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文檔簡介
5.2.3簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.了解復(fù)合函數(shù)的概念,達(dá)成數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).
2.理解復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,并能求簡單的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù),發(fā)展學(xué)
生的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).
[問題1]假設(shè)某商品的利潤y是銷售量u的函數(shù),銷售量u是銷售價
格x的函數(shù),且y=f(u)=60u-u2,u=g(x)=60-3x,那么,不難看出,利潤y
是銷售價格x的函數(shù),且有y=60u-u=60(60-3x)-(60-3x)=180x-9x2,
上式也可這樣得到f(g(x))=60g(x)-[g(x)]2=180X-9X2.
函數(shù)f(g(x))與f(x)和g(x)是什么關(guān)系?
提示:f(g(x))是f(x)與g(x)的復(fù)合函數(shù).
1.復(fù)合函數(shù)的概念
一般地,對于兩個函數(shù)y=f(u)和u=g(x),如果通過中間變量u,y可以
表示成x的函數(shù),那么稱這個函數(shù)為函數(shù)y=f(u)和u=g(x)的復(fù)合函數(shù),
記作y=f(g(x)).
[做一做1]函數(shù)y=cosnx可由(C)
A.y=u"和u=cosx"復(fù)合而成
B.y=u和u=cos"x復(fù)合而成
C.y=u"和u=cosx復(fù)合而成
D.y=cosu和u=x"復(fù)合而成
解析:y=cos"x,中間變量為u=cosx.故選C.
[問題2]求問題1中函數(shù)f(u)=60u-u2的導(dǎo)數(shù)f'(u)和函數(shù)
u=g(x)=60-3x的導(dǎo)數(shù)u'=g'(x).設(shè)y=f(g(x))=180x-9x;求y',
伊(u)和u'=g'(x),那么y'與f'(u),u'=g'(x)之間有什么關(guān)
系呢?
提示:#(u)=60-2u=60-2(60-3x)=6x-60,u'=g'(x)=-3,y'
=180T8x,易知y'=f'(u)u'.
2.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則
一般地,對于由函數(shù)y=f(u)和u=g(x)復(fù)合而成的函數(shù)y=f(g(x)),它
的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)y=f(u),u=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為y'x=y'u?u,x,即y
對x的導(dǎo)數(shù)等于y對u的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)的乘積.
[做一做2](1)設(shè)f(x)=Ln(2x+l),則(x)等于()
A.-B.—
2X+12x4-1
(2)曲線y=e2x+x在x=0處的切線的斜率是.
解析:(l)f'(x)=[ln(2x+l)]'(2x+l)'=三故選B.
2x+l
⑵因為y=e%x,
所以y'=2e2x+l,
所以y'Ix=o=3,
由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得曲線y=e2x+x在x=0處的切線的斜率是3.
答案:⑴B(2)3
依探究點一復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
[例1]求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).
(l)y=-7=;(2)y=log2(2x+l);
⑶y=e嗎⑷y=sin(2x+?
1
解:(l)y=(l-2x)5,
1
設(shè)y=u2,u=l-2x,
1
-
則y'x=y'uU'x=(u2)'(l-2x)
13_3
=(--u~2)?(-2)=(l-2x)2,
_3
即y'=(l-2x)2.
⑵設(shè)y=log2u,u=2x+l,
;
貝(Jy'x=y'uU'x=(log2u)(2x+l)'
_ix2~2
uln2(2x+l)ln2,
即y,=一?一.
y(2x+l)ln2
(3)設(shè)y=e",u=3x+2,
則y'x=y'uu'x=(e?(3x+2)'=3eu=3e3x+2,
即y'=3*2.
(4)設(shè)y=sinu,u=2x+p
貝Uy'x=y'/x=(sinu)'(2x+f'
=cosuX2=2cos(2x+-),
即y'=2cos(2x+g).
(1)求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的步驟.
⑵求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的注意點:①分解的函數(shù)通常為基本初等函數(shù);
②求導(dǎo)時分清是對哪個變量求導(dǎo);③計算結(jié)果盡量簡潔.
[針對訓(xùn)練]求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).
(l)y=(4-3x)2;(2)y=cos(2x-7);
(3)y=ln(4x-l);(4)y=e2xl.
解:⑴y—[(4-3x)2「=2(4—3x)?(4-3x)'
=2(4-3x)?(-3)=18x-24.
(2)y'=[cos(2x-^)]'=~sin(2x-^),(2x-^)'=-2sin(2x-;).
(3)yz=[ln(4x-l)]'=-^—?(4x-l)'=-^—.
4%-l4%-l
2xH2x',
(4)y,=3與,=e?(2xT)'=2e.
⑨探究點二復(fù)合函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的運算法則的
綜合應(yīng)用
[例2]求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).
ln3x
⑴y二
(2)y=xVl+2%;
(3)y=xcos(2x+1)sin(2x+^).
解:(1)因為(In3x)'=;X(3x)'
3xx
rrpiI(In3x),ex-(ln3x)(ex),
所以y二------f------
(ex)
ex
_l-xln3x
xex*
(2)y'二(xHF)‘
=(x)'V1+2x+x(V1+2x)
="+2%+x?|(1+2%)2?(l+2x)
V1+2x+X
Vl+2x
l+3x
Vl+2x'
(3)因為y=xcos(2x+/)sin(2x+1)
=x(-sin2x)cos2x
=—ixsi.n4.x,
2
所以丫'=(-,5打4x)'
1X
=—sin4x—?4?cos4x
22
1
=—sin4x-2xcos4x.
2
復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)應(yīng)注意的問題
(1)在對函數(shù)求導(dǎo)時,應(yīng)仔細(xì)觀察及分析函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征,緊扣求導(dǎo)法
則,聯(lián)系學(xué)過的求導(dǎo)公式,對不易用求導(dǎo)法則求導(dǎo)的函數(shù),可適當(dāng)?shù)剡M
行等價變形,以達(dá)到化異求同、化繁為簡的目的.
(2)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)熟練后,中間步驟可以省略,即不必再寫出函數(shù)的
復(fù)合過程,直接運用公式,由外及內(nèi)逐層求導(dǎo).
[針對訓(xùn)練]求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).
(l)y=ln(x-l)+e3x;
(2)y=xln(l+2x);
(3)y=(x+l)2+xsin'
解:⑴y—(In(x-L))'+(e)二+3此
x-1
(2)y'=(x)'In(l+2x)+x[In(l+2x)]'
=ln(l+2x)+—.
l+2x
⑶y'=[(x+l)丁+(xsin)
=2(x+l),(x+1)'+(x)'sin-+x(sin-)'
33
=2(x+1)+sing+xcos''
二2(x+l)+sin-+-cos
333
8探究點三導(dǎo)數(shù)運算法則的綜合應(yīng)用
[例3](1)曲線y=ln(2xT)上的點到直線2x-y+3=0的最短距離是
()
A.V5B.2V5C.3V5D.0
(2)(2021?山東膠州高二期中)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線y=x2在A
點處的切線1與直線y=—x垂直,則A點的坐標(biāo)為;切線1上的動點P
到曲線y=e?i上的點的最小距離為.
解析:(1)設(shè)曲線y=ln(2xT)在點(Xo,y0)處的切線與直線2x-y+3=0平
行.
所以y'I
解得Xo=l,
所以yo=ln(2-l)=O,
即切點坐標(biāo)為(1,0).
所以切點(1,0)到直線2x-y+3=0的距離為
V4+1
即曲線y=ln(2x-l)上的點到直線2x-y+3=0的最短距離是V5.故選
A.
(2)由y=x:得y'=2x,設(shè)A(x0,y0),
則曲線y=x?在A點處的切線1的斜率為k=2x0.
因為切線1與直線y=《x垂直,
所以2xo?(~1)=-1,得Xo=l,k=2,
=
所以y0=%ot
所以A點的坐標(biāo)為(1,1),
所以切線1的方程為y-l=2(x-1),即2x-yT=O.
由y=e?匕得y'=2e2E
設(shè)曲線y=e"T上的點BLyJ到切線1的距離最小,
則2e2X1-1=2,得x,=p則力=1,
所以1),
所以點B?1)到切線1的距離為d上當(dāng)
2V4+1V55
答案:(1)A⑵(1,1)Y
變式探究1:本例⑴變?yōu)椤扒€y=ln(2x-1)上的點到直線2x-y+m=O
的最小距離為2遍”,求實數(shù)m的值.
解:設(shè)切點P(x。,y。),則
y,|x%_久x=―--=2,
-o2x0-l
所以x0=l,即切點P(1,O),
所所2-。等一=2而,解得m=8或T2.
當(dāng)m=-12時,直線2x-y-12=0與曲線y=ln(2x-l)相交,不符合題意,舍
去.
所以實數(shù)m的值為8.
變式探究2:若本例⑴改為“曲線y=ln(2x-l)上的任一點為P,曲線
丫=子上的任一點為Q”,求|PQ|的最小值.
解:因為函數(shù)y=ln(2xT)與函數(shù)丫=可互為反函數(shù),所以它們的圖象
關(guān)于直線y=x對稱.
設(shè)點P到直線y=x的距離為d,
設(shè)曲線y=ln(2xT)在點(xo,y0)處的切線與直線y=x平行.
==1
所以y'Ix=x0^77^
解得x°=|,
所以yo=ln(2x|T)=ln2,
即切點坐標(biāo)為(|,In2).
3
所以切點?In2)到直線y=x的距離為誓,
2V2
日口」_lrln2l
艮din7=—,
mV2
所以|PQ%n=2(U=2xWM=¥(3-21n2).
V22
解此類問題的關(guān)鍵有兩個:
(1)求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù),這是正確解答的前提條件,要注意把復(fù)合函數(shù)
逐層分解,求導(dǎo)時不要有遺漏;
(2)求切線方程,注意切線所過的點是否為切點.
[例1]已知f(x)為偶函數(shù),當(dāng)xWO時,f(x)=e'E-x,則曲線y=f(x)在
點(1,2)處的切線方程是.
解析:設(shè)x>0,則-x<0,f(-x)=ex'+x.
又f(x)為偶函數(shù),f(x)=f(-x)=e*、x,
所以當(dāng)x>0時,f(x)=ex'+x,f(1)=2.
因此,當(dāng)x>0時,
fz(x-#⑴=e°+l=2,
則曲線y=f(x)在點(1,2)處的切線的斜率為
伊(1)=2,
所以切線方程為y-2=2(x-l),即2x-y=0.
答案:2x-y=0
[例2]某港口在一天24小時內(nèi)潮水的高度近似滿足關(guān)系式
s(t)=3sin*t+爭(0WtW24),其中s的單位是m,t的單位是h,求函
數(shù)在t=18h時的導(dǎo)數(shù),并解釋它的實際意義.
解:設(shè)f(x)=3sinx,x=°⑴:三+臺,
126
所以s'(t)=f,(x)(p'(t)=3cosX,
三cos*t+爭,
將t=18h代入s'(t),得s'(18)=-cos—=-(m/h).
438
s'(18)表示當(dāng)t=18h時,潮水的高度上升的速度為三m/h.
o
導(dǎo)數(shù)與數(shù)列的綜合應(yīng)用
典例探究:設(shè)fn(x)=x+x?+…+xn-l,xNO,n£N,n》2.
⑴求(2);
⑵證明:f?(x)在(0,|)內(nèi)有且僅有一個零點(記為a)且0<a「3磊.
⑴解:由題得fn'(x)=l+2x+…+nx;
所以f」(2)=l+2X2+-+(n-l)2'1-2+n?27①
貝!J2f/(2)=2+2X22+-+(n-l)2n-'+n?2",②
①一②得—f,(2)=l+2+22+-+2nH-n?2n
=--n?2n=(l-n)?2-1,
1-2
所以f/(2)=(n-l)?2n+l.
⑵證明:因為fn(0)=-l<0,
fn(|)=i[1n1-l=l-2?(|)n^l-2X(|)i2>0,
3W33
因為x20,n>2,
所以fn(x)在(0,|)內(nèi)單調(diào)遞增,
因止匕fn(x)在(0,|)內(nèi)有且僅有一個零點an.
v-v-n+l
由于f(x)=———-1,
n1-x
-n+l
所以0=fn(a")=竽nnJ-1,
l-an
由此可得故?〈aWj.
所以0<4—|4嗎+]《?(|嚴(yán)=孤,
即0<a-1<^-.
應(yīng)用探究:(2022?山東萊西高三期末)記函數(shù)f(x)音x+lnx(n£N*)
的圖象在點(-,f(-))處的切線的斜率為a“,則數(shù)列{」一}的前n項和
TtTt
為.
解析:對函數(shù)f(x)=9+lnx求導(dǎo)可得f'(x)W+3由題意可得
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