2025屆廣州天河區(qū)一一三中高一下數學期末綜合測試試題含解析

2025屆廣州天河區(qū)一一三中高一下數學期末綜合測試試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．有一塔形幾何體由若干個正方體構成，構成方式如圖所示，上層正方體下底面的四個頂點是下層正方體上底面各邊的中點．已知最底層正方體的棱長為2，且該塔形的表面積(含最底層正方體的底面面積)超過39，則該塔形中正方體的個數至少是A．4 B．5 C．6 D．72．若，，則的最小值為（）A．2 B． C． D．3．某校高二理（1）班學習興趣小組為了調查學生喜歡數學課的人數比例，設計了如下調查方法：（1）在本校中隨機抽取100名學生，并編號1，2，3，…，100；（2）在箱內放置了兩個黃球和三個紅球，讓抽取到的100名學生分別從箱中隨機摸出一球，記住其顏色并放回；（3）請下列兩類學生站出來，一是摸到黃球且編號數為奇數的學生，二是摸到紅球且不喜歡數學課的學生。若共有32名學生站出來，那么請用統(tǒng)計的知識估計該校學生中喜歡數學課的人數比例大約是（）A．80% B．85% C．90% D．92%4．在中，角的對邊分別為，若，則的最小值是（）A．5 B．8 C．7 D．65．下列函數中周期為，且圖象關于直線對稱的函數是()A． B．C． D．6．函數的定義域是（）A． B．C． D．7．當前，我省正分批修建經濟適用房以解決低收入家庭住房緊張問題．已知甲、乙、丙三個社區(qū)現分別有低收入家庭360戶、270戶、180戶，若第一批經濟適用房中有90套住房用于解決這三個社區(qū)中90戶低收入家庭的住房問題，先采用分層抽樣的方法決定各社區(qū)戶數，則應從乙社區(qū)中抽取低收入家庭的戶數為（）A．30 B．40 C．20 D．368．已知數列的通項公式是，則等于（）A．70 B．28 C．20 D．89．在△ABC中，a=3，b=5，sinA=13A．15 B．59 C．10．已知數列中，，，則等于()A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知斜率為的直線的傾斜角為，則________．12．函數的最大值為．13．如圖是一個三角形數表，記，，…，分別表示第行從左向右數的第1個數，第2個數，…，第個數，則當，時，______.14．方程在上的解集為______．15．已知函數的最小正周期為，且的圖象過點，則方程所有解的和為________.16．已知正三棱錐的底面邊長為，側棱長為2，則該三棱錐的外接球的表面積_____．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．設等差數列中，.（1）求數列的通項公式；（2）若等比數列滿足，求數列的前項和.18．自變量在什么范圍取值時，函數的值等于0?大于0呢?小于0呢?19．已知函數，．（1）求函數的單調減區(qū)間；（2）若存在，使等式成立，求實數的取值范圍．20．已知的三個內角的對邊分別是，且．（1）求角的大?。唬?）若的面積為，求的周長．21．正四棱錐S－ABCD的底面邊長為2，側棱長為x.（1）求出其表面積S（x）和體積V（x）；（2）設，求出函數的定義域，并判斷其單調性（無需證明）.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

根據相鄰正方體的關系得出個正方體的棱長為等比數列，求出塔形表面積的通項公式，令，即可得出的范圍．【詳解】設從最底層開始的第層的正方體棱長為，則是以2為首項，以為公比的等比數列.∴是以4為首項，以為公比的等比數列∴塔形的表面積為.令，解得.∴塔形正方體最少為6個.故選C.【點睛】此題考查了立體圖形的表面積問題以及等比數列求和公式的應用．解決本題的關鍵是得到上下正方體的棱長之間的關系，從而即可得出依次排列的正方體的一個面的面積，這里還要注意把最下面的正方體看做是6個面之外，上面的正方體都是露出了4個面．2、D【解析】

根據所給等量關系,用表示出可得.代入中,構造基本不等式即可求得的最小值.【詳解】因為,所以變形可得所以由基本不等式可得當且僅當時取等號,解得所以的最小值為故選:D【點睛】本題考查了基本不等式求最值的應用,注意構造合適的基本不等式形式,屬于中檔題.3、A【解析】

先分別計算號數為奇數的概率、摸到黃球的概率、摸到紅球的概率，從而可得摸到黃球且號數為奇數的學生，進而可得摸到紅球且不喜歡數學課的學生人數，由此可得估計該校學生中喜歡數學課的人數比例．【詳解】解：由題意，號數為奇數的概率為0.5，摸到黃球的概率為，摸到紅球的概率為那么按概率計算摸到黃球且號數為奇數的學生有個共有32名學生站出來，則有12個摸到紅球且不喜歡數學課的學生，不喜歡數學課的學生有：，喜歡數學課的有80個，估計該校學生中喜歡數學課的人數比例大約是：．故選：．【點睛】本題考查概率的求法，考查古典概型等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．4、D【解析】

先化簡條件中的等式，利用余弦定理整理得到等式，然后根據等式利用基本不等式求解最小值.【詳解】由，得，化簡整理得，，即，當且僅當，即時，取等號．故選D．【點睛】本題考查正、余弦定理在邊角化簡中的應用，難度一般.對于利用基本不等求最值的時候，一定要注意取到等號的條件.5、B【解析】因為，所以選項A,B,C,D的周期依次為又當時，選項A,B,C,D的值依次為所以只有選項A,B關于直線對稱，因此選B.考點：三角函數性質6、A【解析】

利用復合函數求定義域的方法求出函數的定義域．【詳解】令x+（k∈Z），解得：x（k∈Z），故函數的定義域為{x|x，k∈Z}故選A．【點睛】本題考查的知識要點：正切函數的性質的應用，主要考察學生的運算能力和轉換能力，屬于基礎題型．7、A【解析】

先求出每個個體被抽到的概率,再由乙社區(qū)的低收入家庭數量乘以每個個體被抽到的概率,即可求解【詳解】每個個體被抽到的概率為,乙社區(qū)由270戶低收入家庭,故應從乙中抽取低收入家庭的戶數為,故選:A【點睛】本題考查分層抽樣的應用,屬于基礎題8、C【解析】

因為，所以，所以=20.故選C.9、B【解析】試題分析：由正弦定理得31考點：正弦定理的應用10、A【解析】

變形為，利用累加法和裂項求和計算得到答案.【詳解】故選：A【點睛】本題考查了累加法和裂項求和，意在考查學生對于數列方法的靈活應用.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

由直線的斜率公式可得＝，分析可得，由同角三角函數的基本關系式計算可得答案．【詳解】根據題意，直線的傾斜角為，其斜率為，則有＝，則，必有，即，平方有：，得，故，解得或（舍）．故答案為﹣【點睛】本題考查直線的傾斜角，涉及同角三角函數的基本關系式，屬于基礎題．12、【解析】略13、【解析】

由圖表，利用歸納法，得出，再利用疊加法，即可求解數列的通項公式.【詳解】由圖表，可得，，，，，可歸納為，利用疊加法可得：，故答案為.【點睛】本題主要考查了歸納推理的應用，以及數列的疊加法的應用，其中解答中根據圖表，利用歸納法，求得數列的遞推關系式是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.14、【解析】

由求出的取值范圍，由可得出的值，從而可得出方程在上的解集.【詳解】，，由，得.，解得，因此，方程在上的解集為.故答案為：.【點睛】本題考查正切方程的求解，解題時要求出角的取值范圍，考查計算能力，屬于基礎題.15、【解析】

由周期求出，由圖象的所過點的坐標求得，【詳解】由題意，又，且，∴，，由得或，又，，∴或，或，兩根之和為．故答案為：．【點睛】本題考查求三角函數的解析式，考查解三角方程．掌握正切函數的性質是解題關鍵．16、.【解析】

由題意推出球心O到四個頂點的距離相等，利用直角三角形BOE，求出球的半徑，即可求出外接球的表面積．【詳解】如圖，∵正三棱錐A﹣BCD中，底面邊長為，底面外接圓半徑為側棱長為2，BE=1,在三角形ABE中，根據勾股定理得到：高AE得到球心O到四個頂點的距離相等，O點在AE上，在直角三角形BOE中BO＝R，EOR，BE＝1，由BO2＝BE2+EO2，得R∴外接球的半徑為，表面積為：故答案為．【點睛】涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體中的特殊點(一般為接、切點)或線作截面，把空間問題轉化為平面問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關系，或只畫內切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關系，列方程(組)求解.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）求出公差，由公式得通項公式；（2）由（1）求出，計算公比，再由等比數列前項和公式得和．【詳解】（1）在等差數列中，，故設的公差為，則，即，所以，所以.（2）設數列的公比為，則，所以.【點睛】本題考查等差數列與等比數列的基本量法．求出數列的首項和公差（或公比），則數列的通項公式與前項和隨之而定．18、當或時，函數的值等于0；當時，函數的值大于0；當或時，函數的值小于0.【解析】

將問題轉化為解方程和解不等式，以及，分別求解即可.【詳解】由題：由得：或；由得：；由得：或，綜上所述：當或時，函數的值等于0；當時，函數的值大于0；當或時，函數的值小于0.【點睛】此題考查解二次方程和二次不等式，關鍵在于熟練掌握二次方程和二次不等式的解法，準確求解.19、（1），．（2）【解析】

（1）利用降次公式和輔助角公式化簡表達式，根據三角函數單調區(qū)間的求法，求得函數的單調減區(qū)間.（2）首先求得當時的值域.利用換元法令，將轉化為，根據的范圍，結合二次函數的性質，求得的取值范圍.【詳解】（1）由（）解得（）．所以所求函數的單調減區(qū)間是，．（2）當時，，，即．令（），則關于的方程在上有解，即關于的方程在上有解．當時，．所以，則．因此所求實數的取值范圍是．【點睛】本小題主要考查三角恒等變換，考查三角函數單調區(qū)間的求法，考查根據方程的根存在求參數的取值范圍，考查二次函數的性質，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于中檔題.20、(1)；(2)【解析】

（1）通過正弦定理得，進而求出，再根據，進而求得的大??；（2）由正弦定理中的三角形面積公式求出，再根據余弦定理，求得，進而求得的周長．【詳解】（1）由題意知，由正弦定理得，又由，則，所以，又因為，則，所以．（2）由三角形的面積公式，可得，解得，又因為，解得，即，所以，所以的周長為【點睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面積公式的應用，其中在解有關三角形的題目時，要抓住題設條件和利用某個定理的信息，合理應用正弦定理和余