∴，，∴，∴，∴，∴與互余，故答案為：互余．【點(diǎn)睛】本題考查平行性的性質(zhì)、角平分線的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)得出是解題的關(guān)鍵．14．（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，，，，，，．【答案】36【分析】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)．根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，可得，從而得到，再由平行線的性質(zhì)可得，即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∵，∴．故答案為：3615．（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，直線平分，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作平分交于，若，則度．

【答案】100【分析】延長交于點(diǎn)，設(shè)，根據(jù)平行線的性質(zhì)，角平分線平分角和三角形的外角的性質(zhì)，求出，即可．【詳解】解：延長交于點(diǎn)，

設(shè)，∵平分，∴，∵，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴；故答案為：100．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，與角平分線有關(guān)的計(jì)算，以及三角形的外角的性質(zhì)，正確的識(shí)圖，理清角度之間的數(shù)量關(guān)系，設(shè)參法表示角的度數(shù)，是解題的關(guān)鍵．16．（2023下·四川德陽·七年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，，平分，，下列結(jié)論：①；②；③；④若，則，其中結(jié)論正確的是（填序號(hào)）【答案】①②④【分析】由，可得，根據(jù)，可得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可得出正確結(jié)論．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，故①正確；∴，∴，，∴，又∵平分，∴，即，故②正確；∵與不一定相等，∴不一定成立，故③錯(cuò)誤；∵，∴為定值，故④正確．綜上所述，正確的選項(xiàng)①②④，故答案為：①②④．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是注意：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．17．（2023下·貴州黔東南·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）填空，并在后面的括號(hào)中填理由：如圖，已知，求證：．

證明：如圖，過點(diǎn)C作∴______（

），∵，即∴______∴____________（

）又∵（

）∴____________（

）【答案】見解析【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)，即，可得，從而可得，即可得出結(jié)論．【詳解】證明：如圖，過點(diǎn)C作，∴（兩條直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∵，即，∴，∴（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩條直線平行），又∵（已知），∴（如果兩條直線都有第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行）．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．18．（2023下·福建南平·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，直線與分別交于M，N，平分，平分．

(1)當(dāng)時(shí)，求的大?。?2)設(shè)，用含α的式子表示．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，再由角平分線求解即可；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，再由角平分線確定，即可求解．【詳解】（1）解：∵，，∴，又∵平分，∴；（2）∵，∴，又∵平分，平分，∴，∴，又∵，∴．【點(diǎn)睛】題目考查平行線的性質(zhì)及角平分線的計(jì)算，理解題意，結(jié)合圖形找出各角之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．19．（2023上·綿陽市·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖1，已知，點(diǎn)B為平面內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)B作于點(diǎn)D，于B．(1)若，則______；(2)求證：；

(3)如圖2，G在射線上，當(dāng)平分時(shí)，求與的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)(2)詳見解析(3)【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)、平行公理的應(yīng)用、三角形的外角的性質(zhì)：（1）依據(jù)題意，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，，又，故可得解．（2）過點(diǎn)B作，由于，從而，則，再結(jié)合，，又，可得，進(jìn)而可以得解．（3）過點(diǎn)B作，由（2）可得，．設(shè)，，則；由，從而；又平分，可得，故，進(jìn)而可得與的關(guān)系．需要熟練掌握角度之間的轉(zhuǎn)化，并學(xué)會(huì)借助方程的思想來解題．【詳解】（1）解：由題意，，．，．又，．故答案為：．（2）證明：如圖1，過點(diǎn)B作，

又，，．，．．，．，．又．；（3）如圖2，過點(diǎn)B作，由（2）可得，．設(shè)，，則．，．又平分，．．．．20．（2023下·廣東湛江·七年級(jí)?？计谥校┮阎苯侨切危?/p>

(1)如圖1，直線，且平分，求的度數(shù)．(用含x的式子表示)(2)在（1）的條件下，直線平分交直線于點(diǎn)D，如圖2，在x取不同數(shù)值時(shí)，的大小是否發(fā)生變化？若不變，求其值；若變化，請(qǐng)求出變化的范圍．【答案】(1)(2)的大小不變，求其值為【分析】（1）過點(diǎn)A作，由平分得到，，繼而求出，再由推出，用求得，利用平行公理推論得到，繼而推導(dǎo)；（2）由得到，利用平分求得，利用得出，從而利用求得，至此得解．【詳解】（1）解：如下圖，過點(diǎn)A作，

∵平分，，∴，，∴．∵，∴．又∵，∴．又∵，，∴，∴．（2）的大小不變，求其值為．理由是：依然過點(diǎn)A作，

由（1）得：，∴．又∵平分，∴．又∵，，∴，∴，∴的大小不變，求其值為．【點(diǎn)睛】本題考查與角平分線有關(guān)的計(jì)算，平行線公理的推論，平行線的性質(zhì)等知識(shí)，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21．（2023下·廣東河源·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知，點(diǎn)，分別在，上，點(diǎn)在，之間，，，三點(diǎn)均在直線的同側(cè)．(1)如圖，試說明；(2)如圖，若，，分別平分和，求的度數(shù)；(3)如圖，若的度數(shù)為，平分交的延長線于點(diǎn)，平分交的延長線于點(diǎn)，請(qǐng)用含的代數(shù)式表示．

【答案】(1)見解析；(2)；(3)．【分析】（1）過點(diǎn)作，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得答案；（2）根據(jù)垂直的定義及(1)中的結(jié)論可得答案；（3）設(shè)的度數(shù)為，的度數(shù)為，則由(1)得，，由(1)(2)得，、，然后兩式相加可得答案．【詳解】（1）如圖，過點(diǎn)作，則，

，，，，，（2），，由（1）知，，，分別平分和，，（3）設(shè)的度數(shù)為，的度數(shù)為，則由（1）得，，由（2）得，，，由得，．【點(diǎn)睛】此題考查的是平行線的性質(zhì)及垂直定義，正確作出輔助線是解決此題關(guān)鍵．22．（2023下·陜西安康·七年級(jí)校考期末）問題提出（1）如圖1，，直接寫出，，之間的關(guān)系：________．（2）如圖2，，平分，平分，試探究，之間的關(guān)系，并說明理由．問題解決（3）如圖3，，，，，，求的度數(shù)．

【答案】（1）；（2），理由見解析；（3）【分析】（1）根據(jù)平行于同一條直線的兩條直線互相平行可得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)及角的和差關(guān)系即可解答；（2）根據(jù)平行于同一條直線的兩條直線互相平行可得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)及角的和差關(guān)系，，最后根據(jù)角平分線的定義解答即可；（3）根據(jù)平行于同一條直線的兩條直線互相平行可得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)及角的和差關(guān)系，，最后利用角的和差關(guān)系解答即可．【詳解】解：（1），理由如下：過點(diǎn)作，∵，∴，∴，，∴，∴，即；

（2），理由如下，如圖，過點(diǎn)C作，過點(diǎn)F作．∵，∴，∴，，∴，∴，同理：，∵BF平分，∴，∵DF平分，∴，∴，即：；

（3）過點(diǎn)C作，過點(diǎn)F作，∵，∴，∴，，∴，∴，同理：，∵，，∴，∴，