高三數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)微專題36講18.斜率和積問(wèn)題的六大算法

斜率和積問(wèn)題的六大算法例1.（2024新高考1卷）已知點(diǎn)在雙曲線上，直線交于，兩點(diǎn)，直線，的斜率之和為0．（1）求的斜率.（2）若，求的面積．解法1：設(shè)點(diǎn)解點(diǎn)設(shè)直線的方程為，與雙曲線的方程聯(lián)立，消去得到，依據(jù)韋達(dá)定理，得，故，從而.因?yàn)橹本€的斜率之和為，所以直線的方程為，同理，可得：，.所以直線的斜率為解法2：不聯(lián)立的藝術(shù)設(shè)，由點(diǎn)都在雙曲線上，得，，所以，結(jié)合斜率公式，相減后變形，可得：，.因?yàn)橹本€的斜率之和為，即，所以，由得.②由得.③由②-③，得，從而，即的斜率為.解法3：設(shè)而不求，韋達(dá)定理將點(diǎn)代入雙曲線方程得，化簡(jiǎn)得，，故雙曲線方程為，由題明顯直線的斜率存在，設(shè)，設(shè)，，，則聯(lián)立雙曲線得：，故，，，化簡(jiǎn)得：，故，即，當(dāng)時(shí)，直線過(guò)點(diǎn)A，不合題意，舍去.,故.方法4.同構(gòu)雙斜率設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線方程為，直線的方程為，聯(lián)立解得，代入雙曲線的方程中，整理得，這是關(guān)于的一元二次方程，方程的兩根分別為直線的斜率.因?yàn)橹本€的斜率之和為，即，所以，整理后分解得.因?yàn)橹本€不經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，從而，即的斜率為.方法5：齊次化聯(lián)立雙曲線方程為，設(shè)，∵AP,AQ的斜率之和為0，∴，故將雙曲線方程為變形為：，且設(shè)直線，由式有：,（兩邊同除以），即，而是此方程的兩根.∴，故直線斜率為?1.方法6：曲線系點(diǎn)處的切線方程為，設(shè)直線的方程為，的方程為，的方程，則過(guò)這四條直線交點(diǎn)的二次曲線方程為又因?yàn)殡p曲線過(guò)這些交點(diǎn)，比較的系數(shù)得.又由，所以.例2．（2024山東卷）已知橢圓C：的離心率為，且過(guò)點(diǎn)．（1）求的方程：（2）點(diǎn)，在上，且，，為垂足．證明：存在定點(diǎn)，使得為定值．解析：（1）由題意可得：，解得：，故橢圓方程為：.方法1.設(shè)線解點(diǎn)（2）由題意，設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程，可得.解得.所以.因?yàn)?，將代替上面的，可?故.所以直線的方程為.化簡(jiǎn)，得.即直線恒過(guò)定點(diǎn).方法2：韋達(dá)定理（2）設(shè)點(diǎn)，若直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：，代入橢圓方程：消去并整理得：，可得，，因?yàn)?，所以，即，依?jù),代入整理可得：，

所以，整理化簡(jiǎn)得，因?yàn)椴辉谥本€上，所以，故，于是的方程為，所以直線過(guò)定點(diǎn)直線過(guò)定點(diǎn).當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，可得，由得：，得，結(jié)合可得：，解得：或（舍）.此時(shí)直線過(guò)點(diǎn).令為的中點(diǎn)，即，若與不重合，則由題設(shè)知是的斜邊，故，若與重合，則，故存在點(diǎn)，使得為定值.方法3.齊次化（2）將原坐標(biāo)系平移，原來(lái)的O點(diǎn)平移至點(diǎn)A處，則在新的坐標(biāo)系下橢圓的方程為，設(shè)直線的方程為．將直線方程與橢圓方程聯(lián)立得，即，化簡(jiǎn)得，即．設(shè)，因?yàn)閯t，即．代入直線方程中得．則在新坐標(biāo)系下直線過(guò)定點(diǎn)，則在原坐標(biāo)系下直線過(guò)定點(diǎn)．又，D在以為直徑的圓上．的中點(diǎn)即為圓心Q．經(jīng)檢驗(yàn)，直線垂直于x軸時(shí)也成立．故存在，使得．方法4.不聯(lián)立，不韋達(dá)（2）設(shè)，依題意知，因?yàn)椋?，整理得同理得相減可得即直線恒過(guò)定點(diǎn).又，D在以為直徑的圓上．的中點(diǎn)即為圓心Q．經(jīng)檢驗(yàn)，直線垂直于x軸時(shí)也成立．故存在，使得．方法5.曲線系（2）A點(diǎn)處的切線方程為，即．設(shè)直線的方程為，直線的方程為，直線的方程為．由題意得．則過(guò)A，M，N三點(diǎn)的二次曲線系方程用橢圓及直線可表示為（其中為系數(shù)）．用直線及點(diǎn)A處的切線可表示為（其中為系數(shù)）．即．對(duì)比項(xiàng)、x項(xiàng)及y項(xiàng)系數(shù)得，將①