2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸類與強(qiáng)化測(cè)試專題46向量法求空間角學(xué)生版

專題46向量法求空間角一、【學(xué)問梳理】【考綱要求】1.駕馭空間向量的應(yīng)用.2.會(huì)用空間向量求空間角和距離.【考點(diǎn)預(yù)料】1．異面直線所成的角若異面直線l1，l2所成的角為θ，其方向向量分別是u，v，則cosθ＝|cos〈u，v〉|＝eq\f(|u·v|,|u||v|).2．直線與平面所成的角如圖，直線AB與平面α相交于點(diǎn)B，設(shè)直線AB與平面α所成的角為θ，直線AB的方向向量為u，平面α的法向量為n，則sinθ＝|cos〈u，n〉|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(u·n,|u||n|)))＝eq\f(|u·n|,|u||n|).3．平面與平面的夾角如圖，平面α與平面β相交，形成四個(gè)二面角，我們把這四個(gè)二面角中不大于90°的二面角稱為平面α與平面β的夾角．若平面α，β的法向量分別是n1和n2，則平面α與平面β的夾角即為向量n1和n2的夾角或其補(bǔ)角．設(shè)平面α與平面β的夾角為θ，則cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|).【常用結(jié)論】1.線面角θ的正弦值等于直線的方向向量a與平面的法向量n所成角的余弦值的確定值，即sinθ＝|cos〈a，n〉|，不要誤記為cosθ＝|cos〈a，n〉|.2.二面角的范圍是[0，π]，兩個(gè)平面夾角的范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).【方法技巧】1.求異面直線所成的角的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)用向量方法求兩條異面直線所成的角，是通過(guò)兩條直線的方向向量的夾角來(lái)求解的．(2)由于兩異面直線所成角的范圍是θ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，兩方向向量的夾角α的范圍是[0，π]，所以要留意二者的區(qū)分與聯(lián)系，應(yīng)有cosθ＝|cosα|.2.求直線與平面所成角的方法(1)定義法：①作，在斜線上選取恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)向平面引垂線，在這一步上確定垂足的位置是關(guān)鍵；②證，證明所作的角為直線與平面所成的角，其證明的主要依據(jù)是直線與平面所成角的概念；③求，構(gòu)造角所在的三角形，利用解三角形的學(xué)問求角．(2)公式法：sinθ＝eq\f(h,l)(其中h為斜線上除斜足外的任一點(diǎn)到所給平面的距離，l為該點(diǎn)到斜足的距離，θ為斜線與平面所成的角)．(3)向量法：sinθ＝|cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，n〉|＝eq\f(|AB·n|,|\o(AB,\s\up6(→))||n|)(其中AB為平面α的斜線，n為平面α的法向量，θ為斜線AB與平面α所成的角)．3.利用向量法計(jì)算二面角大小的常用方法(1)找法向量法：分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量，然后通過(guò)兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要留意結(jié)合實(shí)際圖形推斷所求角的大小．(2)找與棱垂直的方向向量法：分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的兩個(gè)向量，則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的大小．二、【題型歸類】【題型一】異面直線所成的角【典例1】如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.(1)求證：BD⊥平面PAC；(2)若PA＝AB，求PB與AC所成角的余弦值；(3)當(dāng)平面PBC與平面PDC垂直時(shí)，求PA的長(zhǎng).【典例2】如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱AB，BB1的中點(diǎn)，試求直線EF和BC1所成的角.【典例3】如圖，已知圓錐CO的截面△ABC是正三角形，AB是底面圓O的直徑，點(diǎn)D在eq\o(AB,\s\up8(︵))上，且∠AOD＝2∠BOD，則異面直線AD與BC所成角的余弦值為()A.eq\f(\r(3),4)B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,4)D.eq\f(3,4)【題型二】直線與平面所成的角【典例1】在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)(如圖1)，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，連接A1B，A1C，得到四棱錐A1－BCDE(如圖2)．(1)證明：平面A1BE⊥平面BCDE；(2)若A1E⊥BE，連接CE，求直線CE與平面A1CD所成角的正弦值．【典例2】如圖，四棱錐P－ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD.設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l.(1)證明：l⊥平面PDC；(2)已知PD＝AD＝1，Q為l上的點(diǎn)，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值．【典例3】如圖所示，在三棱錐S－BCD中，平面SBD⊥平面BCD，A是線段SD上的點(diǎn)，△SBD為等邊三角形，∠BCD＝30°，CD＝2DB＝4.(1)若SA＝AD，求證：SD⊥CA；(2)若直線BA與平面SCD所成角的正弦值為eq\f(4\r(195),65)，求AD的長(zhǎng)．【題型三】平面與平面的夾角【典例1】在如圖所示的多面體中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中點(diǎn)．(1)求證：AB∥平面DEG；(2)求二面角C-DF-E的余弦值．【典例2】如圖是一個(gè)半圓柱與多面體ABB1A1C構(gòu)成的幾何體，平面ABC與半圓柱的下底面共面，且AC⊥BC，P為弧A1B1上(不與A1，B1重合)的動(dòng)點(diǎn)．(1)證明：PA1⊥平面PBB1；(2)若四邊形ABB1A1為正方形，且AC＝BC，∠PB1A1＝eq\f(π,4)，求二面角P-A1B1-C的余弦值．【典例3】如圖，在三棱錐A－BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O為BD的中點(diǎn).(1)證明：OA⊥CD；(2)若△OCD是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)E在棱AD上，DE＝2EA，且二面角E－BC－D的大小為45°，求三棱錐A－BCD的體積.三、【培優(yōu)訓(xùn)練】【訓(xùn)練一】如圖，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝AD＝1，AE＝BC＝2.(1)求證：BF∥平面ADE；(2)求直線CE與平面BDE所成角的正弦值；(3)若平面EBD與平面FBD夾角的余弦值為eq\f(1,3)，求線段CF的長(zhǎng).【訓(xùn)練二】如圖，四棱錐P－ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝eq\f(1,2)AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中點(diǎn).(1)證明：直線CE∥平面PAB；(2)點(diǎn)M在棱PC上，且直線BM與底面ABCD所成角為45°，求平面MAB與平面DAB夾角的余弦值.【訓(xùn)練三】已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)面AA1B1B為正方形，AB＝BC＝2，E，F(xiàn)分別為AC和CC1的中點(diǎn)，D為棱A1B1上的點(diǎn)，BF⊥A1B1.(1)證明：BF⊥DE；(2)當(dāng)B1D為何值時(shí)，平面BB1C1C與平面DFE夾角的正弦值最小？【訓(xùn)練四】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，點(diǎn)M在線段PC上，PD＝BD＝BC＝eq\r(3)，N是線段PB的中點(diǎn)，且三棱錐M-BCD的體積是四棱錐P-ABCD的體積的eq\f(1,6).(1)若H是PM的中點(diǎn)，證明：平面ANH∥平面BDM；(2)若PD⊥平面ABCD，求二面角B-DM-C的正弦值．四、【強(qiáng)化測(cè)試】一、單選題1．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，均為所在棱的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（

）①棱上確定存在點(diǎn)，使得②三棱錐的外接球的表面積為③過(guò)點(diǎn)作正方體的截面，則截面面積為④設(shè)點(diǎn)在平面內(nèi)，且平面，則與所成角的余弦值的最大值為A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．如圖，在直三棱柱中，，，點(diǎn)分別是線段的中點(diǎn)，，分別記二面角，，的平面角為，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．3．如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，則BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為（）A． B． C． D．4．（2024·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)料）直三棱柱如圖所示，為棱的中點(diǎn)，三棱柱的各頂點(diǎn)在同一球面上，且球的表面積為，則異面直線和所成的角的余弦值為（

）

A． B． C． D．5．已知直四棱柱的全部棱長(zhǎng)相等，，則直線與平面所成角的正切值等于（

）A． B． C． D．6．如圖，在正四棱柱，中，底面邊長(zhǎng)為2，直線與平面所成角的正弦值為，則正四棱柱的高為．A．2 B．3 C．4 D．57．如圖二面角的大小為，平面上的曲線在平面上的正射影為曲線，在直角坐標(biāo)系下的方程，則曲線的離心率（

）A． B． C． D．8．（2024·福建龍巖·統(tǒng)考三模）若正四棱柱的體積為，，則直線與所成的角為（

）A． B． C． D．二、多選題9．正方體的棱長(zhǎng)為1，為側(cè)面上的點(diǎn)，為側(cè)面上的點(diǎn)，則下列推斷正確的是（

）A．若，則到直線的距離的最小值為B．若，則，且直線平面C．若，則與平面所成角正弦的最小值為D．若，，則，兩點(diǎn)之間距離的最小值為10．（2024·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)料）在正三棱柱中，，，點(diǎn)、分別在棱、上運(yùn)動(dòng)（不與重合，不與重合），使得是等腰三角形．記的面積為，平面與平面所成銳二面角的平面角大小為，則（

）A．平面 B．可能為等腰直角三角形C．的取值范圍是 D．的取值范圍是11．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)料）如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為2，，，分別為，，的中點(diǎn)，則下列結(jié)論成立的有（

）A． B．平面C．與所成角的余弦值為 D．點(diǎn)到平面的距離為212．在長(zhǎng)方體中，，，動(dòng)點(diǎn)在體對(duì)角線上（含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的有（

）A．當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，為銳角B．存在點(diǎn)，使得平面C．的最小值D．頂點(diǎn)到平面的最大距離為三、填空題13．正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4，E為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F滿足，動(dòng)點(diǎn)M在側(cè)面AA1D1D內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且MB∥平面D1EF，則|MD|的取值范圍是．14．在空間直角坐標(biāo)系中，，，，，若四面體的外接球的表面積為，則異面直線與所成角的余弦值為.15．（2024·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預(yù)料）已知四面體ABCD滿足，，，且該四面體的體積為，則異面直線AD與BC所成的角的大小為．16．如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形所在平面與正方形所在平面相互垂直，動(dòng)點(diǎn)分別在正方形對(duì)角線和上移動(dòng)，且則下列結(jié)論：則下列結(jié)論：①；②當(dāng)時(shí)，與相交；③始終與平面平行；④異面直線與所成的角為正確的序號(hào)是.四、解答題17．（2024·上海長(zhǎng)寧·上海市延安中學(xué)校考三模）已知和所在的平面相互垂直，，，，，是線段的中點(diǎn)，.(1)求證：；(2)設(shè)，在線段上是否存在點(diǎn)（異于點(diǎn)），使得二面角的大小為.18．如圖；在梯形中，為的中點(diǎn)；為的中點(diǎn)，沿將三角形折起（1）證明：在折起過(guò)程中，平面平面，（2）當(dāng)折起到平面平面時(shí)，求二面角的余弦值，19．（2024·浙江·模擬預(yù)料）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，側(cè)面為等邊三角形且垂直于底面，分別為的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)求二面角的正弦值．2