高中數(shù)學(xué)1.3.2空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示教學(xué)設(shè)計新人教A版選擇性必修第一冊

1.3.2空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示一、教學(xué)內(nèi)容1.本小節(jié)探討空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示，并用向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示探討空間平行、垂直、夾角、距離；2.空間向量的模夾角以及兩點間距離公式，空間向量垂直與平行的條件及其應(yīng)用等.二、教學(xué)目標(biāo)1.駕馭空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算；2.會依據(jù)向量的坐標(biāo)，推斷兩個向量共線或垂直；3.駕馭向量長度公式、兩向量夾角公式、空間兩點間距離公式；4.會應(yīng)用這些學(xué)問解決簡潔的立體幾何問題.三、教學(xué)重點與難點重點利用空間向量的運(yùn)算證明解決空間中直線、平面的平行與垂直問題；利用空間向量的運(yùn)算求兩點間的距離.難點1.利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求兩條異面直線所成的角2.運(yùn)用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決簡潔的立體幾何問題四、教學(xué)過程設(shè)計1.3.2空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示環(huán)節(jié)一：創(chuàng)設(shè)情境，引入課題探究問題1：有了空間向量的坐標(biāo)表示，你能類比平面對量的坐標(biāo)運(yùn)算，得出空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示并給出證明嗎？學(xué)問點1空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示設(shè)，，與平面對量運(yùn)算的坐標(biāo)表示一樣，我們有：，，，，．點評:空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示與平面對量運(yùn)算的坐標(biāo)表示完全一樣環(huán)節(jié)二：視察分析，感知概念下面我們證明空間向量數(shù)量積運(yùn)算的坐標(biāo)表示．其他運(yùn)算的坐標(biāo)表示可以類似證明，請同學(xué)們自己完成．設(shè)為空間的一個單位正交基底，則，，所以．利用向量數(shù)量積的支配律以及，，得．點評:通過“探究”中的問題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主探討.教學(xué)中應(yīng)放手讓學(xué)生綻開探究活動，得出結(jié)論并給出證明.環(huán)節(jié)三：抽象概括，形成概念由上述結(jié)論可知，空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示與平面對量運(yùn)算的坐標(biāo)表示是完全一樣的．例如，我們有：一個空間向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點坐標(biāo)減去起點坐標(biāo)．類似平面對量運(yùn)算的坐標(biāo)表示，我們還可以得到：學(xué)問點2：空間向量共線或平行的判定當(dāng)時，，，（）；；學(xué)問點3.空間向量的模；學(xué)問點4.空間向量的夾角公式．點評:空間兩向量平行與平面兩向量平行的坐標(biāo)表達(dá)式不一樣，但實質(zhì)一樣，即對應(yīng)坐標(biāo)成比例.空間兩向量垂直的坐標(biāo)表達(dá)式同平面兩向量垂直的坐標(biāo)表達(dá)式類似.環(huán)節(jié)四：辨析理解，深化概念學(xué)問點5.空間兩點之間的距離公式探究問題2：你能利用空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示推導(dǎo)空間兩點間的距離公式嗎？如圖1.3-7建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，是空間中隨意兩點，則．于是所以．這就是空間兩點間的距離公式．將空間向量的運(yùn)算與向量的坐標(biāo)表示結(jié)合起來，不僅可以解決夾角和距離的計算問題，而且可以使一些問題的解決變得簡潔．:點評:空間向量長度公式的形式與平面對量長度公式一樣，教學(xué)時可用類比的方法進(jìn)行.它的幾何意義是長方體對角線的長度.環(huán)節(jié)五：課堂練習(xí)，鞏固運(yùn)用例2如圖1.3-8，在正方體中，，分別是，的中點．求證．分析：要證明，只要證明，即證．我們只要用坐標(biāo)表示，，并進(jìn)行數(shù)量積即可．證明垂直和利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求夾角的問題，并通過向量及其坐標(biāo)的運(yùn)算求解問題.證明：不妨設(shè)正方體的棱長為1，建立如圖1.3-8所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，所以．又，，所以．所以．所以，即．問題3：你能從本題的解答中體會到依據(jù)問題的特點，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，用向量表示相關(guān)元素，并通過向量及其坐標(biāo)的運(yùn)算求解問題的基本思路嗎？點評:目的是使學(xué)生體會“依據(jù)問題特點建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，用向量表示相關(guān)元素，并通過向量及其坐標(biāo)的運(yùn)算求解問題”的基本思路.本題中，正方體的特征很明顯，以此為背景建立空間直角坐標(biāo)系難度不大.教學(xué)中，還可以讓學(xué)生嘗試建立不同的坐標(biāo)系解決問題，使學(xué)生體會“適當(dāng)”的含義.例3如圖1.3-9，在棱長為1的正方體中，為的中點，，分別在棱，上，，．（1）求的長．（2）求與所成角的余弦值．分析：（1）利用條件建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，寫出點，的坐標(biāo)，利用空間兩點間的距離公式求出的長．（2）與所成的角就是，所成的角或它的補(bǔ)角．因此，可以通過，的坐標(biāo)運(yùn)算得到結(jié)果．依據(jù)條件建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,用向量表示相關(guān)元素，并通過向量及其坐標(biāo)的運(yùn)算求解問題.解：（1）建立如圖1.3-9所示的空間直角坐標(biāo)系，則點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為．于是．（2）由已知，得，，，，所以，，，．所以，所以．所以，與所成角的余弦值為．點評:目的是使學(xué)生進(jìn)一步體會例2中求解問題的基本思路.對于問題(1),在建立空間直角坐標(biāo)系后，要留意引導(dǎo)學(xué)生利用空間兩點間的距離公式求解.對于問題(2),要留意引導(dǎo)學(xué)生用坐標(biāo)表示向量的數(shù)量積運(yùn)算中涉及的向量.教學(xué)時，還可以提示學(xué)生用綜合法解決本題目，進(jìn)而與教科書中的方法進(jìn)行比較.環(huán)節(jié)六歸納總結(jié)，反思提升基本學(xué)問:空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示空間向量的長度公式與空間兩點間的距離公式;求兩個向量的夾角或角的余弦值的關(guān)鍵是在合適的空間直角坐標(biāo)系中找到兩個向量的坐標(biāo),然后用公式計算思想方法用向量計算或證明幾何問題時,可以先建立空間直角坐標(biāo)系,然后把向量點坐標(biāo)化,借助空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示進(jìn)行計算或證明.環(huán)節(jié)七：目標(biāo)檢測，作業(yè)布置教材第21-22頁,練習(xí)第1-5題,習(xí)題1.3第3-5題練習(xí)（第21頁）1．已知，，求：（1）； （2）； （3）； （4）．1．解析：（1）；（2）；（3）；（4）．2．已知，，且．求的值．2．解析：因為，所以，解得．3．在軸上求一點，使點到點與點的距離相等．3．解析：由點在軸上，可設(shè)，又因為，，，所以，解得，所以．4．如圖，正方體的棱長為，點，分別在，上，，，求的長．4．解析：因為正方體的棱長為，所以，，，，設(shè)，，因為，所以，所以，所以，所以，因為，所以，所以，所以，所以，所以．所以的長為．5．如圖，在正方體中，是的中點，求與所成角的余弦值．5．解：如圖，以為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)正方體棱長為2，則，．為的中點，．，，，，．．與所成角的余弦值為．習(xí)題1.3（第22頁）1．在空間直角坐標(biāo)系中，三個非零向量，，分別平行于軸、軸、軸，它們的坐標(biāo)各有什么特點？1．解析：平行于軸的向量，和面垂直，其縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo)為0．平行于軸的向量，和面垂直，其橫坐標(biāo)和豎坐標(biāo)為0．平行于軸的向量，和面垂直，其橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)為0．2．是空間直角坐標(biāo)系中的一點，寫出滿意下列條件的點的坐標(biāo)：（1）與點關(guān)于軸對稱的點；（2）與點關(guān)于軸對稱的點；（3）與點關(guān)于軸對稱的點；（4）與點關(guān)于原點對稱的點．2．解析：（1）點關(guān)于軸的對稱點坐標(biāo)為，（2）點關(guān)于軸的對稱點坐標(biāo)為，（3）點關(guān)于軸的對稱點坐標(biāo)為，（4）點關(guān)于原點的對稱點坐標(biāo)為．3．如圖，正方體的棱長為，，，，，，分別是棱，，，，，的中點，寫出正六邊形各頂點的坐標(biāo)．3．解：，，，，，．4．先在空間直角坐標(biāo)系中標(biāo)出，兩點，再求它們之間的距離：（1），；（2），．4．解：作圖略．=1\*GB3①，，；=2\*GB3②，，．5．已知，，．求：（1）； （2）．5．解：（1），，．又，．（2）．6．求證：以，，為頂點的三角形是等腰直角三角形．6．證明：，，，，．，．，．，．又，為等腰直角三角形．7．已知，，求，，線段的中點坐標(biāo)及線段的長．7．解：，，，．設(shè)中點為，其坐標(biāo)為，則中點的坐標(biāo)