小學(xué)奧數(shù)匯編教材 第六講 圓柱、圓錐、球體

特級(jí)教師小學(xué)奧數(shù)匯編教材

第六講圓柱、圓錐、球體

【專題知識(shí)點(diǎn)概述】

立體圖形，主要考點(diǎn)集中在不規(guī)則形體的表面積與體積計(jì)算。其中有自成

一類的“染色問題”，也是經(jīng)常見到的“幾何奧數(shù)題

小學(xué)階段，我們除了學(xué)習(xí)平面圖形外，還認(rèn)識(shí)了一些簡(jiǎn)單的立體圖形，如

長(zhǎng)方體、正方體（立方體）、直圓柱體，直圓錐體、球體等，并且知道了它們的

體積、表面積的計(jì)算公式，本講重點(diǎn)講解立體圖形中的圓柱、圓錐和球體。

廠【授課批注】

本講在熟記體積和表面積公式的基礎(chǔ)上，要鼓勵(lì)學(xué)生多思考，勤動(dòng)手，多畫圖，注重“數(shù)

形結(jié)合以此來培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力。另外，在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，有許多幾何趣題，解答這

些趣題的關(guān)鍵在于精巧的構(gòu)思和恰當(dāng)?shù)脑O(shè)計(jì)，把形象思維和抽象思維結(jié)合起來。

、--------------------------------------------------------

一、圓柱、圓錐、球體C—

圓柱體：如右圖，圓柱體的底面是圓，其半徑為r;圓柱體的側(cè)

面展開圖是一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形的寬相當(dāng)于圓柱體的高，長(zhǎng)相當(dāng)于

圓柱體的底面周長(zhǎng)。

2

圓柱體的表面積：S圓柱=側(cè)面積+2個(gè)底面積=2nrh+2nro

圓柱體的體積：崛柱=7ir2h

圓錐體：如右圖，圓錐體的底面是圓，其半徑為廣；圓錐體

的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形。

圓錐體的體積：LT錐tt體=-3兀r?h

4

球體：/體

求圓柱體的表面積.一般的方法是先求出圓柱體的側(cè)面積，然后再加上

圓柱的兩個(gè)底面積。求圓錐體的表面積需要先求出側(cè)面積（扇形），再求出

底面積（圓），兩者相加即可。

【重點(diǎn)難點(diǎn)解析】

1.圓柱、圓錐和球體的表面積和體積計(jì)算。

2.間接利用或逆用公式求解圓柱圓錐球體中的其它量。

3.圓柱圓錐球體等立體圖形的組合圖形。

【競(jìng)賽考點(diǎn)挖掘】

1.常見較復(fù)雜的組合圖形計(jì)算。

2.靈活運(yùn)用公式求解體積表面積外的其余量。

【習(xí)題精講】

【例1】（難度級(jí)別X）

一個(gè)底面半徑的是5厘米.高是15厘米的圓柱體，試求出它的表面積。

【分析與解】

本題是較基礎(chǔ)題型。（1）側(cè)面積：2x3.14x5x15=471（平方米）；（2）底面積：3.14x52=78.5

（平方厘米）；（1）表面積：471+78.5x2=628（平方米）。

【例2】（難度級(jí)別※派）

一段圓柱體木料，如果截成兩段，它的表面積增加25.12平方厘米；如果沿著直徑劈成兩個(gè)

半圓柱體，它的表面積將增加100平方厘米。求圓柱體的表面積。

【分析與解】

一般解法：把圓柱體截成兩段，表面積增加的是兩個(gè)底面積；沿著直徑劈成兩個(gè)半圓柱體，

表面積增加的是兩個(gè)長(zhǎng)為“高”，寬為“直徑”的長(zhǎng)方形。同學(xué)們大都會(huì)按照“半徑一高一

表面積”思路來解答。具體解法如下：25.12+2+3.14=4（平方厘米）；4=22

1004-24-（2X2）=12.5（厘米）；3.14X22X2+2X3.14X2X12.5=182.12（平方厘米）

巧妙解法：我們不妨換個(gè)角度去思考，沿著直徑把圓柱體劈成兩半增加的100平方厘米寫

成算式是''直徑X高X2”，求圓柱體的側(cè)面積用“nX直徑X高”，所以用“100+2X3.14”

就可以求出圓柱體的側(cè)面積了，進(jìn)而就能求出圓柱體的表面積，列式為：

1004-2X3.14+25.12=157+25.12=182.12（平方厘米）

答：圓柱體的表面積為182.12平方厘米。

【例3】（難度級(jí)別※派）

一個(gè)圓柱體的體積是50.24立方厘米，底面半徑是2厘米。將它的底面平均分成若干個(gè)扇

形后，再截開拼成一個(gè)和它等底等高的長(zhǎng)方體，表面積增加了多少平方厘米？（口=3.14）

【分析與解】

根據(jù)圓柱體的體積公式推導(dǎo)過程，要求增加的表面

積，實(shí)際上就是求拼成的長(zhǎng)方體的兩個(gè)側(cè)面積之和,

從拼成的長(zhǎng)方體圖形來看：體積一長(zhǎng)=右側(cè)面積。

50.244-（2X3.14）X2=16（平方厘米）;

【例4】（難度級(jí)別※派）

已知圓柱體的高是10厘米，由底面圓心垂直切開，把圓柱分成相等的兩半，表面積增加了

40平方厘米，求圓柱體的體積.（?=3）

【分析與解】

圓柱切開后表面積增加的是兩個(gè)長(zhǎng)方形的矩形縱切面，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)等于圓柱體的高為10厘

米，寬為圓柱底面的直徑，設(shè)為2乙則2rxl0x2=40j=l（厘米）.圓柱體積為：

^■xl2xl0=30（立方厘米）.

【例5】（難度級(jí)別※※）

一個(gè)圓柱形容器內(nèi)放有一個(gè)長(zhǎng)方形鐵塊.現(xiàn)打開水龍頭往容器中灌水.3分鐘時(shí)水面恰好沒

過長(zhǎng)方體的頂面.再過18分鐘水灌滿容器.已知容器的高為50厘米，長(zhǎng)方體的高為20厘

米，求長(zhǎng)方體底面面積與容器底面面積之比.

【分析與解】

因?yàn)?8分鐘水面升高：50—20=30（厘米）.所以圓柱中沒有鐵塊的情形下水面升高20

20

厘米需要的時(shí)間是：18x—=12（分鐘），實(shí)際上只用了3分鐘，說明容器底面沒被長(zhǎng)方

30

體底面蓋住的部分只占容器底面積的3:12=工，所以長(zhǎng)方體底面面積與容器底面面積之比

4

為3:4.

【例6】（難度級(jí)別派※※）

蘭州來的馬師傅擅長(zhǎng)做拉面，拉出的面條很細(xì)很細(xì)，他每次做拉面的步驟是這樣的：將一個(gè)

面團(tuán)先搓成圓柱形面棍，長(zhǎng)1.6米.然后對(duì)折，拉長(zhǎng)到1.6米；再對(duì)折，拉長(zhǎng)到1.6米……

照此繼續(xù)進(jìn)行下去，最后拉出的面條粗細(xì)（直徑）僅有原先面棍的」-.問：最后馬師傅拉出

64

的這些細(xì)面條的總長(zhǎng)有多少米？（假設(shè)馬師傅拉面的過程中.面條始終保持為粗細(xì)均勻的圓柱

形，而且沒有任何浪費(fèi)）

【分析與解】

最后拉出的面條直徑是原先面棍的」則截面積是原先面棍的工，細(xì)面條的總長(zhǎng)為：

6464

1.6x642=6553.6（米）.注意運(yùn)用比例思想。

【例7】（難度級(jí)別派※※）

一個(gè)蓋著瓶蓋的瓶子里面裝著一些水（如下圖所示），請(qǐng)你根據(jù)圖中標(biāo)明的數(shù)據(jù)，計(jì)算瓶子

的容積是o

【分析與解】

由已知條件知，第二個(gè)圖上部空白部分的高為7-5=2cm,

從而水與空著的部分的比為4：2=2:1,由圖1知水的體積瓶底面積為10平方厘米

為10X4=40,所以總的容積為40+2X（2+1）=60立方厘米。

【例8］（難度級(jí)別派※※）

輸液100毫升，每分鐘輸2.5毫升.如圖，請(qǐng)你觀察第12分鐘時(shí)圖中的數(shù)據(jù),

(TUiJOOI3

問：整個(gè)吊瓶的容積是多少毫升？

【分析與解】T

100毫升的吊瓶在正放時(shí)，液體在100毫升線下方，上方是空的，容積是多少不好算.但倒

過來后，變成圓柱體，根據(jù)標(biāo)示的格子就可以算出來.由于每分鐘輸2.5毫升，12分鐘已

輸液2.5x12=30（毫升），因此開始輸液時(shí)液面應(yīng)與50毫升的格線平齊，上面空的部分是

50毫升的容積.所以整個(gè)吊瓶的容積是100+50=150（毫升）.

【例9】（難度級(jí)別派※※）

一只裝有水的圓柱形玻璃杯，底面積是80平方厘米，水深8厘米。現(xiàn)將一個(gè)底面積是16

平方厘米的長(zhǎng)方體鐵塊豎放在水中后，仍有一部分鐵塊露在外面。現(xiàn)在水深多少厘米？

【分析與解】r-j

根據(jù)等積變化原理：用水的體積除以水的底面積就是水的高度。一~、

（法1）:80X84-（80—16）=640+64=10（厘米）；;廠2

（法2）：設(shè)水面上升了x厘米。根據(jù)上升部分的體積=浸入水中鐵塊的體積

列方程為：80%=16（8+%）,解得：x=2,8+2=10（厘米）。

【例10］（難度級(jí)別派※※）

一個(gè)盛有水的圓柱形容器底面內(nèi)半徑為5厘米，深20厘米，水深15厘米./\

今將一個(gè)底面半徑為2厘米，高為18厘米的鐵圓柱垂直放入容器中.求這（85）

時(shí)容器的水深是多少厘米.k）

【分析與解】

本題可能出現(xiàn)三種情況：①放入鐵圓柱后，水深不及鐵圓柱高.②放入鐵圓柱后，水深比鐵

圓柱高但未溢出.③水有溢出.放入鐵圓柱后，在鐵圓柱周圍，水的截面成圓環(huán)狀，如圖所

示，截面積為萬X5X5一萬X2X2=21萬.收入圓柱前后，水的體積不變，為了X5X5X

15=375萬.又因?yàn)?75萬+21^=—=17-<18厘米.因此這時(shí)容器的水深是17。厘米.

777

請(qǐng)同學(xué)們考慮水深不是15,而是16厘米或19厘米的情況。

【例11］（難度級(jí)別派※※）

如右圖，是一個(gè)長(zhǎng)方形鐵皮，利用圖中的陰影部分，剛好能做成一個(gè)油桶（接頭處忽略不

計(jì)），求這個(gè)油桶的容積。（“取3.14）

【分析與解】

圓的直徑為：16.56+（1+3.14）=4（m）,而油桶的高為2個(gè)直

徑長(zhǎng)，即為：4X2=8（m）,故體積為100.48立方米。

【例12］（難度級(jí)別派※）

將一個(gè)底面半徑為3分米的圓柱體的底面平均分成若干個(gè)扇形,截開拼成一個(gè)和它等底等高

的長(zhǎng)方體后，表面積增加了16平方分米。求圓柱體的體積。（〃=3.14）

【分析與解】

根據(jù)圓柱體的體積推導(dǎo)過程，增加的表面積實(shí)際上就是長(zhǎng)方體左、右兩個(gè)面的面積。

（法1）：16-2x（3.14x3）=75.36（立方分米）；

（法2）：3.14x32x（16+2+3）=75.36（立方分米）。

【例13］（難度級(jí)別派※※）

如圖1,一個(gè)直角三角形三條邊的長(zhǎng)度是3,4,5,如果分別以各邊為軸

旋轉(zhuǎn)一周，得到三個(gè)立體.求三個(gè)立體中最大的體積和最小的體積的比.

【分析與解】

以長(zhǎng)為3的直角邊為軸旋轉(zhuǎn)得到的立體是一個(gè)圓錐，底面半徑是4,由

19

圓錐的體積公式得：V，=-^X42X3=16^-

3

以長(zhǎng)為4的直角邊為軸旋轉(zhuǎn)得到的立體也是圓錐，底面半徑是3,由圓錐的體積公式得:

1,

匕=一"><3"><4=12〃

3

如圖2,以長(zhǎng)為5的斜邊為軸旋轉(zhuǎn)得到的立體是由兩個(gè)圓錐底面上下疊合

3

圖2

在一起形成的紡錐體.設(shè)兩個(gè)圓錐的高為4,刈，則有4+/?2=5,設(shè)底面的半徑是小

1112

則由直角三角形面積公式得：一x5xr=-x3x4,所以廠=一

225

再由圓錐的體積公式計(jì)算紡錐體的體積，應(yīng)當(dāng)是：

12z12j12〃1\48

匕二耳乃廠匕+^"4：］"（/^+h2）=-7T

485

顯然，16711271—所以最大的體積和最小的體積之比是―。

【例14］（難度級(jí)別派※※）

皮球掉進(jìn)一個(gè)盛有水的圓柱形水桶中。皮球的直徑為15厘米，水桶底面直徑為60厘米。皮

4

球有一的體積浸在水中（見右圖）。問皮球掉進(jìn)水中后，水桶中的水面升高

5

了多少厘米？czzzz^

［分析與解］］一三」

皮球的體積是：l^r3=|^-x（y）3=562.5^（立方厘米）；|_______I

4

皮球浸在水中的部分是：562.5?xg=450開（立方厘米）；

水桶的底面積是：〃><（m）2=900?（平方厘米）；

水面升高的高度是：450^-^900^=0.5（厘米）。

【例15］（難度級(jí)別派※※）

有一只底面半徑是20厘米的圓柱形水桶，里面有一段半徑是5厘米的圓柱體鋼材浸在水中。

鋼材從水桶里取出后，桶里的水下降了6厘米。這段鋼材有多長(zhǎng)？

【分析與解】

根據(jù)題意可知，圓柱形鋼材的體積等于桶里下降部分水的體積，因?yàn)殇摬牡酌姘霃绞撬?/p>

底面半徑的9,即工，鋼材底面積就是水桶底面積的-1-。根據(jù)體積一定，圓柱體的底面

20416

積與高成反比例可知，鋼材的長(zhǎng)是水面下降高度的16倍。

（法1）:6+（2）2=96（厘米），（法2）:3.14X202X6+（3.14X52）=96（厘米）。

20

【例16］（難度級(jí)別派※※）

如圖，有一張長(zhǎng)方體鐵皮，剪下圖中兩個(gè)圓及一塊長(zhǎng)方形，正好可以做成1個(gè)圓柱體，這

個(gè)圓柱體的底面半徑為10厘米，那么原來長(zhǎng)方形鐵皮的面積是多少平方厘米？（?=3.14）

MOcm^75

10x2x^-=62.8（厘米），

原來的長(zhǎng)方形的面積為：（10x4+62.8）x（10x2）=2056（平方厘米）.

【例17］（難度級(jí)別派※※）

如右圖所示，圓錐形容器中裝有3升水，水面高度正好是圓錐高度的一半，這個(gè)容器還能

裝多少水？

【分析與解】_____jy

21升。設(shè)圓錐容器的底面半徑為r,則水面半徑為r/2。容器的容/

j1

積為1/3n2h,水的體積為：一x(—)2><—=一Eh

32224

上式說明容器可以裝8份3升水，故還能裝水3X（8—1）=21（升）。

【例18］（難度級(jí)別※※※※）

如圖，ABCD是矩形，BC=6cm,AB=10cm,對(duì)角線AC,BD相交0.圖中的陰影部分以CD為軸

旋轉(zhuǎn)一周，則陰影部分掃出的立體的體積是多少立方厘米？

［分析與解］0二^~^

設(shè)三角形BC0以CD為軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的立體的體積\/、/

是V,V等于高為10厘米，底面半徑是6厘米的圓錐的/\~/\

體積減去2個(gè)高為5厘米，底面半徑是3厘米的圓錐的

體積.

即：V=1x62xl0x〃—2x』x32x5x〃=90〃（立方厘米），2V=180〃=540（立方厘米）.

【例19］（難度級(jí)別※※※※）

如圖，在一個(gè)正方體的兩對(duì)側(cè)面的中心各打通一個(gè)長(zhǎng)方體的洞，在上下底面的中心打通一個(gè)

圓柱形的洞.已知正方體邊長(zhǎng)為10厘米，側(cè)面上的洞口是邊長(zhǎng)為4厘米的正方形，上下側(cè)

面的洞口是直徑為4厘米的圓，求此立體圖形的表面積和體積.

【分析與解】

外側(cè)表面積為：6X10X10-4X4X4-nX22X

2=536-8n.

內(nèi)側(cè)表面積為：16X4X3+2X(4X4-nX22)+2X2

nX2X3=192+32-8n+24n=224+16n.

總表面積=224+16n+536-8n=760+8n=785J2(平

方厘米）.

計(jì)算體積時(shí)將挖空部分的立體圖形取出，如圖，只要求出這個(gè)幾何體的體積即可.

挖出的幾何體體積為：4X4X4X3+4X4X4+2XnX22X3=192+64+24n=256+24n.

所求幾何體體積為：10X10X10-（256+24n）=668.64（立方厘米）.

［點(diǎn)評(píng)］能把這道題拿下，所有不規(guī)則形體的表面積和體積計(jì)算都將不在話下。一定要注意:

思路要清晰，比如表面積從外面和內(nèi)部去討論，體積直接是整體減挖去部分。細(xì)節(jié)決定成

?。旱谝稽c(diǎn)，求表面積時(shí)，內(nèi)部中心的正方形減去內(nèi)切圓剩下部分容易忽略；第二點(diǎn)，本

題大正方體的棱長(zhǎng)是10厘米，是一個(gè)很傷腦筋的數(shù)字，直接導(dǎo)致出現(xiàn)了多處的3。