2024北京中考數(shù)學(xué)二輪專(zhuān)題復(fù)習(xí) 專(zhuān)題七 二次函數(shù)綜合題（課件）

專(zhuān)題七二次函數(shù)綜合題

類(lèi)型一對(duì)稱性、增減性問(wèn)題1

類(lèi)型二公共點(diǎn)問(wèn)題2

類(lèi)型三整點(diǎn)問(wèn)題3類(lèi)型一對(duì)稱性、增減性問(wèn)題1.(2021朝陽(yáng)區(qū)一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2＋bx＋a－4(a≠0)的對(duì)稱軸是直線x＝1.(1)求拋物線y＝ax2＋bx＋a－4(a≠0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)；綜合提升三階解：(1)∵對(duì)稱軸是直線x＝1，∴

＝1，∴b＝－2a，∴y＝ax2－2ax＋a－4＝a(x－1)2－4，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－4)；(2)當(dāng)－2≤x≤3時(shí)，y的最大值是5，求a的值；(2)若a＜0，則拋物線開(kāi)口向下，y的最大值在對(duì)稱軸處取得，從而y有最大值為－4，∵當(dāng)－2≤x≤3時(shí)，y的最大值是5，且拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，∴函數(shù)此時(shí)在x＝1時(shí)取得最大值5，這與y有最大值－4矛盾，從而a＞0，∴拋物線的頂點(diǎn)為圖象的最低點(diǎn)．∵1－(－2)＞3－1，∴當(dāng)x＝－2時(shí)，y＝5，代入y＝a(x－1)2－4，得a(－2－1)2－4＝5，解得a＝1；(3)在(2)的條件下，當(dāng)t≤x≤t＋1時(shí)，y的最大值是m，最小值是n，且m－n＝3.求t的值．(3)由(2)得，a＝1，∴y＝(x－1)2－4.①當(dāng)t

≤

1

≤

t＋1時(shí)，此時(shí)0

≤

t

≤

1，∴n＝－4，函數(shù)的最大值在t＋1或t處取得，即m＝t2－4或m＝(t－1)2－4，∴m的最大值為－3，此時(shí)m－n＝1，不符合題意，舍去；②當(dāng)t＋1＜1，即t＜0時(shí)，m＝(t－1)2－4，n＝(t＋1－1)2－4＝t2－4，∵m－n＝3，∴(t－1)2－4－(t2－4)＝3，∴t＝－1；③當(dāng)t＞1時(shí)，同理可得t＝2，綜上所述，t的值為－1或2.2.(2023北京)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝x2－4x＋3與x軸交于點(diǎn)A，B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C.(1)求直線BC的表達(dá)式；解：(1)∵拋物線y＝x2－4x＋3與x軸交于點(diǎn)A，B(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè))，∴令y＝0，則有x2－4x＋3＝(x－3)(x－1)＝0，解得x1＝1，x2＝3，∴A(1，0)，B(3，0)．∵拋物線y＝x2－4x＋3與y軸交于點(diǎn)C，∴令x＝0，得y＝3，∴C(0，3)．設(shè)直線BC的表達(dá)式為y＝kx＋b(k≠0)，將B(3，0)，C(0，3)代入y＝kx＋b，得

解得∴直線BC的表達(dá)式為y＝－x＋3；(2)垂直于y軸的直線l與拋物線交于點(diǎn)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，與直線BC交于點(diǎn)N(x3，y3)．若x1＜x2＜x3，結(jié)合函數(shù)的圖象，求x1＋x2＋x3的取值范圍．(2)∵y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2，－1)．由題意可知，點(diǎn)P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x1<x2)關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，∴x1＋x2＝4.如解圖①，當(dāng)x1＜x2且x2＝x3時(shí)，此時(shí)N、B、Q三點(diǎn)重合，x3＝3，此時(shí)x1＋x2＋x3＝1＋3＋3＝7；第2題解圖①如解圖②，當(dāng)x1＝x2＜x3時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P、Q重合且在拋物線頂點(diǎn)處，此時(shí)點(diǎn)P縱坐標(biāo)為－1，將y＝－1代入直線BC的表達(dá)式，則x3＝4，此時(shí)x1＋x2＋x3＝2＋2＋4＝8；第2題解圖②結(jié)合解圖①，解圖②，當(dāng)x1＜x2＜x3時(shí)，則3＜x3＜4，當(dāng)直線l位于x軸上方或拋物線頂點(diǎn)下方時(shí)，均不滿足x1<x2<x3，故不考慮，∴7＜x1＋x2＋x3＜8.第2題解圖①第2題解圖②3.(2021海淀區(qū)二模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝x2－2mx＋m2與y軸的交點(diǎn)為A，過(guò)點(diǎn)A作直線l垂直于y軸.(1)求拋物線的對(duì)稱軸(用含m的式子表示)；解：(1)拋物線y＝x2－2mx＋m2的對(duì)稱軸為直線x＝

＝m；(2)將拋物線在y軸右側(cè)的部分沿直線l翻折，其余部分保持不變，組成圖形G.點(diǎn)M(x1，y1)，N(x2，y2)為圖形G上任意兩點(diǎn)．①當(dāng)m＝0時(shí)，若x1＜x2，判斷y1與y2的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)①y1>y2，理由如下：當(dāng)m＝0時(shí)，二次函數(shù)解析式是y＝x2，對(duì)稱軸為y軸；∴圖形G如解圖①.第3題解圖①∴圖形G上的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)x和y，滿足y隨x的增大而減?。選1<x2，∴y1>y2；②若對(duì)于x1＝m－2，x2＝m＋2，都有y1＞y2，求m的取值范圍．②通過(guò)計(jì)算可知，拋物線翻折之前M、N對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為P(m－2，4)，Q(m＋2，4)為拋物線上關(guān)于對(duì)稱軸x＝m對(duì)稱的兩點(diǎn)，下面討論當(dāng)m變化時(shí)，y軸與點(diǎn)P，Q的相對(duì)位置：(ⅰ)如解圖②，當(dāng)y軸在點(diǎn)P左側(cè)時(shí)(含點(diǎn)P)，第3題解圖②經(jīng)翻折后，得到點(diǎn)M，N的縱坐標(biāo)相同，即y1＝y(tǒng)2，不符合題意；(ⅱ)如解圖③，當(dāng)y軸在點(diǎn)Q右側(cè)時(shí)(含點(diǎn)Q)，第3題解圖③第3題解圖④(ⅲ)如解圖④，當(dāng)y軸在點(diǎn)P，Q之間時(shí)(不含點(diǎn)P，Q)，點(diǎn)M，N分別和點(diǎn)P，Q重合，y1＝y(tǒng)2，不符合題意；經(jīng)翻折后，點(diǎn)N在l下方，點(diǎn)M，P重合，在l上方，y1>y2，符合題意．此時(shí)有m－2<0<m＋2，即－2<m<2.綜上所述，m的取值范圍為－2<m<2.4.(2021朝陽(yáng)區(qū)二模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P(x1，y1)，Q(x2，y2)為拋物線y＝ax2－2ahx＋ah2＋1(a<0)上的兩點(diǎn)．(1)當(dāng)h＝1時(shí)，求拋物線的對(duì)稱軸；解：(1)當(dāng)h＝1時(shí)，拋物線的表達(dá)式為y＝ax2－2ax＋a＋1，∴y＝a(x－1)2＋1，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1；(2)若對(duì)于0≤x1≤2，4－h(huán)≤x2≤5－h(huán)，都有y1≥y2，求h的取值范圍．(2)設(shè)拋物線上四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為A(0，yA)，B(2，yB)，C(4－h(huán)，yC)，D(5－h(huán)，yD)．∵a<0，∴y1的最小值必為yA或yB.拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝

＝h.①由a<0可知，當(dāng)2≤h≤時(shí)，存在y2≥y1，不符合題意；②當(dāng)h<2時(shí)，總有4－h(huán)>2.∵當(dāng)x>h時(shí)，y隨x的增大而減小，∴yB>yC>yD.當(dāng)h≤

時(shí)，4－h(huán)－h(huán)≥

.∴yA≥yC>yD，符合題意．當(dāng)

<h<2時(shí)，4－h(huán)－h(huán)＜h.∴yA<yC，不符合題意；③當(dāng)h>

時(shí)，∵當(dāng)x<h時(shí)，y隨x的增大而增大，∴yC<yD，yA<yB.當(dāng)h≥5時(shí)，5－h(huán)≤0.∴yD≤yA，符合題意．當(dāng)

<h<5時(shí)，5－h(huán)>0.∴yD>yA，不符合題意．綜上所述，h的取值范圍是h≤

或h≥5.5.(2021房山區(qū)一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2－2ax＋c(a≠0)被x軸截得的線段長(zhǎng)度為4.(1)求拋物線的對(duì)稱軸；解：(1)由拋物線y＝ax2－2ax＋c(a≠0)可得，拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝

＝1；(2)求c的值(用含a的式子表示)；(2)設(shè)拋物線與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為x1，x2，且x1在x2的右側(cè)，由題意可得x1－x2＝4，∴ax2－2ax＋c＝0，∴x1＋x2＝2，x1·x2＝

，∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝16，∴4－

＝16，解得c＝－3a；(3)若點(diǎn)M(x1，3)，N(x2，3)為拋物線上不重合的兩點(diǎn)(其中x1<x2)，且滿足x1(x2－5)≤0，求a的取值范圍．(3)由(2)及點(diǎn)M(x1，3)，N(x2，3)為拋物線上不重合的兩點(diǎn)(其中x1<x2)，可得，x1，x2即為方程ax2－2ax－3a＝3的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴b2－4ac＝4a2＋4a(3a＋3)>0，解得a>0或a<

，∴根據(jù)一元二次方程的公式法可得x＝1±

，則x1·x2＝－3－

，①當(dāng)a>0時(shí)，由x1<x2可知：x1＝1－

，∵x1(x2－5)≤0，即x1x2－5x1≤0，∴－3－

－5(1－

)≤0，化簡(jiǎn)得

≤8，解得－1≤a≤

，∵a>0，∴0<a≤

；②當(dāng)a<

時(shí)，由x1<x2可知x1＝1＋

，由①可得－3－

－5(1＋

)≤0，化簡(jiǎn)得－

≤8，解得－1≤a≤

，∵a<－

，∴－1≤a<－

.綜上所述，a的取值范圍為0<a≤

或－1≤a<－

.6.(2021大興區(qū)一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝x2－2bx＋b2－2(b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(m，n)．(1)用含b的代數(shù)式表示拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)；解：(1)∵y＝x2－2bx＋b2－2＝(x－b)2－2，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為(b，－2)；(2)若拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(0，2)，且滿足0<m<3，求n的取值范圍；(2)把(0，2)代入y＝x2－2bx＋b2－2(b＞0)，得b＝2或b＝－2(舍去)，∴b＝2，∴拋物線解析式為y＝x2－4x＋2，對(duì)稱軸為直線x＝2，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2，－2)．如解圖①，結(jié)合函數(shù)圖象可得，第6題解圖①在頂點(diǎn)處n取得最小值－2；當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2，∴當(dāng)0＜m＜3時(shí)，－2≤n＜2；(3)若3≤m≤5時(shí)，n≤2，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫(xiě)出b的取值范圍．①當(dāng)3≤m≤5≤b時(shí)，ymax＝(3－b)2－2≤2，∴1≤b≤5，矛盾，不成立．②當(dāng)3≤b≤5時(shí)，則當(dāng)x＝3時(shí)，y＝(3－b)2－2≤2，得1≤b≤5，且當(dāng)x＝5時(shí)，y＝(5－b)2－2≤2，得3≤b≤7，∴3≤b≤5；第6題解圖②(3)如解圖②，③當(dāng)b≤3≤m≤5時(shí)，ymax＝(5－b)2－2≤2，得3≤b≤7，矛盾，不成立．綜上所述，b的取值范圍為3≤b≤5.第6題解圖②類(lèi)型二公共點(diǎn)問(wèn)題1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝mx2－2mx＋n(m≠0)與x軸交于點(diǎn)A(－2，0)，B.(1)求出拋物線的對(duì)稱軸；綜合提升三階考向一定拋物線與動(dòng)線段第1題圖解：(1)∵拋物線y＝mx2－2mx＋n，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=－＝1；(2)直線y＝x－4m－n過(guò)點(diǎn)B，且與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為C.①分別求直線和拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(2)①∵拋物線是軸對(duì)稱圖形，∴點(diǎn)A、B關(guān)于直線x＝1對(duì)稱．∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－2，0)，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4，0)．∵拋物線y＝mx2－2mx＋n過(guò)點(diǎn)B，直線y＝x－4m－n過(guò)點(diǎn)B，∴16m－8m＋n＝0，2－4m－n＝0，解得m＝，

n＝4，∴直線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝x－2，拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝

x2＋x＋4；②點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的兩條直線l1：y＝x＋a和l2：y＝－x＋b組成圖形G.當(dāng)圖形G與線段BC有公共點(diǎn)時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)t的取值范圍．聯(lián)立

，解得

∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4，0)，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(－3，

)．當(dāng)直線l2：y＝－x＋b1過(guò)點(diǎn)B時(shí)，0＝－4＋b1，解得b1＝4，∴此時(shí)直線l2所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝－x＋4，第1題解圖【解法提示】如解圖，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝－x＋4＝3，∴點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(1，3)；第1題解圖當(dāng)直線l2：y＝－x＋b2過(guò)點(diǎn)C時(shí)，

＝3＋b2，解得b2＝

，∴此時(shí)直線l2所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝－x

，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝－x

＝

，∴點(diǎn)P2的坐標(biāo)為(1，

)，∴當(dāng)圖形G與線段BC有公共點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)t的取值范圍為

≤

t

≤3.②點(diǎn)P的縱坐標(biāo)t的取值范圍為≤t≤3.2.拋物線M：y＝ax2－4ax＋a－1(a≠0)與x軸交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè))，拋物線的頂點(diǎn)為D.(1)拋物線M的對(duì)稱軸是直線________；x＝2第2題圖【解法提示】∵拋物線M：y＝ax2－4ax＋a－1(a≠0)，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝＝2.(2)當(dāng)AB＝2時(shí)，求拋物線M的函數(shù)表達(dá)式以及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)∵拋物線M：y＝ax2－4ax＋a－1(a≠0)的對(duì)稱軸為直線x＝2，拋物線M與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)A，點(diǎn)B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，AB＝2，∴點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(1，0)，(3，0)．∵點(diǎn)A在拋物線M上，∴將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線的函數(shù)表達(dá)式，得a－4a＋a－1＝0，解得a＝－12，∴拋物線M的函數(shù)表達(dá)式為y＝－x2＋2x－32＝－(x－2)2＋12，∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2，)；(3)在(2)的條件下，直線l：y＝kx＋b(k≠0)經(jīng)過(guò)拋物線的頂點(diǎn)D，直線y＝n與拋物線M有兩個(gè)公共點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)分別記為x1，x2，直線y＝n與直線l的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)記為x3(x3＜4)，若當(dāng)－2≤n≤－1時(shí)，總有x1－x3＜x3－x2＜0，請(qǐng)結(jié)合函數(shù)的圖象，直接寫(xiě)出k的取值范圍．第2題解圖由(2)知點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2，

)．當(dāng)y＝－1時(shí)，－

(－2)2＋

＝－2，解得x＝2±

，當(dāng)y＝－2時(shí)，－

(x－2)2＋

＝－2，解得x＝2±

.∵直線y＝n與直線l的交點(diǎn)橫坐標(biāo)記為x3(x3＜4)，且當(dāng)－2≤n≤－1時(shí)，總有x1－x3＜x3－x2＜0，∴可以得出【解法提示】如解圖，∵x3＜4，∴2＜x3＜4，k<0，當(dāng)直線l：y＝kx＋b(k≠0)經(jīng)過(guò)拋物線的頂點(diǎn)D(2，

)和(4，－2)時(shí)，

解得k＝

，∴k的取值范圍為k＜

.(3)k的取值范圍為k＜.第2題解圖3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝mx2－2mx＋m－4(m≠0)與x軸交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C(0，－3)．(1)求拋物線的解析式；解：(1)由題意可得，m－4＝－3，∴m＝1，∴拋物線的解析式為y＝x2－2x－3；第3題圖(2)當(dāng)a－3≤x≤a時(shí)，函數(shù)有最小值為5，求a的值；(2)∵拋物線的解析式為y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)有最小值，最小值為－4.∵當(dāng)a－3≤x≤a時(shí)，函數(shù)有最小值為5，∴x的取值范圍一定在對(duì)稱軸的左側(cè)或右側(cè)，①當(dāng)a≤1時(shí)，函數(shù)在x＝a處取得最小值，最小值為5，∴(a－1)2－4＝5，解得a1＝4，a2＝－2.∵a≤1，∴a＝－2；②當(dāng)a－3≥1，即a≥4時(shí)，函數(shù)在x＝a－3處取得最小值，最小值為5，∴(a－3－1)2－4＝5，解得a1＝7，a2＝1.∵a≥4，∴a＝7，綜上所述，a的值為－2或7；(3)將拋物線在B，C之間的部分記為圖象G(包含B，C兩點(diǎn))，若直線y＝5x＋b與圖象G有公共點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出b的取值范圍．【解法提示】當(dāng)x＝0時(shí)，直線y＝5x＋b≤－3，解得b≤－3；當(dāng)直線y＝5x＋b與拋物線相切時(shí)，得x2－7x－(3＋b)＝0，49－4(－3－b)＝0，解得b＝－

，此時(shí)x＝

>3，切點(diǎn)在點(diǎn)B的右側(cè)，不符合題意，把(3，0)代入y＝5x＋b中，得到b＝－15，∴符合題意的b的取值范圍是－15≤b≤－3.(3)b的取值范圍是－15≤b≤－3.1.已知：二次函數(shù)C1：y1＝ax2＋2ax＋a－1(a≠0)．(1)把二次函數(shù)C1的表達(dá)式化成y＝a(x－h(huán))2＋b(a≠0)的形式，并寫(xiě)出頂點(diǎn)坐標(biāo)；綜合提升三階考向二動(dòng)拋物線與定線(線段、射線、直線)第1題圖解：(1)y1＝ax2＋2ax＋a－1＝a(x＋1)2－1，∴二次函數(shù)C1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，－1)；(2)已知二次函數(shù)C1的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－3，1)．①求a的值；(2)①∵二次函數(shù)C1的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－3，1)，∴a(－3＋1)2－1＝1，∴a＝；②點(diǎn)B在二次函數(shù)C1的圖象上，點(diǎn)A，B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，連接AB.二次函數(shù)C2：y2＝kx2＋kx(k≠0)的圖象，與線段AB只有一個(gè)交點(diǎn)，求k的取值范圍．②∵A(－3，1)，對(duì)稱軸為直線x＝－1，點(diǎn)A，B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，∴B(1，1)，當(dāng)k>0時(shí)，二次函數(shù)C2：y2＝kx2＋kx(k≠0)的圖象經(jīng)過(guò)A(－3，1)時(shí)，1＝9k－3k，解得k＝，二次函數(shù)C2：y2＝kx2＋kx(k≠0)的圖象經(jīng)過(guò)B(1，1)時(shí)，1＝k＋k，解得k＝，∴≤

k<.當(dāng)k<0時(shí)，∵二次函數(shù)C2：y2＝kx2＋kx＝k(x＋)2－k，若使二次函數(shù)C2與線段AB僅有一個(gè)交點(diǎn)，∴－k＝1，∴k＝－4，綜上所述，k的取值范圍是≤k<或k＝－4.2.(2021燕山區(qū)二模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2－2ax－3a(a≠0)．(1)求拋物線的對(duì)稱軸及拋物線與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)；第1題圖解：(1)∵拋物線y＝ax2－2ax－3a(a≠0)，∴拋物線的對(duì)稱軸是直線x＝－＝1，令x＝0，則y＝－3a，∴拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，－3a)；(2)已知點(diǎn)B(3，4)，將點(diǎn)B向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)C.若拋物線與線段BC恰有一個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的圖象，求a的取值范圍．(2)y＝ax2－2ax－3a＝a(x2－2x－3)＝a(x＋1)(x－3)，∴拋物線與x軸交于點(diǎn)A(－1，0)，D(3，0)，與y軸交于點(diǎn)E(0，－3a)，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1，－4a)．由題意得點(diǎn)C(0，4)，B(3，4)，第2題解圖①當(dāng)a>0時(shí)，如解圖①，顯然拋物線與線段BC無(wú)公共點(diǎn)．第2題解圖②當(dāng)a<0時(shí)，如解圖②，若拋物線的頂點(diǎn)在線段BC上，則頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，4)，∴－4a＝4，∴a＝－1.如解圖③，若拋物線的頂點(diǎn)不在線段BC上，由拋物線與線段BC恰有一個(gè)公共點(diǎn)，得－3a＞4，∴a<.綜上所述，a的取值范圍是a<－或a＝－1.第2題解圖③綜合提升三階考向三動(dòng)拋物線與動(dòng)線段1.(2021東城區(qū)二模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2－3ax＋1與y軸交于點(diǎn)A.(1)求拋物線的對(duì)稱軸；解：(1)由拋物線y＝ax2－3ax＋1，可知x＝

＝

，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝

；(2)點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)∵拋物線y＝ax2－3ax＋1與y軸交于點(diǎn)A，令x＝0，y＝1，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，1)．∵點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于直線x＝

的對(duì)稱點(diǎn)，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3，1)；(3)已知點(diǎn)P(0，2)，Q(a＋1，1)．若線段PQ與拋物線恰有一個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象，求a的取值范圍．(3)∵點(diǎn)A(0，1)，點(diǎn)B(3，1)，點(diǎn)P(0，2)，點(diǎn)Q(a＋1，1)，∴點(diǎn)P在點(diǎn)A的上方，點(diǎn)Q在直線y＝1上．①當(dāng)a＞0時(shí)，a＋1＞1，點(diǎn)Q在點(diǎn)A的右側(cè)，第1題解圖①(i)如解圖①，當(dāng)a＋1＜3，即a＜2時(shí)，點(diǎn)Q在點(diǎn)B的左側(cè)，結(jié)合函數(shù)圖象，可知線段PQ與拋物線沒(méi)有公共點(diǎn)；(ii)如解圖②，當(dāng)a＋1≥3，即a≥2時(shí)，點(diǎn)Q在點(diǎn)B的右側(cè)，或與點(diǎn)B重合，結(jié)合函數(shù)圖象，可知線段PQ與拋物線恰有一個(gè)公共點(diǎn)；第1題解圖②②當(dāng)a＜0時(shí)，a＋1＜1，點(diǎn)Q在點(diǎn)B的左側(cè)，(i)如解圖③，當(dāng)0≤a＋1＜1，即－1≤a＜0時(shí)，點(diǎn)Q在點(diǎn)A的右側(cè)，或與點(diǎn)A重合，結(jié)合函數(shù)圖象，可知線段PQ與拋物線恰有一個(gè)公共點(diǎn)；第1題解圖③(ii)如解圖④，當(dāng)a＋1＜0，即a＜－1時(shí)，點(diǎn)Q在點(diǎn)A的左側(cè)，結(jié)合函數(shù)圖象，可知線段PQ與拋物線沒(méi)有公共點(diǎn)．綜上所述，a的取值范圍是－1≤a＜0或a≥2.第1題解圖④2.(2022朝陽(yáng)區(qū)期末)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2＋bx經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3，3)．(1)用含a的式子表示b；解：(1)將點(diǎn)(3，3)代入y＝ax2＋bx中，得9a＋3b＝3.∴b＝－3a＋1；(2)直線y＝x＋4a＋4與直線y＝4交于點(diǎn)B，求點(diǎn)B的坐標(biāo)(用含a的式子表示)；(2)令x＋4a＋4＝4，得x＝－4a.∴B(－4a，4)；(3)在(2)的條件下，已知點(diǎn)A(1，4)．若拋物線與線段AB恰有一個(gè)公共點(diǎn)，直接寫(xiě)出a(a＜0)的取值范圍．【解法提示】∵a＜0，∴拋物線開(kāi)口向下．∵A(1，4)，B(－4a，4)，∴點(diǎn)A、B所在的直線為y＝4，由(1)得b＝1－3a，則拋物線可化為y＝ax2＋(1－3a)x，分兩種情況討論：①當(dāng)拋物線y＝ax2＋(1－3a)x的頂點(diǎn)在線段AB上時(shí)，則1≤

≤－4a或－4a≤

≤1，方程ax2＋(1－3a)x＝4的根的判別式b2－4ac＝0，即(1－3a)2＋16a＝0，解得a1＝

，a2＝－1，當(dāng)a1＝

時(shí)，

＝6(不符合題意)，當(dāng)a2＝－1時(shí)，

＝2，則1≤

≤－4a成立；②當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，即當(dāng)x＝1，y＝4時(shí)，a＋1－3a＝4，解得a＝

；∴a＜

時(shí)，拋物線與線段AB恰有一個(gè)公共點(diǎn)，綜上所述，a的取值范圍為a＝－1或a＜

時(shí)，拋物線與線段AB恰有一個(gè)公共點(diǎn)．(3)a的取值范圍為a＝－1或a<

.3.(2021北師大附中期中改編)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線F1：y＝ax2＋bx－1(a＞1)與x軸交于點(diǎn)A、B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(

，0)，(1)求b的值(用含a的代數(shù)式表示)；解：(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(

，0)，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式并整理得b＝1－a；第3題圖(2)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)拋物線的表達(dá)式為y＝ax2＋(1－a)x－1，令y＝0，則x＝1或x＝

，故點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，0)；(3)設(shè)拋物線F1的頂點(diǎn)為P1，將該拋物線平移后得到拋物線F2，拋物線F2的頂點(diǎn)P2滿足P1P2∥BC，并且拋物線F2過(guò)點(diǎn)B，①設(shè)拋物線F2與直線BC的另一個(gè)交點(diǎn)為D，判斷線段BC與CD的數(shù)量關(guān)系(不需證明)，并直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)；【解法提示】如解圖，根據(jù)平移的性質(zhì)可得BC＝P1P2＝BD，∴CD＝2BC；對(duì)于y＝ax2＋bx－1，令x＝0，則y＝－1；則點(diǎn)C(0，－1)，因?yàn)辄c(diǎn)B是C、D的中點(diǎn)，點(diǎn)B坐標(biāo)(1，0)，由中點(diǎn)公式得D(2，1)．第3題解圖(3)①CD＝2BC，D(2，1)；②求出拋物線F2與y軸的交點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍．②設(shè)平移后拋物線表達(dá)式為y＝ax2＋b′x＋c，圖象過(guò)B(1，0)，D(2，1)，將點(diǎn)B、D的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式y(tǒng)＝ax2b′x＋c得解得c＝2a－1，∵a＞1，∴c＝2a－1＞1，拋物線F2與y軸的交點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍為c＞1.4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝－x2＋2mx－m2＋m的頂點(diǎn)為A.(1)求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)(用含m的式子表示)；解：(1)∵y＝－x2＋2mx－m2＋m＝－(x－m)2＋m，故點(diǎn)A的坐標(biāo)為(m，m)；第4題圖(2)若點(diǎn)A在第一象限，且OA＝

，求拋物線的解析式；(2)∵點(diǎn)A在第一象限，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為(m，m)，則OA＝

m＝

，解得m＝1，故拋物線的解析式為y＝－x2＋2x；(3)已知點(diǎn)B(m－1，m－2)，點(diǎn)C(2，2)．若該拋物線與線段BC有公共點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象，求出m的取值范圍．(3)將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得m－2＝－(m－1)2＋2m(m－1)－m2＋m，此方程無(wú)解；將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得2＝－22＋2m×2－m2＋m，解得m＝2或3，如解圖①，當(dāng)m≤2時(shí)，拋物線和線段BC有公共點(diǎn)；第4題解圖①如解圖②，當(dāng)2<m<3時(shí)，拋物線和線段BC無(wú)公共點(diǎn)；第4題解圖②如解圖③，當(dāng)m≥3時(shí)，拋物線和線段BC有公共點(diǎn)；第4題解圖③綜上所述，m的取值范圍為m≤2或m≥3.考向拓展動(dòng)拋物線與動(dòng)線段1.(2022海淀區(qū)二模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知二次函數(shù)y＝mx2＋2mx＋3的圖象與x軸交于點(diǎn)A(－3，0)，與y軸交于點(diǎn)B，將其圖象在點(diǎn)A，B之間的部分(含A，B兩點(diǎn))記為F.(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)及該函數(shù)的表達(dá)式；解：(1)∵二次函數(shù)y＝mx2＋2mx＋3的圖象與x軸交于點(diǎn)A(－3，0)，與y軸交于點(diǎn)B，∴B(0，3)，把A(－3，0)代入y＝mx2＋2mx＋3，得m＝－1，∴函數(shù)的表達(dá)式為y＝－x2－2x＋3；第1題圖(2)若二次函數(shù)y＝x2＋2x＋a的圖象與F只有一個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象，求a的取值范圍．由題意知F的端點(diǎn)為A，B，且經(jīng)過(guò)拋物線y＝－x2－2x＋3的頂點(diǎn)C(－1，4)，∵二次函數(shù)y＝x2＋2x＋a的圖象對(duì)稱軸為x＝－1，且與F只有一個(gè)公共點(diǎn)，∴分別把A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入y＝x2＋2x＋a中，可得a的值分別為－3、3、5.第1題解圖(2)如解圖，結(jié)合函數(shù)圖象可知，二次函數(shù)y＝x2＋2x＋a的圖象與F只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，a的取值范圍為－3≤a＜3或a＝5.第1題解圖2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝mx2＋4mx＋4m－3(m>0)與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))．(1)求拋物線的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)的坐標(biāo)；第2題圖解：(1)由題意得，拋物線y＝mx2＋4mx＋4m－3＝m(x＋2)2－3，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝

＝－2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－2，－3)；(2)對(duì)于該拋物線上的兩點(diǎn)P(a，y1)，Q(a＋3，y2)，若y1>y2，求a的取值范圍；(2)∵m>0，∴該函數(shù)圖象開(kāi)口向上，∴拋物線上的點(diǎn)距離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，y值越大．∵點(diǎn)P(a，y1)，Q(a＋3，y2)在該拋物線上，且y1>y2，∴點(diǎn)P到對(duì)稱軸的距離大于點(diǎn)Q到對(duì)稱軸的距離，分三種情況討論：①當(dāng)P、Q兩點(diǎn)均在對(duì)稱軸左側(cè)(點(diǎn)Q可以在對(duì)稱軸上)時(shí)，a＋3≤－2，即a≤－5，此時(shí)點(diǎn)P到對(duì)稱軸的距離大于點(diǎn)Q到對(duì)稱軸的距離，∴a≤－5；②當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)稱軸左側(cè)，點(diǎn)Q在對(duì)稱軸右側(cè)時(shí)，a<－2<a＋3，即－5<a<－2，∵點(diǎn)P到對(duì)稱軸的距離大于點(diǎn)Q到對(duì)稱軸的距離，∴－2－a>a＋3－(－2)，解得a<

，∴－5<a<

；③當(dāng)P、Q兩點(diǎn)均在對(duì)稱軸右側(cè)(點(diǎn)P可以在對(duì)稱軸上)時(shí)，a≥－2，此時(shí)點(diǎn)P到對(duì)稱軸的距離小于點(diǎn)Q到對(duì)稱軸的距離，不符合題意．綜上所述，a的取值范圍為a<

；(3)記拋物線y＝－x2－2x＋3在第二象限的部分為圖形W.若拋物線y＝mx2＋4mx＋4m－3與圖形W有且只有一個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象，求m的取值范圍．(3)設(shè)拋物線y＝－x2－2x＋3與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)D，則令y＝0，解得x1＝－3，x2＝1(舍去)，∴C(－3，0)．令x＝0，得y＝3，∴D(0，3)．當(dāng)拋物線y＝mx2＋4mx＋4m－3過(guò)點(diǎn)C時(shí)，將C(－3，0)代入得，0＝9m－12m＋4m－3，解得m＝3；第2題解圖①當(dāng)拋物線y＝mx2＋4mx＋4m－3過(guò)點(diǎn)D時(shí)，將D(0，3)代入得，3＝4m－3，解得m＝

；第2題解圖②如解圖①，如解圖②，結(jié)合函數(shù)圖象可得，若拋物線y＝mx2＋4mx＋4m－3與圖形W有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則m的取值范圍為

<m≤3.圖①圖②第2題解圖類(lèi)型三整點(diǎn)問(wèn)題綜合提升三階1.(2022石景山區(qū)一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2＋4ax＋b(a>0)的頂點(diǎn)A在x軸上，與y軸交于點(diǎn)B.(1)用含a的代數(shù)式表示b；解：(1)∵y＝ax2＋4ax＋b＝a(x＋2)2＋(b－4a)，∴該拋物線頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－2，b－4a)，∵頂點(diǎn)A在x軸上，∴b－4a＝0，即b＝4a；(2)若∠BAO＝45°，求a的值；(2)∵b＝4a，∴拋物線的解析式為y＝ax2＋4ax＋4a(a＞0)．∵拋物線