2024 河北數(shù)學(xué)中考備考重難專題：二次函數(shù)圖象與性質(zhì)（課件）

河北

數(shù)學(xué)函數(shù)圖象與性質(zhì)綜合題2023中考備考重難專題課件二次函數(shù)性質(zhì)綜合題二次函數(shù)性質(zhì)綜合題

課堂練兵

課后小練1

典例精講23考情分析年份題號題型分值考查內(nèi)容設(shè)問形式探究的問題202223解答題10(1)拋物線對稱軸、最值、圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)函數(shù)圖象平移特點(diǎn)：點(diǎn)坐標(biāo)的平移、兩點(diǎn)間最短距離定拋物線性質(zhì)探究：(1)求拋物線對稱軸，最值，另一點(diǎn)橫坐標(biāo)；(2)求平移的最短距離點(diǎn)移動最小距離年份題號題型分值考查內(nèi)容設(shè)問形式探究的問題202125解答題10(1)已知拋物線與x軸交點(diǎn)、與直線y=a的交點(diǎn)問題；(2)二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線形狀，最大值決定a＜0，頂點(diǎn)式中k的值，頂點(diǎn)式求拋物線解析式；(3)拋物線與動線段交點(diǎn)問題定拋物線性質(zhì)探究：(1)求點(diǎn)橫坐標(biāo)，畫y軸，指出點(diǎn)所落的臺階(2)求拋物線解析式，求對稱軸(3)求橫坐標(biāo)最大值與最小值的差點(diǎn)橫坐標(biāo)最大值與最小值的差年份題號題型分值考查內(nèi)容設(shè)問形式探究的問題201926解答題12(1)平行于坐標(biāo)軸的直線、拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題，拋物線對稱軸與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系；(2)直線下方的圖象的函數(shù)值小于直線對應(yīng)的函數(shù)值，二次函數(shù)性質(zhì)求最大值；(3)平均數(shù)→中點(diǎn)，函數(shù)圖象上點(diǎn)的性質(zhì)；(4)直線與拋物線交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題含參拋物線(y=－x2+bx）性質(zhì)探究：(1)求直線、對稱軸、交點(diǎn)坐標(biāo)(2)求點(diǎn)與直線距離最大值(3)求兩點(diǎn)間距離(4)求“美點(diǎn)”的個(gè)數(shù)美點(diǎn)的個(gè)數(shù)年份題號題型分值考查內(nèi)容設(shè)問形式探究的問題201626解答題12(1)反比例函數(shù)k的幾何意義；(2)拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)，對稱軸；(3)二次函數(shù)性質(zhì)求最值，分類討論思想；(4)反比例函數(shù)圖象與拋物線交點(diǎn)問題含參拋物線(y=－

(x－t)(x－t+4))性質(zhì)探究：(1)求反比例函數(shù)k的值(2)求兩點(diǎn)間距離，兩直線間距離(3)求最高點(diǎn)坐標(biāo)(4)求參數(shù)取值范圍拋物線與雙曲線交點(diǎn)問年份題號題型分值考查內(nèi)容設(shè)問形式探究的問題201525解答題11(1)求拋物線解析式、對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)拋物線與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)，二次函數(shù)性質(zhì)求最值，二次函數(shù)增減性；(3)拋物線與線段交點(diǎn)問題(x軸)，分類討論思想含參拋物線（y=－(x－h(huán))2+1）性質(zhì)探究：(1)求拋物線解析式、對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)(2)求點(diǎn)縱坐標(biāo)最大值，比較兩點(diǎn)縱坐標(biāo)大小(3)求參數(shù)h值拋物線與線段交點(diǎn)問題典例精講例

(2022河北定制卷改編)如圖，拋物線y＝x2＋bx＋c與直線y＝x＋2交于A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是4，點(diǎn)P為拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PC⊥x軸交AB于點(diǎn)C，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.(1)求拋物線的解析式；A、B點(diǎn)也在直線上已知條件代入直線解析式例題圖要代入圖象上A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)？解：(1)∵直線y＝x＋2經(jīng)過點(diǎn)A，且點(diǎn)A在y軸上，∴點(diǎn)A橫坐標(biāo)為0，將x＝0代入解析式y(tǒng)＝x＋2中，得y＝2，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，2)，∵直線y＝x＋2經(jīng)過點(diǎn)B，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是4，∴將x＝4代入解析式y(tǒng)＝x＋2中，得y＝6，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4，6).∴將點(diǎn)A(0，2)，點(diǎn)B(4，6)代入拋物線y＝x2＋bx＋c中，∴拋物線的解析式為y＝x2－3x＋2；例題圖例

(2022河北定制卷改編)如圖，拋物線y＝x2＋bx＋c與直線y＝x＋2交于A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是4，點(diǎn)P為拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PC⊥x軸交AB于點(diǎn)C，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.(2)若點(diǎn)P在直線AB下方的拋物線上，求出線段PC的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；P(m，m2－3m＋2)先表示點(diǎn)P點(diǎn)C坐標(biāo)C(m，m＋2)PC=m＋2－(m2－3m＋2)＝－m2＋4m求最大值怎么求？配方例題圖注意：點(diǎn)P在AB下方拋物線上，注意m取值范圍答題步驟表示點(diǎn)P坐標(biāo)表示點(diǎn)C坐標(biāo)表示線段PC長配方求最大值，P點(diǎn)坐標(biāo)(2)由(1)得拋物線的解析式為y＝x2－3x＋2，∴點(diǎn)P坐標(biāo)為(m，m2－3m＋2)，∵PC⊥x軸交AB于點(diǎn)C，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(m，m＋2)，∴PC＝m＋2－(m2－3m＋2)＝－m2＋4m＝－(m－2)2＋4，∵－1＜0，0＜m＜4，∴當(dāng)m＝2時(shí)，PC有最大值，最大值為4，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為(2，0)；P(m，m2－3m＋2)C(m，m＋2)例題圖例

(2022河北定制卷改編)如圖，拋物線y＝x2＋bx＋c與直線y＝x＋2交于A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是4，點(diǎn)P為拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PC⊥x軸交AB于點(diǎn)C，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.(3)若將原拋物線沿x軸平移，得到新拋物線y＝(x＋n)2＋b(x＋n)＋c，要使新拋物線與線段AB恰好有一個(gè)交點(diǎn)，求n的取值范圍．y＝x2－3x＋2=(x－)2－觀察圖象，什么情況拋物線和線段有1個(gè)交點(diǎn)？②拋物線過點(diǎn)B把點(diǎn)A和點(diǎn)B代入拋物線，判斷n范圍例題圖化為頂點(diǎn)式①拋物線過點(diǎn)A數(shù)形結(jié)合答題步驟拋物線化為頂點(diǎn)式猜想符合交點(diǎn)情況判斷情況分類討論判斷取值范圍(3)由(1)得，拋物線解析式為y＝x2－3x＋2＝(x－

)2－

，∵將拋物線沿x軸平移n個(gè)單位長度，得到拋物線y＝(x＋n)2＋b(x＋n)＋c，∴可設(shè)拋物線解析式為y＝(x＋n)2－3(x＋n)＋2

＝(x－

＋n)2－

，例題圖①當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，與線段AB恰有一個(gè)交點(diǎn)，將點(diǎn)A(0，2)代入拋物線解析式，得(－

＋n)2－

＝2，解得n1＝3，n2＝0(舍去)，∴n的取值范圍為0＜n≤3；②當(dāng)拋物線恰好經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，與線段AB恰有一個(gè)交點(diǎn)，將B(4，6)代入拋物線解析式，得(＋n)2－

＝6，解得n1＝－5，n2＝0(舍去)，∴n的取值范圍為－5≤n＜0.∴n的取值范圍為－5≤n＜0或0＜n≤3.通過圖象可知，例題圖例

(2022河北定制卷改編)如圖，拋物線y＝x2＋bx＋c與直線y＝x＋2交于A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是4，點(diǎn)P為拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PC⊥x軸交AB于點(diǎn)C，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.(4)若原拋物線沿y軸向上平移后頂點(diǎn)恰好落在直線AB上，且交另一點(diǎn)為F，求平移的距離及點(diǎn)F的坐標(biāo).實(shí)質(zhì)是求一對對應(yīng)點(diǎn)距離通常是頂點(diǎn)兩頂點(diǎn)到x軸距離和點(diǎn)F坐標(biāo)？例題圖兩頂點(diǎn)橫坐標(biāo)相同聯(lián)立拋物線直線解析式平移后頂點(diǎn)坐標(biāo)答題步驟求平移后拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)求兩頂點(diǎn)間距離求平移后拋物線聯(lián)立求交點(diǎn)例題圖(4)由(1)得，拋物線解析式為y＝x2－3x＋2＝(x－

)2－∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為(，－

)，向上平移兩頂點(diǎn)橫坐標(biāo)相同∴將

代入直線解析式y(tǒng)＝

＋2=，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(，

)∴平移距離=＋=∴平移后拋物線y＝(x－

)2＋

當(dāng)x＝

時(shí)，交點(diǎn)為平移后頂點(diǎn)當(dāng)x＝

時(shí)，

交點(diǎn)F坐標(biāo)為(，

)

選題依據(jù)：此題考查學(xué)生對二次函數(shù)圖象、對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)，平移，拋物線與直線交點(diǎn)問題，同時(shí)考查學(xué)生分類討論和數(shù)形結(jié)合思想方法總結(jié)二次函數(shù)性質(zhì)綜合題知識點(diǎn)：待定系數(shù)法求解析式、二次函數(shù)取值范圍、圖象開口、增減性、對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、平移后的二次函數(shù)解析式解題方法：頂點(diǎn)坐標(biāo)：①一般式：代入頂點(diǎn)坐標(biāo)公式；

②頂點(diǎn)式：直接得到頂點(diǎn)坐標(biāo)；

③交點(diǎn)式：化為頂點(diǎn)式求點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)與直線、直線與直線之間距離，先求得點(diǎn)坐標(biāo)或直線解析式，通過橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)間距離求得對稱軸：①解析式已知，直接代入x=－

；

②已知拋物線與x軸兩交點(diǎn)，直接代入x=解題方法：1.平移的特點(diǎn)：①二次函數(shù)圖象的平移不改變開口大?。ㄐ螤睿?；

②實(shí)質(zhì)是圖象上點(diǎn)的平移，可根據(jù)圖象上任意一對對應(yīng)點(diǎn)，即可確

定平移方式，通常通過頂點(diǎn)來確定；2.拋物線中交點(diǎn)問題通常有：判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，通過交點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)，拋物線與線段

交點(diǎn)問題等，通常都是聯(lián)立函數(shù)關(guān)系式，求二元一次方程組的解得以解決，在此

類問題中通常會融合“整點(diǎn)”問題，選擇滿足“整點(diǎn)”的點(diǎn)即可；3.判斷點(diǎn)是否在拋物線內(nèi)問題：主要是利用極限思想，分類討論思想，選擇取值范

圍的兩端點(diǎn)的x值分別代入求解即可.課堂練兵練習(xí)

(2022河北預(yù)測卷)如圖，拋物線y＝－

x2＋kx＋4(k為常數(shù))與x軸和y軸的正半軸分別交于點(diǎn)A和B.(1)當(dāng)k＝－1時(shí)．①直接寫出拋物線的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；(1)①對稱軸為直線x＝－1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，

)；【解法提示】∵k＝－1，∴y＝－

x2－x＋4＝－

(x＋1)2＋

，∴對稱軸為直線x＝－1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，

).練習(xí)題圖②當(dāng)－2≤x≤1時(shí)，求拋物線的最大值與最小值的差；對稱軸判斷拋物線圖象增減性結(jié)合x取值范圍判斷自變量與對稱軸位置，同側(cè)或異側(cè)在對稱軸兩側(cè)根據(jù)增減性判斷最值？練習(xí)題圖練習(xí)

(2022河北預(yù)測卷自測卷6)如圖，拋物線y＝－

x2＋kx＋4(k為常數(shù))與x軸和y軸的正半軸分別交于點(diǎn)A和B.拓展：同側(cè)只根據(jù)增減性求最值答題步驟求對稱軸判斷對應(yīng)函數(shù)圖象分情況確定最值求最值差②由①得，拋物線y＝－

x2－x＋4的對稱軸為直線x＝－1，∵－

＜0，∴當(dāng)－2≤x≤－1時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)－1＜x≤1時(shí)，y隨x的增大而減小，∴當(dāng)x＝－1時(shí)，拋物線有最大值為

，∵－1－(－2)＝1，1－(－1)＝2，∴當(dāng)x＝1時(shí)，拋物線有最小值，最小值為

，∴當(dāng)－2≤x≤1時(shí)，拋物線的最大值為

，最小值為

，∴最大值與最小值的差為

－

＝2；(2)直線L：y＝6交y軸于點(diǎn)C，交拋物線于點(diǎn)M，N(M在N的左側(cè)).當(dāng)x≤k時(shí)，拋物線的最高點(diǎn)到直線L的距離為2，請直接寫出此時(shí)k的值．分情況討論k時(shí)，最高點(diǎn)坐標(biāo)，依據(jù)題干條件，判斷求解練習(xí)

(2022河北預(yù)測卷自測卷6)如圖，拋物線y＝－

x2＋kx＋4(k為常數(shù))與x軸和y軸的正半軸分別交于點(diǎn)A和B.練習(xí)題圖考慮x≤k，當(dāng)x＝

k是直線，設(shè)x＝

k與拋物線交點(diǎn)，拋物線頂點(diǎn)將拋物線y＝－

x2＋kx＋4化為頂點(diǎn)式，此時(shí)看拋物線對稱軸，頂點(diǎn)有什么發(fā)現(xiàn)？將x＝

k代入拋物線頂點(diǎn)式得出交點(diǎn)坐標(biāo)答題步驟設(shè)交點(diǎn)，頂點(diǎn)拋物線化為頂點(diǎn)式求對稱軸、頂點(diǎn)、交點(diǎn)k分情況討論方程求解求k【解法提示】設(shè)直線x＝

k交拋物線于點(diǎn)P，拋物線的頂點(diǎn)為R，∵y＝－

x2＋kx＋4＝－

(x－k)2＋

k2＋4，∴拋物線的對稱軸為直線x＝k，頂點(diǎn)R的坐標(biāo)為(k，

k2＋4)，當(dāng)x＝

k時(shí)，y＝－

×(k)2＋k×k＋4＝

k2＋4，∴P(k，

k2＋4).解圖當(dāng)k＜0時(shí)，如解圖，當(dāng)x≤k時(shí)，最高點(diǎn)為R(k，

k2＋4)，∵拋物線的最高點(diǎn)到直線L的距離為2，∴k2＋4－6＝2，解得k＝－2或k＝2(舍去)；解圖當(dāng)k≥0時(shí)，如解圖，當(dāng)x≤k時(shí)，拋物線的最高點(diǎn)為P(k，

k2＋4)，∵拋物線的最高點(diǎn)到直線L的距離為2，∴k2＋4－6＝2，解得k＝

或k＝－

(不符合題意，舍去).綜上所述，k的值為－

或

.(2)k的值為－

或

.解圖課后小練練習(xí)1(2022河北原創(chuàng)卷)如圖所示為從游樂場的過山車抽象出來的函數(shù)圖象，線段AB是一段平行于x軸的水平滑道，OA＝3，滑道B－C－D可以看作一段拋物線，最低點(diǎn)為C(4，2)，且D(6，3).滑道D－E－F是與滑道B－C－D的形狀完全相同，開口方向相反的一段拋物線，其最高點(diǎn)為E，點(diǎn)F在x軸上，F(xiàn)O＝12.(1)求拋物線B－C－D的解析式及線段AB的長；練習(xí)1題圖解：(1)∵拋物線B－C－D的頂點(diǎn)為C(4，2)，∴設(shè)拋物線B－C－D的解析式為y＝a(x－4)2＋2(a≠0)，代入點(diǎn)D(6，3)得3＝a(6－4)2＋2，解得a＝

，∴拋物線B－C－D的解析式為y＝

(x－4)2＋2.∵AB∥x軸，且OA＝3，∴點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為3，令

(x－4)2＋2＝3，解得x1＝2，x2＝6，∵點(diǎn)D(6，3)，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2，3)，∵點(diǎn)A在y軸上，∴AB＝2；練習(xí)1題圖練習(xí)1(2022河北原創(chuàng)卷)如圖所示為從游樂場的過山車抽象出來的函數(shù)圖象，線段AB是一段平行于x軸的水平滑道，OA＝3，滑道B－C－D可以看作一段拋物線，最低點(diǎn)為C(4，2)，且D(6，3).滑道D－E－F是與滑道B－C－D的形狀完全相同，開口方向相反的一段拋物線，其最高點(diǎn)為E，點(diǎn)F在x軸上，F(xiàn)O＝12.(2)求拋物線D－E－F的解析式，當(dāng)小車(看成點(diǎn))沿滑道從A運(yùn)動到F的過程中，小車距離x軸的垂直距離為2.5時(shí)，它到出發(fā)點(diǎn)A的水平距離是多少？練習(xí)1題圖(2)∵拋物線D－E－F與拋物線B－C－D的形狀完全相同，由(1)得拋物線B－C－D的解析式為y＝

(x－4)2＋2，∴設(shè)拋物線D－E－F的解析式為y＝－

(x－h(huán))2＋k，∵FO＝12，∴F(12，0)，將點(diǎn)D(6，3)，F(xiàn)(12，0)代入，∴拋物線D－E－F的解析式為y＝－

(x－8)2＋4.練習(xí)1題圖當(dāng)小車距離x軸的垂直距離是2.5時(shí)，則2.5＝

(x－4)2＋2，解得x＝4±，或2.5＝－

(x－8)2＋4，解得x1＝8＋

，x2＝8－

(不合題意，舍去)，∴小車到出發(fā)點(diǎn)A的水平距離為4＋

或4－

或8＋

；練習(xí)1題圖練習(xí)1(2022河北原創(chuàng)卷)如圖所示為從游樂場的過山車抽象出來的函數(shù)圖象，線段AB是一段平行于x軸的水平滑道，OA＝3，滑道B－C－D可以看作一段拋物線，最低點(diǎn)為C(4，2)，且D(6，3).滑道D－E－F是與滑道B－C－D的形狀完全相同，開口方向相反的一段拋物線，其最高點(diǎn)為E，點(diǎn)F在x軸上，F(xiàn)O＝12.(3)現(xiàn)在需要對滑道E－F部分進(jìn)行加固，過E作支架EK⊥x軸于點(diǎn)K，然后建造如圖所示的水平支架PS和豎直支架PM.求所有支架(虛線部分)長度之和L的最大值及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．練習(xí)1題圖(3)由拋物線y＝－

(x－8)2＋4，可得E(8，4)，∴EK＝4，K(8，0)，設(shè)M(d，0)(8＜d＜12)，∴點(diǎn)P(d，－

(d－8)2＋4)，則SP＝d－8，PM＝－

(d－8)2＋4，∴所有支架的長度和L＝d－8＋[－

(d－8)2＋4]＋4，化簡得L＝－

(d－10)2＋9，∵8＜d＜12，－

＜0，∴當(dāng)d＝10時(shí)，L有最大值，最大值為9.此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(10，0)練習(xí)1題圖練習(xí)2(2022河北逆襲診斷卷)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l1∶y＝－

x＋2與坐標(biāo)軸交于A，B兩點(diǎn)，與拋物線l2∶y＝x2－2mx＋m2－2交于C，D，過拋物線的頂點(diǎn)P向x軸作垂線，交直線l1于點(diǎn)Q.(1)當(dāng)m＝1時(shí)，求拋物線的解析式及點(diǎn)P的坐標(biāo)；解：(1)∵m＝1，y＝x2－2mx＋m2－2，∴將m＝1代入y＝x2－2mx＋m2－2，得到拋物線的解析式為y＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，∵點(diǎn)P為拋物線的頂點(diǎn)，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，－2)；練習(xí)2題圖練習(xí)2(2022河北逆襲診斷卷)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l1∶y＝－

x＋2與坐標(biāo)軸交于A，B兩點(diǎn)，與拋物線l2∶y＝x2－2mx＋m2－2交于C，D，過拋物線的頂點(diǎn)P向x軸作垂線，交直線l1于點(diǎn)Q.(2)若點(diǎn)Q的橫、縱坐標(biāo)都不小于0，當(dāng)線段PQ取得最小值時(shí)，求△PCD的面積；練習(xí)2題圖(2)∵拋物線y＝x2－2mx＋m2－2＝(x－m)2－2，∴頂點(diǎn)P在直線y＝－2上，∵點(diǎn)Q的橫、縱坐標(biāo)都不小于0