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第5章無失真信源編碼1編碼的意義通信的基本問題:如何高速、高質(zhì)地傳送信息。高速和高質(zhì)=魚和熊掌。編碼討論的問題:(1)質(zhì)量一定,如何提高信息傳輸速度(提高編碼效率或壓縮比)---信源編碼(本章討論問題)(2)信道傳輸速度一定,如何提高信息傳輸質(zhì)量(抗干擾能力)----信道編碼(下一章討論)2信源輸出的符號序列,需要變換成適合信道傳輸?shù)姆栃蛄?一般稱為碼序列.對信源輸出的原始符號按照一定的數(shù)學規(guī)則進行的這種變換稱為編碼.完成編碼功能的器件稱為編碼器.接收短有一個譯碼器完成相反的功能.5.1編碼器3編碼:信息的組織方式編碼的實質(zhì):對信源的原始符號按一定的數(shù)學規(guī)則進行變換。編碼的目的:提高信息傳輸?shù)挠行裕ㄐ旁淳幋a);提高信息傳輸?shù)目煽啃?。(信源或信道編碼)
4幾個術(shù)語:信源符號:信源輸入S={s1,s2,…,sq}碼符號(碼元):X={x1,x2,…,xr}碼字Wi:由xj(j=1,2,…,r)組成的長度為li的序列,Wi與si一一對應(yīng)。碼字長度(碼長):Wi的長度li碼(碼書):碼字Wi的集合C={W1,W2,…,Wq}編碼器:將信源符號si變換成Wi的設(shè)備5信源編碼信源編碼:把信源符號si映射為碼字Wi的過程。無失真編碼:映射是一一對應(yīng)、可逆的。無失真信源編碼:盡可能精確的再現(xiàn)信源的輸出信源編碼基本思想:盡可能縮短出現(xiàn)概率大的信源符號的碼6通信的根本問題是將信源的輸出,經(jīng)信道傳輸在接收端精確的或近似地重現(xiàn)出來,因此要首先解決兩個問題:
第三章中已經(jīng)回答了第一個問題,這一章要討論的是第二個問題.信源編碼器如下圖所示:7891011定長碼和變長碼12奇異碼和非奇異碼13N次擴展碼141516說明:本章我們討論的都是同價碼,即每個碼元符號所占的傳輸時間是相同的.顯然,對同價碼而言,定長碼中每個碼字的傳輸時間是相同的,而變長碼中每個碼字的傳輸時間不一定相等.175.2分組碼
定義:18奇異性1920唯一可譯性21即時性2223一個碼,若其中所有碼字均處于終端節(jié)點,即端點上,則該碼為非續(xù)長碼。2425不超過終端節(jié)點也叫端點。262728該樹的5個終端節(jié)點W1,W2,W3,W4,W5分別表示5個二進制碼字0,100,111,1010,1011
按樹圖法構(gòu)成的碼一定滿足即時碼的充要條件,因為從根到葉所走的路徑各不相同,而且中間節(jié)點不安排為碼字,所以一定滿足對前綴的限制。29各節(jié)點(包括樹根)長出的樹枝樹等于r30315.3定長碼
(5-1)32若令N=1,則有即(5-2)(5-3)與5-1式一致。式5-3表示平均每個原始信源符號所需要的碼符號個數(shù),對于定長碼,平均每個原始信源符號至少需要用個碼符號變換。333435定理5.3.136其中前一部分被視為正定理,后一部分被視為逆定理。373839編碼效率4041425.4變長碼變長碼是在碼符號序列長度N不大時就能編出效率很高而且無失真的信源碼。要實現(xiàn)無失真的信源編碼,變長碼必須是唯一可譯碼。變長碼要滿足唯一可譯碼的條件,它必須是非奇異碼,而且任意有限長N次擴展碼也是非奇異的。為能即時進行譯碼,變長碼還必須是即時碼。435.4.1碼的分類和主要編碼方法44454647485.4.2Kraft不等式49注意:僅僅是存在!5.4.2克拉夫特不等式
與麥克米倫不等式
克拉夫特(kraft)不等式505152定理5.4.3若存在一個碼長為l1,l2,…,lq的惟一可譯碼,則一定存在具有相同碼長的即時碼。若存在一個碼長為l1,l2,…,lq的惟一可譯碼滿足Kraft不等式(定理5.4.2)
存在具有相同碼長的即時碼(定理5.4.1)任何一個惟一可譯碼均可用一個即時碼來代替,而不改變?nèi)我淮a字的長度。即時碼可用樹圖法來構(gòu)造。因此要構(gòu)造惟一可譯碼,只需討論構(gòu)造即時碼。535.4.3唯一可譯碼的判別準則若碼長l1,l2,…,lq不滿足Kraft不等式à不是惟一可譯碼;反之,l1,l2,…,lq滿足Kraft不等式的碼,不一定是惟一可譯碼。結(jié)論:不能用克拉夫特不等式,只能根據(jù)定義判斷碼C是否是惟一可譯碼。判別依據(jù):非惟一可譯變長碼有限長的碼符號序列能譯成兩種不同的碼字序列。54例:如下圖中情況發(fā)生,其中Ai,Bi都是碼字(Ai,Bi
C)。
B1一定是A1的前綴,而A1的尾隨后綴一定是另一碼字B2的前綴,B2的尾隨后綴又是其他碼字的前綴。最后,碼符號序列的尾部一定是一個碼字。55判別準則:5657唯一可譯碼的判別方法唯一可譯碼的判斷方法:方法一:(可確切判斷)計算出分組碼中所有可能的尾隨后綴集合F,觀察F中有沒有包含任一碼字,若無則為唯一可譯碼,否則一定不是唯一可譯碼。方法二:步驟如下
1。觀察是否是非奇異碼。若是奇異碼則一定不是唯一可譯碼。2。計算是否滿足Kraft不等式。若不滿足則一定不是唯一可譯碼。3。畫出碼樹,觀察是否滿足即時碼的樹圖的構(gòu)造,若滿足則是唯一可譯碼。585.4.4變長編碼定理對于已知信源S可用碼符號X進行變長編碼,而且對同一信源可有多種即時碼或惟一可譯碼。選擇哪一種呢?從高速度傳輸信息的角度,希望用短的碼符號組成碼字,即用碼長作為選擇準則-----引進碼的平均長度。59平均碼長6061對于某一信源和某一碼符號集來說,若有一個惟一可譯碼,其平均長度小于所有其他惟一可譯碼的平均長度,則該碼稱為緊致碼,或稱最佳碼無失真信源編碼的基本問題
找出緊致碼。62636465定理4.8(香農(nóng)信息論的主要定理之一)的結(jié)論:要做到無失真的信源編碼,編碼每個信源符號平均所需最少的r元碼元數(shù)為信源的熵Hr(S)。即Hr(S)是無失真信源壓縮的極限值。若編碼的平均碼長小于信源的熵值Hr(S),則惟一可譯碼不存在,在譯碼或反變換時必然要帶來失真或差錯。通過對擴展信源進行變長編碼,當N∞時,平均碼長Hr(S)。66香農(nóng)第一定理的物理意義無失真信源編碼的實質(zhì):對離散信源進行變換
變換后信源符號(信道的輸入信源)盡可能為等概率分布新信源符號平均所含的信息量達到最大à
使信道的信息傳輸率R達到信道容量C,實現(xiàn)信源與信道理想的統(tǒng)計匹配。無失真信源編碼定理通常又稱為無噪信道編碼定理。表述為:若信道的信息傳輸率R不大于信道容量C,總能對信源的輸出進行適當?shù)木幋a,使得在無噪無損信道上能無差錯地以最大信息傳輸率C傳輸信息,但要使信道的信息傳輸率R大于C而無差錯地
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