杭州科技職業(yè)技術(shù)學院

杭州科技職業(yè)技術(shù)學院教案教師姓名課程名稱應(yīng)用高等數(shù)學授課對象授課日期課時2課型理論課（新授）教學內(nèi)容不定積分的概念及其性質(zhì)教學目的和規(guī)定掌握原函數(shù)與不定積分的概念及性質(zhì);純熟掌握基本積分公式.教學重點不定積分概念基本積分公式及應(yīng)用.教學難點基本積分公式及應(yīng)用.教學組織形式問題驅(qū)動、講練結(jié)合（啟發(fā)式教學，讓學生積極學習）教學輔助手段多媒體輔助教學課外作業(yè)按作業(yè)冊規(guī)定布置課后小結(jié)授課重要內(nèi)容Ⅰ.課題導入,問2x的本來的函數(shù)?Ⅱ．講授新課一、不定積分的概念1．原函數(shù)的概念定義1設(shè)是定義在某區(qū)間的已知函數(shù)，若存在函數(shù)，使得或,則稱為的一個原函數(shù)．例由于，故是的一個原函數(shù)；由于，所以是的一個原函數(shù)，但，所以的原函數(shù)不是惟一的．原函數(shù)說明：第一，原函數(shù)的存在問題：假如在某區(qū)間連續(xù)，那么它的原函數(shù)一定存在(將在下章加以說明)．第二，原函數(shù)的一般表達式：前面已指出，若存在原函數(shù)，就不是惟一的，那么，這些原函數(shù)之間有什么差異？能否寫成統(tǒng)一的表達式呢？對此，有如下結(jié)論：定理：若是的一個原函數(shù)，則是的所有原函數(shù)，其中為任意常數(shù)。證由于，又，所以函數(shù)族中的每一個都是的原函數(shù)。另一方面,設(shè)是的任一個原函數(shù)，即，則可證與事實上，由于所以，或者，這就是說的任一個原函數(shù)均可表達成的形式。這樣就證明了的全體原函數(shù)剛好組成函數(shù)族。2.不定積分的概念定義2：函數(shù)的全體原函數(shù)叫做的不定積分，定積分，記為，其中,上式中的叫做積分變量，叫做被積函數(shù)，叫做被積表達式，叫做積分常數(shù)，“”叫做積分號。例1求下列不定積分：（1）； （2）； （3）．解（1）由于，所以.（2）由于，所以.（3）由于時，，又時，，所以例2設(shè)曲線過點（1，2）且斜率為，求曲線方程．解設(shè)所求曲線方程為．按，故．又由于曲線過點（1，2），故代入上式，得，于是所求方程為.例3設(shè)某物體運動速度為，且當時，，求運動規(guī)律．解按題意有，即，再將條件時代入得，故所求運動規(guī)律為

積分運算與微分運算之間的互逆關(guān)系：（1）或（2）或基本積分公式由于求不定積分是求導數(shù)的逆運算，所以由導數(shù)公式可以相應(yīng)地得出下列積分公式：(1)(為常數(shù))，(2)（），(3)，(4)，(5)，(6)，(7)，(8)（9)，(10)，(11)，(12)，(13).二、不定積分的性質(zhì)性質(zhì)1被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可提到積分（）.性質(zhì)2兩個函數(shù)代數(shù)和的積分，等于各函數(shù)積分的代數(shù)和，即.例4求下列不定積分：（1） (2)； (3)．解（１）.（２）.（３）．例5求下列不定積分:（１）；（２）．解（1）（２）例6求下列不定積分：(1)；(2)．解(1)=(2)例7設(shè)求．解由于，所以，故知是的原函數(shù)，得.=3\*ROMANIII、課堂練習P66.習題4-11，2，3，4=4\*ROMANIV、小結(jié)1.基本積分公式2.不定積分的性質(zhì)=5\*ROMANV、布置作業(yè)見作業(yè)冊第四章第一講作業(yè)杭州科技職業(yè)技術(shù)學院教案教師姓名課程名稱授課對象授課日期課時2課型理論課（新授）教學內(nèi)容第二節(jié)不定積分的換元積分教學目的和規(guī)定掌握不定積分的第一換元積分法教學重點不定積分的第一換元積分法教學難點解第一類換元積分法教學組織形式問題驅(qū)動、講練結(jié)合（啟發(fā)式教學，讓學生積極學習）教學輔助手段多媒體輔助教學課外作業(yè)按作業(yè)冊規(guī)定布置課后小結(jié)授課重要內(nèi)容Ⅰ.課題導入不能直接積分，怎么辦？Ⅱ.講授新課一、換元積分法（一）第一換元積分法(湊微分法)例1求.解被積函數(shù)是復合函數(shù)，不能直接套用公式我們可以把原積分作下列變形后計算.直接驗證得知，計算方法對的。例2求．解注意到被積式中具有項,而余下的部分恰有微分關(guān)系：。于是類似于例1,可作如下變換和計算：上述解法的特點是引入新變量,從而把原積分化為關(guān)于的一個簡樸的積分，再套用基本積分公式求解,現(xiàn)在的問題是，在公式中，將換成了,相應(yīng)得到的公式是否還成立?回答是肯定的,我們有下述定理：定理假如，則其中是的任一個可微函數(shù)。證由于,所以．根據(jù)微分形式不變性,則有：．其中是的可微函數(shù)，由此得這個定理非常重要，它表白：在基本積分公式中，自變量換成任一可微函數(shù)后公式仍成立。這就大大擴充了基本積分公式的使用范圍．應(yīng)用這一結(jié)論，上述例題引用的方法,可一般化為下列計算程序：這種先“湊”微分式，再作變量置換的方法，叫第換一元積分法，也稱湊微分法．例3求.解設(shè)得,（二）幾種類型a,b均為常數(shù)，且a10.例4求例4求例例5求3.運用三角函數(shù)的恒等式.例6求4.運用代數(shù)恒等式例例7求小結(jié)用第一換元積分法求不定積分的環(huán)節(jié)是：湊微分法運用時的難點在于原題并未指明應(yīng)當把哪一部分湊成,這需要解題經(jīng)驗，假如記熟下列一些微分式,解題中則會給我們以啟示。．下面的例子,將繼續(xù)展示湊微分法的解題技巧。例6求下列積分：(1)(2)(3)(4)(5)(6)解（1）=類似得(2)(3)類似得(4)(5)類似得(6)．本題六個積分此后經(jīng)常用到，可以作為公式使用。例7求下列積分：(1)(2)(3)(4)(5)(6)．解本題積分前，需先用代數(shù)運算或三角變換對被積函數(shù)做適當變形．（1）（２）（３）（４）（５）（６）（積化和差）例8計算積分解一解二由于所以本題說明，選用不同的積分方法，也許得出不同形式的積分結(jié)果。=3\*ROMANIII、課堂練習習題4-21.（1）--（16），2.=4\*ROMANIV、小結(jié)換元積分法=5\*ROMANV、布置作業(yè)見作業(yè)冊第四章第二講作業(yè)杭州科技職業(yè)技術(shù)學院教案教師姓名課程名稱應(yīng)用高等數(shù)學授課對象授課日期課時2課型理論課（新授）教學內(nèi)容不定積分的分部積分法教學目的和規(guī)定掌握不定積分的分部積分法教學重點分部積分法的三種情形教學難點分部積分法的運用教學組織形式問題驅(qū)動、講練結(jié)合（啟發(fā)式教學，讓學生積極學習）教學輔助手段多媒體輔助教學課外作業(yè)按作業(yè)冊規(guī)定布置課后小結(jié)授課重要內(nèi)容Ⅰ.課題導入形如，以前的方法都不能解，要引入新的方法。Ⅱ.講授新課一、分部積分法設(shè)函數(shù),具有連續(xù)導數(shù)，根據(jù)乘積微分公式有移項得兩邊積分得該公式稱為分部積分公式，它可以將求的積分問題轉(zhuǎn)化為求的積分，當后面這個積分較容易求時，分部積分公式就起到了化難為易的作用。例1求解設(shè)于是代入公式有====注：本題若設(shè)則有及，代入公式后，得到=,新得到積分反而比原積分更難，說明這樣設(shè)是不合適的，由此可見，運用好分部積分關(guān)鍵是恰本地選擇好和，一般要考慮如下兩點：（1）要容易求得（可用湊微分法求出）；（2）要比容易積出。例2求.解==當熟悉分部積分法后，及可心算完畢，不必具體寫出．例3求.解=例4.求.解將再次出現(xiàn)的移至左端，合并后除以2得所求積分為小結(jié)：下述幾種類型積分，均可用分部積分公式求解，且的設(shè)法有規(guī)律可循．(1)，，，可設(shè)；(2)，，，可設(shè)，，；(3)，，可設(shè)，.說明：（1）常數(shù)也視為冪函數(shù)．（2）上述情況換成多項式時仍成立．例5.求.解先換元，令,則．當熟悉分部積分法后，及可心算完畢，不必具體寫出．原式==--=-=.例6.求.解換元，令，則及．原式.例7.用多種方法求.解一分項，湊微分．=.解二令，則=.解三令=,則=解四令=.解五分部積分==.二、簡樸有理式的積分（選學內(nèi)容）有理分式是指兩個多項式之比，即，這里與不可約．當?shù)拇螖?shù)高于的次數(shù)時，是真分式，否則為假分式．運用多項式除法，總可把假分式化為一多項式與真分式之和，例如多項式部分可以逐項積分，因此以下只討論真分式的積分法。一般真分式的積分方法：（1）將分母分解為一次因式（也許有重因式）和二次質(zhì)因式的乘積（2）把該真分式按分母的因式，分解成若干簡樸分式（稱為部分分式）之和（3）簡樸分式的積分。化真分式為部分分式之和舉例說明：分母具有單因式時，這時分解式中相應(yīng)有一項，其中A為待定系數(shù)．例如=．為擬定系數(shù),我們用乘等式兩邊，得,由于這是一個恒等式，將任何值帶入都相等.故可令,得,即．類似地，令,得，即=；令,得，即。于是得到==.(2)當分母具有重因式時，這時部分分式中相應(yīng)有n個項：例如.為擬定系數(shù)A，B，C，將上式兩邊同乘以得,令,得；再令,得；令,得代入已求得的A，B值，得.所以.（3）當分母中具有質(zhì)因式，這時部分分式中相應(yīng)有一項.例如.為擬定待定系數(shù)，等式兩邊同乘以，得,令得即；再令得,即；令,得,即．所以（4）當分母具有因式時，這種情況積分過于繁復，略去不討論了。有理真分式的積分：有理真分式的積分大體有下面三種形式:前兩種積分，簡樸湊微分法即可獲解，下面舉例說明（3）式的積分方法。例8.求積分.解改寫被積分函數(shù)分子為,(注意:括號內(nèi)正好是分母的導數(shù).=)于是===-=-.例9.求.解由前面的情況（2）知，.所以==.例10.求．解被積函數(shù)是真分式，分母中為二次質(zhì)因式，所以將等式兩邊同乘以，得分別令-，得=；得，即;,得,求得．所以.于是===.說明：（1）有些不定積分，如等，雖然這些不定積分都存在，卻不能用初等函數(shù)表達所求的原函數(shù)，這時稱“積不出”.（2）在工程技術(shù)問題中，我們還可以借助查積分表來求一些較復雜的不定積分，也可以運用數(shù)學軟件包在計算機上求原函數(shù)。=3\*ROMANIII、課堂練習習題4-3.1-16．=4\*ROMANIV、小結(jié)分部積分法=5\*ROMANV、布置作業(yè)見作業(yè)冊第四章第三講作業(yè).杭州科技職業(yè)技術(shù)學院教案教師姓名胡桐春課程名稱應(yīng)用高等數(shù)學（上）授課對象應(yīng)用電子技術(shù)0801、0802授課日期2023年11月1課時2課型理論課（新授）教學內(nèi)容不定積分習題課教學目的和規(guī)定掌握不定積分方法教學重點積分法的三種情形教學難點分部積分法教學組織形式問題驅(qū)動、講練結(jié)合（啟發(fā)式教學，讓學生積極學習）教學輔助手段多媒體輔助教學課外作業(yè)按作業(yè)冊規(guī)定布置課后小結(jié)授課重要內(nèi)容例3求解設(shè)于是代入公式有====注：本題若設(shè)則有及，代入公式后，得到=,新得到積分反而比原積分更難，說明這樣設(shè)是不合適的，由此可見，運用好分部積分關(guān)鍵是恰本地選擇好和，一般要考慮如下兩點：（1）要容易求得（可用湊微分法求出）；（2）要比容易積出。例4.求.解==當熟悉分部積分法后，及可心算完畢，不必具體寫出．例5.求.解=例6.求.解將再次出現(xiàn)的移至左端，合并后除以2得所求積分為小結(jié)：下述幾種類型積分，均可用分部積分公式求解，且的設(shè)法有規(guī)律可循．(1)，，，可設(shè)；(2)，，，可設(shè)，，；(3)，，可設(shè)，.說明：（1）常數(shù)也視為冪函數(shù)．（2）上述情況換成多項式時仍成立．例7.求.解先換元，令,則．當熟悉分部積分法后，及可心算完畢，不必具體寫出．原式==--=-=.三、課堂練習復習題四1-5四、小結(jié)五、布置作業(yè)P761.2.3.4.5.杭州科技職業(yè)技術(shù)學院教案教師姓名課程名稱應(yīng)用高等數(shù)學授課對象授課日期課時2課型理論課（新授）教學內(nèi)容第一講定積分的概念和性質(zhì)教學目的和規(guī)定純熟掌握定積分的背景，定積分的概念；掌握定積分的幾何意義，定積分的性質(zhì)。教學重點1．定積分的背景；2.定積分的概念；3．定積分的幾何意義；4.定積分的性質(zhì)教學難點定積分的概念；定積分的性質(zhì)教學組織形式問題驅(qū)動、講練結(jié)合（啟發(fā)式教學，讓學生積極學習）教學輔助手段多媒體輔助教學課外作業(yè)按作業(yè)冊規(guī)定布置課后小結(jié)授課重要內(nèi)容Ⅰ.課題導入一、定積分的實際背景1.曲邊梯形的面積曲邊梯形面積的擬定方法：把該曲邊梯形沿著y軸方向切割成許多窄窄的長條，把每個長條近似看作一個矩形，用長乘寬求得小矩形面積，加起來就是曲邊梯形面積的近似值，分割越細，誤差越小，于是當所有的長條寬度趨于零時，這個階梯形面積的極限就成為曲邊梯形面積的精確值了.如下圖所示：yOMPQ曲邊梯形面積的擬定方法：把該曲邊梯形沿著y軸方向切割成許多窄窄的長條，把每個長條近似看作一個矩形，用長乘寬求得小矩形面積，加起來就是曲邊梯形面積的近似值，分割越細，誤差越小，于是當所有的長條寬度趨于零時，這個階梯形面積的極限就成為曲邊梯形面積的精確值了.如下圖所示：yOMPQNBxCAA推廣為曲邊梯形面積的擬定環(huán)節(jié)：(1)分割任取分點,把底邊[a,b]提成n個社區(qū)間,(.社區(qū)間長度記為(2)取近似在每個社區(qū)間[]上任取一點豎起高線,則得小長條面積的近似值為();(3)求和把n個小矩形面積相加(即階梯形面積)就得到曲邊梯形面積A的近似值;(4)取極限令社區(qū)間長度的最大值趨于零,則和式的極限就是曲邊梯形面積A的精確值，即2．變速直線運動的路程設(shè)某物體作直線運動，已知速度是時間間隔[]上的連續(xù)函數(shù)，且≥0，要計算這段時間內(nèi)所走的路程.解決這個問題的思緒和環(huán)節(jié)與上例類似：(1)分割任取分點，把[]提成個小段，每小段長（）2)取近似把每小段[]上的運動視為勻速，任取時刻，作乘積，顯然這小段時間所走路程可近似表達為（）;(3)求和把n個小段時間上的路程相加，就得到總路程s的近似值，即;(4)取極限當時，上述總和的極限就是的精確值，即.Ⅱ．講授新課二、定積分的概念定義設(shè)函數(shù)在[]上有定義，任取分點,分為n個社區(qū)間.記,再在每個社區(qū)間上任取一點，作乘積的和式：假如時,上述極限存在（即，這個極限值與的分割及點的取法均無關(guān)），則稱此極限值為函數(shù)在區(qū)間上的定積分，記為其中稱為被積函數(shù),為被積式，為積分變量，為積分區(qū)間，分別稱為積分下限和上限。定積分定義的說明：(1)定積分表達一個數(shù)，它只取決于被積函數(shù)與積分上、下限，而與積分變量采用什么字母無關(guān)，例如：.一般地，.(2)定義中規(guī)定積分限，我們補充如下規(guī)定：當時，,當時，.(3)定積分的存在性：當在上連續(xù)或只有有限個第一類間斷點時,在上的定積分存在（也稱可積）.三、定積分的幾何意義假如，則，此時表達由曲線，及軸所圍成的曲邊梯形的面A，即。（如左下圖）假如，則，此時表達由曲線，及軸所圍成的曲邊梯形的面積A的負值，即。（如右上圖）假如在上有正有負時，則表達由曲線，直線及軸所圍成的平面圖形的面積位于軸上方的面積減去位于軸下方的面積，如下圖所示，即四、定積分的性質(zhì)性質(zhì)1函數(shù)的代數(shù)和可逐項積分，即.性質(zhì)2被積分函數(shù)的常數(shù)因子可提到積分號外面，即（為常數(shù)）.性質(zhì)3（積分區(qū)間的分割性質(zhì)）若，則.注：對于三點的任何其他相對位置，上述性質(zhì)仍成立，譬如：，則,仍有性質(zhì)4（積分的比較性質(zhì)）在上若≥g(x)，則≥.性質(zhì)5（積分估值性質(zhì)）設(shè)M與m分別是在上的最大值與最小值，則≤≤.證由于≤≤（題設(shè)），由性質(zhì)4得≤≤，再將常數(shù)因子提出，并運用，即可得證.性質(zhì)6（積分中值定理）假如在上連續(xù)，則至少存在一點，使得.證將性質(zhì)5中不等式除以，得≤≤M.設(shè),即.由于為區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),所以,它能取到介于其最小值與最大值之間的任何一個數(shù)值（這就是連續(xù)函數(shù)的介值定理）.因此在上至少有一點，使得，即中值定理的幾何意義：曲邊在底上所圍成的曲邊梯形面積，等于同一底邊而高為的一個矩形面積，如下圖所示。從幾何角度容易看出，數(shù)值表達連續(xù)曲線在上的平均高度，也就是函數(shù)在上的平均值，這是有限個數(shù)的平均值概念的拓廣。例估計定積分的值解先求在[-1,1]上的最大值和最小值.由于,令，得駐點x=0，比較在駐點及區(qū)間端點處的函數(shù)值,故最大值,最小值=.由估值性質(zhì)得，≤≤2.Ⅲ.課堂練習課本習題5-1：1，2，3；5-2：1，2，3，4Ⅳ.課時小結(jié)［學生總結(jié)］重要知識點：1.定積分的實際背景2.定積分的概念3.定積分的幾何意義4.定積分的性質(zhì)Ⅴ.課后作業(yè)見作業(yè)冊第五章第一講作業(yè).杭州科技職業(yè)技術(shù)學院教案教師姓名課程名稱應(yīng)用高等數(shù)學授課對象授課日期課時2課型理論課（新授）教學內(nèi)容第二講牛頓－萊布尼茨公式教學目的和規(guī)定純熟掌握變上限的定積分，微積分的基本公式；教學重點1．變上限的定積分2.微積分的基本公式教學難點變上限的定積分教學組織形式問題驅(qū)動、講練結(jié)合（啟發(fā)式教學，讓學生積極學習）教學輔助手段多媒體輔助教學課外作業(yè)按作業(yè)冊規(guī)定布置課后小結(jié)授課重要內(nèi)容Ⅰ.課題導入引例設(shè)物體以速度作直線運動，規(guī)定計算時間內(nèi)的路程.從定積分概念出發(fā)，由前面已討論的結(jié)果知道[]所通過的路程為.若從不定積分概念出發(fā)，則知道函數(shù)為其中，于是[]時間內(nèi)所走路程就是.綜合上述兩個方面，得到.這個等式表白速度函數(shù)在[]上的定積分,等于其原函數(shù)在區(qū)間[]上的改變量.那么，這一結(jié)論有沒有普遍的意義呢？Ⅱ．講授新課一、變上限的定積分設(shè)函數(shù)在[]上連續(xù),[]，于是積是一個定數(shù)，這種寫法有一個不方便之處，就是既表達積分上限，又表達積分變量.為避免混淆，我們把積分變量改寫成，于是這個積分就寫成了.當在[]上變動時，相應(yīng)于每一個值,積分就有一個擬定的值，因此是變上限的一個函數(shù)，記作=（≤≤）通常稱函數(shù)為變上限積分函數(shù)或變上限積分，其幾何意義如圖所示(見下).定理1假如函數(shù)在區(qū)間[]上連續(xù)，則變上限積分=在[]上可導，且其導數(shù)是（≤≤）.證當上限獲改變量時，函數(shù)獲得改變量為如下圖所示:由積分中值定理得（在及之間）,.再令,從而，由的連續(xù)性，得,即，證畢.推論連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)一定存在.且函數(shù)=即為其原函數(shù).例1計算=在=0,處的導數(shù).解由于=,故；.例2求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)；解這里是的復合函數(shù)，其中中間變量，所以按復合函數(shù)求導法則，有.(2).解.二、牛頓-萊布尼茨（Newton-Leibniz）公式定理2設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，又是的任一個原函數(shù)，則有.證由定理1知，變上限積分也是的一個原函數(shù)，于是知,為一常數(shù),即.我們來擬定常數(shù)的值，為此，令，有，得.因此有再令，得所求積分為.因此積分值與積分變量的記號無關(guān)，仍用表達積分變量，即得,其中.上式稱為牛頓-萊布尼茨公式，也稱為微積分基本公式.為計算方便，該公式常采用下面的格式：.例1求定積分：(1)；（2）；（3）.解（1）.（2）.（3）在上寫成分段函數(shù)的形式于是例2計算.解由于時,,故本題屬型未定式,可以用洛必達法則來求.這里是的復合函數(shù),其中,所以,于是有.Ⅲ.課堂練習課本習題5-3：1（1）-（7），2（1）（2）Ⅳ.課時小結(jié)［學生總結(jié)］重要知識點：1.變上限的定積分2.牛頓-萊布尼茨公式Ⅴ.課后作業(yè)見作業(yè)冊第五章第二講作業(yè).杭州科技職業(yè)技術(shù)學院教案教師姓名課程名稱應(yīng)用高等數(shù)學授課對象授課日期課時2課型理論課（新授）教學內(nèi)容第三講定積分換元積分法和分部積分法教學目的和規(guī)定1.掌握定積分的換元法；2.純熟掌握定積分的分部積分法教學重點積分的換元法；定積分的分部積分法教學難點積分的換元法；定積分的分部積分法教學組織形式問題驅(qū)動、講練結(jié)合（啟發(fā)式教學，讓學生積極學習）教學輔助手段多媒體輔助教學課外作業(yè)按作業(yè)冊規(guī)定布置課后小結(jié)授課重要內(nèi)容Ⅰ.課題導入求.Ⅱ．講授新課一、定積分的換元積分法例1求.解一于是=.上述方法，規(guī)定求得的不定積分、變量必須還原，但是，在計算定積分時，這一步事實上可以省去，這只要將本來變量的上、下限按照所用的代換式換成新變量的相應(yīng)上、下限即可。本題可用下面方法來解.解二設(shè)，即.當時,;當時，.于是.解二要比解一來得簡樸一些，由于它省掉了變量回代的一步，而這一步在計算中往往也不是十分簡樸的.以后在定積分使用換元法時，就按照這種換元同時變換上下限的方法來作.一般地，定積分換元法可敘述如下：設(shè)在上連續(xù),而滿足下列條件：（1）在上有連續(xù)導數(shù)；（2）,且當在上變化時,的值在上變化，則有換元公式：.上述條件是為了保證兩端的被積函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上連續(xù)，從而可積。應(yīng)用中，我們強調(diào)指出：換元必須換限。（原）上限對（新）上限，（原）下限對（新）下限.例2求.解設(shè)，即.換積分限：當時，,當時，,于是.例3求.解設(shè)，則.換積分限:當時，；時，,于是=..例4求.解一（換元法）令，所以，當時，；當時，，于是.解二（湊微分法）.注意：求定積分一定要注意定積分的存在性。例5設(shè)在對稱區(qū)間[]上連續(xù)，試證明證由于對積分作變量代換，由定積分換元法，得于是.（1）若為偶函數(shù),即,由上式得;（2）若為奇函數(shù),即,有,則.該題幾何意義是很明顯的，如下頁圖所示例6證明.證令.換積分限：當時，=；=時，,于是二、定積分的分部積分法設(shè),在[a,b]上有連續(xù)導數(shù)，則有.該公式稱為定積分分部積分公式，使用該公式時要注意，把先積出來得那一部分代上下限求值，余下的部分繼續(xù)積分.這樣做比完全把原函數(shù)求出來再代上下限簡便一些.例7求解.例8求.解.由于時,,這時;x≥1時,≥,這時.于是,分別用分部積分求右端兩個積分得,,最后得.例9計算.解由于積分區(qū)間[-2,2]為對稱區(qū)間，考察被積函數(shù)有否奇偶性，于是有,用換元法，令,則.Ⅲ.課堂練習課本習題5-4：1（1）-（14）Ⅳ.課時小結(jié)［學生總結(jié)］重要知識點：定積分的換元積分法2.定積分的分部積分Ⅴ.課后作業(yè)見作業(yè)冊第五章第三講作業(yè).杭州科技職業(yè)技術(shù)學院教案教師姓名課程名稱應(yīng)用高等數(shù)學授課對象授課日期課時2課型理論課（新授）教學內(nèi)容第四講廣義積分，定積分的幾何應(yīng)用教學目的和規(guī)定1.掌握無窮區(qū)間上的廣義積分；2.掌握定積分應(yīng)用微元法，用定積分求平面圖形的面積。教學重點1．無窮區(qū)間上的廣義積分2.定積分應(yīng)用微元法3.用定積分求平面圖形的面積教學難點無窮區(qū)間上的廣義積分；定積分應(yīng)用微元法；用定積分求平面圖形的面積。教學組織形式講練結(jié)合（啟發(fā)式教學，讓學生積極學習）教學輔助手段多媒體輔助教學課外作業(yè)按作業(yè)冊規(guī)定布置課后小結(jié)授課重要內(nèi)容Ⅰ.課題導入討論積分區(qū)間為無限的情形。Ⅱ．講授新課一、無窮區(qū)間上的廣義積分定義1設(shè)函數(shù)在[]上連續(xù)，取,我們把極限稱為在[]上的廣義積分，記為.若極限存在，稱廣義積分收斂；若極限不存在，則稱發(fā)散.類似地，可定義在(上的廣義積分為,在()上的廣義積分為.其中為任意實數(shù)（譬如?。斢叶藘蓚€廣義積分都收斂時，廣義積分才是收斂的，否則是發(fā)散的.例1求.解為了書寫簡便，實際運算過程中經(jīng)常省去極限記號，而形式地把當成一個“數(shù)”,直接運用牛頓-萊布尼茨公式的格式進行計算.,.其中為的原函數(shù)，記號應(yīng)理解為極限運算：.例2討論的斂散性.解,所以發(fā)散.例3計算下列積分:（1）;（2）.解(1).(2).注意:在中用代替，實際是計算極限.例4討論的斂散性（a>0）.解（1）當時，(收斂);（2）當時，=(發(fā)散);（3）當時，（發(fā)散）.綜上，二.定積分應(yīng)用的微元法用定積分計算的量的特點：(1)所求量（設(shè)為）與一個給定區(qū)間有關(guān)，且在該區(qū)間上具有可加性.就是說，是擬定于上的整體量，當把提成許多社區(qū)間時，整體量等于各部分量之和，即。(2)所求量在區(qū)間上的分布是不均勻的，也就是說，的值與區(qū)間的長不成正比（否則的話，使用初等方法即可求得，而勿需用積分方法了）.用定積分概念解決實際問題的四個環(huán)節(jié)：第一步：將所求量分為部分量之和，即:;第二步：求出每個部分量的近似值，≈第三步：寫出整體量的近似值，≈；第四步：取時的極限，則得.觀測上述四步我們發(fā)現(xiàn)，第二步最關(guān)鍵，由于最后的被積表達式的形式就是在這一步被擬定的，這只要把近似式中的變量記號改變一下即可（換為；換為）.而第三、第四兩步可以合并成一步：在區(qū)間上無限累加，即在上積分.至于第一步，它只是指明所求量具有可加性，這是能用定積分計算的前提，于是，上述四步簡化后形成實用的微元法.定積分應(yīng)用的微元法：(一)在區(qū)間上任取一個微社區(qū)間，然后寫出在這個社區(qū)間上的部分量的近似值，記為(稱為的微元);(二)將微元在上積分（無限累加），即得微元法中微元的兩點說明：(1)作為的近似值表達式，應(yīng)當足夠準確，確切的說，就是規(guī)定其差是關(guān)于的高階無窮小.即.這樣我們就知道了，稱作微元的量，事實上是所求量的微分;(2)具體如何求微元呢?這是問題的關(guān)鍵，這要分析問題的實際意義及數(shù)量關(guān)系，一般按著在局部上，以“常代變”、“勻代不勻”、“直代曲”的思緒（局部線性化），寫出局部上所求量的近似值，即為微元三、用定積分求平面圖形的面積直角坐標系下的面積計算用微元法不難將下列圖形面積表達為定積分.（1）曲線及軸所圍圖形，如下左圖，面積微元，面積.（2）由上、下兩條曲線及所圍成的圖形，如下右圖，面積微元，面積.（3）由左右兩條曲線及所圍成圖形（見下左圖）面積微元（注意，這時就應(yīng)取橫條矩形，即取為積分變量），面積.例1求兩條拋物線所圍成的圖形的面積.解（1）畫出圖形簡圖（如下右）圖）并求出曲線交點以擬定積分區(qū)間：解方程組得交點（0，0）及（1，1）.(2)選擇積分變量，寫出面積微元，本題取豎條或橫條作均可，習慣上取豎條，即取為積分變量，變化范圍為[0，1]，于是(3)將表達成定積分，并計算例例2求及所圍成圖形面積解作圖（如下圖）求出交點坐標。觀測圖得知，宜取為積分變量，變化范圍為（考慮一下，若取為積分變量，即豎條切割，有什么不方便之處？），于是得，Ⅲ.課堂練習課本習題5-5：1（1）-（8），2，5-6：1（1）-（4），2，3，4Ⅳ.課時小結(jié)［學生總結(jié)］重要知識點：